Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

Átírás

1 Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően) hld át. H f() z [, b] intervllumon differenciálhtó függvény és z intervllum minden pontjábn teljesül, hogy f () > 0, kkor f() szigorún monoton növekvő; f () 0, kkor f() monoton növekvő; f () < 0, kkor f() szigorún monoton csökkenő; f () 0, kkor f() monoton csökkenő. Lokális szélsőérték: Az f() függvénynek z 0 helyen lokális szélsőértéke vn, h f ( 0 ) = 0, de f ( 0 ) 0 (illetve h mgsbb rendű deriváltk eltűnnek, kkor z első el nem tűnő derivált páros rendű: f (n) ( 0 ) 0). Lokális mimum esetén f ( 0 ) = 0, de f ( 0 ) < 0 (illetve f (n) ( 0 ) < 0). Lokális minimum esetén f ( 0 ) = 0, de f ( 0 ) > 0 (illetve f (n) ( 0 ) > 0). Infleiós pont: Az f() függvénynek z 0 helyen infleiós pontj vn, h f ( 0 ) = 0, de f ( 0 ) 0 (illetve h mgsbb rendű deriváltk eltűnnek, kkor z első el nem tűnő derivált pártln rendű: f (n+) ( 0 ) 0); ekkor ugynis f () z 0 helyen előjelet vált. Konveitás, konkávitás: Az f() függvény lulról konve, h f () monoton növekszik, zz h f () 0. Az f() függvény lulról konkáv, h f () monoton csökken, zz h f () 0. Görbület: Az f() függvény görbülete: r = f () { + [f ()] } 3/ Prméteres megdás esetén: r = ẋÿ ẍẏ {ẋ + ẏ } 3/

2 Szöveges szélsőérték-számítási példák: ) Htározzuk meg z sugrú körbe írt legngyobb területű derékszögű négyszöget (tégllpot)! m Jelölje tégllp két szomszédos oldlát és m. Ekkor tégllp területe: T = m. A tégllp átlój éppen kör átmérőjével () egyezik meg, így Pitgorsz-tétel értelmében +m = 4. Innen m = 4, miből m-et kifejezve és terület képletébe beírv területnek csk -től függő képletét kpjuk: T() = 4. A terület mimumát keresve lederiváljuk zt: dt() d = 4 4 Szélsőérték ott lehet, hol derivált null: = 0 4 = = ± 4 = 0 Mivel tégllp egyik oldl, így csk pozitív megoldás lehetséges: = =, hol lehetséges, hogy szélsőértéke vn T() függvénynek. Ezt

3 második deriváltból láthtjuk: d T() d = Közös nevezőre hozv láthtjuk, hogy nevező mindig pozitív: 4 = = m > 0, számláló pedig negtív, így d T() d mindig negtív, tehát vlóbn szélsőérték vn, mi mimum. ) Htározzuk meg z sugrú kör szeletébe írt legngyobb területű derékszögű négyszöget, h szelethez trtozó középponti szög α! m α β m = cos β cos α = (cos β cos α) = sin β T = m = sinβ(cos β cos α) dt dβ = [cos β(cos β cos α) sinβ sin β] = (cos β sin β cos α cos β) cos β sin β cos α cos β = 0 = cos β cos α cos β = cos β = cos α ± cos α Csk + előjelnek vn értelme, továbbá geometrii viszonyokból látszik, hogy mimum lép fel. 3) Htározzuk meg z sugrú gömbbe írt legngyobb térfogtú hengert! A gömb meridiánmetszete: 3

4 m r 4r + m = 4 m = r r = 4 m 4 V = r πm V (r) = r π r V (m) = 4 m πm = πm m3 4 4 π (A V (m) előállítás zért előnyősebb, mint V (r), mert könnyebb lesz deriválni.) dv (m) dm = π 3m 4 π = 0 = m = 4 3 = m = = r = 3 3 A második derivált: d V (m) dm = 6m 4 Ekkor V m = 3 π 3 = 3 π < 0, tehát vlóbn mimum lép fel. 4) Htározzuk meg z sugrú gömbbe írt legmgyobb térfogtú forgáskúpot! 4

5 m O r r = m = + v = r π m 3 V () = ( ) π + = π ( ) 3 3 V () = π ( 3 + ) = 0 3, = ± = m = 4 3 = r = = 3 9 = 3 ez nem jó megoldás geometrii jelentés mitt A második derivált: V () = π/3( 6 ) = 4π/3 < 0, tehát vlóbn mimum lép fel ennél z értéknél. Ekkor V m = 8 9 π 4 9 = 3 8 π. 5) Htározzuk meg z literes, felül nyitott legkisebb felszínű hengert! 5

6 m r V = r πm = dm 3 = m = r π F = rπm + r π F(r) = r + r π F (r) = + rπ = 0 = r = r 3 = m = π 3 π A második derivált: F (r) = 4r r 4 + π = 6π > 0, tehát vlóbn minimum lép fel ezen z r helyen. Ekkor F min = 3 3 π. 6) Egyenlő szélességű deszkákból cstornát készítünk. Az oldlflk milyen hjlásszöge mellett lesz cstorn keresztmetszete mimális? d d d α 6

7 A keresztmetszet területe: d/ + d/ + d cos α T(α) = d sin α = d ( + cos α)sin α T (α) = d (cos α + cos α sin α) = d (cos α + cos α ) = 0 cos α, = ± = { ez nem lehet megoldás. Tehát α = 60. Ennél z értéknél második derivált: T (α) = d ( sin α 4 cos α sin α) < 0, tehát vlóbn mimum lép fel. 7) Htározzuk meg dott h lkotójú legngyobb térfogtú kúpot! m α h r r = h sin α, m = h cos α V (α) = 3 r πm = π 3 h3 sin α cos α V (α) = π 3 h3 (sin α cos α sin 3 α) = π 3 h3 sin α(cos α sin α) = 0 cos α sin α = (cos α + sin α sin α) sin α = 3sin α = 0 sin α = 3 ; cos α = 3 A második derivált: V (α) = π 3 h3 ( 6sin α cos α) < 0, tehát vlóbn mimum lép fel. Ekkor r = h 3, m = h 3 = V m = π 3 h3 3 3 = π 9 3 h3 7

8 8) Egy szélességű cstornából derékszögben kinyúlik egy h szélességű cstorn. A cstornák fliegyenes vonlúk. Htározzuk meg zon gerend legngyobb hosszát, mely z egyik cstornából átúsztthtó másik cstornáb! b α A Keressük z α szöget, melynél A pontbn illeszkedő egyenes szksz hossz legkisebb. Ez leghosszbb átúsztthtó gerend hosszát dj. l(α) = sin α + b cos α l (α) = cos α sin α + bsin α cos α = cos3 α + bsin 3 α (sin α cos α) = 0 cos 3 α + bsin 3 α = 0 tg 3 α = b Minthogy így b cos α = b tgα = 3 b cos α = + tg α és + /3 b /3 = b/3 /3 + b /3 sin α = + ctg α és sin α = + /3 b = /3 /3 + b /3 /3 8

9 Ebből: l m = sinα + b cos α = /3 /3 + b /3 + b /3 /3 + b /3 = = ( /3 + b /3 ) /3 + b /3 = ( /3 + b /3 ) 3/ 9) Keressük meg z y = 8 prbolánk zt pontját, mely (6,0) ponttól legkisebb távolságr vn! y P (6,0) P f() = d = (6 ) + 8 f() = = f () = 4 = 0 = = y = ± 6 = ±4 A második derivált: f () = > 0, tehát minden esetben minimum dódik. Tehát két keresett pont: P (,4) és P (, 4). 0) Feltételezve, hogy motoros hjó energifogysztás sebesség hrmdik htványávl egyenesen rányos, keressük meg leggzdságosbb óránkénti sebességet bbn z esetben, mikor hjó c km/ór sebességű vízsodrássl 9

10 szemben hld! Egy ór ltt hjó v c km utt tesz meg felfelé. Ezltt z energifogysztás E = v 3, hol =konstns rányossági tényező. A költséget z km megtételéhez felhsznált energiávl mérhetjük. A leggzdságosbb hjózás kkor, h z km út felfelé vló megtételéhez legkevesebb energi szükséges. Ezek szerint leggzdságosbb sebességet K = v3 v c költségfüggvény minimumát dó v sebesség szolgálttj. K (v) = 3v (v c) v 3 (v c) = 0 v (3v 3c v) = 0 = v = 3 c km/ór. ) Rjzoljunk egy α nyílásszögű körcikkbe egyenlőszárú háromszöget z ábrán láthtó helyzetben. Mekkoránk válsszuk háromszög lpját, hogy területe mimális legyen? R α R 0

11 = tgα = = tgα T() = (R ) = tgα(r ) T () = tgα(r ) = tgα(r ) = 0 = R = = R tgα A második derivált: T () = tgα < 0, tehát vlóbn mimum lép fel. Ekkor T m = R tgαr = R 4 tgα. ) Vlmely mennyiséget n-szer megmérünk. A mérési eredmények:,,..., n. A mennyiség vlódi értékének tekintjük zt z számot, melytől mérési eltérések négyzetösszege legkisebb, zz A = ( ) + + ( ) + + ( n ) minimális. Írjuk fel ezt számot! da d = ( ) + ( ) + + ( n ) = 0 [n ( n )] = 0 = n n A második derivált: d A = n > 0, tehát vlóbn minimum lép fel ennél z d értéknél.