Lineáris egyenletrendszerek

Átírás

1 Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek fel z ismeretlenek? előre meg kel mondni, mely testen keressük megoldást. A továikn megoldást R-en keressük.. Speciális eset: HA - nm, és z egyenletek függetlenek egymástól (egyiket sem lehet töiől lgeri átlkításokkl levezetni-ezt nehéz látni,de következő feltétel iztosítj) - det(a) kkor.) inverz mátri.) Crmer szály segítségével megkphtjuk meg z egyetlen megoldást. Áltlános eset: Guss elimináció..) Egyenletrendszer megoldás inverz mátri segítségével A A A A E A A Bércesné Novák Ágnes

2 Bércesné Novák Ágnes Péld: +y +y y A + + det(a) - - dj(a) det(a) A y / A, lról szorozv y y - y

3 .) Tétel (Crmer-szály): H A T n n és Ddet(A), kkor z A egyenletrendszernek pontosn egy megoldás vn. A megoldásn j D j/d, hol D j determinánst úgy kpjuk,hogy D-en j-edik oszlop helyére jo oldli konstnsokt (zz vektor komponenseit) írjuk. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m Pl: n n n n n n nn n n nn Bércesné Novák Ágnes

4 NEM KELL TUDNI, de h vlkit érdekel, itt Bizonyítás: Tfh. i -t szeretnénk kiszámítni. A módszer lényege, hogy z összes egyenletől kiküszööljük egyszerre z ismeretleneket, kivéve i -t i i + n n + ++ i i + n n n + m ++ ni i + nn n n /D ni /D i /D i hol D ik z A együtthtómátrin z ik elemhez trtozó előjeles ldetermináns. Összedv z összes egyenletet és kiemelve z ismeretleneket következő dódik: BALOLDAL: ( D i + D i + n D ni )+ / (. oszlop) * (i. oszlophoz trtozó ldeterminánsok) + ( D i + D i + n D ni )+ / (. oszlop) * (i. oszlophoz trtozó ldeterminánsok) + ( D i + D i + n D ni )+ / (. oszlop) * (i. oszlophoz trtozó ldeterminánsok) + i ( i D i + i D i + n D ni )+ / (i. oszlop) * (i. oszlophoz trtozó ldeterminánsok) + n ( n D ni + n D i + nn D ni ) / (n. oszlop) * (i. oszlophoz trtozó ldeterminánsok) i det(a), kifejtési tétel, illetve ferde kifejtés mitt JOBBOLDAL: D i + D i + D i + i D ii ++ n D ni n n n n nn BALOLDALJOBBOLDAL i det(a) n n n n nn Bércesné Novák Ágnes

5 . Áltlános eset, n egyenlet, m ismeretlen Guss elimináció (kiküszöölés) n n-es független egyenletekől álló lineáris egyenletrendszerre: Elve: Alsó (vgy felső) háromszög mátrin elemek létrehozás (lépcsős lk) után z ismeretlenek fokoztos közelítéssel (szukcesszív pproimáció) kphtók: Az egyenletrendszeren megengedett műveletek:.λ R, λ vl szorozni z egyenletet.. Vlmely egyenlethez egy másik egyenlet számszorosát hozzádni.. Egyenleteket felcserélni.. Az olyn egyenletet, melyen minden együtthtó és jooldli konstns, elhgyni (ez független egyenletekől álló rendszer esetén nem fordul elő). -. ún. elemi ekvivlens átlkítások. Az egyenletekől csk z együtthtókt és jooldli konstnsokt írjuk sorrendhelyesen egy mátri, melynek sorir ugynezek műveletek lklmzhtók. Ezt mátriot kiővített mátrink nevezzük. Péld: -y+z +y+z- -+y-z Rövidített jelölés - kiővített mátri: Első sor -szeresét hozzádjuk második sorhoz, első sort hozzádjuk hrmdik sorhoz: A főátló ltti elemek nullák, létrejött z lsó háromszömátri. Eől már z ismeretlenek könnyen kphtók: z, z y+-z-, z-t ehelyettesítve, y + +, (y-t és z-t már ehelyettesítettük), - Bércesné Novák Ágnes

6 Bércesné Novák Ágnes Guss elimináció lgoritmus : A k. lépésen kk segítségével nullázzuk z kk ltti elemeket, k:,,m (m z ismeretlenek szám). H kk null, kkor felcseréljük egy lklms, lk helyén nem null elemet trtlmzó sorr. Kérdés: Mi helyzet, h nem tlálunk lk helyén nemnull elemet? Guss-Jordn elimináció n n-es, független egyenletekől álló lineáris egyenletrendszerre: Az előzőhöz hsonló módszerrel főátló feletti elemek is kinullázhtók. Az utolsó sor - szörösét hozzádjuk második sorhoz, z utolsó sor kétszeresét hozzádjuk z első sorhoz, igy nullázzuk. oszlop felső elemeit: A második sort osztjuk -tel, hogy főátlón legyen, mjd második sor kéteszresét hozzádjuk z első sorhoz : Igy főátló fölött is csup null áll, z ismeretlenek értékei rögtön kiolvshtók: -, y, z

7 Guss-Jordn elimináció lgoritmus :. Guss elimináció. Mivel főátló ltti elemek nullák, z együtthtó mátri utolsó soránk csk z utolsó eleme nem null, így osztássl könnyen egyest hozhtunk létre. Ezután ezzel z egyessel nullázzuk felette levő számokt. A következő lépésen z előtte levő oszlop főátlóeli elemét redukáljuk -re, mjd ennek sgítségével nullázzuk felette levő elemeket, és így tová. Röviden: A k. lépésen n-k,n-k -t osztjuk önmgávl, így -t kpunk, és ennek segítségével nullázzuk z kk feletti elemeket, z utolsó soról indulv. K:,,m (m z ismeretlenek szám) Az így kpott lépcsős lkot, mikor főátló felett is nullák állnk, redukált lépcsős lknk nevezzük. A fenti leírás szerint létrhozott lépcsős lkn szerplő egyeseket, mlyek tehát különöző sorokn és oszlopokn, föátlón helyezkednek el, vezéregyeseknek nevezzük. Független rendszer esetén nincsenek csup nulláól álló sorok. De ún. tilos sorok előfordulhtnk, mennyien z egyenletrendszer ellentmondó egyneleteket trtlmzekkor nincsen megoldás. Tilos sor : z dott sorn z együtthtó mátri elemei mind nullák, de kiővített mátrin -nek megfelelő elem nem. Péld: tilos sor.:, mert +y+z!!!! Tétel: I. Az egyenletrendszer kkor és csk kkor oldhtó meg, h nincs lépcsős lkn tilos sor. II. Egyértelmű megoldás, h nincs tilos sor, és vezéregyesek szám egyenlő z ismeretlenek számávl. Bércesné Novák Ágnes 7

8 Homogén lineáris egyenletrendszer A Triviális megoldás: Homogén lineáris egyenletrendszernek mindig vn ún. triviális megoldás: n. H det(a), hol A együtthtókól képezett mátri. kkor vn triviálistól különöző megoldás, mit Guss eliminációvl tlálhtunk meg. DE h det(a), kkor csk triviális megoldás vn. Tétel: H z egyenletrendszernek egyértelmű megoldás, kkor z ismeretlenek szám(n) < egyenletek szám (k). Biz.: egyértelmű n d vezéregyes, n ismeretlenek szám mivel ezek különöző sorokn vnnk, n<k, hiszen felesleges sor lehetséges, ez nem rontj el z egyenletrendszer egyértelmű megoldását. Tétel: H homogén lineáris egyenletrendszeren k<n, kkor létezik triviálistól különöző megoldás. Biz.: Indirekt: Tfh, hogy csk triviális megoldás létezikegyértelműn<k, de ez nem igz, mert k>n. Bércesné Novák Ágnes 8

9 Megjegyzések:. A megoldásokszám NEM függ z egyenletek számánk és z ismeretlenek számánk viszonyától.. Tö (végtelen elemszámú test esetén végtelen) megoldás esetéen nem tetszőleges z ismeretlenek válsztás. Azok z ismeretlenek válszthtók szdon, melyekkel, és csk zokkl tö ismeretlen kifejezhető. Ez lépcsős lkól könnyen következtethető: zok z ismeretlenek válszthtók szdon, melyeknek oszlopán nincsen vezéregyes. Péld: Mivel. és. oszlopn nincsen vezéregyes, ezért ezen helyeken álló ismeretlenek szdon válszthtók: Ennek z egyenletrendszernek tehát vlós számok köréen végtelen sok megoldás vn; h, és értékét rögzítjük, kkor minden olyn számötös, melyeket úgy kpunk, hogy rögzített, értékekkel kiszámítjuk velük kifejezett,, ismeretleneket, z egyenletrendszer egy megoldását kpjuk. TANULJUK MEG AZ ALÁBBI PROGRAMOK SEGTÍSÉGÉVEL! A serch for lk írj e: Guss elimintion z új lpon klikkeljen Visul Guss linkre. Itt interktív gykorltokt tlál Guss eliminációr és sok más lineáris lgeri feldtr. Jó szórkozást! (merthogy jó munk is z :) Másik elemi sorműveleteket elvégző klkulátor: Bércesné Novák Ágnes 9