Kidolgozott feladatok a gyökvonás témakörhöz (10.A osztály)

Átírás

1

2 1. Számítsuk ki a következő szorzatok értékét! (a) (b) Számítsuk ki a következő hánadosokat! (a) (b) Döntsük el, melik szám a nagobb! (a) ( 3) vag ( ) 3 (b) Mivel tudjuk, hog a négzetgökvonás és a hatvánozás felcserélhető műveletek, felírhatjuk a következőt: 3 vag 3 Mivel 3 3 és 3 1 azt kell eldöntenünk,hog 3 vag 1 a nagobb. A matematikailag inkorrekt, de rendkívül egértelmű válasz erre a kérdésre az, hog az a nagobb, ameliknél nagobb szám van a négzetgök alatt. Tehát a 3 3 a nagobb. A matematikailag korrekt érvelés/megfogalmazás a következő képpen hangzik: Mivel a függvén szigorúan növekszik, a 3 a nagobb. 3 vag Tehát azt kell eldöntenünk, hog Mivel 3 vag 3 1 és 1. nagobb. (c) A függvén szigorúan nő, ezért a 1 nagobb. Tehát a 3 nagobb,. mint 1 1 vag ( ) ( ) , 1 Ez azt jelenti, hog a nagobb

3 1. Végezzük el a következő műveleteket! (a) ( 3 + 1) (3 3) Ennek a feladatnak a megoldásánál egetlen eg dolgot nem szabad elfelejtenünk, mégpedig hog többtagú kifejezés szorzásánál többtagú kifejezéssel minden tagot megszorzunk minden taggal. ( 3 + 1) (3 3) 3 3 ( 3 3) } 3 {{ 3 } Végeredmén: ( 3 + 1) (3 3) 3 1 (b) ( 3 ) Ebben a feladatban csak azt kell felidéznünk, milen nevezetes azonosságokat tanultunk kilencedik osztálban. A kulcs ennek a feladatnak a megoldásához az (a b) a ab + b nevezetes azonossághoz. Ha azt csináljuk, amit a nevezetes azonosság "mond", nem okozhat problémát a feladat megoldása ) ) (3 ) ( 3 ) ( ( (a b) a ab + (3 ) b Szorzatok hatvánozásakor a szorzat minden kitevőjét az adott hatvánkitevőre kell emelnünk: ( ) ( ) Mivel a négzetre emelés és a négzetgökvonás "semlegesítik" egmást, valamint ab a b teljesül, felírhatjuk a következőt: Végeredmén: ( 3 ) 3 1 (c) Annak ellenére,hog ez a feladat első ránézésre elég "hardcore"-nak tűnhet, nem szabad megijednünk tőle, uganis ennek a feladatnak is az a lénege, hog felelevenítsük a nevezetes azonosságokról szerzett ismereteinket. Ebben a feladatban az a b (a b)(a + b) nevezetes azonosságot fogjuk alkalmazni a+b 13 3 a b nev.az. Innentől kezdve csak számolnunk kell. ( 13) ( 13) 3 a b Végeredmén:

4 1. Írjuk fel a következő kifejezéseket gökjel alá vitellel egszerűbb alakban! (a) 3 (b) Ha a szám, amivel a gökös kifejezésünket szorozzuk pozitív, az eljárás rendkívül egszerű. Mivel a négzetgökvonás és a négzetre emelés "kiütik" egmást, felírhatjuk a 3-at, mint 3. Tehát négzetre emeljük, majd egből gököt vonunk belőle, hiszen íg értéke változatlan marad. Ha felírtuk a 3-at ebben a rafinált alakban, alkalmazhatjuk a gökvonás azonosságait és megkapjuk a kívánt végeredmént , > 0 Az eljárás uganaz, mint az előző feladatban. Mivel az, > 0 az tört is pozitív előjelű, tehát probléma nélkül bevihető a gök alá. ( ) ( ). Végezzük el a következő műveletet! Első lépésként felírjuk a gök alatti számok prímténezős felbontását: Azért írtuk át -ont -ra, hog teljesen egértelműen látszódjon, ahog a négzetgökvonás és négzetre emelés "kiütik" egmást } {{ } Végeredmén: Göktelenítsük a tört nevezőjét Ebben a részben úg alakítunk át törteket, hog azoknak a nevezőjéből eltűnjön a gökjel. (a) Két dolgot kell ennek a feladatnak a megoldásánál figelembe vennünk. Az egik, hog ha eg számot megszorzunk eggel, értéke nem változik. A másik, hog általánosan teljesül, ha > 0. Jelen esetben, megszorozzuk az törtet 1-gel, de az eget eg rendkívül rafinált formában írjuk fel, mégpedig mint.

5 1. Göktelenítsük a tört nevezőjét 3 7+ A tört nevezőjének göktelenítése "bonolultabb" nevező esetében az a b (a b)(a + b) nevezetes azonosság segítségével történik. A fentiekhez hasonlóan, a törtemet megint eggel szorzom meg, íg értéke nem változik ( 7 ) 9 ( 7 3( 7 ) ( 3( 7 ) 7) ) 3. Feldat: Írjuk fel egszerűbb alakba a következő kifejezést! (1 +1 ) 1 Mivel (1 ) negatív, nem szabad úg bevinni a gök alá, mint az előző feladatokban. Ennél a példánál picit találékonabbnak kell lennünk. (a) Göktelenítjük a gökalatti kifejezés nevezőjét az a b (a b)(a+b) nevezetes azonosság segítségével! ( +1)( +1) 1 ( +1) (b) A fenti számolásnak megfelelően átírjuk az eredeti feladatot! (1 ) +1 1 (1 ) (c) Alkalmazzuk a gökvonás azonosságait! ( +1) (1 ) ( +1) (1 ( +1) ) A négzetgökvonás és négzetre emelés "semlegesítik"/ "kiütik" egmást, ezért felírhatjuk a következőt: (1 ) ( +1) (1 ) ( +1) (d) A fenti egenletet felírhatjuk a következő képpen: (1 ) ( +1) (1 )( +1) (1 )(1+ ) (e) Újfent alkalmazzuk az a b (a b)(a + b) nevezetes azonosságot! 1 (f) Végeredmén: (1 ) +1 1

6 1. Döntsük el,melik szám a nagobb! 7+ vag + Először göktelenítjük a 7+ nevezőjét: 7+ } 7 {{ + } a+b 7 Most göktelenítjük a 7 7 a b + nevezőjét: ( 7 ) 7}{{ } a b ( 7 ) + } {{ + } a+b ( ) a b ( ) }{{ } a b Tehát már csak azt kell eldöntenünk, hog 7 vag nagobb. Mivel a mindegik kifejezésben előfordul, ezt mellőzhetjük. Tehát 7 és maradnak. Mivel a függvén szigorúan növekszik, egértelműen kijelenthető, hog a nagobb, tehát: 7+ < +. Végezzük el a következő műveletet! Először közös nevezőre hozunk, mint az törtes feladatoknál szokvános, majd elvégezzük a szükséges műveleteket. A közös nevező: ( +3) + ( 1) Ezután göktelenítjük a nevezőt: (7 +3 ) Végeredmén:

7 n-edik gökvonás azonosságai 1. Határozzuk meg a következő szorzat értékét! 1 9 Mivel eg szorzat n-edik göke megegezik a ténezők n-edik gökének szorzatával, felírhatjuk a következőt: Határozzuk meg az tört értékét! Ismét megoldható a feladat az n-edik gökvonás azonosságainak alkalmazásával. Ebben a feladatban kihasználjuk, hog eg tört n-edik göke megegezik a számláló és a nevező n-edik gökének szorzatával Határozzuk meg a ( 1 ) hatván értékét! Az n-edik gökvonás azonosságainak bizonítása közben megtanultuk, hog a hatvánozás és a gökvinás felcserélhető műveletek. A továbbiakban két különböző, ám a végeredmén szempontjából teljesen egenértékű módszerrel is megoldjuk ezt a feladatot: 1.módszer: ( 1 ) hatv. az. 1 ( 3 ) 1 3 Ha ezt a módszert választjuk, meg kell próbálnunk a gök alatti kifejezésünket úg átírni, hog annak hatvánkitevője megegezzen a gökkitevőjével. Erre azért van szükség, mert tudjuk hog egező hatvánkitevő és gökkitevő esetén ezek "semlegesítik" egmást..módszer: ( 1 ) 1 n a k a k n Mint látjuk, ez a módszer is uganazt a végeredmént adja.. Számítsuk ki a szorzat értékét! nev.az. ( 3) a b ( + 3) a+b ( 3) a b 3 3

8 1. Döntsük el, hog 3 vag 37 a nagobb! Négzetgökkel már oldottunk hasonló feladatokat. Első lépésként itt is megvizsgáljuk a két számot külön-külön: n-edik gök esetén hasonló az eljárás, mint a négzetgöknél. A különbség az,hog míg négzetgöknél négzetre emeltük azt a kifejezést, amit a gök alá akartunk vinni, n-edik göknél pedig arra a hatvánkitevőre emeljük, ami megegezik a göknek a kitevőjével. Annak érdekében, hog az átalakításnál ne változzon a gök alá vinni kívánt kifejezés értéke, a hatvánozás után egből a megfelelő gököt vonjuk Ezen számítások után teljesen egéltelmű, hog 11 > 11, tehát 3 > 37 Megjegzés: Míg a négzetgöknél hangsúloztun, hog a fenti módszerrel csak pozitív számokat tudunk be vinni a gök alá, n-edik gök esetében picit más a helzet. Ha a gök kitevője páros, akkor marad a négzetgök esetén használt megkötés, miszerint negatív számot nem vihetünk a gök alá, legalábbis nem a fenti módon. Ha a gökkitevő páratlan, a negatív számokat is bevihetjük a fenti módon a gök alá.. Gökjel alól kiemelés után hozzuk egszerűbb alakra a 7 a 13 b 7 1a 0 b 17 + a 7 b kifejezést! A feladatot a tanult módszerhez hasonlóan oldjuk meg. Míg számoknál prímténezős felbontással dolgozunk, "betűk" esetében fel kell elevenítenünk a hatvánozásra vonatkozó szabálokat: a 13 a 7 a, b b 7 b 3 1 7, a 0 a 7 a 7 a, b 17 b 7 b 7 b 3 a 7 a 7 a 7 a 7 a, b b 7 b 7 b 7 b 3 Azért próbáltunk meg mindent a 7-edik hatvánra hozni, mert íg a 7-edik gökkel egből "kiütik" egmást. 7 a 13 b 7 1a 0 b 17 + a 7 b 7 a7 a b 7 b a 7 a 7 a b 7 b 7 b a 7 a 7 a 7 a b 7 b 7 b 7 b 3 7 a 7 7 a 7 b 7 7 b a 7 7 a 7 7 a 7 b 7 7 b 7 7 b a 7 7 a 7 7 a 7 7 a 7 b 7 7 b 7 7 b 7 7 b 3 a 7 a b 7 b 3 a a 7 a b b 7 b 3 +a a a 7 a b b b 7 b 3 a b 7 a 7 b 3 a a b b 7 a 7 b 3 +a a a b b b 7 a 7 b 3 ab 7 a 7 b 3 a b 7 a 7 b 3 + a 3 b 3 7 a 7 b 3 ab 7 a b 3 a b 7 a b 3 + a 3 b 3 7 a b 3 7 a b 3 (ab a b + a 3 b 3 ) (ab a b + a 3 b 3 ) 7 a b 3 [ab (1 ab + a b )] 7 a b 3 [ab(1 ab) ] 7 a b 3 nevezetes azon.