Statikailag határozatlan tartó vizsgálata

Átírás

1 Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Készítette: Hénap Gábor E E P MT A y F D E E d B MT p C x a b c Adatok: a = m, p = 1 N, b = 3 m, F = 5 N, c = 4 m, d = 5 mm. m A kés bbikekben szükséges geometriai jellemz k: Másodrend nyomaték: I z = d4 π 64 =.54 π 64 Poláris másodrend nyomaték: I p = d4 π 3 =.54 π 64 A keresztmetszet területe: A = d π 4 =.5 π 4 = 3, m 4 = 6, m 4 = m FEALADATOK: 1.) Reakcióer k kiszámítása Betti-tétel felhasználásával..) Reakcióer k kiszámítása Castigliano-tétel felhasználásával. 3.) Reakcióer k kiszámítása a rugalmas szál dierenciálegyenletének felhasználásával. 4.) Maximális lehajlás helyének és értékének meghatározása. 5.) Igénybevételi ábrák, veszélyes keresztmetszet, maximális feszültségek számítása. 6.) Feszültségeloszlás a B keresztmetszetben, feszültségállapot a keresztmetszet megadott P pontjában. Ábrázolás Mohr-féle kördiagramon, illetve feszültségi kiskockán. F feszültségek, f irányok számítása. 1

2 1.) Reakcióer k kiszámítása a Betti-tétel felhasználásával MT x F p A a.) MT B C A =1N B C b.) 1. ábra: Szabadtest ábrák Mivel a szerkezet statikailag határozatlan, az egyensúlyi egyenletek nem elegend ek az ismeretlen reakcióer k kiszámításához. Viszont a kényszerek helyén ismert az elmozdulás, így a Betti-tételt alkalmazva az adott pontok valamelyikére, el állíthatók a megoldáshoz szükséges hiányzó egyenletek. Az 1/a.) ábra alapján a hajlító igénybevételi függvények: M h1 (x) = Ax x < a M h (x) = Ax + F (x a) a x < a + b (1) M h3 (x) = Ax + F (x a) B(x a b) + p (x a b) 3 6c a + b x a + b + c Az 1/b.) ábrán az A ponban A = 1 N nagyságú er t m ködtetve a B és C reakcióer k megkaphatók az egyensúlyi egyenletek felírásával, tehát MB = = A (a + b) + C c C = A (a + b) c Fy = = A + B + C B = A ( a + b c () 1 ( + 3) = = 1, 5 N ( ) (3) 4 ) ( 1 = ) 1 =, 5 N ( ) 4 Ezek ismeretében a hajlító igénybevételi függvények m h1 (x) = A x x < a + b (4) m h (x) = A x B (x a b) a + b x < a + b + c

3 Az A pont elmozdulása a Betti-tétel felhasználásával, melynek értéke a kényszer miatt nulla, w A = 1 a a+b a+b+c M h1 (x)m h1 (x) dx + M h (x)m h1 (x) dx + M h3 (x)m h (x) dx (5) = 1 a+b+c a+b = a ( Ax)( A x) dx + a a+b a a+b ( Ax + F (x a))( A x) dx+ ( Ax + F (x a) B(x a b))( A x B (x a b)) dx 5 Ax dx + 15x 65x + 5Ax 4 dx+ 5 ( 3Ax 7Ax + 3Bx 4Bx + 135B 15x 4 + 3x 3 775x x ) dx 1 4(63A + 8(B 5)) = = A = 8 ( 5 + B) 46875π 63 Az 1/a.) ábra alapján felírva az egyensúlyi egyenleteket és felhasználva az (5) egyenlet végeredményét Mc = A(a + b + c) Bc + F (b + c) + p c 6 = B = 1158, 33 N ( ) A = 8 ( , 33) = 17, 37 N ( ) 63 Fy = C = F + p c A + B + C F p c = A B = , , 33 C = 1171, 3 N ( ) (6).) Reakcióer k kiszámítása a Castigliano-tétel felhasználásával Ez esetben legyen megintcsak az A er aktív. A nyomatéki egyensúly a C pontra felírva kapcsolatot teremt az ismeretlen A és B között. Erre szükség lesz a hajlító igénybevételi függvények deriválásánál, tehát amib l MC = A(a + b + c) Bc + F (b + c) + p c 6 F (b + c) + p c A(a + b + c) B = 6 c 3 =, (7) (8)

4 A (1) egyenletben felírt igénybevételi függvényekbe B-t behelyettesítve azok deriváltjai M h1 (x) A M h (x) A M h3 (x) A = x, = x, (9) = (a + b)(a + b + c x), c Felírva az A pont elmozdulására vonatkozó egyenletet és felhasználva, hogy a kényszer miatt a függ leges elmozdulás zérus, az A reakcióer közvetlenül számítható, mint w A = 1 = a M h1 (x) M h1(x) A 5 Ax dx + dx + a+b a M h (x) M h(x) A Ax 5x + 1x dx (x 9) (3A + 1((x 6)x 4)) dx dx + a+b+c a+b M h3 (x) M h3(x) A dx 4(7A 46) = = A = 17, 37 N( ), 815π illetve (8) alapján B = , = 1158, 33 N( ). (1) A C reakcióer nagysága a (6)-ban felírt egyenlet alapján C = 1171, 3 N ( ). (11) 3.) Reakcióer k kiszámítása a rugalmas szál dierenciálegyenletének kiszámításával A rugalmas szál dierenciálegyenletét integrálva az (1) egyenletben megadott nyomatéki függvényekkel az els 4

5 szakaszra y 1(x) = M h1(x) = 4Ax 7815π, y 1(x) = y 1 (x) = M h1(x) y 1(x) dx = dx = Ax 7815π + C 11, (1) Ax π + C 11x + C 1, a második szakaszra y (x) = M h(x) y (x) = y 3 (x) = M h(x) y 1(x) dx = 4((A 5)x + 1) =, 7815π dx = x((a 5)x + ) 7815π (A 5)x π + 16x 65π + C 1x + C, + C 1, (13) illetve a harmadik szakaszra y (x) = M h3(x) = 4 y (x) = M h3(x) dx = ( Ax + B(x 5) 15 3 (x 5)3 5(x ) ), 7815π = 6Ax + 6Bx 6Bx 15x 4 + 5x 3 175x + 745x C 31, (14) 34375π y 3 (x) = y 1(x) dx = = x ( Ax Bx + 3Bx + 5x 4 65x x 375x ) 34375π + C 3 x + C 31, Az C integrálási konstansok meghatározáshoz felírható perem-, illetve átmeneti feltételek y 1 () = C 1 =, y 1 (a) = y (a) 16A 34375π + C 16(A + 1) 11 + C 1 = + C 1 + C, 34375π y 1(a) = y (a) 8A 7815π + C 8(A + 5) 11 = + C 1, (15) 7815π y (a + b) = y 3 (a + b) = y 3 (a + b + c) = (A + 1) 1875π A + 4B π + 5C 1 + C =, 3(16A 18B 3855) 7815π + 5C 31 + C 3 =, + 9C 31 + C 3 =. 5

6 A fenti egyenletrendszert megoldva a Mathematica szoftver segítségével az integrálási konstansok C 11 = C 1 = C 31 = (A 18), C 1 =, 9375π (A + 13), C = π 1875π, (16) 3A + 118B + 734, C 3 = 34375π 3(8A B 6975). 1565π (17) Felhasználva továbbá, hogy a B alátámasztásnál a keresztmetszet szögelfordulása a második és a harmadik szakaszra vonatkozó függvényekb l számolva azonos kell legyen, y (a + b) = y 3(a 4(63A + 8(B 5)) + b) =. (18) 34375π Ebb l az egyenletb l A-t kifejezve a (5)-ben kapott összefüggés jelenik meg, A = 8 ( 5 + B). (19) 63 Innen az egyensúlyi egyenleteket felhasználva a végeredmény a reakcióer kre megintcsak A = 17, 37 N( ), B = 1158, 33 N( ), C = 1171, 3 N( ). 4.) Deformált alak, maximális lehajlás Az el z részben kiszámolt lehajlásfüggvények alalpján felrajzolható a rúd deformált alakja (. ábra). A deformáció arányosan felnagyítva látható. x 5 wmax. ábra: A rúd deformált alakja A legnagyobb lehjlás láthatóan a rúd harmadik szakaszán jelenik meg, ezért a rugalmas szál dierenciálegyenletével meghatározott függvények közül a harmadikat kell vizsgálni. Széls értéke ott van, ahol a deriváltja zérus, vagyis az y (x max ) = 135x 4 max + 7x 3 max 1488x max + 54x max = 6

7 Nu- negyedfokú egyenletnek, a feladat által kijelölt tartományba es gyöke lesz a maximális lehajlás helye. merikusan megoldva x max = 7, 66 m, illetve a maximális lehajlás értéke w max = y 3 (x max ) =, 1651 m. 5.) Igénybevételi ábrák, veszélyes keresztmetszet, maximális feszültségek számítása A nyíró igénybevételi függvények a 1/a.) ábra alapján V (x) =A x < a, V (x) =A F a x < a + b, () V (x) =A F + B p c (x a b) a + b x a + b + c. illetve a hajlító igénybevételi függvények M h (x) = Ax x < a, M h (x) = Ax + F (x a) a x < a + b, (1) M h (x) = Ax + F (x a) B(x a b) + p 6c (x a b)3 a + b x a + b + c. A megadott függvények ábrázolása a 3. ábrán látható. Az ábráról leolvasható, hogy a maximális hajlító igénybevétel a B és a C pontok között jelenik meg. Az ott érvényes harmadfokú görbe széls értéke ott van, ahol az els deriváltja nulla (ahol a nyíró igénybevételi függvény el jelet vált): M h (x) x = 15(x Mhmax 5) 88.7 = x Mhmax = 7, 575 m. x=xmhmax Ebben a pontban a hajlító igénybevétel értéke M hmax = M h (x Mhmax ) = 774, 34 Nm. A széls pontokban ébred feszültség a Navier-képlet alkalmazásával σ xmax = M hmax I z d 774, 34.5 = 3, = 63, Pa = 63, 1 MPa. A B pontban a nyomatéki igénybevétel értéke M hb = M h (a + b) = 648, 149 Nm, a csavaró igénybevétel M T B = 5 Nm, míg a nyíró igénybevétel V B = V (a + b) = 88, 7 N. A csavaró igénybevétel az A és B alátámasztási pontok között konstans, M T (x) = Mt x a + b. 7

8 A maximális normálfeszültség a Navier-képlettel a rúd keresztmetszetének fels pontjában σ B x = M B I z d = 648, , = 5, Pa = 5, 816 MPa, a maximális csúsztatófeszültség (a súlypont magasságában) a Zsuravszkij-képlettel az S = d π 8 4d 6π =.5 π 4.5 = 14, m 3, 8 6π súlyponti tengelyre számolt statikai nyomaték ismeretében τ B xy = V B S I z d 88, 7 14, = 3, = Pa =, 563 MPa, illetve a mxaimális csúsztatófeszültség a csavarásból számítva a rúd keresztmetszetének peremén τ B xt = M T B I p d = 5.5 6, =, Pa =, 37 MPa Látható, hogy a nyírásból számolt csúsztatófeszültség elhanyagolható a hajlításból származó normálfeszültséghez, illetve a csavarásból származó csúsztatófeszültséghez képest. Az egyenérték feszültség a B keresztmetszet P pontjában a HMH elmélet szerint σegy HMH = σx B + 3τxt B = 5, , 37 = 63, 5 MPa, () illetve a Mohr elmélet szerint σ Mohr egy = σ x B + 4τ xt B = 5, , 37 = 66, 7 MPa. (3) Tehát a veszélyes keresztmetszet a B alátámasztásnál van, ezen belül veszélyes pont a szóban forgó keresztmetszet alsó és fels pontja (a P és az azzal átellenes pont). 8

9 x F p A B C V x [N] 88.7 V x A V x A F V x A F B p c x a b Mh x [Nm] M h x A x M h x A x F x a M h x A x F x a B x a b p 6 c x a b ábra: Igénybevételi ábrák 6.) Feszültségeloszlás a B keresztmetszetben, feszültségállapot a keresztmetszet megadott P pontjában. Ábrázolás Mohr-féle kördiagramon, illetve feszültségi kiskockán. F feszültségek, f irányok számítása. 9

10 A normálfeszültség a Navier-képlet szerint lineárisan oszlik el a keresztmetszet mentén y irányban, σ xmb (y) = M B I z y (4) A csúsztatófeszültség függvényének meghatározásához ismerni kell a statikai nyomaték kifejezését körszeletre megadva, ez a 6. ábrán látható jelölések alapján S 4. ábra: Ábra a körszelet statikai nyomatékának számításához A körcikk és az A terület háromszög súlypontjai illetve az egyes részek területei S = 4R sin α 3α s = 3 y, A =A 1 + A = R α, A =y R y,, továbbá α = arccos y R. Ezek ismeretében a körszelet területe A 1 (y) = A A = 1 4 ( ( ) y d cos 1 y ) d d 4y és súlypontja s 1 (y) = AS A s = 4y d 4y d 1 3 4y d A A 6y ( ). d 4y 3d cos 1 y d 1

11 Most már felírható a csúsztatófeszültségre vonatkozó összefüggés, mely némi egyszer sítés után τ xyb (y) = V Bs 1 (y)a 1 (y) I z R y = 16V ( B d 4y ) 3πd 4. P y mm y mm y mm y mm x y MPa xy y MPa xz y MPa 5. ábra: A különböz igénybevételekb l származó feszültségek eloszlása a B keresztmetszet y irányú szimmetriatengelye mentén. Az el bbiekben meghatározott függvények ábrázolása a 5. ábrán látható. A P pont koordinátáját behelyettesítve a normál, illetve csúsztató feszültségek értékei σ P xb = 5, 816 MPa, τ P xzb =, 37 MPa. A kapott értékekel a feszültségtenzor mátrixa a P pontban 5, 816, 37 σ B = [MPa], 37 A feszültségállapothoz tartozó Mohr-diagram, illetve mellette feltüntetve a feszültségi kiskocka a 6. ábrán látható. Mivel σ második oszlopában minden elem, az egyik f feszültség lesz, illetve az y tengely bázisvektora egyben ehhez a f feszültséghez tartozó f irányt adja meg. A Mohr-diagramot tanulmányozva látszik, hogy az egyes f feszültséggel az x tengely α szöget zár be, pozitív irányba forgatva (τ pozitív el jele miatt). 11

12 z zx x xz y x xz R 3 x 1 6. ábra: Mohr-féle kördiagram, illetve feszültségi kiskocka a P pont feszültségállapotára vonatkozóan. A f feszültségek meghatározása az ábra alapján a következ képpen történik: a legnagyobb Mohr kör sugara pedig σ = σ x + σ z, (σx σ z Ez esetben σ z =, tehát a f feszültségek R = ) + τ xz. σ 1,3 = σ ± R = σ x ± (σx ) + τ xz = 5, 816 (5, ) 816 ± +, 37, tehát illetve A második sajátvektor: σ 1 = 59, 76 MPa, σ 3 = 6, 945 MPa, σ = MPa. (5) e = 1 Az egyes sajátvektornak az x tengellyel bezárt szöge a kördiagram alapján α = 1 arctan τ xz 5, 816 = 1, 37 arctan = rad, (6) σ x így az egyes és a hármas f feszültségekhez tartozó irányok (úgy, hogy a három sajátvektor jobbsodrású koordinátarendszert határozzon meg) cos α, 9465 sin α, 37 e 1 = =, e 3 = =. sin α, 37 cos α,

13 A f feszültségek és f irányok ugyanígy megkaphatók a det (σ λ i δ) =, illetve a (σ σ i δ)e i = egyenletek megoldásaként is. 13