7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok

Átírás

1 7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7. efiníió és lpintegrálok efiníió. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differeniálhtó I-n, F (x) f(x) (x I). Péld. H f(x) sin x kkor F (x) os x + (x R). Állítás. H F f függvény primitív függvénye I-n, kkor G(x) F (x) + (x I, R konstns) is primitív függvénye f-nek, és fordítv, f minden primitív függvénye F (x) + lkú. Bizonyítás. G primitív függvény mert G (x) F (x) + F (x) f(x). Fordítv, h F, G f függvény primitív függvényei, kkor (G(x) F (x)) f(x) f(x) (x I) miből G(x) F (x) konstns, h x I. efiníió. Egy f függvény összes primitív függvényeinek hlmzát f htároztln integráljánk nevezzük, és f(x) -szel, vgy f -fel jelöljük. Azz f(x) { F (x) + : R, F f egy primitív függvénye }, mit egyszerűen úgy írunk, hogy f(x) F (x) + ( R). A legfontosbb elemi függvények differeniálási szbályiból kpjuk z lpintegrálokt: e x e x + (x R) x x + (x R, > ) ln x α xα+ + (x >, α R) α + x ln x + (x > vgy x < )

2 x n xn+ + (x R, n,,... ) n + sin x os x + (x R) os x sin x + (x R) os x tg x + (kπ π < x < kπ + π, k Z) sin tg x + (kπ < x < (k + )π, k Z) x rsin x + ( x < ) x rtg x + (x R) + x Bizonyítás. Például z utolsó képlet igzolás: többi hsonlón, differeniálássl igzolhtó. (rtg x + ) + x, 7. Integrálási szbályok H f, g-nek vn primitív függvénye, kkor f + g, f ( R)-nek is vn, és (f + g) f + g (f) f. Ez következik bból, hogy összeg tgonként differeniálhtó, és konstns kiemelhető differeniálás jele elé. A szorzt differeniálási szbályából kpjuk priális integrálás szbályát: h f, g differeniálhtók és fg -nek vn primitív függvénye, kkor f g-nek is vn primitív függvénye, és f g fg fg ugynis ( fg fg ) f g + fg fg f g. Az összetett függvény differeniálási szbályából kpjuk helyettesítéses integrálás szbályát: h f-nek vn primitív függvénye I-n, g : J I differeniálhtó J intervllumon, kkor (f g) g -nek is vn primitív függvénye J-n és ( ) (f g) g f g vgy f (g(x)) g (x) f(u)du ug(x).

3 3 Ugynis, h f(u)du F (u), kkor jobboldli függvény deriváltj ( f(u)du ug(x) ) (F (g(x))) F (g(x))g (x) f(g(x))g (x), és ezt kellett igzolni. A szbály másik lkj: h f : I R, g : J I differeniálhtó J intervllumon, g (x) (x J) és (f g) g -nek vn primitív függvénye, kkor f-nek is vn primitív függvénye I-n és f ((f g) g ) g vgy f(x) f(g(u))g (u) du ug (x). Ugynis, h f(g(u))g (u) du F (u), kkor jobboldli függvény deriváltj z inverz függvény differeniálási szbály lpján ( ) ( F ( g (x) )) ( F g (x) ) ( g (x) ) f(g(u))g (u) du ug (x) és ezt kellett igzolni. f(x)g ( g (x) ) g (g (x)) f(x), f(x) x α válsztássl kpjuk, hogy g α g gα+ + (α ) α + g g ln g + Utóbbi képlet felhsználásávl kpjuk, hogy (os x) tg x os x (sin x) tg x sin x ln os x + ln sin x + Egy másik fontos speiális eset lineáris helyettesítés: h f primitív függvénye F,, b R kkor f(x + b) f(u) du ux+b F (x + b) +. Ennek felhsználásávl (vgy differeniálássl) lehet igzolni következő képleteket, melyek kiegészítik z lpintegrálok tábláztát: x rsin x + ( x < ) hol > konstns. x ± ln x + x ± + (x R vgy x > ) + x rtg x + (x R) x ln x x + + ( x < vgy x > )

4 4 7.3 Elemien integrálhtó függvények osztályi efiníió. Egy függvényt elemien integrálhtónk nevezünk, h primitív függvénye elemi. Nem minden elemi függvény ilyen: például ismeretes, hogy e (x), sin(x ), nem elemi függvények.. Priálisn integrálhtó függvények H P (x) n x n + n x n + + x + x sin x (,,..., n R) polinom, kkor P (x)e x priálisn integrálhtó f (x) e x, g(x) P (x) válsztássl P (x) sin x priálisn integrálhtó f (x) sin x, g(x) P (x) válsztássl P (x) os x priálisn integrálhtó f (x) os x, g(x) P (x) válsztássl P (x) ln x priálisn integrálhtó f (x) P (x), g(x) ln x válsztássl P (x) rsin x priálisn integrálhtó f (x) P (x), g(x) rsin x válsztássl P (x)rtg x priálisn integrálhtó f (x) P (x), g(x) rtg x válsztássl. Hsonlón priálisn integráljuk z függvényeket. Az integrálás eredménye elemi függvény. Péld. e x sin x, e x os x, sin n x, os n x ln x ln x miből f (x), g(x) ln x válsztássl f(x) x, g (x) x így ln x x ln x x x ln x x +. x. Rionális törtfüggvények integrálás. A két polinom hánydosként előállíthtó függvényeket rionális törtfüggvényeknek nevezzük. Ezek mindig elemien integrálhtók. Az integrálás lépései: ) H számláló fokszám ngyobb vgy egyenlő nevező fokszámánál, kkor osztás után tört egy polinom és egy olyn rionális tört összege lesz, hol számláló fokszám kisebb nevező fokszámánál. Mivel egy polinomot könnyen integrálhtunk, így feltehetjük, hogy f(x) P (x) Q(x) hol P, Q polinomok, és P fokszám kisebb mint Q fokszám. b) A nevezőt szorzttá lkítjuk, ezáltl Q nevező (x ) k és (x + px + q) l lkú tényezők szorztként írhtó fel, hol másodfokú kifejezés diszkrimináns p 4q <, k, l N. ) f-et priális törtek összegére bontjuk fel: nevező (x ) k fktoránk megfelelő priális törtek: hol A,..., A k lklms konstnsok. A x + A (x ) + + A k (x ) k

5 5 Az (x + px + q) l fktornk megfelelő priális törtek: B x + C x + px + q + B x + C (x + px + q) + + B lx + C l (x + px + q) l hol B, C,... B l, C l lklms konstnsok. Az A i, (i,..., k), B j, C j (j,..., l) konstnsokt z együtthtók összehsonlításávl, vgy lklms értékek helyettesítésével kpott lineáris egyenletrendszerből htározzuk meg. d) Integráljuk priális törteket: A i (x ) i A második típusú priális törtek integrálás: felbontás lpján Bx + C x + px + q B A i + h i ( i)(x ) i (x + p) x + px + q + A i ln x + h i ( x + p C Bp ) + ( q p 4 Bx + C x + px + q B C Bp + ln(x + px + q) + rtg x p q p q p 4 4 H nevezőben (x + px + q) k (k > ) szerepel kkor először számlálóból leválsztjuk lineáris tgot (e tg integrálását z g k g -re vontkozó képlet lpján végezzük el), mjd k tól függő I k (x + px + q) k integrált egy (priális integrálássl kpott) rekurziós képlet segítségével htározzuk meg. 8. HATÁROZOTT INTEGRÁL ) Az integrál definíiój és lptuljdonsági efiníió. Legyen [, b] R egy zárt intervllum. A P { x i : x < x < < x n b } (n N) ponthlmzt z [, b] intervllum egy felosztásánk nevezzük. x i z i-edik osztópont, [x i, x i ] z i-edik intervllum, x i x i z i-edik intervllum hossz, számot P felosztás finomságánk nevezzük. P mx i n (x i x i ) efiníió. Legyen f : [, b] R egy korlátos függvény, P z [, b] egy felosztás, t i [x i, x i ] (i,..., n) közbenső értékek. Az n s(f, P, t) f(t i )(x i x i ) i összeget z f függvény P felosztáshoz és t (t,..., t n ) közbenső érték rendszerhez trtozó integrálközelítő összegének nevezzük. s(f, P, t) geometrii jelentése : felosztás és közbenső értékek áltl meghtározott tégllpok területének (előjeles) összege, mi nnál jobbn közelíti görbe ltti (előjeles) területet minél finombb felosztás.

6 6 efiníió. [ Riemnn integrálhtóság és Riemnn integrál definíiój] Az f : [, b] R korlátos függvényt Riemnn integrálhtónk nevezzük [, b]-n, h vn olyn I R szám, hogy bármely ε > -hoz létezik olyn δ(ε), hogy () s(f, P, t) I < ε h P < δ(ε) bármely t (t,..., t n ) közbenső érték rendszer mellett teljesül. Az I számot z f függvény [, b]-n vett Riemnn integráljánk nevezzük és Az [, b]-n Riemnn integrálhtó függvények osztályát R[, b]-vel fogjuk jelölni. b f(x) vgy ()-gyel egy (új típusú) htárértéket definiáltunk, így z integrál definíióját egyszerűen I b f(x) : lim s(f, P, t) hol s(f, P, t) n f(t i )(x i x i ) P lkbn is írhtjuk (hol természetesen meg kell mondni, hogy f, P, t i, t mit jelentenek). Az b i b f-fel jelöljük. f(x) geometrii jelentése: z x, x b, y egyenesek és z y f(x) függvény gráfj áltl meghtározott síkidom előjeles területe (z x tengely ltti részt z integrál negtív előjellel számolj). így Péld. Legyen f(x) konstns h x [, b]. Ekkor bármely P felosztás esetén b (b ). s(f, P, t) n n (x i x i ) (x i x i ) (b ) i Tétel. [z integrál lptuljdonsági] H f, g : [, b] R, f, g R[, b], kkor bármely R és bármely < d < b mellett f + g R[, b] és i b (f + g) b b f + g, f R[, b] és b (f) b f, f R[, d], f R[d, b] és b f d b f + d f, h f(x) g(x) (x [, b]) kkor b f b g, h m b inf f(x), M sup f(x) kkor m(b ) f M(b ). x [,b] x [,b] A fenti tuljdonságokt rendre, z integrál (függvény szerinti) dditivitásánk, homogenitásánk, (intervllum szerinti) dditivitásánk, monotonitásánk nevezzük, z utolsó állítás z integrálszámítás középértéktétele melyet egy másik lkbn is megfoglmzunk.

7 7 Bizonyítás. H f, g : [, b] R, f, g R[, b], P z [, b] egy felosztás, t i [x i, x i ], t (t,..., t n ) kkor könnyű ellenőrizni, hogy z integrálközelítő összegekre érvényesek z s(f + g, P, t) s(f, P, t) + s(g, P, t) s(f, P, t) s(f, P, t) h R s(f, P, t) s(f [,d], P [,d], t [,d] ) + s(f [d,b], P [d,b], t [d,b] ) h < d < b, d P osztópontj s(f, P, t) s(g, P, t) h f(x) g(x) (x [, b]) m(b ) s(f, P, t) M(b ) h m inf f(x), M sup f(x) x [,b] x [,b] tuljdonságok, hol f [,d], P [,d], t [,d] z f függvény, P felosztás, t közbenső értékrendszer leszűkítése z [, d] intervllumr. E tuljdonságokból P htárátmenettel dódik tétel állítás. Tétel. [z integrálszámítás középértéktétele] Legyen f : [, b] R Riemnn integrálhtó [, b]-n, kkor hol m m(b ) H f folytonos [, b]-n kkor vn olyn ξ [, b] melyre b f M(b ), inf f(x), M sup f(x). x [,b] x [,b] () f(ξ) b f(x). b Bizonyítás. Csk folytonos függvényekre vontkozó állítást kell igzolni. Mivel m b f(x) M b és folytonos függvény felvesz minden (közbenső) értéket [m, M]-ben így vn ξ [, b] melyre () teljesül. Az integrálhtóság nlitikus kritérium Tétel. [Lebesgue-féle integrálhtósági kritérium] Az f : [, b] R korlátos függvény kkor és skis kkor Riemnn integrálhtó [, b]-n, h f egy Lebesgue szerint nullmértékű hlmztól eltekintve folytonos. efiníió. Egy E R hlmzt kkor nevezünk Lebesgue szerint nullmértékűnek, h bármely ε > -hoz vn olyn ] n, b n [ (n N) intervllumsorozt mely lefedi E-t és melynek összhosszúság kisebb mint ε zz E ] n, b n [ és (b n n ) < ε. n n Bizonyítás. Ld. pl. Szőkeflvi, Vlós függvények és függvénysorok, Tnkönyvkidó, Bp., 977. Állítás.Minden E megszámlálhtó hlmz (Lebesgue szerint) nullmértékű. Bizonyítás. Ugynis, h E { x i R : i,..., n } véges hlmz, kkor mindegyik x i pontot egy ε/n-nél kisebb hosszúságú nyílt intervllumml lefedve z intervllumok uniój lefedi E-t és összhossz kisebb mint ε. H E { x i R : i N } megszámlálhtón végtelen hlmz, kkor minden i N mellett z x i pontot egy ε/ n -nél kisebb hosszúságú nyílt intervllumml lefedve z intervllumok uniój lefedi E-t és összhossz

8 8 kisebb mint ε ε n i ε. Így Lebesgue tételéből következik, hogy egy pontsorozt kivételével folytonos függvény integrálhtó. Lebesgue tételével könnyű igzolni, hogy h f, g R[, b] kkor fg, f, f R[, b] és h vn olyn k > hogy g(x) k h x [, b] kkor f/g R[, b] is teljesül. Továbbá fennáll b b (3) f(x) f(x) egyenlőtlenség. Ennek igzolás: egyenlőtlenséget integrálv b f(x) f(x) f(x) f(x) b ( f(x) miből z bszolút érték tuljdonsági mitt (3) következik. b f(x) b f(x) 8.3 Az integrál kiszámítás, Newton-Leibniz formul efiníió. Legyen f R[, b], kkor T (x) függvényt f területmérő függvényének nevezzük. x f(t) dt (x [, b]) Tétel. [ területmérő függvény tuljdonsági] H f R[, b], és T z f területmérő függvénye,kkor () T folytonos [, b]-n, (b) h f folytonos x [, b]-ben, kkor T differeniálhtó x -bn, és T (x ) f(x ). Bizonyítás. () Először kiegészítjük z integrál definíióját. Legyen f(x) :, b b f(x) : f(x) h < b. Tegyük fel, hogy f(x) M (x I) hol I [, b] (vgy b < esetén) I [b, ], kkor érvényes z b f(x) M b egyenlőtlenség. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy x > x kkor x x x T (x) T (x ) f(t) dt f(t) dt f(t) dt M x x < ε x h x x < δ(ε) ε/m hol f(x) M (x [, b]), s ez éppen f folytonosságát jelenti.

9 9 (b) Ismét legyen x > x kkor T (x) T (x ) f(x ) x x x x x x f(t) dt x x f(x ) dt x x x x (f(t) f(x )) dt x x x f(t) f(x ) dt < ε(x x ) ε h x x < δ(ε), x x x x x mivel z x -beli folytonosság mitt f(t) f(x ) < ε h t [x, x] és x x < δ(ε). Így T (x) T (x ) x x f(x ) h x x, miből T (x ) f(x ). A bizonyítás x < x esetén hsonló. Következmény. Minden folytonos függvénynek vn primitív függvénye, ti. területmérő függvénye. Tétel. [Newton-Leibniz formul] Tegyük fel, hogy f : [, b] R folytonos [, b]-n, és F : [, b] R f egy primitív függvénye [, b]-n, kkor b f(x) F (b) F () [F (x)] b. Bizonyítás. Láttuk, hogy T (x) x f(t) dt f primitív függvénye, így F felírhtó F (x) T (x)+ lkbn, hol R lklms konstns. Mivel f() T () +, így b f(x) T (b) F (b) F (b) F (). Megjegyzés. A Newton-Leibniz formul kkor is érvényes, h f R[, b], F : [, b] R folytonos [, b]-n, és F (x) f(x) (x ], b[). Péld. + x [rtg x] rtg rtg π/4. Tétel. [priális integrálás htározott integrálr] H f, g : [, b] R folytonosn differeniálhtók [, b]-n, kkor b b f (x)g(x) [f(x)g(x)] b f(x)g (x) hol [f(x)g(x)] b f(b)g(b) f()g(). x x Bizonyítás. Legyen F (x) f (t)g(t) dt f(x)g(x) + f()g() + f(t)g (t) dt (x [, b]), kkor F (x) (x [, b]), F () így F (x) (x [, b]) speiálisn F (b) F () és ez éppen bizonyítndó állítás. Tétel. [helyettesítéses integrálás htározott integrálr] H g : [, b] [, d] folytonosn differeniálhtók [, b]-n, f : [, d] R folytonos [, d]-n, kkor b g(b) f (g(x)) g (x) f(u) du. g()

10 Bizonyítás. Legyen F (x) x g(x) f (g(t)) g (t) dt f(u) du (x [, b]), kkor F (x) (x [, b]), F () így F (x) (x [, b]) speiálisn F (b) F () és ez éppen bizonyítndó állítás. g() 8.4 Improprius integrál A Riemnn integrált korlátos (zárt) intervllumon értelmezett korlátos függvényekre definiáltuk. Most kiterjesztjük definíiót végtelen (nem korlátos) intervllumok és nem korlátos függvények esetére is.. Integrál végtelen intervllumokon. efiníiók. Legyen f :], b] R, b R és tegyük fel, hogy minden t < b mellett f R[t, b], kkor b f(x) : b lim f(x) t t feltéve, hogy jobboldli htárérték véges. Ekkor zt mondjuk, hogy z b f(x) improprius integrál konvergens, ellenkező esetben (mikor jobboldli htárérték nem létezik, vgy létezik de végtelen) divergens. Legyen f : [, [ R, R és tegyük fel, hogy minden < t mellett f R[, t], kkor t f(x) : lim t f(x) feltéve, hogy jobboldli htárérték véges. Ekkor zt mondjuk, hogy z f(x) improprius integrál konvergens, ellenkező esetben (mikor jobboldli htárérték nem létezik, vgy létezik de végtelen) divergens. Végül, h f :], [ R, és minden s < t, s, t R mellett f R[s, t], kkor tetszőleges R mellett f(x) : f(x) + f(x) lim s s f(x) + lim t t f(x) feltéve, hogy mindkét jobboldli htárérték véges. Ekkor zt mondjuk, hogy z f(x) improprius integrál konvergens, ellenkező esetben (mikor jobboldli htárértékek közül leglább z egyik nem létezik, vgy létezik de végtelen) divergens.. Nem korlátos függvények integrálás. efiníiók. Legyen f : [, b] R,, b R és tegyük fel, hogy f nem korlátos [, b]-n, de minden < t < b mellett f R[t, b], (így f korlátos [t, b]-n!), kkor b f(x) : b lim f(x) t + t feltéve, hogy jobboldli htárérték véges. Ekkor zt mondjuk, hogy z b f(x) improprius integrál konvergens, ellenkező esetben (mikor jobboldli htárérték nem létezik, vgy létezik de végtelen) divergens.

11 Legyen f : [, b] R,, b R és tegyük fel, hogy f nem korlátos [, b]-n, de minden < t < b mellett f R[, t], (így f korlátos [, t]-n!), kkor b f(x) : lim t t b f(x) feltéve, hogy jobboldli htárérték véges. Ekkor zt mondjuk, hogy z b f(x) improprius integrál konvergens, ellenkező esetben (mikor jobboldli htárérték nem létezik, vgy létezik de végtelen) divergens. Végül, h f : [, b] R,, b R, és f nem korlátos [, b]-n, de vn olyn, < < b hogy minden < s < < t < b mellett f R[, s], f R[t, b] (így f korlátos [, s]-n és [t, b]-n, zz f pont egy környezetében nem korlátos!), kkor b f(x) : lim f(x) + s s b f(x) f(x) + lim b t + t f(x) feltéve, hogy mindkét jobboldli htárérték véges. Ekkor zt mondjuk, hogy z b f(x) improprius integrál konvergens, ellenkező esetben (mikor jobboldli htárértékek közül leglább z egyik nem létezik, vgy létezik de végtelen) divergens. Megjegyzések.. A Riemnn integrál definíiój segítségével könnyen beláthtó, hogy Riemnn integrál (beleértve z improprius integrált is) értéke nem változik, h függvény értékét véges sok pontbn megváltozttjuk. Ezért nem korlátos függvények (improprius) integráljánk pl. z (első) definíiójábn (mikor f z végpont egy környezetében nem korlátos) mindegy, hogy kiinduló f függvény z pontbn definiálv vn vgy sem, mert utóbbi esetben f()-t tetszőlegesen értelmezve z integrál nem változik. Mi mindhárom definíió esetében feltételeztük, hogy f értelmezve vn bbn pontbn, melynek környezetében f nem korlátos. Improprius integrálr példként tekintsük z integrált, hol p > dott konstns. x p Az f(x) függvény p > esetén ugyn nins értelmezve z x pontbn, de z előző megjegyzés lpján xp e függvény értelmezési trtományát kiterjeszthetjük z x pontr is, és ott tetszőlegesen, pl. z f() definíióvl értelmezve, z (improprius) integrál (konvergeniáj), értéke nem változik. Mivel függvényünk nem korlátos x egy környezetében, így x p lim t + x p t [ ] x p+ lim t + p + t ( ) lim t + p t p p h p lim [ln t + x] t h p h p lim (ln ln t) h p t + p h p < + h p. A fenti improprius integrál ezért kkor és skis kkor konvergens, h < p < és ekkor z integrál értéke p.

12 p esetén z integrndust x p lkb írv láthtjuk, hogy z folytonos [, ]-en, így, ekkor integrálunk közönséges (nem improprius!) Riemnn integrál, értéke ugynz mint előbb: p.. A definiiókbn tárgylt két eset egy improprius integrálbn is felléphet. Pl. z improprius integrált z felbontást hsználv z (x + 3) x lim t + segítségével számolhtjuk ki. Mivel (x + 3) x így (x + 3) x t (x + 3) x + (x + 3) x + lim t t (x + 3) x ( x t helyettesítéssel, x t +, t dt) t dt (t + 4)t ( lim rtg rtg t + dt t + 4 rtg t x rtg + C, t (rtg ) ( π rtg + rtg ) π. ) ( t + lim rtg rtg t ) 8.5 Kettős integrál efiníiók. Legyen [, b] [, d] egy tégllp, és z [, b], [, d] intervllumok felosztási, kkor P x { x i : x < x < < x m b }, P y { y j : y < y < < y n d } P P x P y { (x i, y j ) : i,,..., m; j,,..., n } pontrendszert egy felosztásánk nevezzük, ij [x i, x i ] [y j, y j ] (i,,..., m; j,,..., n) felosztás tégllpji P (x i x i ) + (y j y j ) mx i m, j n felosztás finomság ( ij tégllpok átlói hosszánk mximum). Legyen f : R korlátos függvény tégllpon, P egy felosztás, (s i, t j ) ij közbenső pontok, közbenső pontok rendszere/vektor. Az v ((s, t ), (s.t ),..., (s m, t n )) s(f, P, v) m i j n f(s i, t j )m( ij )

13 3 összeget, hol m( ij ) (x i x i )(y j y j ) ij tégllp területe (mértéke), z f függvény P felosztáshoz és v közbenső pontrendszerhez trtozó integrálközelítő összegének nevezzük. s(f, P, v) geometrii jelentése : felosztás és közbenső értékek áltl meghtározott hsábok térfogtánk (előjeles) összege, mi nnál jobbn közelíti z f áltl meghtározott felület ltti (előjeles) térfogtot, minél finombb felosztás. efiníió. [kettős Riemnn integrál definíiój] Az f : R korlátos függvényt Riemnn integrálhtónk nevezzük tégllpon, h vn olyn I R szám, hogy bármely ε > -hoz létezik olyn δ(ε), hogy (4) s(f, P, v) I < ε h P < δ(ε) bármely v ((s, t ), (s.t ),..., (s m, t n )) közbenső pontrendszer mellett teljesül. Az I számot z f függvény -n vett Riemnn integráljánk nevezzük és jelöljük. Azt is írhtjuk, hogy I f(x, y) dy : lim s(f, P, v) hol P és limesz jelentése (4)-gyel vn definiálv. s(f, P, v) m i j f(x, y) dy vgy n f(s i, t j )(x i x i )(y j y j ) A kettős integrál tuljdonsági, hsonlók z egyváltozós integrál tuljdonságihoz, integrálhtó függvények összege, konstnsszoros is integrálhtó, és z összeg integrálj tgok integráljinek összege, konstns szorzó kiemelhető z integráljel elé. Tétel. [kettős integrál kiszámítás] Legyen f : R folytonos [, b] [, d] tégllpon, kkor f integrálhtó -n és b d f(x, y) dy f(x, y) dy vgy f(x, y) dy d b s f(x, y) dy. Amint tételből leolvshtó, kettős integrál kiszámítás ismételt (iterált) integrálássl történik, sorrend (z hogy először x szerint másodszor y szerint integrálunk, vgy fordítv) nem számít. H nem tégllp, hnem pl. { (x, y) : x b, ϕ (x) y ϕ (x) } (rjzoljon ábrát!) áltl megdott (un. elsőfjú normáltrtomány, melyet z x, x b egyenesek és z y ϕ (x), y ϕ (x) (x [, b] görbék htárolnk, hol ϕ, ϕ : [, b] R dott folytonos függvények, úgy, hogy ϕ (x) ϕ (x) h x [, b]), kkor, válsszuk, d-t úgy, hogy [, b] [, d] teljesüljön. Legyen f(x, y) h (x, y) f (x, y) : h (x, y) [, b] [, d] \ ekkor z integrál definíiój: f(x, y) dy : [,b] [,d] f (x, y) dy. Felhsználv kiszámításr vontkozó tételt f folytonosságát feltételezve kpjuk, hogy b d f(x, y) dy f (x, y) dy. f-fel

14 4 Mivel d ϕ (x) f (x, y) dy f (x, y) dy + ϕ (x) ϕ (x) ϕ (x) d f (x, y) dy + f (x, y) dy és jobboldli első és hrmdik integrál integrndus zérus, második integrál integrndus f, ezért d ϕ (x) f (x, y) dy f(x, y) dy ϕ (x) és végül f(x, y) dy b ϕ (x) ϕ (x) f(x, y) dy. Hsonón, h z integráiós trtomány { (x, y) : y d, ψ (y) x ψ (y) } (rjzoljon ábrát!) áltl megdott (un. másodfjú normáltrtomány, melyet z y, y d egyenesek és z x ψ (y), x ψ (y) (y [, d] görbék htárolnk, hol ψ, ψ : [, d] R dott folytonos függvények, úgy, hogy ψ (y) ψ (y) h y [, d]), kkor, f folytonosságát feltételezve, z integrált képlet segítségével számolhtjuk ki. Példák.. Legyen [, ] [, 5] kkor (x y + 3x) dy f(x, y) dy 5 ( x d ψ (y) ψ (y) (x y + 3x) dy f(x, y) dy [ x y ] y5 + 3xy y ) [ ] x 3 + 9x + 9x Számítsuk ki most ugynezt z integrált fordított sorrendben vló integrálássl! (x y + 3x) dy 5 (x y + 3x) dy 5 [ x 3 ] x y 3 + 3x dy x 5 ( y ) [ y dy 6 + 3y ] Legyen most { (x, y) : x, x y x }

15 5 (rjzoljon ábrát!) és f(x, y) x y 3, kkor x (x y 3 ) dy (x y 3 ) dy x ( x 4 4 x 4 [ x y 4 4 ] y x yx ) [ ] x 5 x Hsonlón definiálhtjuk egy f : R függvény hárms integrálját [, b] [, d] [e, g] tégltesten, f(x, y, z) dydz : lim m n P i j k p f(s i, t j, u k )m( ijk ) htárértékkel, hol m( ijk ) felosztás ijk tégltestének térfogt, (s i, t j, u k ) ijk közbenső pontok. A hármsintegrál tuljdonsági, kiszámítás hsonlók kettős integráléhoz.