XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

Átírás

1 XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < n 3 1+ k lkúk, ezt lkítjuk át: ) k k 1 1+ k) k 1 ) k 1 Kovács él Sztmárnémeti) ) -gyel vló szorzássl k k k 1+ k) ) szorzás elvégzésével számlálón k 1 = k k + k k+1 1+ k) k 1 ) k = k k+1 = ) k k +1 k+1 1+ k) k 1 ) k kiemelésével ) k k +1 = 1+ k) k 1 ) k+1 1+ k) k 1 ) = k k 1 k+1 k+1 1 +) ) = Az átlkítást felhsználv: 1+ + n +... = n = n k= k 1+ k n ) k k 1 k+1 k+1 1 k=1 = 3 n+1 n+1 1 teleszkópikus összeg Mivel n+1 > 0, n n +... = n 3 n+1 n+1 1 < 3.

2 Az állítás áltlánosíthtó: ugynezen lépéseket 1+p + 1+p +... n 1+p n összegre elvégezve kpjuk, hogy kise, mint p 1 p > 1).. felt: Oljuk meg vlós számok hlmzán 6 x +10 x+3+1 3x+3 = 6x+74 egyenletet. Olosz Ferenc Sztmárnémeti) Megolás: Az egyenlet értelmezett, h x [; ). 6x + 74 részekre ontásávl teljes négyzetek összegére ontjuk z egyenletet. 6x+74 = 6 x +10 x+3+1 3x+3 0 = x 6 x +9 ) + x+3 10 x+3+5 ) + 3x+3 1 3x+3+36 ) 0 = x 3 ) + x+3 5 ) + 3x+3 6 ) Ez vlós számok hlmzán kkor és csk kkor lehetséges, h x 3 = 0 és x+3 5 = 0 és 3x+3 6 = 0. Minhárom egyenlet egyetlen megolás x = 11, így z ereeti egyenletnek is ez megolás. 3. felt: Egy négyzete z ár szerint két egyevágó tégllpot írunk. Mekkor z szög? Ktz Sánor onyhá) I. megolás: FQR = EPQ =, mert szögek merőleges szárúk. EPQ = RS =, mert váltószögek. EPQ RS, mert két szögük erékszög és ) megegyezik és erékszöggel szemközti ollk ugynolyn hosszúk ). Ezért z árán -vel jelölt szkszok egyenlők.

3 D S R P E eq f c F A A 3. felt I. megolásához. Az áráról leolvshtó, hogy +c+ = 1) e+f = ) EP Q F QR, mert szögeik megegyeznek. A hsonlóság mitt megfelelő ollk rány egyenlő: 1)-ől átrenezéssel és kiemeléssel 1+ ) e = c = f = 1 c ), 3) 4) 4) felhsználásávl peig 1+ f ) = 1 c ). 5) )-ől átrenezéssel és kiemeléssel 3) felhsználásávl 1 f ) = e, 1 f ) = c. 6)

4 c Szorozzuk össze 5)-öt és 6)-ot! 1+ f ) 1 f ) = c 1 c ) 1 f = c c f = c c c = c c Pitgorsz-tétel FQR -re: f = c c = c 0, ezért c =. Az FQR erékszögű és z egyik efogó fele z átfogónk, ezért z említett efogóvl szemközti szög,, 30 -os. II. megolás: Az árán jelölt szögek egyenlő ngyságúk, mert merőleges szárúk. Legyen négyzet oll, eírt tégllp másik oll. Írjuk fel ollt z zt lkotó három szksz összegeként! + sin+ cos = 5) 1+cos) = 1 sin) 6) D E F A A 3. felt II. megolásához. III. megolás: Húzzuk e két egyevágó tégllpn z E és PR átlókt, ezek nyilván egyenlők. Toljuk el PR átlót R = PE = szksszl, ekkor z ET egyenlő szárú háromszöget kpjuk, melyen z EF mgsság felezi T lpot, tehát TF = F =. Így ollon + =, honnn + = c =. Az RQF erékszögű háromszög RF efogój fele z RQ átfogónk, tehát = felt: Legyen z A háromszög A ollánk A-hoz közelei hrmolópontj P, z A-tól távoli hrmolópontj Q. Legyen továá ollon -hez közelei

5 D S R P E Q c T F A A 3. felt III. megolásához. hrmolópont R, -től távoli hrmolópont S. Legyen A ollon -hez közelei hrmolópont T, -től távoli hrmolópont U. Legyen PS és T szkszok metszéspontját z U ponttl összekötő egyenes és szksz metszéspontj V. Htározzuk meg UV háromszög és PQRSTU htszög területének rányát. író álint Eger) Megolás: Jelöléseink z árán láthtók. A párhuzmos szelők tételének megforítás mitt T S szksz párhuzmos z A ollll, továá párhuzmos szelőszkszok tételéől következően TS = 1 3A. Mivel zonn P = TS 3A, ezért P = 1. A TZS és ZP háromszögek két-két szöge TS és P szkszok párhuzmosság mitt egyenlő, tehát T ZS és ZP háromszögek megfelelő szögei egyenlők, vgyis két háromszög hsonló. A hsonlóságól következik megfelelő ollk rányánk egyenlősége, így eől és előző ereményünkől TS P = ZS ZP = ZT Z = 1 következik, tehát Z pont P S szksz S ponthoz közele eső hrmolópontj. Ismét párhuzmos szelők tételének megforításáól következik, hogy z U P szksz párhuzmos ollll, és párhuzmos szelőszkszok tétele mitt UP = 1 3. Az UPZ és VSZ háromszögeken két-két szög megegyezik, mert z U P és V S szkszok párhuzmosk, két háromszög megfelelő szögei egyenlők, tehát két háromszög hsonló, ezért megfelelő ollk rány is egyenlő, zz V S UP = V Z UZ = ZS ZS ZP. Ugynkkor z előzőeken igzoltuk, hogy ZP = 1, ezért VS UP = VZ UZ = ZS ZP = 1. Eszerint VS szksz hossz z UP szksz hosszánk felével egyenlő, e eől UP = 1 3 mitt VS = 1 6 következik. Így VS +S = = 1, vgyis V pont szksz felezőpontj. Az U háromszögen tehát z UV szksz súlyvonl, mely felezi z U háromszög területét, zz T UV = 1 T U. Könnyen láthtó, hogy z U háromszög területe z A háromszög területének kéthrm része,hiszen U A = 3, és z U illetve A ollkhoztrtozómgsság két háromszögen egyenlő.

6 A P U Q Z T R V S A 4. felthoz. Eől rögtön következik, hogy T UV = 1 T U = 1 3 T A = 1 3 T A, vgyis UV és z A háromszögek területének rány 1 : 3. Nyilvánvló,hogy TAPU T A = 1 9, hiszen kétháromszögszögeimegfelelőollkegy egyenese esése illetve párhuzmosság mitt egyenlők, ezért két háromszög hsonló és megfelelő ollk rány 1 : 3. Hsonlón láthtó e, hogy TRQ T A = 1 TTS 9 és T A = 1 9. Eől következik, hogy T PQRSTU = T A T APU T RQ T TS = 3 T A. Mivel előző ereményünk szerint T UV = 1 3 T A, ezért T UV T PQRSTU = felt: Egy es tálázt minen sorá és minen oszlopá z árán láthtó móon eírjuk számokt 0-tól 9-ig, mj minen sorn és minen oszlopn ekeretezünk pontosn 1 számot, tehát összesen 10-et. Vn-e ekeretezett számok között minig leglá két zonos szám? Szó Mg Szk)

7 Megolás: Vegyük észre, hogy tálázt tetszőleges elemét megkphtnánk úgy is, hogy soránk z első eleméhez hozzánánk z oszlopánk z első elemét és vennénk ennek z összegnek 10-es mrékát. Most eizonyítjuk, hogy lesz leglá két zonos szám. izonyítsunk inirekten, zz tegyük fel, hogy min 10 kiválsztott szám különöző. Ekkor kiválsztott számok összege = 45, minek 10-zel vett osztási mrék5.afentiekszerinteztmegkphtjukúgyis,hogyzelsősorészelsőoszlopelemeinek összegét vesszük, mi ) = 90, minek 10-zel vett osztási mrék 0. Mivel két mrék nem egyezik meg, ellentmonásr jutottunk. Tehát minig vn két zonos szám. 6. felt: Jelölje tetszőleges pozitív egész n szám esetén tn) z n szám különöző prímosztóink számát. Mutssuk meg, hogy végtelen sok olyn pozitív egész n szám vn, melyre.) t n +n ) pártln..) t n +n ) páros. Megolás: Nyilvánvló, hogy h ;) = 1, kkor t;) = t)+t). Mivel n;n+1) = 1 és n +n = n n+1), így t n +n ) = tn)+tn+1). Legyen k > 0 egész szám. Ekkor igzk kövektező álítások. Minen n = k -r tn) = 1, zz végtelen sok páros n-re tn) pártln. Minen n = 3 k -r tn) =, zz végtelen sok páros n-re tn) páros. Minen n = 3 k -r tn) = 1, zz végtelen sok pártln n-re tn) pártln. Minen n = 3 5 k -r tn) =, zz végtelen sok pártln n-re tn) páros. orély József Tt) Másképpen foglmzv: nem lehet, hogy páros n-re tn) csk páros vgy csk pártln értéket vegyen fel; ugyncsk nem lehet, hogy pártln n-re tn) csk páros vgy csk pártln értéket vegyen fel. Könnyű látni, hogy eől következik, hogy végtelen sok eseten két egymást követő számr tn) zonos, illetve különöző pritású. Innen következik izonyítnó állítás.