7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció

Átírás

1 7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, oldal.

2 Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy ekkor a v, v 2,..., v n vektorrendszer is bázis, és adjuk meg benne a v 1 vektor koordinátáit. Igazoljuk, hogy a v, v 2,..., v n vektorrendszer bázis. Mivel a vektorrendszer n elemű, így elég azt igazolni, hogy lineárisan független, ezt indirekt úton bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy nem lineárisan független, ez csak úgy lehet, hogy v előáll a többi lineáris kombinációjaként, hiszen v 2,..., v n egy bázis része, így lineárisan független. Ha v vektor előáll a v 2,..., v n lineáris kombinációjaként, akkor a v 1,..., v n bázisban a v 1 -re vonatkozó koordinátája 0. A koordináták megadása viszont egyértelmű egy bázisban, és a feltétel szerint v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ), így ellentmondásra jutottunk.

3 Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió Megadjuk a v 1 vektor koordinátáit v, v 2,..., v n bázisban. Azt tudjuk, hogy a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ), így: Ebből v 1 -et kifejezhetjük: v = v 1 + α 2 v α n v n. v 1 = v α 2 v 2... α n v n. Azaz a v 1 vektor koordinátáit v, v 2,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ).

4 Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 2. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy egy vektortér bármely lineárisan független vektorrendszere kiegészíthető bázissá. Bizonyítás: Ha v 1,..., v k egy lineárisan független vektorrendszer, akkor a rangja k. Ha nem bázis, akkor ez csak úgy fordulhat elő, hogy nem generátorrendszer, vagyis van olyan v vektor, amely nem eleme a [v 1,..., v k ] altérnek. Ekkor azonban a v 1,..., v k, v vektorrendszer is lineárisan független, és a rangja k + 1. Ezt a lépést ismételgetve a rang folyamatosan növelhető, míg el nem éri a vektortér dimenzióját, vagyis a lineárisan független vektorrendszer ki nem egészül bázissá.

5 Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 3. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy egy vektortér tetszőleges generátorrendszere tartalmaz bázist. Bizonyítás: Ha a v 1,..., v m generátorrendszer nem bázis, akkor szükségképpen lineárisan függő, és a rangja megegyezik a vektortér dimenziójával. Ha lineárisan függő, akkor van olyan vektora, amely előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként. Ha ezt a vektort elhagyjuk a vektorrendszerből, akkor az így keletkező vektorrendszer is generátorrendszer marad, hiszen a rang nem változik. Ezt a lépést addig ismételhetjük, amíg végül egy lineárisan független vektorrendszert kapunk, amelynek a rangja (és elemszáma is) megegyezik a vektortér dimenziójával, így szükségképpen bázis.

6 Definíció Elemi bázistranszformáció Elemi bázistranszformációnak hívjuk azt, amikor egy bázis valamelyik vektorát kicseréljük egy másik vektorra úgy, hogy a csere végrehajtása után is bázist kapunk. (Ezt úgy is szokás nevezni, hogy egy vektort beviszünk a bázisba.) Mi a feltétele annak, hogy a csere végrehajtása után kapott vektorrendszer is bázis legyen? Legyen a bázis v 1, v 2, v 3, valamint v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3. Kérdés, hogy a v, v 2, v 3 vektorrendszer bázis-e? Ehhez meg kell határozni a v, v 2, v 3 rangját. rang(v, v 2, v 3 ) = rang(α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3, v 2, v 3 ) = rang(α 1 v 1, v 2, v 3 ) hiszen a rang nem változik meg, ha egy vektorból kivonjuk más vektorok többszöröseit.

7 rang(v, v 2, v 3 ) = rang(α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3, v 2, v 3 ) = = rang(α 1 v 1, v 2, v 3 ), Ha α 1 = 0, akkor a fenti vektorrendszer rangja 2, hiszen az első vektora 0. Ha α 1 0, akkor a rangja 3, hiszen ekkor az első vektort 1 α 1 -gyel szorozva visszakapjuk a v 1, v 2, v 3 vektorrendszert. Megjegyzés Ha a v 1, v 2, v 3 bázis v 1 elemét a v vektorra cseréljük, pontosan akkor kapunk bázist, ha v vektor v 1 -re vonatkozó koordinátája nem nulla. (Lásd: 1. Gondolkodnivaló Bázis, dimenzió.) A következő tétel általánosan fogalmazza meg az előző megállapítást.

8 Bázistranszformáció Tétel Ha v 1,..., v n egy bázisa V -nek és v V, akkor a v 1,..., v i 1, v, v i+1,..., v n vektorrendszer pontosan akkor bázisa V -nek, ha a v vektor v i -re vonatkozó koordinátája nem 0. Tegyük fel, hogy bizonyos vektorok koordinátáit ismerjük a v 1,..., v n bázisra vonatkozóan. Meg tudjuk-e határozni a koordinátájukat az új bázisra vonatkozóan?

9 Legyen az eredeti bázis v 1, v 2, v 3, valamint v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3, így a koordinátasora (α 1, α 2, α 3 ), ahol α 1 0, az új bázis pedig legyen v, v 2, v 3. Mi lesz a w = β 1 v 1 + β 2 v 2 + β 3 v 3 vektor koordinátasora az új bázisban? Mivel v 1 = 1 α 1 v α 2 α 1 v 2 α 3 α 1 v 3, így w = β 1 ( 1 α 1 v α 2 α 1 v 2 α 3 α 1 v 3 Ezt átrendezve kapjuk: β 1 α 1 v + ( β 2 β 1α 2 α 1 ) + β 2 v 2 + β 3 v 3. ) ( v 2 + β 3 β ) 1α 3 v 3. α 1 Tehát w koordinátasora a v, v 2, v 3 bázisban: ( β1, β 2 β 1α 2, β 3 β ) 1α 3. α 1 α 1 α 1

10 Koordinátasor megadása Tétel Legyen v 1,..., v n egy bázisa V -nek, v koordinátasora pedig legyen (α 1,..., α n ), ahol α i 0. Legyen továbbá w koordinátasora (β 1,..., β n ) a v 1,..., v n bázisban. Ekkor a v 1,..., v i 1, v, v i+1,..., v n vektorrendszer is bázis, és a w vektor koordinátasora ebben a bázisban: ( β 1 β iα 1 β i,...,,..., β n β ) nα n. α i α i α i

11 Elemi bázistranszformáció a gyakorlatban Legyen e 1,..., e n bázis a V vektortérben, v 1,..., v k pedig vektorok V -ben. Ekkor a v 1,..., v k vektorok koordinátáit beírhatjuk egy táblázat oszlopaiba: a sorokat a bázis elemeivel címkézzük, az oszlopokat pedig a v i vektorokkal. Ha valamelyik v i vektort bevisszük a bázisba (valamelyik e j bázisvektor helyére), akkor a táblázatban szereplő koordináták megváltoznak, mégpedig az előző tételnek megfelelően.

12 Elemi bázistranszformáció a gyakorlatban Ha a megfelelő táblázat: v 1... v i... v k e 1 a a 1i... a 1k e j a j1... aji... a jk e n a n1... a ni... a nk, akkor v i pontosan akkor cserélhető ki e j -vel, ha a ji 0. Ezen a ji számot generáló elemnek nevezzük, és -gal jelöljük meg a táblázatban.

13 Elemi bázistranszformáció a gyakorlatban Ha a v i vektort bevittük a bázisba az e j vektor helyébe a következő új táblázatot kapjuk: e 1. v i. e n v 1... e j... v k a 11 a j1a 1i a ji... a 1i a ji... a 1k a jka 1i a ji... a j1 a ji... 1 a ji..... a jk a ji..... a n1 a j1a ni a ji... a ni a ji... a nk a jka ni a ji.

14 "Téglalapszabály" A "téglalapszabály" segítségével azon elemek számíthatók, amelyek nincsenek egy sorban, illetve oszlopban a generáló elemmel. Egy ilyen elem a generáló elemmel együtt egy téglalap két szemközti csúcsát adja: v 1 v 2 v 3 v 4 e 1 b. d. e e 3 a. c. Ebben az esetben az új táblázatban a d helyére d bc a más formában: ad bc a. kerül, vagy

15 A bázistranszformáció lépései A bázistranszformációt a következőképpen hajtjuk végre: választunk egy generáló elemet: olyan nem 0 számot, amely e-vel jelölt sorban, és v-vel jelölt oszlopban van, felcseréljük a generáló elem sor- és oszlopjelét, a generáló elemet lecseréljük a reciprokára, a generáló elem sorának többi elemét elosztjuk a generáló elemmel, a generáló elem oszlopának többi elemét elosztjuk a generáló elem 1-szeresével, a többi elemet a "téglalapszabállyal" számoljuk, ezt addig ismételjük, amíg tudunk generáló elemet választani.

16 Elemi bázistranszformáció Példa Egy elemi bázistranszformáció: v 1 v 2 v 3 e e e v 1 e 2 v 3 e v e Érdemes észrevenni, hogy a generáló elem oszlopának és sorának kivételével a többi elemmel pont az történt, mintha kinulláztuk volna a generáló elemmel az oszlopát. Bizonyos esetekben az elemi bázistranszformáció során el lehet (el kell) hagyni a generáló elem oszlopát. A következőkben nézzük az elemi bázistranszformáció néhány alkalmazását.

17 Rangszámítás Rangszámításkor a kérdéses vektorrendszert írjuk be a táblázat oszlopaiba, majd hajtsunk végre annyi elemi bázistranszformációt, ahányat csak tudunk. A bázisba bevitt vektorrendszer épp az eredeti vektorrendszer egy maximális lineárisan független részrendszere lesz. Példa Adjuk meg a (1, 1, 1, 0), ( 1, 0, 2, 1), (0, 1, 3, 1), (3, 2, 0, 1), ( 3, 1, 3, 2) vektorrendszer egy maximális lineárisan független részrendszerét elemi bázistranszformáció segítségével. Beírjuk a vektorokat egy táblázat oszlopaiba, majd generáló elemeket választunk, amíg csak tudunk.

18 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 e e e e v 1 e 1 v 3 v 4 v 5 v e e e v 1 e 1 e 4 v 4 v 5 v e e v

19 v 1 e 1 e 4 v 4 v 5 v e e v Vegyük észre, hogy nem tudunk több generáló elemet választani, hiszen a szóba jöhető helyeken (v-s oszlop, e-s sor) már csak 0-k vannak. Tehát a feladatot megoldottuk, egy maximális lineárisan független részrendszert adnak a bázisba bevitt vektorok: tehát a vektorrendszer rangja 2. v 2, v 3,

20 Valójában a rangszámítás éppen egy olyan feladat, ahol nincs szükség a generáló elem oszlopára, így az elhagyható: v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 e e e e v 1 v 3 v 4 v 5 v e e e v 1 v 4 v 5 v e e v

21 Észrevételek A generáló elem törtek nevezőjében szerepel, így érdemes 1-et, vagy 1-et választani generáló elemnek. Az elemi bázistranszformáció és a Gauss-elimináció majdnem ugyanaz: ahol az egyik használható, ott a másik is, azonban az elemi bázistranszformáció előnye, hogy itt a generáló elem szabadon választható.

22 Lineáris egyenletrendszer megoldása Lineáris egyenletrendszert is meg lehet oldani elemi bázistranszformációval: Beírjuk az egyenletrendszer mátrixát egy táblázatba, majd végrehajtjuk a bázistranszformációt. A kötött változók a bázisba bevitt változók lesznek, míg a szabad változó a többi változó. Az ellentmondó sor ugyanúgy néz ki, mint a Gauss-elimináció esetében. FONTOS!!! Ha lineáris egyenletrendszert oldunk meg elemi bázistranszformációval, akkor a generáló elem oszlopát el KELL hagyni.

23 Példa Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert: 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 x 4 = 3 4x 1 + 5x 2 3x 3 + 2x 4 + x 5 = 4 7x 1 6x 2 4x 3 + 3x 4 + 3x 5 = 2 6x 1 + 3x 2 5x 3 + 4x 4 + 4x 5 = 3 Beírjuk táblázatba: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b e e e e

24 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b e e e e x 1 x 2 x 3 x 5 b x e e e x 1 x 2 x 5 b x x e e x 1 x 2 b x x x e

25 x 1 x 2 b x x x e A megoldás során nem találkoztunk ellentmondó sorral, és az eljárás véget ért (nincs több generáló elem), ezért van megoldás. A kötött változók: x 3, x 4, x 5, és a kifejezésük a szabad változókkal: x 3 = x 1 33x 2, x 4 = x 1 62x 2, x 5 = 3 12x x 2. Figyeljünk az előjelváltásra! A második függőleges vonala táblázatban az egyenletek egyenlőségjelének felel meg, a szabad változókat pedig a konstans oldalára kell vinni.

26 Gauss-elimináció vs elemi bázistranszformáció A két módszer lényegében ugyanaz, de mindkettőnek vannak előnyei és hátrányai is. Az elemi bázistranszformáció előnye, hogy a generáló elem BÁRHONNAN választható, nem szükséges az első lépésben az első oszloppal dolgozni.

27 Példa Oldjuk meg a következő egyenletrendszert Gauss-eliminációval és elemi bázistranszformációval is: 29x x 2 + 3x 3 = 8 19x x 2 + 2x 3 = 5 8x x 2 + x 3 = Tehát a megoldás: (0, 1, 9)

28 Elemi bázistranszformációval: x 1 x 2 x 3 b e e e x 1 x 2 b e e x x 1 b e x x x 1 0 x 2 1 x 3 9 Tehát a megoldás (0, 1, 9).

29 A Gauss-eliminációval előnye viszont az, hogy van lehetőségünk 1-est előállítani, ha esetleg nincs az eredeti feladatban. Példa Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 18x 1 + 9x x 3 = 50 17x x x 3 = 42 21x x 2 10x 3 = 31

30 =

31 A megoldás: (1, 1, 1). Házi feladat végigszámolni elemi bázistranszformációval. A VIZSGÁN SZÁMOLÓGÉP NEM HASZNÁLHATÓ!!!

32 Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez nem szabályos, és hajtsunk végre két elemi bázistranszformációt egymás után ugyanazon a helyen lévő generáló elemmel. Igazoljuk általánosan, hogy így a táblázat nem változik. Példa: x 1 x 2 e e x 1 e 2 e x x 1 x 2 e e 2 3 1

33 Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 2. Gondolkodnivaló Előfordulhat-e elemi bázistranszformáció során, hogy bizonyos elemek nem változnak? Ha igen, akkor mely elemekkel fordulhat elő, és milyen esetekben?

34 Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 3. Gondolkodnivaló Döntsük el, hogy igazak-e a következő állítások. (A válaszokat indokoljuk.) Ha a v vektor koordináta sora (2, 5, 1) a v 1, v 2, v 3 bázisban, akkor a v bevihető a bázisba bármely bázisvektor helyére. Bármely nem-0 vektor bevihető a bázisba, azaz kicserélhető valamely elemével. Elemi bázistranszformációnál a táblázat bármely nem-0 eleme választható generáló elemnek.