1. ábra. 24B-19 feladat

Átírás

1 . gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő, annak végpontjától d távolságra lévő P pontban! Megoldás: Mivel a P pont a szakasz meghosszabbításában van és a szakasz töltése pozitív a térerősség vektora a szakasztól el mutat. Válasszuk a koordinátarendszerünket úgy, hogy a szakasz az x tengelyén feküdjön és a P pont legyen az origóban! Osszuk fel a szakaszt kis dx hosszúságú darabokra! Egy ilyen darab töltése dq dx Q. A teljes térerősség ezen kis dx szakaszok térerősségeinek összegével közelíthető ami integrállá válik, amennyiben dx. A P ponttól x távolságban levő szakasz darabtól származó térerősség nagysága: A teljes térerősség xd+ E(x) de(x) dq x dx Q x (..) xd E(x) Q 4 π ε Q 4 π ε xd+ Q dx x Q dx (..) 4 π ε x xd xd+ dx xd x Q [ ] x+ 4 π ε x d ( d + + ) Q ( ) d 4 π ε d(d + ) E(x) Q 4 π ε d(d + ) (..3)

2 . ábra. 4B- feladat.. Feladat: (HN 4B-) Egy vékony, nem vezető rudat a. ábrán vázolt módon meghajlítunk úgy, hogy az egy R sugarú kör íve legyen, mely e kör középpontjából o szög alatt látszik. egyen e hajlított rúdon egyenletes pozitív λ töltéssűrűség. Számítsuk ki az E elektromos tér térerősséget a kör O középpontjában. (Útmutatás: számítsuk ki a dl Rdθ hosszúságú szakasz dq töltésétől származó de térerősséget. Használjuk ki a rendszer szimmetriatulajdonságát a θ θ és θ +θ közötti integrál kiszámításakor.) Megoldás: Osszuk fel a körívet egyenlő dl hosszúságú kis darabokra! A körív középpontjában minden ilyen kis darab térerőssége ugyanakkora: de λ dl R λ R dθ λ dθ R R (..) nagyságú és az O pontból a körívvel ellentétes irányba mutat. Mivel a vízszintes tengelyre szimmetrikusan, θ és θ szögben elhelyezkedő szakaszoktól származó térerősség nagysága ugyanakkora, és irányuk a vízszintes tengelyre szimmetrikus ezek függőleges komponensei kiejtik egymást: vízszintes komponenseik nagysága pedig összeadódik, az 3. ábra. Az eredő térerősség kiszámításához

3 eredő térerősség kiszámításához elegendő a pozitív θ értékekre, vagyis fél körívre összegezni a de θ térerősségek vízszintes komponensének kétszeresét, azaz de θ cos θ-t. A dl határesetben egy integrált kapunk: azaz E θ λ R cos θ dθ λ R [sin θ]θ, (..) E λ πε R sinθ. (..3).3. Feladat: (HN 4C-6) Két (fix helyzetű) +Q nagyságú ponttöltés egymástól d távolságra helyezkedik el. Egy harmadik, pozitív q töltést a két előbbi töltést összekötő egyenes mentén mozgatunk. (a) Mutassuk meg, hogy ha a q töltést egyensúlyi helyzetéből kissé (x távolságnyira, x d) kimozdítjuk, akkor közelítőleg egyszerű harmonikus rezgő mozgást végez. (b) Számítsuk ki az ehhez a mozgáshoz rendelhető k rugóállandót". Megoldás: egyen mindegyik töltés az x tengelyen! Ekkor a q töltés által érzékelt térerősség is x irányú. Mivel mindegyik töltés azonos előjelű a q töltésre a két Q töltéstől ható erők ellentétes irányúak: F bal oldali Qtol K Q q r bal oldali Qtol F jobb oldaliqtol K Q q r jobb oldaliqtol (.3.) q egyensúlyi helyzete a két +Q töltés között éppen félúton van, ahol a két erő kiegyenlíti egymást. Térítsük ki a q töltést egyensúlyi helyzetétől pozitív irányba. Ekkor a rá ható erők eredője már nem lesz, hanem : F F bal oldali Qtol + F jobb oldali Qtol K [ Q q ( d + x) ( Q q d x) ]. (.3.) Ha x d, akkor x d is igaz. egyen d! Ekkor d és a nevezők az előző képletben közelíthetőek a következő módon: ( ± x) ( ± x ) ( ± x ) ( x ). (.3.3) Ez konkrét példákon is ellenőrizhető. Tehát F Q q 4 πε ( ( x ) ( + x ) ) Q q 4 πε 4 x Q q 4 πε 4 d 8 x d. (.3.5) Egy példa: legyen d, vagyis 5 és x,. Ekkor ( + x), ( + x ), ( x ), (.3.4) 3

4 F 8 Q q x πε d. (.3.6) 3 Mint látjuk, amennyiben a kitérés sokkal kisebb, mint d, az erő ellentétes irányú és arányos a kitéréssel vagyis valóban harmonikus rezgőmozgásról van szó amelynek "rugóállandója" k 8 Q q. (.3.7) d 3 πε.4. Feladat: (HN 4C-9) Miként az a 4. ábrán látható, egy elektron, amelynek az x o helyen v o 6 m/s a kezdősebessége, az x tengely pozitív irányában halad olyan tértartományban, ahol az elektromos térerősséget az E x (4V/m) ( + 3 x) függvény adja meg (az x távolságot méterben kell megadni). Számítsuk ki azt a távolságot, ahol az elektron sebessége (legalábbis egy pillanatra) zérussá válik. 4. ábra. 4C-9 feladat Megoldás: Az elektrosztatikus tér helytől függő potenciálja Φ(x) E(x)dx 4 ( + 3 x) dx 4 (x + 5x ). (.4.) Az elektron helyfüggő potenciális energiája ebben a térben (az elektron töltése negatív) E pot e Φ(x) 4 e (x + 5 x ). (.4.) Az elektron abban az x koordinátájú pontban áll meg amikor minden kinetikus energiáját elveszti. Az elektron potenciális energiájának megváltozása x x x o úton 4

5 tehát egyenlő a kezdeti kinetikus energiájával: E pot E kin,kezdeti E pot E pot (x) E pot (x o ) 4 e (x + 5 x ) 4 e (x + 5 x ) m v o 5 x + x 8 m e. (.4.3) A másodfokú egyenlet megoldása ± + 4 m 8 e 5 ± + m e 5 x ± ± 4, 48 ± 37, 75 x + 3, 67 m A mi esetünkben csak a pozitív eredmény jöhet szóba. x 3, 87 m. (.4.4).5. Feladat: (HN 4C-37) Egy vékony, nem vezető, R sugarú gyűrűn nem egyenletes a λ lineáris töltéssűrűség: λ λ sin θ, ahol a θ szög a 5. ábra szerint értelmezendő. (a) Vázoljuk a gyűrű töltéseloszlását. (b) Milyen az E elektromos térerősség iránya a gyűrű középpontjában? (c) Mutassuk meg, hogy az elektromos térerősség nagysága a gyűrű középpontjában λ 4 ε R. 5. ábra. 4-C37 feladat Megoldás: (a) A töltéssűrűség a szög függvényében a 6. ábrán látható. 5

6 6. ábra. Töltéssűrűség a szög függvényében. A zöld vonalak 4 olyan szöget jeleznek, ahol a töltéssűrűség abszolút értéke ugyanakkora (b) Osszuk fel a kör kerületét infinitizemálisan kicsi dl szakaszokra. Egy tetszőleges θ szögnél elhelyezkedő szakasztól származó térerősség iránya vagy megegyezik a szakasztól a középpontig húzott vektor irányával ( θ π) vagy ellentétes vele ( θ π). A teljes térerősség az egyes szakaszoktól származó térerősségek összege. A 7 ábrán látható, hogy az eredő térerősségben csak az egyes szakaszoktól származó 7. ábra. Különböző infinitezimális dl szakaszoktól származó térerősségek összegzése. térerősségek függőleges, -y irányú összetevője marad meg. Tehát az eredő térerősség a negatív y tengely irányába mutat. (c) Ennek nagysága egy adott θ szög esetén de y (θ) λ(θ) dl R sin θ (.5.) ahol dl R dθ. Szimmetria okok miatt de y (θ) ugyanakkora és ugyanolyan irányú a θ, π θ, π + θ és π θ szögek esetén, ezért elegendő a... π tartományra integrálni és 6

7 az eredményt négyszerezni: E y π/ λ R λ R ahol felhasználtuk a sin θ cosθ λ(θ) R sin θ dθ R π/ π/ sin θ dθ cos θ dθ [ λ θ sin θ ] π/ πε R λ [ π ] πε R + összefüggést. A végeredmény (.5.) E y λ 4 ε R. (.5.3).6. Feladat: (HN 4C-39) Tekintsünk egy egyenletesen feltöltött R sugarú körgyűrűt, és annak tengelye mentén az elektromos teret. Mutassuk meg, hogy a térerősség maximuma E x,max a tengelyen, a gyűrű középpontjától x R távolságban van. Vázoljuk E változását x függvényében (negatív és pozitív x értékekre). Megoldás: Bontsuk fel a körgyűrűt infinitezimálisan kis dl szakaszokra. A körgyűrű tengelyének minden pontja a körgyűrű összes pontjától - és így az összes szakasztól is - azonos távolságban van. A körgyűrű átellenes pontjaitól (szakaszaitól) származó térerősségek x tengelyre merőleges komponensei kiejtik egymást, ezért elegendő az E x komponenseket összegezni. Egy dl szakasz térerőssége a 8 ábra szerint: de x λ dl r cos θ λ dl R + x x R + x x λ dl. (.6.) (R + x ) 3/ A teljes térerősség E x R π x λ. (.6.) (R + x ) 3/ Ennek akkor van maximuma, ha a deriváltja nulla. Ha a derivált nulla, akkor a konstansok nem számítanak, ezért azokat el is hagyhatjuk de x dx d dx x (.6.3) (R + x ) 3/ Ezt levezethetjük a következő két egyenlőségből: cos θ cos θ sin θ és cos θ + sin θ 7

8 8. ábra. Térerősség egy egyenletesen töltött körgyűrű tengelyén d x dx (R + x ) 3/ (R + x ) 3/ x 3 (R + x ) / x (R + x ) 3 (R + x ) 3 x (R + x ) 5/ (.6.4) A nevező sosem lehet nulla, ezért átszorozhatunk vele R x x R. (.6.5) Eszerint E x szélsőértéke lehet az x második derivált ezen a helyen negatív. Házi feladat (gyakorlásra): HN 4-7, 9, 5, 3, 7, 3, 34, 35, 36 R helyen. Ez akkor valóban maximum ha a 8