Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)"

Elek Tamás
6 évvel ezelőtt
Látták:

1 Dr. Vincze Szilvi

2 Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás

3 Vektortér foglm A V hlmzt vektortérnek (vgy lineáris térnek) nevezzük, h értelmezve vn benne két művelet: z összedás és sklárrl vló szorzás (zz x, y V esetén létezik z x + y V és x V, V esetén létezik x V) z lábbi tuljdonságokkl:.) x, y V esetén: x + y = y + x, zz kommuttív;.) x, y, z V esetén: (x + y) + z = x + (y +z), zz sszocitív; 3.) V (nullelem, vgy zéruselem), hogy x V esetén: x + = x 4.) x V esetén létezik - x V úgy, hogy: x + (-x) = ; 5.), R, x V esetén ( + ) x = x + x; 6.) R, x, y V esetén (x + y) = x + y; 7.), R, x V esetén ( ) x = ( x); 8.) x V esetén x = x.

4 Péld vektorterekre. A sík vgy tér szbdvektorink hlmz szokásos vektorműveletekkel.. A vlós számokból álló (x)-es mátrixok mátrixösszedásr és mátrix számml vló szorzásár nézve. 3. Az [, b] hlmzon értelmezett folytonos függvények hlmz szokásos műveletekkel.

5 Lineáris kombináció foglm Az,,, n vektorok,,, n lineáris kombinációj z sklárokkl vett n n kifejezés. Megjegyzés:.) A kifejezés egy vektort htároz meg..) A,,, n sklárokt lineáris kombináció együtthtóink nevezzük.

6 Péld lineáris kombinációr Számítsuk ki z lábbi vektoroknk z = 3 és = sklárokkl vett lineáris kombinációját! 3 ;

7 Péld lineáris kombinációr

8 Lineáris függetlenség foglm Definíció. Az,, 3,..., n vektorok lineárisn független vektorrendszert lkotnk, h z α + α + α α n n = egyenlőség csk z α = α = α 3 =... = α n = esetben áll fenn. Megjegyzés. A lineáris függetlenség zt jelenti, hogy z,,..., n vektorokból nullvektort csk csup null sklárokkl vett lineáris kombinációvl (zz csk triviális lineáris kombinációvl) lehet előállítni.

9 Lineáris függőség foglm Definíció. Az,, 3,..., n vektorrendszer lineárisn függő, h nem lineárisn független. Megjegyzés. A lineáris függőség zt jelenti, hogy z,,..., n vektorokból nullvektort nem csk csup null sklárokkl vett lineáris kombinációvl lehet előállítni.

10 Példák lineáris függőségre, függetlenségre Állpítsuk meg, hogy z lábbi vektorok lineárisn függő vgy független vektorrendszert lkotnk-e! 3, 9 3 (3),, (), 4, () 3 3

11 Tételek. H z,, 3,..., n vektorrendszer lineárisn függő, kkor közülük leglább egy előállíthtó többi lineáris kombinációjként.. H egy vektorrendszer lineárisn függő, kkor újbb vektort hozzávéve vektorrendszer továbbr is lineárisn függő mrd. 3. H egy vektorrendszer lineárisn független, kkor bármely vektorát elhgyv vektorrendszer továbbr is lineárisn független mrd.

12 Példák lineáris kombinációr Vn-e olyn lineáris kombinációj z és vektorrendszernek, mely előállítj b vektort?,, b

13 Példák lineáris kombinációr Megoldás: b vektor nem állíthtó elő z és vektorok lineáris kombinációjként, mely úgy értelmezhető, hogy b nincs benne z, vektorok áltl kifeszített síkbn.

14 Példák lineáris kombinációr Vn-e olyn lineáris kombinációj z,, 3 vektorrendszernek, mely előállítj b vektort? 9 7, 5 3, 3 b és A megoldás során lklmzz Crmer-szbályt, mennyiben lehetséges!

15 Generátorrendszer Definíció. Az,, 3,..., n vektorrendszer generátorrendszer, h vektortér minden eleme előállíthtó z,, 3,..., n vektorok lineáris kombinációjként. Megjegyzés. A generátorrendszer elemeinek lineáris kombinációjként ugyn vektortér bármely vektor előállíthtó, de nem egyértelmű módon.

16 Bázis Definíció: Az,, 3,..., n vektorrendszer bázis, h lineárisn független és generátorrendszer. Megjegyzés: Az R 3 vektortér e, e, e 3 bázisát természetes bázisnk nevezzük. e e e 3

17 Péld A geometrii térben bázist lkot bármely három, nem egy síkbn fekvő vektor.

18 Dimenzió definíciój. H V vektortérnek vn véges sok elemből álló bázis, kkor véges dimenziósnk mondjuk.. A V vektortér n dimenziós, h benne lévő bázisok tgszám n.

19 Tétel - Dimenzió. Az n dimenziós V vektortér bármely vektor egyértelműen kifejezhető bázisvektorink lineáris kombinációjként.. Az n dimenziós V vektortérben legfeljebb n drb lineárisn független vektor lehet, zz z n dimenziós V vektortérben n-nél több vektor lineárisn függő vektorrendszert lkot.

20 Koordinát Definíció. H z,, 3,..., n vektorrendeszer V vektortér egy bázis, és x V esetén x = x + x + x x n n, kkor z x, x, x 3,..., x n számokt z x vektor,, 3,..., n bázisr vontkozó koordinátáink nevezzük.

21 Péld - Koordinát Állpítsuk meg P pont koordinátáit természetes bázisr vontkozón. A definíció lpján P pont koordinátái p = 3e +e lineáris kombináció együtthtói.

22 Péld - Koordinát Számítsuk ki b vektor koordinátáit z, vontkozón! bázisr 3 b és,

23 Péld Legyen dott z R 3 egy vektor: T = (,, 3). Tekintsük továbbá z R 3 két bázisát, melyek következők: () e, e, e 3 4, 5, 3 ) ( 3 Írjuk fel z vektor koordinátáit mindkét bázisr vontkozón!

24 Szemléltetés Bázisvektorok: e, e Bázisvektorok:,. Ennek htás: koordinát Rendszer nem derékszögű.

25 Altér definíciój Definíció: H V vektortérnek vn olyn részhlmz, mi szintén vektortér, kkor ezt ltérnek (vgy lineáris ltérnek) nevezzük. Megjegyzés: Az ltér olyn tuljdonságú, hogy z összedás és sklárrl szorzás nem vezet ki belőle, vgyis, h K V ltér, kkor minden x, y K esetén λ x + μ y K.

26 Generált ltér definíciój Definíció: Az,, 3,..., n vektorokkl generált ltéren z L(,,..., n ) = {α +α α n n α i R, i =,, 3,..., n} hlmzt értjük.

27 Rng definíciój Definíció: Az,, 3,..., n vektorrendszer rngján z L(,,..., n ) generált ltér dimenzióját értjük. Jele: rg(,,..., n ). Megjegyzés: A vektorrendszer rngj megegyezik benne lévő mximális számú lineárisn független vektorok számávl.

28 Komptibilitás definíciój Definíció: A b vektor komptibilis z,, 3,..., n vektorrendszerrel, h b L(,, 3,..., n ). Megjegyzés: A b vektor komptibilis z,, 3,..., n vektorrendszerrel, h előállíthtó zok lineáris kombinációjként.

Hasonló dokumentumok

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és