Matematika szintfelmérő szeptember

Átírás

1 Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt közül mindenkinek ízlett legalább az egik. Menni annak a valószínűsége, hog eg véletlenül kiválasztott személnek mindkét gümölcsfaglalt ízlett? A tetszőlegesen kiválasztott személekre legen A esemén, hog az eprest szeretik, legen B esemén, hog a citromost szeretik. A szöveg alapján tudjuk, hog pa 0,, pb 0,94 és pab 1. Mivel pa B pa pb pab, az ismert értékeket behelettesítve: 10, 0,94 p AB. Ebből pab 0,76. Vagis eg véletlenül kiválasztott személ 0,76 valószínűséggel szereti mindkét gümölcsfaglaltot.. Határozza meg a kx (k 3) x k 3 0 egenletben szereplő k valós paraméter értékét úg, hog az egenletnek pontosan eg valós megoldása legen. Ha k = 0, akkor a 3x 3 0 elsőfokú egenletről van szó, és ennek az x 1 az egetlen göke. Ha k 0, valódi másodfokú egenletről van szó, és annak akkor van pontosan eg valós megoldása, ha a diszkriminánsa 0, azaz (k 3) 4 k( k 3) 0. Elvégezve a műveleteket: 4k 1k 9 4k 1k 0, 9 3 vagis 4k 9, ahonnan k Ekkor az egenlet x ( 3) x 3 0, amel ekvivalens az x ( ) x10egenlettel, amelnek egetlen göke az x 3. 3 Az egenletnek tehát a k és a k = 0 paraméterértékekre van pontosan eg valós göke. 9 pont

2 3. Oldja meg az alábbi egenletrendszert a valós számpárok halmazán: log ( x ) log ( x ) 1, x. Átalakítjuk az egenleteket a logaritmus azonosságainak felhasználásával. Az 1. egenlet: x log 1, x tehát x, x azaz x x, ahonnan x 3. Ezt a második egenletbe helettesítve (3 ), azaz 1,, 4 tehát 1 A negatív gök esetén x+ = 4 is negatív lenne, amire az eredeti első egenletben szereplő logaritmus nincs értelmezve. Az egenletrendszer egetlen 3 1 lehetséges megoldása megoldása az x, számpár, és ez ki is elégíti az egenleteket. 1 pont 4. Oldja meg a következő egenletet a valós számok halmazán: x x. Bevezetjük az 3 u x változót. Ekkor a 1u u 4 egenletet kell megoldani. Ennek pozitív göke az Valóban, és u, amiből, tehát a különbségük 5. Oldja meg a következő egenletet a valós számok halmazán: x pont

3 A átrendezésből látszik, hog. Négzetre emelés és rendezés után a megoldandó egenlet Az a = sinx új változó bevezetése után a egenlet gökeit keressük, ezek és. Az értékhez a azaz göksorozat tartozik. Az értékhez két sorozat is tartozik. Az egik a sorozat, de erre nem teljesül a feltétel ( ), íg nem ad gököt. A másik sorozat a, amelre teljesül a feltétel, tehát is eg göksorozat. 6. Kovács úr a fia 6. születésnapján Ft-ot helezett el a bankba évi 5,5%-os kamatra. Ezt követően a fiú minden születésnapján újabb Ft-ot tett az összeghez. Menni pénz lesz a számlájukon a fiú 1. születésnapján? (A számlavezetési költségektől eltekintünk.) Jelölje a Ft induló összeget A, a Ft évenkénti befizetést B. A fiú 1 év múlva lesz 1 éves. Felírjuk évenként a bankban levő pénzösszeget: 1 év után: A1,055 B év után: ( A1,055 B) 1,055 B A1,055 B1,055 B 3 3 év után: A1,055 B1,055 B1,055 B év után: A1,055 B1,055 B1,055 B1,005 B stb. 1 év után: A1,055 B1,055 B1,055 B1, B1,055 B. Ez eg 13 tagú összeg. A B-t tartalmazó 1 tag eg mértani sorozat összege, amelnek első tagja B, hánadosa pedig 1,055. Tehát az összeg ,055 1 A1,055 B(1 1,055 1, ,055 ) A1,055 B 1, A konkrét összegekkel: 1 1 1, , ,055 Kovács úr fia 1. születésnapján kb Forintot vehet fel a bankból.

4 7. Eg háromszög két csúcspontja és. A háromszög harmadik csúcsán átmenő szögfelező egenes egenlete. Írja fel a harmadik csúcs koordinátáit és a háromszög köré írt kör egenletét. Ha eg szög egik szárán levő pontot tükrözünk a szögfelezőre, akkor a tükörkép a felezett szög másik szárára kerül. Az A pont tükörképe az x 1 szögfelezőre az A (1;1) pont. A háromszög C csúcsa a BA oldalegenes és az x 1 szögfelező egenes metszéspontja. A BA egenes egenlete: x, tehát a C csúcs koordinátái. Az AB szakasz felezőpontja (;4), az AB szakaszfelező merőlegesének egenlete. Az AC szakasz felezőpontja (-; 0), az AC szakaszfelező merőlegesének egenlete. A két felezőmerőleges metszéspontja a (, 4) pont, ez a háromszög köré írt kör középpontja. A kör sugara a (, 4) felezőpont és a csúcs távolsága, Az ABC háromszög köré írt kör egenlete Megjegzés: Az AC és BC oldalak merőlegesek egmásra, íg a köré írt kör középpontja AB felezőpontja, sugara AB fele.. Adott két olan kör, ameleknek a közös belső érintőik merőlegesek egmásra. Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, amelnek derékszögű csúcsa a két belső érintő metszéspontja, befogói a belső érintőkre, az átfogója pedig az egik külső érintőre illeszkedik. Bizonítsa be, hog ennek a derékszögű háromszögnek a területe megegezik a körök sugarainak szorzatával. 15 pont

5 A körök sugarai r 1 és r, a középpontjaik O 1 és O és a kérdéses háromszög csúcsai A, B, C, a derékszög C-nél van. Belátható, hog az AO 1 C és az O BC háromszögek hasonlók. (Például a szögek vizsgálatával: ha az A-nál levő szög, akkor az AO 1 C szög és az O BC szögek nagsága egaránt A megfelelő oldalak arána CA : CO 1 = CO : CB, ami szorzat alakban CA CB = CO 1 CO. Tudjuk még, hog és. Ezekből amit a terület képletébe beírva Megjegzés: Többféle megoldás lehetséges.