IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

Átírás

1 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z jelöljük O -vl körülírt kör sugrát és -gyel oldl felezőpontját Ekkor m ( O ) m ( ) m ( ) H hegyesszög, kkor mo ( ) mo ( ) m ( ), tehát z derékszögű háromszögen O sino O De, O R és mo ( ) m ( ), tehát z R sin H tompszög, kkor m( O ) m( O ) 60 m( ) Így O derékszögű háromszögen sino egyenlőség O lpján R O sin(80 ) sin IX ár O O IX ár z előiek lpján R, tehát érvényes következő tétel: sin sin sin Tétel ( szinusz tétel) H z háromszög oldlink hossz IX ár, és, és köré írt kör sugr R, kkor R sin sin sin z elői tételt gykrn hsználjuk háromszög oldlink kiszámításár vgy egyé összefüggések levezetésére Más izonyítást is dhtunk O tételre, h megszerkesztjük vlmelyik súsól kiinduló átmérőt H z átmérősen ellentett pontj, kkor és R, tehát sin sin R IX lklmzások z -en M tetszőleges pontj H és R R z sugr, izonyítsuk e, hogy M illetve M köré írt kör R R M izonyítás z M -en sin M M M -en R sin M, tehát R és z R IX4 ár O O R M

2 trigonometri lklmzás geometrián 5 R sin M sin R, hol R z R sin M sin köré írt kör sugr R Megjegyzés z M és M háromszögeken M R M és R, tehát sin M sin M sin M z elői egyenlőség ekvivlens M (*) M sinm egyenlőséggel Ezt ngyon gykrn hsználhtjuk feldtok megoldásán izonyítsuk e, hogy h H z hegyesszögű háromszög mgsságpontj, kkor H R os és H R os os izonyítás IX5 ár jelölései lpján H IX5 ár, tehát sin z háromszögen os, tehát H os H R os sin sin Eől következik, hogy H os os os H R IX Gykorltok izonyítsd e, hogy z háromszög pontosn kkor derékszögű -n, h sin sin + sin z háromszögen, 4 és sin Htározd meg szög mértékét 5 Számítsd ki z háromszög oldlink és szögeinek mértékét, h π π ), 4 és ), és 6 sin( ) 4 izonyítsd e, hogy sin( + ) 5 izonyítsd e, hogy + + ) h és, kkor z háromszög egyenlő oldlú sin ) h, kkor z háromszög derékszögű os 6 izonyítsd e, hogy ármely háromszögen tg tg (Tngens tétel) +

3 6 trigonometri lklmzás geometrián IX koszinusz tétel Feldt z háromszögen jelöljük D -vel z -ól húzott mgsság tlppontját izonyítsuk e, hogy + D, h ( π m ) < Hogyn változik z elői egyenlőség, h ( π m )? IX6 ár D IX7 ár D IX8 ár Megoldás H ( π m) <, kkor (D) H D (), kkor z D és D D Így H D, D D, tehát D + D 0 ( D D)( D + D) ( D ( D)) (D), kkor + ( D D)( D + D) + D Mindkét eseten kívánt egyenlőséghez jutunk H () (vgyis ( π m ) > ), kkor D háromszögeken: ( D + D) ( D D)( D + D) ( D + D)( ) + + D, D tehát z utolsó tg előjele változik meg H ( π D m ) <, kkor z D -en os, tehát D os és így z elői összefüggés + os lk írhtó Ugynez z összefüggés érvényes ( π D m) esetén is, hisz ekkor os z előiek lpján érvényes következő tétel: Tétel (Koszinusz tétel) z háromszögen, és, és oldl hossz, kkor érvényesek z lái egyenlőségek: + os Következmény z p( p ) os, hol + os + os ( p )( p ) háromszögen sin és + + p

4 trigonometri lklmzás geometrián 7 izonyítás sin os + ( ) 4 ( + )( + ) 4 ( p )( p ) os + os + + ( + ) 4 ( + + )( + + ) 4 p ( p ) IX lklmzások z -en 5, 7 és 5 m ( ) Számítsuk ki z oldl hosszát 70 5 Megoldás + os izonyítsuk e, hogy h, és z oldlink hossz, kkor ( + + )( + )( + ) os + os + os + izonyítás koszinusz tétel lpján + os, tehát ( os + os + os + + os, ) + ( + ) + ( + os és ( + + )( + )( + ) + izonyítsd e, hogy h, és egy háromszög szögei, kkor érvényes z lái egyenlőtlenség: os + os + os izonyítás feldt lpján ( + + )( + )( + ) os + os + os, tehát elégséges igzolni, hogy ( + + )( + )( + ) z elői egyenlőtlenség l oldlán minden tényező pozitív ( háromszög-egyenlőtlenség lpján) Szorozzuk össze z ( ), ( ) és ( ) + )

5 8 trigonometri lklmzás geometrián [ ] egyenlőtlenségeket Így z ( + + )( + )( + ) jutunk Innen következik kívánt egyenlőtlenség izonyítás π ( + ) egyenlőség lpján os os os os + sin + os + sin + os os + os os sin sin IX Gykorltok és feldtok (sin sin ) + (os + os ) 0 egyenlőtlenséghez izonyítsd e, hogy z pontosn kkor hegyesszögű, h, és lehet egy háromszög oldlink hossz + izonyítsd e, hogy z pontosn kkor egyenlőszárú, h os + os izonyítsd e, hogy ) os + os ) os + os os( ) + ) os os d) os os os 4 izonyítsd e, hogy h os + os + os, kkor + 5 Számítsd ki következő összegeket: ) ( + ) os + ( + ) os + ( + ) os os os os os os os ) dott z ) izonyítsd e, hogy h M (), kkor M+ M M M M (Stewrt tétel) ) izonyítsd e eől kiindulv z oldlfelező hosszár vontkozó tételt ) Számítsd ki első szögfelező hosszát d) izonyítsd e, hogy h két első szögfelező kongruens, kkor z egyenlőszárú e) Lehet-e egyenlő egy első és egy külső szögfelező hossz? 7 izonyítsd e, hogy h G z súlypontj és O köré írt kör középpontj, kkor ) h M egy pont z síkján, kkor M + M + M MG (Leiniz tétel) ) zon pontok mértni helye, melyekre M + M + M R G középpontú OG sugrú kör 8 izonyítsd e, hogy h,, > 0, kkor + 9 Oldd meg következő egyenleteket: ) 5 os x sin x 4, h x 0, ) os x os x 0 6 os x, h x 0, π

6 trigonometri lklmzás geometrián 9 0 z -en M () és N () egyenlőség pontosn kkor teljesül, h m ( ) 90 izonyítsd e, hogy + MN M + N IX háromszög területképletei háromszöge írt és háromszög köré írt kör z és oldlhosszú tégllp területe T Eől következik, hogy prlelogrmm területe T h, mert minden prlelogrmm ugynkkor területű, mint z ugynolyn lpú és ugynolyn mgsságú tégllp(lásd IX9 árát) h h IX9 ár H z oldlához trtozó mgsság h, kkor z h IX0 ár prlelogrmm h területe z területének kétszerese Így T[ ] h sin z -en sin, tehát T[ ] 4R egyenlőséghez jutunk z R sin, R sin és R sin egyenlőségek lpján H een z egyenlőségen szinusz tételt lklmzzuk, kkor T [ ] [ ] [ ] R sin sin sin T sin T egyenlőségől következik, hogy ( p )( p ) p( p ) T [ ] sin os p( p )( p )( p ) Tehát [ ] ( )( )( T p p p p ) (Heron képlet) H P egy tetszőleges pont háromszög elsejéen és x, y, z, illetve oldlktól mért távolsági, kkor x + y + z T [ ] T [ P ] + T [ P ] + T [ P ] Sjátos eseten, h x y z r (r háromszöge írt kör sugr), P kkor z elői összefüggés lpján IX ár + + T r p r Hsonló összefüggéshez jutunk, h háromszög oldlit érintő külső körök ( háromszöghöz írt körök) középpontjit tekintjük (lásd IX árát): T T I + T I T I [ ] [ ] [ ] [ ] + + r + r + r r ( p ) r I r IX ár

7 0 trigonometri lklmzás geometrián IX Gykorltok és feldtok H z háromszögen M, kkor M sin M M sinm H z háromszögen D ( ), M ( ), N ( ) és { E} MN D, kkor D NE N D EM M Htározd meg z háromszög zon első pontját, melyre z oldlktól vló távolságok négyzetösszege minimális 4 izonyítsd e, hogy z -n derékszögű háromszögen tg és tg izonyítsd e, hogy h egy háromszögen sin + os sin + os, kkor háromszög egyenlő szárú vgy derékszögű 6 Htározd meg z háromszög oldlink hosszát és szögeinek mértékét, h ismerjük következő dtokt: 4 ) 4, sin, sin ), ( ) 5 m, ( ) 0 m 5 ) 7, 5, 6 d) ( ) 8 m,, e) 5,, T 4 5 f) 4,, os 5 g), os, os 65 5 h) 5, 4, 4 i) 0, 4, os 5 j),, m ( ) 0 0 k) 0, 4, os l), 6, m ( ) m), os, m Htározd meg z háromszög oldlink hosszát és szögeinek mértékét, h ismerjük következő dtokt: ),, p ) + m, és ),, T d), m, m e),, m f) h, h, os g), h, h h), m, h i),, d j) 4, m ( ) 0, T 8,75 m 8 z háromszögen ( m ) 45 és izonyítsd e, hogy tg 9 Htározd meg z háromszög szögeinek mértékét, h sin + sin ( + ) és os + os ( + ) 4 4

8 trigonometri lklmzás geometrián 0 z háromszögen területét!, 7 os és h h + h Számítsd ki háromszög 8 z háromszög oldli egyenesen rányosk, + és 6 számokkl Számítsd ki háromszög szögeit! z háromszögen >, 78, R 65 és r 8 Számítsd ki -t és -t! Egy háromszög egyik súsáól induló mgsság és oldlfelező három egyenlő részre osztj szöget izonyítsd e, hogy háromszög derékszögű 4 Egy háromszög egyik súsáól induló mgsság, oldlfelező és szögfelező négy egyenlő részre osztj szöget izonyítsd e, hogy háromszög derékszögű 5 ) Számítsd ki eírt kör érintési pontji áltl z oldlon meghtározott szkszok hosszát ) Számítsd ki z oldlkhoz írt körök érintési pontji áltl meghtározott szkszok hosszát ) izonyítsd e, hogy h eírt kör, és oldlt M, N illetve P -en érinti, kkor M, N és P összefutó egyenesek (Gergonne pont) d) izonyítsd e, hogy h, és oldlához írt körök ezeket z oldlkt M, N illetve P -en érintik, kkor M, N és P összefutók (Ngel pont) 4S 6 izonyítsd e, hogy tg + 7 izonyítsd e, hogy z háromszögen pontosn kkor teljesül tg + tg k tg egyenlőség, h + + k 8 Számítsd ki z R sugrú körre írt n oldlú szályos sokszög területét, h + D 9 izonyítsd e következő egyenlőségeket: ) r ( p ) tg ) T p( p ) tg ) p 4R os os os r d) p R os sin sin e) sin + sin + sin R f) + + g) + + h) r + r + r r 4R r r r r h h h r S i) rr r r S j) tg + tg + tg r ( + ) ( + ) ( + ) k) l) tg + tg + tg 4S r ( r + r ) r ( r + r ) r ( r + r ) m) 6 S ( + + ) (Héron) tg + tg + tg n) p tg + tg + tg

9 trigonometri lklmzás geometrián 0 izonyítsd e következő egyenlőtlenségeket: r ) sin sin sin ) os ) 7Rr p 8 R izonyítsd e, hogy ) sin 8 sin 54 ) sin 84 sin 4 sin 54 4 ) tg tg5 tg tg 7 d) tg 5 tg5 tg 5 tg 5 Oldd meg következő egyenletrendszereket: x + y 4 x + y ) ) x y xy x y xy ) x + y x + y d) 4x x y 4y x + y 4xy z x, y, z pozitív számok teljesítik következő egyenlőségeket: y x + xy + y 5, + z 9, z + xz + x 6 Számítsd ki z xy + yz + xz kifejezés értékét 4 Oldd meg x 4x x egyenletet, h x 5 Oldd meg z x y x y z y z x z egyenletrendszert, h x, y, z 6 Oldd meg x 4x (8x ) egyenletet vlós számok hlmzán 7 Oldd meg -en 4xy(x ) egyenletrendszert x + y 8 izonyítsd e, hogy h, és k pozitív számok teljesítik k k k ( + k ) k ( + k)( + k ) k ( + k ) k ( + k )( + k ) egyenlőségeket, kkor k k k