1.feladat. Megoldás: r r az O és P pontok közötti helyvektor, r pedig a helyvektor hosszának harmadik hatványa. 0,03 0,04.

Átírás

1 .feladat A derékszögű koordinátarendszer origójába elhelyezünk egy q töltést. Mekkora ennek a töltésnek a 4,32 0 nagysága, ha a töltés a koordinátarendszer P(0,03;0,04)[m] pontjában E(r ) = 5,76 0 nagyságú térerősséget kelt? E(r ) = k q r r r az O és P pontok közötti helyvektor, r pedig a helyvektor hosszának harmadik hatványa. r = 0,03 [m] 0,04 r = r = 0,03 + 0,04 = 0,05 [m] r = 0,05 =,25 0 [m ] 4,32 0 5,76 0 = 9 q 0 0,03,25 0 0,04 q = 4,32 0,25 0 0, = 2 0 [C] 2.feladat Mekkora távolságra van egymástól a q = 2 0 [C] és q = 3 0 [C] nagyságú ponttöltés, ha a közöttük fellépő Coulomb erő nagysága F C = 60 [N]? F = k q q r r = k q q F = = 0,03[m]

2 3.feladat Egy l=[m] hosszú, vízszintes üvegcső két végére egy q = 0 [C] és egy q = 4 0 [C] nagyságú pozitív töltést rögzítünk. Hol fog elhelyezkedni az üvegcső belsejében a szabadon mozgó, q = 2 0 [C] nagyságú pozitív töltés? A q és q valamint a q és q töltések között fel fog lépni egy F és egy F nagyságú Coulomb erő. Jelöljük a q és q töltések közötti távolságot x-szel, a q és q töltések közötti távolságot pedig (l x)-szel. F = k q q x [N] F = k q q [N] (l x) A q töltés ott fog elhelyezkedni, ahol a két erő kiegyenlíti egymást, azaz nagyságuk azonos. k q q x F = F = k q q (l x) q x = q (l x) 0 x = 4 0 ( x) ( x) = 4x 2x + x = 4x 0 = 3x + 2x x, = 2 ± x = és x = 3 Mivel a q töltésnek a csőben kell lennie q és q 2 töltések között, ezért x-re csak egy 0-nál nagyobb és -nél kisebb szám lehet a helyes megoldás, tehát a q töltés a q töltéstől [m] távolságra lesz.

3 4.feladat Milyen hosszú az a 4,54 [mm] átmérőjű, kör keresztmetszetű alumínium vezeték, melynek végei között 0,24[V] feszültségkülönbség mérhető, mialatt rajta 0[A] áram folyik keresztül? Az alumínium vezetőképessége 3,7 0 Ω. A vezeték ellenállása Ohm törvénye alapján: = U I = 0,24 0 = 0,024 [Ω] A vezeték keresztmetszetének nagysága (a kör területének képletéből): A = d π 4 = 4,54 π 4 = 6 [mm ] =,6 0 [m ] A vezeték ellenállása a vezetőképesség és a geometriai méretek alapján: = l σ A l = σ A = 0,024 3,7 0,6 0 = 4,2[m] 5.feladat Két azonos hosszúságú alumínium és réz vezeték közül melyiknek kisebb a keresztmetszete, ha a végeiken ugyanakkora feszültségkülönbség mérhető mialatt ugyanakkora áram folyik rajtuk keresztül? (Az alumínium fajlagos ellenállása 2,7 0 [Ωm], a réz vezetőképessége pedig 5,6 0 Ω ) Azonos nagyságú áram és azonos nagyságú feszültségkülönbség esetén a két vezeték ellenállása egyenlő. A vezeték ellenállása a fajlagos ellenállás és a geometriai méretek alapján: = ρ l A A = ρ l A fajlagos ellenállás és a vezetőképesség közötti összefüggés: Ezért a réz fajlagos ellenállása: A két vezeték keresztmetszete: ρ = σ ρ = = σ 5,6 0 =,8 0 [Ωm] A = ρ l = 2,7 0 l [m ] A = ρ l =,8 0 l [m ] Tehát a két vezeték közül a rézvezetéknek kisebb a keresztmetszete.

4 6.feladat Az alábbi ábra szerint összekötünk hat ellenállást. Számítsa ki a kapcsolás eredő ellenállását! A jobb oldali ágban sorba kötött [kω], 2 [kω], és 3 [kω]-os ellenállások eredő ellenállása: = [kω] + 2[kΩ] + 3[kΩ] = 6 [kω] Az így kapott 2 db párhuzamosan kötött 6 [kω]-os ellenállás eredő ellenállása: = 6[kΩ] + = 6 = [kω] = 3 [kω] 2 6[kΩ] 6 [kω] 2 Végül a sorba kötött 5 [kω], 3 [kω], és 4 [kω]-os ellenállások eredő ellenállása: á = 5[kΩ] + 3[kΩ] + 4[kΩ] = 2 [kω] Tehát a kapcsolás eredő ellenállása: 2 [kω] 7.feladat Az alábbi ábra szerint összekötünk három ellenállást. Számítsa ki a kapcsolás eredő ellenállását! endezzük át a kapcsolást az alábbi ábra szerint: Tehát a kapcsolás eredő ellenállása a párhuzamosan kötött 6 [kω], 2 [kω], és 3 [kω]-os ellenállások eredő ellenállása, vagyis: = 6[kΩ] + 2[kΩ] + = 3[kΩ] 6[kΩ] + 3 6[kΩ] + 2 = = 6 [kω] = [kω] 6 6 6[kΩ] 6[kΩ]

5 8.feladat Az alábbi ábrák szerint összekötünk három ellenállást. A két kapcsolás közül melyiknek nagyobb az eredő ellenállása? A bal oldali kapcsolásban a sorba kötött 2 db [kω]-os ellenállás eredő ellenállása: = [kω] + [kω] = 2 [kω] Az így kapott 2 db párhuzamosan kötött 2 [kω]-os ellenállás eredő ellenállása: = 2[kΩ] + = [kω] = [kω] 2[kΩ] A jobb oldali kapcsolásban a 2 db párhuzamosan kötött [kω]-os ellenállás eredő ellenállása: = [kω] + = = 0,5 [kω] 2[kΩ] [kω] Az így kapott 2db sorba kötött 0,5 [kω]-os ellenállás eredő ellenállása: Tehát a két kapcsolás eredő ellenállása egyenlő. = 0,5[kΩ] + 0,5[kΩ] = [kω] 9.feladat Az alábbi ábra szerint összekötünk öt azonos, = 5 [kω] nagyságú ellenállást. Számítsa ki a kapcsolás eredő ellenállását! = + = = 2 5 = 5 2 [kω] = = + = = 5 2 [kω] + = = = = 3 [kω] 5 = = + = = 8 [kω]

6 0.feladat Adott az alábbi ábra szerint összeállított egyenáramú hálózat. Adatok: U b = 2 [V], U b2 = 24 [V], b = 0 [Ω], b2 = 20 [Ω], = 5 [Ω], 2 = 25 [Ω], 3 = 5 [Ω], 4 = 40 [Ω], 5 = 5 [Ω], 6 = 25 [Ω] Határozza meg az ellenálláson átfolyó áram nagyságát és irányát! Eredő ellenállások számításával egyszerűsítsük a hálózatot. = + = = 40 [Ω] = + = = = 40 = 20 [Ω] = + + = = 50 [Ω] Írjuk fel az A-H-G-B-A hurokra Kirchhoff II. törvényét: ) U + I + I U + I = 0 Ezután írjuk fel a B-G-D-C-B hurokra Kirchhoff II. törvényét: 2) U I + I = 0 Végül írjuk fel a G csomópontra Kirchhoff I. törvényét: 3) I I I = 0 A keresett I értéket Cramer szabály alkalmazásával határozzuk meg, ehhez írjuk fel a mátrixot: ( + ) A = 0 = Számítsuk ki a mátrix determinánsát: det A = 25 ( ) 20 ( 50) = = 2750 Írjuk fel az új mátrixot úgy, hogy az első oszlop helyére a konstans oszlopot írjuk: (U U ) A = U = Számítsuk ki a mátrix determinánsát: det A = 2 ( ) 20 (24) = = 360 A keresett I érték a két determináns hányadosa: I = det A det A = 360 = 0,309 [A] 2750 Tehát az ellenálláson átfolyó áram nagysága 0,309 [A], iránya pedig a feltételezett: B A