3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra

Átírás

1 SZÉCHENYI ISÁN EGYEEM AAMAZO MECHANIA ANSZÉ 6. MECHANIA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szüle eronika, eg. ts.) I. előadás. okális aroimáció elve, végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra.. Csomóonti elmozdlások meghatározása A szerkezet teljes otenciális energiája AE AE f, f AE AE F azaz f a csomóonti elmozdlási araméterek kétváltozós függvéne. A otenciális energia minimm elv értelmében keressük ennek a többváltozós függvénnek a minimmát. A minimm létezésének szükséges feltétele a Ritz-módszernél is bemtatott (azaz kétváltozós függvén szélsőértékét keressük): f AE, f l F. ábra: Húzott-nomott rúdfeladat Azaz akkor lesz a otenciális energiának szélsőértéke, ha,, min,,

2 ömörebb felírással: min. Részletesebb felírással: a kijelölt szorzásokat elvégezve: AE, f f F AE f f F, AE AE 4 f f, ahol a kaott eredmén azt mtatja, f hog visszakatk AE f első sorát. F ovábbá AE f f F, AE f AE f F F, ahol a kaott eredmén azt f mtatja, hog visszakatk AE f második sorát. F A műveleteket elvégezve f f összefüggést kajk, ami átrendezés tán eg lineáris algebrai egenletrendszer: f azaz

3 AE AE f f AE AE F f f AE f F A lineáris algebrai egenletrendszer két egenletet és két ismeretlent tartalmaz. Mivel az egütthatók mátri determinánsa nilvánvalóan nem nlla biztos, hog megoldható a csomóonti elmozdlás araméterekre. Balról szorozzk meg az egenletet / f f f, ahol adj inverz mátri, det -nel. det (a főátlók szorzatát kivonjk egmásból), adjngált mátri: a mátri elemeihez tartozó előjeles aldeterminánsokból kézett mátri adj. Íg adj det f f F f AE AE AE f AE F f f F AE AE AE f F AE AE f F AE AE A rúderők előállítása: d N AE AE AE f f F F d AE AE

4 f F d AE AE N AE AE AE f F d f F AE AE Az. ábrán vázolt eredmének alaján látható, hog a rúderő vonatkozásában a rúdelemek felező ontjai otimális kiértékelő helnek bizonlnak. Ez általában csak akkor áll fenn, ha a tartománt egenlő hosszúságú elemekre osztjk. egzakt közelítő Ritz-módszer N egzakt N Ritz-módszer F. ábra: A rúderő eloszlása a szerkezet mentén.4. A végeselem módszer gondolatmenetének összefoglalása: A végeselem módszer lokális aroimáció elve (végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra) alaján összefoglaljk a legfontosabb lééseket, amelek eg álatlános térbeli rgalmas feladatra is fennállnak. A végeselem módszer léései: A vizsgált szerkezetet véges számú részre, elemekre bontjk. A keresett megoldást elemenként külön-külön közelítjük. Az elemek valóságos kacsolódásának megfelelően az elemeket egmáshoz illesztjük, amire az elemek határain kijelölt kacsolódási ontok, csomóontok, illetve azok elmozdlásai szolgálnak. Íg a teljes szerkezetre érvénes közelítést nerünk, ami már csak a csomóontok jellemző elmozdlásait foglalja magába. A teljes szerkezetre ismert közelítés alaján felírható a szerkezet alakváltozási energiája és a külső erők mnkája (azaz a teljes otenciális energia) a csomóonti elmozdlások függvénében.

5 A szerkezet mozgását korlátozó kénszereket is csomóontokra vonatkozó kinematikai előírásokkal vesszük figelembe. ez többnire azt jelenti, hog a megfelelő csomóont minden-, vag adott iránú elmozdlását meggátoljk. Energetikai megfontolásokból (a teljes otenciális energia minimm elve) származtatható a közelítésben felvett összes csomóonti araméter (elmozdlási koordináták) kiszámítására szolgáló egenletrendszer. ineárisan rgalmas szerkezet statiks terhelése mellett ez gakran nagméretű lineáris algebrai egenletrendszer. Az egenletrendszer a szerkezet egensúlát fejezi ki. Az egenletrendszer megoldása tán a csomóonti araméterek ismeretében, meghatározható bármelik szerkezeti elem szilárdságtani állaota, azaz tetszőleges ontban megkahatjk az elmozdlási, alakváltozási és feszültségi állaot jellemzőit..5. Rácsos szerkezet vizsgálata húzott-nomott rúdelemekkel: F m m. ábra: Rácsos szerkezet Az eddigi végeselemes számításnál kihasználtk, hog az és koordináta tengelek egiránúak. A továbbiakban olan szerkezetet vizsgálnk, ahol a rúdelemek szöget zárnak be egmással. Adott: a. ábrán látható rácsos szerkezet geometriája, terhelése a végeselemes felosztással. Az adatok számszerű értékei: A rúdhosszak: m, sin,cos, 5 5 m, 5 5 Anagjellemzők E E E MPa, erhelés: F N A m, A m,, 4 4 A megoldás során jelölje rendre, az, iránú elmozdlást. inematikai eremfeltételek:,,,

6 Feladat:, meghatározása (-s csomóont és iránú elmozdlásai). Megoldás: a korábbiaknak megfelelően a szerkezet teljes otenciális energiáját írjk fel: e e F az elemeken megoszló erő nem működik, ezért az eges elemek otenciális energiája egenlő a megfelelő alakváltozási energiával. Felhasználva a lokális koordinátarendszerben felírt (még az előző feladatra vonatkozó) kifejezést: AE f f, a két rúdra (jelen feladat esetén tehát) az AE AE AE f F alakváltozási energia: f AE AE AE AE, ahol AE AE AE AE a két különböző elemen a megfelel lokális koordináta rendszerben (bal felső inde jelöli) értelmezett elmozdlás nem azonos. Hiszen két különböző iránú, tengelhez tartoznak. Ezen robléma csak úg oldható meg, ha közös koordinátarendszert alkalmaznk, azaz a globális, koordinátarendszert. 4. ábra: Az elmozdlás transzformációja a -s végeselem esetén cos / cos sin / sin cos sin cos sin

7 ehát a. ábrán látható geometriai viszonok alaján a lokális és globális elmozdlások közötti kacsolat: cos sin cos sin Az e elem heli és globális koordinátarendszerben vett csomóonti elmozdlásainak transzformációs összefüggése: e j i e 5. ábra: Az elmozdlás transzformációja az e-ik végeselem esetén i cos sin i e e e i i e e e i cos sin i e e e j cos sin j transzformációs mátri j Az e= elem elmozdlásának transzformációja : transzformációs mátri Az e= elem elmozdlásának transzformációja : transzformációs mátri Íg az alakváltozási energiák a globális elmozdlásokkal kifejezve:

8 A E A E AE AE 5 AE AE AE AE A kijelölt szorzásokat elvégezve: AE AE AE AE 4A E A E 4A E A E A E A E A E A E A E A E 4A E A E A E A E A E A E A szerkezet teljes otenciális energiája:

9 AE AE 4A E A E 4A E A E A E A E A E A E A E 4A E A E A E 4A E A E A E A E A E A E Ha figelembe vesszük a kinematikai eremfeltételt, hog,,,, vagis az első nég sor és oszlo szorzódik nllával, akkor az energia kifejezés lénegesen egszerűsödik: A E 4A E A E 5 5 F A E AE 5 5 F