Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Átírás

1 BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28

2 ábra A vizsgált keresztmetszet a b h v d táblázat A keresztmetszet geometriai adatai mm-ben Feladat Az ábrán vázolt keresztmetszet vízszintes és függőleges súlyponti tengelyeire, valamint ezen tengelypárjára számolt mársodrendű nyomatékainak meghatározása 2 Súlypontra számolt főmásodrenű nyomatékok és másodrendű nyomatéki főirányok meghatározása 3 Számoljuk ki a zérustengelyre számított másodrendű nyomatékot, ha a keresztmetszetet egy, a vízszintes tengellyel β 5 szöget bezáró irányú M hajlító nyomaték terheli /0 oldal

3 2 ábra Részkeresztmetszetekre bontás Megoldás Súlypont meghatározása A feladat megoldásához a vizsgált keresztmetszetet célszerű részekre bontani Egy lehetséges részkeresztmetszetekre osztás látható a 2 ábrán A továbbiakban ezt a felosztást alkalmazzuk Részkeresztmetszetek nagysága A 2 ábrán vázolt részkeresztmetszetek nagysága A a 2 00 mm 2, A 2 bh 2 6 mm2, A 3 A 2 6 mm 2 A kivonandó területeket negatív előjellel vettük figyelembe 2 Részkeresztmetszetek súlypontjai A 4 d2 π mm2, A 5 h2 2 8 mm2 A 2 ábrán a részkeresztmetszetek súlypontjait az oda mutató helyvektorok határozzák meg Ezen helyvektorok értéke az általunk felvett (y, z ) koordináta rendszerben: ys a/2 5 r S mm, z S a/2 5 ys2 a+h/3 333 r S2 mm, z S2 b/ ys3 a v h/3 867 r S3 mm, z S3 a v b/ ys4 h 4 r S4 mm, z S4 v +d/2 3 ys5 h/3 333 r S5 mm z S5 a h/ /0 oldal

4 3 ábra Az részkeresztmetszet 3 Súlypont kiszámítása A keresztmetszet súlypontjába mutató helyvektor az (y, z ) koordináta rendszerben: 5 ys i r S A ir Si z 5 S i A A r S +A 2 r S2 +A 3 r S3 +A 4 r S4 +A 5 r S i A +A 2 +A 3 +A 4 +A Súlypontra számított másodrendű nyomatékok meghatározása mm A keresztmetszet súlypontra számított másodrendű nyomatékait a 2 ábrán jelölt y és z tengelyekre és tengelypárra szeretnénk kiszámítani Ehhez a részkeresztmetszetek saját súlyponti tengelyeikre számított másodrendű nyomatékait kell először meghatározni, majd a Steiner-tétel segítségével ezeket átszámítani az y és z tengelyekre 2 Részkeresztmetszetek másodrendű nyomatékai y és z tengelyekre részkeresztmetszet Az részkeresztmetszetet a 3 ábra mutatja A részkeresztmetszet saját y és z súlyponti tengelyeire számított márodrendű nyomatékai: y a mm4, z y mm 4, yz 0 Az részkeresztmetszet S súlypontjából a teljes keresztmetszet S súlypontjába mutató helyvektor az (y, z ) koordináta rendszerben: r SS Y Z ys y S z S z S mm A Steiner-tétel alapján az részkeresztmetszet y tengelyre számított másodrendű nyomatéka z tengelyre számított másodrendű nyomatéka míg az (y, z) tengelypárra számított másodrendű nyomatéka,y y +A Z mm 4,,z z +A Y mm 4,,yz yz +A Y Z mm 4 3/0 oldal

5 2 részkeresztmetszet A 2 részkeresztmetszetet a 4 ábra mutatja A számítások hasonlóak, mint az részkeresztmetszet esetén A 2 részkeresztmetszet saját y 2 és z 2 súlyponti tengelyeire számított márodrendű nyomatékai: y2 b3 h mm4, z2 bh mm4, y2z 2 b2 h mm4 Az S 2 -ből S-be mutató helyvektor az (y 2, z 2 ) koordináta rendszerben: r Y2 ys y S2S S Z 2 z S z S2 549 mm A Steiner-tételt használva az 2 részkeresztmetszet y-ra és z-re számolt másodrendű nyomatékai: 2,y y2 +A 2 Z mm 4, 2,z z2 +A 2 Y mm 4, 2,yz y2z 2 +A 2 Y 2 Z mm 4 4 ábra A 2 részkeresztmetszet 5 ábra A 3 részkeresztmetszet 3 részkeresztmetszet A 3 részkeresztmetszetet az 5 ábra mutatja A számítások hasonlóak, mint a 2 részkeresztmetszet esetén, azonban a másodrendű nyomatékok ezúttal (-)-es szorzót kapnak A 3 részkeresztmetszet saját y 3 és z 3 súlyponti tengelyeire számított márodrendű nyomatékai: y3 b3 h mm4, z3 bh mm4, y3z 3 b2 h mm4 Az S 3 -ból S-be mutató helyvektor az (y 3, z 3 ) koordináta rendszerben: r Y3 ys y S3S S3 790 Z 3 z S z S3 267 mm A korábbiakhoz képest egy ( )-es szorzó van r S3S képletében Ez annak köszönhető, hogy y 3 és z 3 tengelyek ellentétes irányban mutatnak y és z tengelyekkel A Steiner-tételt használva a 3 részkeresztmetszet y-ra és z-re számolt másodrendű nyomatékai: 3,y y3 +A 3 Z mm 4, 3,z z3 +A 3 Y mm 4, 3,yz y3z 3 +A 3 Y 3 Z mm 4 Vegyük észre, hogy a Steiner tag A 3 -ban már tartalmazza a negatív előjelet! 4/0 oldal

6 4 részkeresztmetszet A 4 részkeresztmetszetet a 6 ábra mutatja A számítás a korábbiakhoz hasonló A 4 részkeresztmetszet saját y 4 és z 4 súlyponti tengelyeire számított márodrendű nyomatékai: y4 d4 π mm4, z4 y mm 4, y4z 4 0 Az S 4 -ből S-be mutató helyvektor az (y 4, z 4 ) koordináta rendszerben: r Y4 ys y S4S S4 Z 4 z S z S mm A Steiner-tételt használva az 4 részkeresztmetszet y-ra és z-re számolt másodrendű nyomatékai: 4,y y4 +A 4 Z mm 4, 4,z z4 +A 4 Y mm 4, 4,yz y4z 4 +A 4 Y 4 Z mm 4 6 ábra A 4 részkeresztmetszet 7 ábra Az 5 részkeresztmetszet 5 részkeresztmetszet Az 5 részkeresztmetszetet a 7 ábra mutatja Az 5 részkeresztmetszet saját y 5 és z 5 súlyponti tengelyeire számított márodrendű nyomatékai: y5 h mm4, z5 y5 7 mm 4, y5z 5 h mm4 Az S 5 -ből S-be mutató helyvektor az (y 5, z 5 ) koordináta rendszerben: r S5S Y5 Z 5 (ys y S5 ) z S z S mm Mivel y 5 és y tengelyek ellentétes irányban mutatnak, így a korábbiakhoz képest a megfelelő koordináta egy ( )-es szorzót kapott r S5S képletében A Steiner-tételt használva az 5 részkeresztmetszet y-ra és z-re számolt másodrendű nyomatékai: 5,y y5 +A 5 Z mm 4, 5,z z5 +A 5 Y mm 4, 5,yz y5z 5 +A 5 Y 5 Z mm 4 5/0 oldal

7 22 A teljes keresztmetszet másodrendű nyomatékai y és z tengelyekre Mivel a kiszámolt részmásodrendű nyomatékok ugyanarra a pontra vannak felírva és előjel helyesek, így a teljes keresztmetszet másodrendű nyomatékai egyszerű összegzéssel megkaphatók: yz y z 5 i,y,y + 2,y + 3,y + 4,y + 5,y mm 4, i 5 i,z,z + 2,z + 3,z + 4,z + 5,z mm 4, i 5 i,yz,yz + 2,yz + 3,yz + 4,yz + 5,yz mm 4 i Az eredmények segítségével felírható a keresztmetszet másodrendű nyomatéki mátrixa a súlyponti (y, z) koordináta rendszerben: y yz mm 4 () (y,z) yz z 3 Főmásodrendű nyomatékok és másodrendű nyomatéki főirányok meghatározása A rúd normál irányú feszültsége tiszta hajlítás esetén a Naiver-féle képlet segítségével adható meg Ha csak M η hajlító nyomaték működik a keresztmetszetben, amely η koordináta tengely körül forgat, akkor a normál irányú feszültség a σ x (ζ) M η η ζ (2) képlettel adható meg A képletben ζ a keresztmetszet síkjában az η koordináta tengelyre merőleges koordináta tt fontos megjegyezni, hogy ez a képlet csak akkor érvényes, ha η főmásodrendű nyomaték, vagyis az ηζ (η, ζ) tengelypárra számított másodrendű nyomaték zérus értékű Ekkor az η és ζ tengelyek irányait másodrendű nyomatéki főirányoknak nevezzük Mivel yz 0 így y és z nem főirányok A Navier képlet alkalmazásához tehát meg kell keresnünk η és ζ főirányokat Ezt mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározásával tehetjük meg A sajátérték számítás során olyan n vektor által kijelölt irányokat keresünk, amely irányokban az mátrixszal való szorzás valamilyen λ skalár értékkel való szorzással egyenértékű, vagyis az n λ n feladat össze tartozó n és λ megoldásait keressük A λ skalárt sajátértékének, míg n vektort sajátvektorának nevezzük Átrendezve az egyenletet azt kapjuk, hogy ( λe ) n 0 (3) Ha n 0 lenne, akkor semmilyen irányhoz sem jutnánk, így a fenti egyenletből következik, hogy det ( λe ) ( ) det y yz 0 λ yz z 0 y λ yz z λ yz 0 kell, hogy teljesüljön A determinánst kifejtve (a determináns számítását lásd a Mellékletben): y λ yz z λ ( y λ)( z λ) yz 2 λ 2 ( y + z ) λ+ y z yz 2 0 yz A másodfokú egyenletet megoldva a sajátértékekre kapjuk, hogy λ,2,2 ( ) { mm y + z ± ( y z ) yz mm 4 6/0 oldal

8 A sajátértékek adják és 2 főmásodrendű nyomatékokat A λ és λ 2 sajátértékekhez tartozó n és n 2 sajátvektorokat a (3) egyenletbe való visszahelyettesítéssel kaphatjuk meg A λ sajátérték visszahelyettesítésével y λ yz n 0 (4) yz z λ n 2 0 }{{} n A mátrix-vektor szorzást elvégezve (a mátrix szorzás műveleteit lásd a Mellékletben) két egyenletet kapunk: ( y λ ) n yz n 2 0, yz n +( z λ ) n 2 0 tt n vektor n és n 2 koordinátái ismeretlenek A fenti egyenletek azonban nem függetlenek egymástól, mivel det( λ E) 0 Ennek következtében a két ismeretlen koordináta közül az egyik tetszőlegesen megválasztható Legyen n, ekkor az első egyenletből kapjuk, hogy ezzel pedig n 2 y λ yz n y λ yz, n y λ yz A λ 2 sajátérték visszahelyettesítésével y λ 2 yz yz z λ 2 nnen hasonlóan a fentiekhez n 2 y λ 2 yz n2 n } {{ } n (5) Vegyük észre, hogy n és n 2 megválasztásával n és n 2 sajátvektorok hossza változtatható! A sajátvektorokat célszerű egységnyi hosszúra választani Ez n és n 2 vektorok normálásával tehető meg A normált sajátvektorok: m m n m 2 n n 0566, n 2 +n 2 n m2 m 2 n 2 m 22 n 2 n 2 2 +n 2 22 n2 n Az m és m 2 sajátvektorok jelölik ki ζ és η másodredű nyomatéki főtengelyeket (lásd a 8 ábrát) Ennek következtében az ezen tengelyekre számított másodrendű nyomatékok ζ és η 2 Vegyük észre, hogy (4) és (5) egyenletekben n és n 2 megválasztásától függően m és m 2 vektorok ellentétes irányúak is lehetnek Ezek az eredmények ugyanúgy helyesek 4 Zérustengelyre számított másodrendű nyomaték meghatározása A keresztmetszetet terhelő tetszőleges M hajlító nyomaték felbontható a főtengelyek koordináta rendszerében M η és M ζ koordinátákra (lásd a 8 ábrát) Feltételezve, hogy csupán M η hajlító nyomaték terheli a keresztmetszetet (lásd a 9 ábrát), a normál irányú feszültség (2) alapján számítható Feltételezve, hogy csupán M ζ hajlító nyomaték terheli a keresztmetszetet (lásd a 0 ábrát), a normál irányú feszültség σ x (η) M ζ ζ ( η) (6) alapján számítható tt η koordináta ( )-es szorzót kap, hiszen σ x negatív η koordináták esetén lesz pozitív Ha M η és M ζ együttesen terheli a keresztmetszetet, akkor az abban ébredő normál irányú feszültség (2) és (6) összege (szuperpozíciója) lesz, vagyis σ x (η, ζ) M η η ζ M ζ ζ η (7) 7/0 oldal

9 8 ábra A keresztmetszet másodrendű nyomatéki főirányai (kékkel jelölve) és a zérustengely (zölddel jelölve) A zérustengelyt a keresztmetszet azon pontjai alkotják, amelyekben a normál irányú feszültség zérus, vagyis ahol σ x (η, ζ) 0 A 8 ábra alapján ( ( ) ) m 22 M η M cos(α+δ +β) M cos atan +β 0650 M, valamint a (7) egyenletből a zérustengelyt a egyenes adja meg Az egyenes meredeksége a szöggel jellemezhető (lásd a 8 ábrát) m 2 M ζ M sin(α+δ +β) 0760 M, ζ M ζ η M η ζ η tan(α+β +δ) η ζ 093 η α atan ( tan(α+β +δ) ) η 0943 ζ 8/0 oldal

10 9 ábra Húzott (piros) és nyomott (zöld) keresztmetszetek M η hajlítónyomaték mellett 0 ábra Húzott (piros) és nyomott (zöld) keresztmetszetek M ζ hajlítónyomaték mellett Az eddigi számítások során használt () másodrendű nyomatéki mátrix az (y, z) koordináta rendszerben van értelmezve Ez a mátrix egy M transzformációs mátrix segítségével a főirányok (η, ζ) koordináta rendszerében is felírható: (η,ζ) M ahol M mátrix az (y, z) koordináta rendszer és az m 2 és m főirányok által meghatározott (η, ζ) koordináta rendszer közötti transzformációt írja le és a következő alakban számítható: m2 m M m2 m m 22 m Mátrixok invezének számítása megtalálható a Mellékletben Az M mátrix invertálása azonban egyszerűsödik, mivel m és m 2 vektorok merőlegesek egymásra és ennek következtében M ortogonális mátrix, amire igaz, hogy M M T (vagyis M inverze megegyezik a transzponáltjával) Mivel pedig M szimmetrikus, így az m, m 2 sajátvektorai mindig merőlegesek egymásra A fentiek alapján tehát η ηζ ηζ ζ (y,z) M, mm 4, Vagyis azt kaptuk, hogy ηζ 0 Belátható, hogy ez tetszőleges keresztmetszetek esetén igaz ha m és m 2 az mátrix (y, z) koordináta rendszerben értelmezett normált sajátvektorai A fenti koordináta transzformáció általánosabban is felírható tetszőleges (η, ζ) és (η, ζ ) koordináta rendszerek között Ha veszünk egy tetszőleges r vektort az (η, ζ) koordináta rendszerben, akkor egy T transzformációs mátrix segítségével az r vektort fel tudjuk írni az e 2 és e, (η, ζ) koordináta rendszerben értelmezett egységvektorok által meghatározott (η, ζ ) koordináta rendszerben is: ahol T (η,ζ) r T (η,ζ ) e2 e r, (η,ζ) (η,ζ) e2 e e 22 e 2 A fenti transzformációt a másodrendű nyomatéki mátrixra alkalmazva kapjuk, hogy (η,ζ ) T (η,ζ) T (η,ζ) (η,ζ) A 8 ábra alapján a zérustengelyhez felvett (η, ζ ) koordináta rendszer az cos(α) 0982 sin(α) e 2, e sin(α) 090 cos(α) (η,ζ) (η,ζ) /0 oldal

11 egységvektorokkal adott a (η, ζ) koordináta rendszerben Mivel e és e 2 egységvektorok merőlegesek egymásra, így T T T ezzel pedig η η ζ η ζ mm 4 ζ (η,ζ ) Tehát a zérustengelyre számított másodrendű nyomaték Az (η,ζ ) η mm 4 mátrix az (y, z) koordináta rendszerben felírt transzformációs mátrixszal is meghatározható A 8 ábra alapján: ( ) m 22 δ atan α m 2 A zérustengelyhez felvett (η, ζ ) koordináta rendszer legyen ezúttal az cos(δ) 097 e 2 sin(δ) 0399 (y,z), e (y,z) sin(δ) cos(δ) egységvektorokkal adott az (y, z) koordináta rendszerben Ezek az egységvektorok ismét merőlegesek egymásra, így T T T cos(δ) sin(δ) y yz cos(δ) sin(δ) sin(δ) cos(δ) sin(δ) cos(δ) (η,ζ ) Melléklet (y,z) (y,z) (y,z) yz z mm es mátrixokkal végzett műveletek a a A 2 a 2 a 22 Transzponált: b b, B 2 b 2 b 22 A T a a 2 a 2 a 22 d, d d 2 Szorzás: a d A d +a 2 d 2 a 2 d +a 22 d 2 c c C A B 2 c 2 c 22 c a b +a 2 b 2, c 2 a b 2 +a 2 b 22 c 2 a 2 b +a 22 b 2, c a 2 b 2 +a 22 b 22 Determináns: det(a) a a 22 a 2 a 2 nverz: A det(a) adj ( A ) a a 22 a 2 a 2 a22 a 2 a 2 a 0/ 0 oldal