Emelt szintő érettségi tételek. 19. tétel: Vektorok. Szakaszok a koordinátasíkon. Irányított szakasz, melynek állása, iránya és hossza van.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Emelt szintő érettségi tételek. 19. tétel: Vektorok. Szakaszok a koordinátasíkon. Irányított szakasz, melynek állása, iránya és hossza van."

Renáta Bakosné
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 19. tétel: Vektrk. Szkszk krdinátsíkn. Vektr: Iráníttt szksz, melnek állás, irán és hssz vn. Jele: v = AB Vektr bszlút értéke: A vektrt meghtárzó iráníttt szksz ngság. Jele: v = AB Vektrk kölcsönös helzete: 1. Két vektr párhuzms vg egállású, h z ıket meghtárzó iráníttt szkszk egenesei párhuzmsk.. Az és b vektrk egiránúk, h párhuzmsk és ugnbb z iránb muttnk.. Két vektr ellentétes iránú, h párhuzmsk, de nem egiránúk. 4. Két vektr egenlı, h iránuk, állásuk, és ngságuk egenlı. (Azz vektrk önmgukkl párhuzmsn szbdn eltlhtók.) Nullvektr: Oln vektr, melnek bszlútértéke 0. Irán és állás tetszıleges. Jele: 0, 0 = 0 Ellentettvektr: Oln vektr, melnek állás és ngság megegezik eg dtt vektrrl, de irán más. Jele: v Vektrmőveletek: 1. Vektrösszedás: Hármszög módszer: Az egik vektr kezdıpntját másik végpntjáb tljuk, és z összegvektr z eredeti kezdıpntjából mutt z eltlt vektr végpntjáb. Prlelgrmm módszer: (csk nem egállású vektrkhz) A két vektrt közös kezdıpntb tljuk, és z összegvektr közös kezdıpntból mutt z áltluk meghtárztt prlelgrmm szemközti csúcsáb. A vektrösszedás kmmuttív és sszcitív, vgis: Tvábbi znsságk: + 0=, + = ( ) 0 + ( + b) + c= + ( c)

2 . Vektrkivnás: A vektrkt közös kezdıpntb tljuk, és különbségvektr kivnndó vektr végpntjából mutt kisebbítendı vektr végpntjáb. Tuljdnsági: + ( b) nem kmmuttív. Vektr sklárrl vló szrzás: Vektr szrzt sklárrl ln vektr, melnek állás megegezik z eredeti vektr állásávl, irán sklár szrzó elıjelétıl függıen megegezı ( λ > 0), vg ellentétes ( λ < 0 ) z eredeti vektrévl, és hssz z eredeti vektr hsszánk és sklár bszlút értékének szrzt. Azz: λ v v és λ v = λ v λ R Tuljdnsági: λ + b =λ +λ λ +µ =λ +µ µ ( λ ) = ( µ λ) 0 v= 0, 1 v= v ( ) b ( ), ( 1) v= v 4. Vektrk skláris szrzt: (eredméne eg sklár) Két vektr skláris szrzt két vektr hsszánk és vektrk áltl közbezárt szög kszinuszánk szrzt. b csϕ, hl 0 ϕ< 180 Tuljdnságk: b (kmmuttív) (de nem sszcitív) ( + b) c= c+ b c (disztributív) λ b = λ b = λ ( ) ( ) ( ) b Tétel: Két vektr skláris szrzt kkr és csk kkr 0, h két vektr merıleges egmásr. Azz: 0 ϕ= 90 Biz: H két vektr merıleges egmásr, kkr b cs90 = 0. A skláris szrzt csk úg lehet 0, h vlmelik ténezıje 0. Azz: b csϕ= 0, kkr = 0 vg b = 0 vg cs ϕ = 0. H vg b vektr hssz null, kkr vlmelik nullvektr, minek irán tetszıleges, tehát merılegesek. H cs ϕ = 0, kkr pedig ϕ = 90. Megjegzés1: Megjegzés: < b> 0 ϕ 90 és = = cs0 = > b< 0 ϕ 90 is igz (vektr négzete hsszánk négzete)

5. Vektrk vektriális szrzt: Az és b vektrk b vektriális szrzt ln vektr, melnek irán mindkét ténezıre merıleges,, b és b (ebben srrendben) jbbrendszert lkt és b hssz: b = b sinϕ, hl ϕ z és b vektrk

3 5. Vektrk vektriális szrzt: Az és b vektrk b vektriális szrzt ln vektr, melnek irán mindkét ténezıre merıleges,, b és b (ebben srrendben) jbbrendszert lkt és b hssz: b = b sinϕ, hl ϕ z és b vektrk hjlásszöge Tuljdnsági: nem kmmuttív b = ( b) nem is sszcitív de leglább disztributív Vektrk felbntás kmpnensekre: Legen dtt sík két, nem egállású vektr és b. Ekkr sík bármel vektr felbnthtó vl és b vel párhuzms összetevıkre, és ez felbntás egértelmő. Azz: v hez! λ; µ R, hg v= λ +µ b A felbntásbn és b vektrk bázisvektrk, v ( λ;µ ) v vektr krdinátái. Vektrk krdinátsíkn: A Descrtes-féle krdinátrendszerben legenek bázisink z egmásr merıleges, egségni hsszúságú i és j vektrk. Íg P ( λ; µ ) pntb muttó helvektr krdinátái: mivel OP= v=λ i +µ Mőveletek krdinátákkl: ; b ; Legen ( ) és ( ) 1 1 j, ezért v ( λ ; µ ).. Ekkr vektrmőveletek krdinátánként is elvégezhetık 1. Vektr hssz: = Vektr frgtás 90 -kl: ( ; ) ( ; ) és + ( ; ) (mivel z ábrán lévı jelölt szögő -ek egbevágók). Összedás, kivnás: + ( + ; + ) és ( ; ) 4. Szrzás sklárrl: λ = ( λ ; λ ) Skláris szrzt: Tétel: + Biz: b = ( i+ j) ( i+ j)= (skláris szrzás disztributív) = i 1 i + i j+ i j+ j = + = j = 1 mivel egségni hsszúk, és i j= 0, mert merılegesek

4 Szkszk krdinátsíkn Def.: Krdinátrendszer: Vegünk fel két egmásr merıleges, iráníttt, egséggel elláttt egenest. Az egeneseket krdinát-tengeleknek, O metszéspntjukt rigónk nevezzük. Az íg elıállíttt tengelrendszert derékszögő- vg Descrtesféle krdinátrendszernek nevezzük. Def.: Rendezett pár: Legen A és B két hlmz. Az (;) számkmbinációt rendezett párnk nevezzük, h z elsı elemét A-bıl, másdikt B-bıl válsztjuk. Az összes ilen rendezett pár egütt B A B= ; A és B, íg sík R R= R. Pnt krdinátgemetriáj: A, ( ) { } Def.: Pnt krdinátái: Eg pntnk tengelektıl mért elıjeles távlságát pnt krdinátáink nevezzük. Eg pnt krdinátái ln rendezett párk, meleknek elsı tgj z tengel másdik tgj z tengel egik pntj. Tétel: Két pnt távlság: d(a;b) ( b ) + ( b ) = AB=, 1 1 hl A( 1 ; ) és B(b 1 ;b ). Két pnt távlság megfelelı krdináták különbségének négzetösszegébıl vnt gök. Biznítás: OA= = (1; ) illetve OB= (b1;b ) helvektrk Íg AB= b = (b1 1;b ) és ennek vektrnk hssz: d(a;b) = AB= ( b ) + ( b ) 1 1 Tétel: Tetszıleges sztópnt krdinátái: n + m n + m P 1 1 n+ m n+ m, hl P z A( ; ) 1 1 és B( ; ) pntkt összekötı szksz m : n ránú sztópntj.

5 Biznítás: m Ekkr teljesülnek következık: AB= b és AP = AB m+ n Ezek lpján pedig ( fentieket beírv, s z átlkításkt elvégezve): n + m b n + m n m p= + AP=, hnnn P n+ m n+ m n+ m + Tétel: A( 1 ; 1 ) B( ; ) szksz felezıpntjánk krdinátái: FAB Tehát felezıpnt krdinátái végpntk megfelelı krdinátáink átlg. Biznítás: Ekkr z m:n rán 1:1, P helett legen F és p helett f z Tétel: Hármszög súlpntjánk krdinátái: S, hl A( ; 1), B( ; ) és C( ; ) csúcsi. Tehát hármszög súlpntjánk krdinátái csúcsk megfelelı krdinátáink számtni közepei. Biznítás: A súlpnt hrmdlj súlvnlkt, úg, hg ngbb rész csúcshz, kisebb rész pedig z ldlfelezı pnthz esik közelebb. Legen F BC ldl felezıpntj. c Az F-be muttó helvektr: f = A hármszög súlpntj z AF súlvnlnk :1 ránú sztópntj éppen súlpnt. + f + c Az S pntb muttó helvektr tehát: s= = z Íg z S pnt krdinátái S Alklmzásk: - kszinusztétel vektrs biznítás - gemetrifeldtk vektrs vg krdinátgemetrii megldás - eltlás, mint gemetrii trnszfrmáció - krdinátgemetrii számításk - egenes állásár jellemzı vektrk - két vektr v. egenes bezárt szöge (skláris szrzt kétféle kiszámítási módj) - fizik: - vektrmenniségek összegzése (erık, sebességek) - vektrmenniségek sklárrl vló szrzás ( F= m ) - vektrmenniségek skláris szrzt (munk) - vektrmenniségek vektriális szrzt (Lrenz-erı, frgtónmték) - kémi: dipólusmmentum-vektr (mlekulák plritásánk meghtárzás) - gedézi, térképészet (távlságmeghtárzásk)

Hasonló dokumentumok

13. tétel: Derékszögő háromszög

13. tétel: Derékszögő háromszög . tétel: Derékszögő hármszög Derékszögő hármszög: Olyn hármszög, melynek egyik szöge derékszög ( 90 ). A másik két szög egymás pótszöge, összegük α +β=90. A derékszöget ezáró ldlk efgók, derékszöggel szemen