HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

Átírás

1 HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6; ) c) e(7; ; ) f(; ; ).. Adottak az a(; ; 5), b( ; ; ), c( ; ; 5) vektorok. Írja fel az alábbi vektorok koordinátáit: a) v a+b c b) v a b+c

2 c) v πa+ 5 b+c.7. A szögek kiszámítása nélkül döntse el, hogy az alábbi vektorpárok hegyes-, derék- vagy tompaszöget zárnak-e be: a) ( ; ; ) és (; ; 5) b) (; ; 9) és (; ; ) c) (; ; ) és ( ; 7; ) d) (5, ; ) és (; ; ).5. Számítsa ki a következő vektorpárok szögét: a) a(7; ; 6) és b(; ; ) b) c(; 6; ) és d(5; ; ) c) e( ; ; 7) és f(5; ; )

3 d) gi+j+k és h5i j k e) v i j k és v i+j+k.5. Adottak az a(; ; ), b(; ; ) és c(; ; ) vektorok. Számítsa ki a v(a b) c vektor koordinátáit!.6. Számítsa ki az ABC háromszög területét, ha a) A(; ; ), B( ; ; 7) és C(5; ; ) b) A(; ; ), B(; ; 8) és C(; ; 6) c) A(; ; ), B(; ; ) és C(; 5; ) d) A(; ; ), B(; ; ) és C(; ; )

4 . egység: önálló feladatmegoldás.. Számítsa ki az alábbi determináns értékét, ahol i, j és k tetszőleges valós számok: c) k j i D.. Határozza meg értékét úgy, hogy teljesüljön az egyenlőség: a) 9 b) Számítsa ki az A+B mátriot, ha A 6 5 és B 5.. Vizsgálja meg, hogy teljesül-e az ABBA, ha A és B

5 5.. Számítsa ki a megadott mátri inverzét és ellenőrizze is a kapott eredményt: A.. Határozza meg az alábbi mátriok rangját: a) A b) B c) C 5

6 . egység: önálló feladatmegoldás.. Oldja meg a Cramer-szabály alkalmazásával az alábbi lineáris egyenletrendszereket a valós számok halmazán: a) b) +y z y+z5 +y+z6.. Oldja meg a Cramer-szabály alkalmazásával, az alábbi lineáris egyenletrendszereket a természetes számok halmazán: a) y+z +y 5z y+z 6

7 b) y+z y+z y+5z 7

8 Értékelés:. konferencia A halmazelmélet alapjai. A függvény, valamint diffrenciálhányadosának és integráljának általános fogalma (Jegyzet a tankönyv kijelölt fejezetei alapján) Folytatás a 8/, 8/, stb. oldalakon! 8

9 Értékelés:. konferencia A valós számsorozatok és az egyváltozós valós függvények. egység: önálló feladatmegoldás 5.9. Írja fel az a n n általános elemű sorozat első hat elemét: n a a a a a a Írja fel az a n általános elemű sorozat első hat elemét: n a a a a a 5 a 6 n Mutassa meg, hogy az sorozat konvergens! Határozza meg azt az n küszöbindeet, amelytől kezdve a sorozat elemei ε értéknél kevésbé térnek el a n határértéktől!. egység: Az útmutatóban felsorolt függvények ábrázolása (Mellékletek: 9/, 9/, stb. oldalak.) 9

10 . egység: önálló feladatmegoldás 6.5. Vizsgálja meg, hogy hol nem folytonosak az alábbi függvények, és állapítsa meg, hogy ezeken a helyeken milyen jellegű szakadásuk van! a) 9, 9 f (),,, ha ha ha ha ; ; b) () f +,, ha ha c) f () sin,, ha ha Értékelés:

11 . és. egység: önálló feladatmegoldás. konferencia Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása I. Határozza meg az alábbi függvények szerinti első derivált függvényét! A deriválás során kapott függvényeket hozza egyszerűbb alakra! 7.. f () + f () 7.. f () ( )( ) f () f () + f () 7.5. f () sin f () sin 7.8. f () tg + cos π f () 7.. f () arc tg + f ()

12 7.7. f () π cos e sin f () () sin ( ) f f () 7.. f () ln ln f () 7.. f () f () cos arc tg e 7.7. sin π f () log arc tg e + ch f () Határozza meg az alábbi, paraméteresen megadott függvények szerinti, első derivált függvényét! A deriválás során kapott függvényeket hozza egyszerűbb alakra! t + t 7.. (t) ; y(t). t t f () 7.9. t π (t) sin ; y(t) tg t + tg. f ()

13 7.. (t) t ln ln t; y(t). f () Határozza meg logaritmikus differenciálással az alábbi függvények szerinti első derivált függvényét! A deriválás során kapott függvényeket hozza egyszerűbb alakra! 7.6. f () f () 7.5. f () f () sin sin f () cos f () Határozza meg az alábbi, implicit alakban megadott függvények szerinti első derivált függvényét! y sin 7.6. arc tg y y Értékelés:

14 . egység: önálló feladatmegoldás 5. konferencia Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása II Mekkora szög alatt metszi az y-tengelyt az y sin + ln e egyenletű görbe? Írja fel a görbe metszéspontbeli érintőjének egyenletét! Útmutatás a feladat megoldásához: A feladat (geometriai tartalmának) vázlata: Y A görbe és az y-tengely P metszéspontja koordinátáinak meghatározása: y A görbét meghatározó függvény derivált függvényének kiszámítása: y () A derivált függvény értékének kiszámítása az helyen: y ( ) szög: A kapott érték, az pontbeli érintő -tengellyel bezárt, α szögének tangense. Ebből a α Ebből az y-tengellyel bezárt szög: β A P ponton átmenő érintő egyenlete:

15 7.79. Határozza meg az y e tg π lg egyenletű görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenletét! függvénynek van szélsőértéke! (Útmutatás a megoldáshoz: ha egy differenciálható függvény páratlanrendű deriváltja nulla az helyen, de a következő deriváltja ugyanitt nem nulla, akkor a függvénynek ezen a helyen lokális szélsőértéke van.) Mutassa meg, hogy az f () ln ( ) 7.9. Hol van szélsőértéke, és hol lehet infleiós pontja az alábbi függvényeknek! (Útmutatás a megoldáshoz: ha egy differenciálható függvény párosrendű deriváltja nulla az helyen, de a következő deriváltja ugyanitt nem nulla, akkor a függvénynek ezen a helyen infleiós pontja van.) + a) f () ln( + + ) + arc tg 5

16 b) f () ln ( ) + ln sin π Számítsa ki az alábbi határértékeket a L Hospital-szabály segítségével! tg 7.9. lim sin 5 sin 5 sin 7.9. lim sin 6

17 arc tg 7.. lim 7.5. ln lim 7.6. lim + ln ctg 7

18 Végezzen teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényeken és ábrázolja a függvénygrafikonok vázlatát! (Útmutatás: értelmezési tartomány; tengelymetszetek; paritás ill. periodicitás; határértékek; derivált függvények kiszámítása; lokális szélsőértékhelyek és szélsőértékek; monoton szakaszok; infleiós pontok helye; konve ill. konkáv szakaszok; ábrázolás; értékkészlet.) 7.. f () f () ( + ) ( + ) 8

19 9

20 7.. f ()

21 f () +

22 7.7. f () Értékelés: