l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

Átírás

1 l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot. Ezeket számpárokt tekinthetjük úg, mint eg sík pontjink koordinátáit. A kétváltozós függvének ennek síknk pontjihoz rendelnek hozzá eg hrmdik koordinátát, eg mgsságot. P 0, 0, z0) Az értelmezési trtomán minden pontjához hozzárendelve ezt hrmdik, mgsság koordinátát, kirjzolódik z, sík felett függvén, mi eg felület., 0 0 ) Az egváltozós függvének izonos tuljdonsági átörökíthetőek kétváltozós esetre, míg vnnk oln tuljdonságok, mik nem. Nincs értelme például kétváltozós eseten monotonitásról eszélni, eg felületről ugnis nehéz lenne eldönteni, hog éppen nő-e vg csökken. A htárérték és mteking.hu foltonosság, sőt deriválhtóság foglm ugnkkor átörökíthető. Az, ) f függvén htárértéke z, helen C vlós szám, h minden 0 hog h,) eleme z, hel sugrú körnezetének, és,), kkor Jelölés:, Az, ) f, ) C ), ) f függvén foltonos z, helen, h minden 0 eleme z, hel sugrú körnezetének, kkor esetén létezik 0, f, ) C esetén létezik 0, hog h,) f, ) f,. A differenciálhtóság definíciójánk átörökítése már sokkl izglms üg. A derivált geometrii jelentése egváltozós függvének esetéen z érintő meredeksége. Ezt kétváltozós esetre úg ültethető át, hog z érintősík meredeksége, cskhog eg síknk nincsen meredeksége. Egenlete viszont vn, tehát ezt kis prolémát úg tudjuk elintézni, hog mgát z érintősíkot állítjuk elő. Annk érdekéen, hog mindez érthető legen, menjünk vissz z egváltozós függvénekhez és gondoljuk át először náluk, hogn is lehet deriváltt kicsit másképpen értelmezni. H z f) függvén differenciálhtó -n, kkor z, mmn f)) pontn grfikonhoz húzott érintő egenlete f ) f ). f ) f ) Ez z érintő -hoz közeli heleken ngon közel vn mgához függvénhez. Oln közel, hog h, kkor függvénnek és z érintőnek különsége még )-vl osztv is nullához trt. f ) f ) f ) 0

2 Tuljdonképpen ezt is tekinthettük voln egváltozós függvének esetéen differenciálhtóság definíciójánk. Az f függvén differenciálhtó z helen, h létezik oln A vlós szám, hog f ) A f ) 0 Itt z A f ) függvén legjo lineáris közelítése, mi nnit tesz, hog eltérése mgától függvéntől esetén még )-vl osztv is nullához trt. Néhán pró átlkítást elvégezve, és figeleme véve, hog f ) A rögtön látszik, ez definíció differenciálhtóság áltlunk korán megdott definíciójávl ekvivlens. 0 f ) A f ) f ) f ) A ) f ) f ) A Az új definíciónk viszont megvn z rendkívül előnös tuljdonság, hog könnedén átörökíthető kétváltozós függvénekre is. Az f, ) kétváltozós függvén kkor legen differenciálhtó z, helen, h létezik ott érintősíkj, vgis létezik oln sík, mel z, pont eg körnezetée eső, ) pontokr ngon közel vn mgához függvénhez. Oln közel, hog, z, és z, ) pont távolságávl elosztv is nullához trt., esetén távolságuk, még f, függvén kkor differenciálhtó z, helen, h léteznek Mindezt képlettel leírv, z ) mteking.hu oln A és B vlós számok, hog f, ) A B,, ) Azokr z, ) f, 0. f függvénekre, melekre ilen érintősík létezik, zt mondjuk, hog z, pontn totálisn differenciálhtók. A kétváltozós függvének esetéen vn differenciálhtóságnk eg másik fjtáj is, prciális differenciálhtóság, mi lénegéen zt jelenti, hog csk vlmel koordinát szerint deriváljuk függvént. Az, ) f függvén prciálisn differenciálhtó z koordinát szerint z, helen, h z f, egváltozós függvén differenciálhtó -n, és prciálisn differenciálhtó z koordinát szerint, h z f, ) egváltozós függvén differenciálhtó -en. TOTÁLIS DIFFERENCIÁLHATÓSÁG: Az f, ) h léteznek oln A és B vlós számok, hog f, ) A B f,,, ) függvén totálisn differenciálhtó z, helen, 0 PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLHATÓSÁG: Az f, ) függvén szerint prciálisn deriválhtó z, helen, h létezik és véges f, f, Az szerinti prciális derivált jelölése, ) vg f, ) vg f, ) f Az f, ) függvén szerint prciálisn deriválhtó z, helen, h létezik és véges f, ) f, Az szerinti prciális derivált jelölése f, ) vg f, ) vg f, )

3 A totális deriválhtóság és prciális deriválhtóság közt szoros kpcsolt vn. H, ) f totálisn differenciálhtó z, helen, kkor és szerint prciálisn differenciálhtó z, helen, és totális differenciálhtóság definícióján szereplő A és B számok éppen megegeznek prciális deriváltkkl:, A és, B f f A megfordítás nem igz, vgis h eg függvén vlmel helen és szerint prciálisn differenciálhtó, ól nem következik, hog totálisn is differenciálhtó. Lássunk eg példát totális differenciálhtóság vizsgáltár. Nézzük meg például, hog totálisn differenciálhtó-e z f, ) p, ) pontn. Akkor totálisn deriválhtó, h létezik oln A és B szám, hog f, ) A B ) f,) 0,, ) ) Az előző tétel lpján pedig zt is tudjuk, hog hol kell ezeket z A és B számokt keresnünk. Ők ugnis éppen prciális deriváltk lesznek. f, ) A f,) mteking.hu f, ) B f,),, ) ) ) 0 A htárérték epszilon-deltás definícióját fogjuk hsználni. Azt kell igzolnunk, hog h,) eleme p, ) pont sugrú körnezetének, vgis ) ) kkor ) ) ) mmn Most űvészmuttvánok következnek, előszöris felontjuk zárójeleket, ztán kicsit átrendezünk. ) ) ) ) 7 ) ) ) Új trükkök jönnek ) ) ) ) ez még könnű: n ez már érdekese: ) 8

4 mmn mteking.hu Jelen pillntn tehát ott trtunk, hog kiderült, ) ) ) ) ) Ez igzán ngszerű. Megint űvészmuttvánok következnek, lpján ) ) ) ) ) ) h nevezőt csökkentjük, zzl felső ecslést kpunk ) ) Most éppen tehát ddig jutottunk, hog ) ) ) űvészmuttvánok Mivel pedig tudjuk, hog ) ) ezért és vlmint lpján Ekkor ) ) ) Itt vlmi kicsi szám, vgis egnél mindenképpen kise, ekkor pedig 8 Kiderült tehát, hog ) ) ) űvészmuttvánok 8 H most zt mondjuk, hog 8, kkor éppen zt kpjuk, mit igzolni szeretnénk, feltéve, hog még esetleg emlékszünk rá mi is volt z. Azt krtuk igzolni, hog ) ) esetén 8 ) ) )

5 Az R R függvének differenciálhtóságánk definícióját áltlánosíthtjuk tetszőleges R n R függvénekre. A definíció kétváltozós eseten úg szólt, hog f differenciálhtó z, helen, h léteznek oln A, B vlósok, hog f, ) A B f, 0.,, ) Az egszerűség kedvéért legen, és, ) definíción szereplő A-) B- kifejezést pedig tekintsük úg, mint A-) B- A,, A, ) skláris szorztot, nevezően szereplő. ) ) kifejezés pedig A definíció ekkor következőképpen írhtó. Az f függvén differenciálhtó z helen, h létezik oln l A, vektor, hog f ) l 0. Ez definíció áltlánosíthtó z mteking.hu Az f,, n l A A A, R vektor, hog f ) l n R n R esetre. R n függvén differenciálhtó z, 0. Megmutthtó, hog itt A f ). i i helen, h létezik oln n k Tová áltlánosítv evezethetjük z R R függvének foglmát. Ezek függvének tuljdonképpen k dr R n R függvénől tevődnek össze, meleket z eredeti függvén koordinátfüggvéneinek nevezzük., n Az f n k R R függvén tehát f ) f ), f ),, f n ) lkn írhtó. 5