2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

Átírás

1 . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k() e + (cos ) sin. f (3 + ) / 6 ctg + () sin 3 + ctg, g () 3(3 ) 3 tg + cos (3 )3 h () sin( 3 + ln ) (3 + e ), i () ln ln(e + 4 ln ) e + 4 e + 4 ln, j () ( ( e ln ln 3) e ln ln 3 ln 3 + 3ln ), 3 k () ( e ) ( ) ( ) + e sin ln(cos ) 9 e + e + e sin ln(cos ) cos ln(cos ) sin. cos () Határozza meg a következő függvények zérushelyeit, lokális szélsőértékhelyeit és azok típusát,, infleiós helyeit, monoton, konve, konkáv szakaszait, határértékeiket, -ben és ábrázolja a függvényeket. (a) f() 3 3, (b) g() e ( + ). (a) zérushelyek: f() 3 3 ( 3 ) -ból,,3 3 ± , 75 ± 5/6,, 8, 3 3, 3 mindhárom 4 zérushely egyszeres, a gráf átmetszi e pontoknál az tengelyt. stacionárius pontok: az f () 6 6 6( + )( ), ( + )( ) egyenletből 4, 5. z infleiós hely: az f () 6, 6 egyenletből 6, 5 lehet, ez valóban infleiós hely, mivel e pontban a második derivált előjelet vált. f konkáv a ],, 5] szakaszon, konve a [, 5, [ szakaszon. Mivel f ( 4 ) < az 4 pontban szigorú lokális maimuma van a függvénynek, f ( 5 ) > alapján az 5 pontban szigorú lokális minimuma van. z f () 6 6 6( + )( ) parabolát ábrázolva láthatjuk, hogy f () > a ], [ és ], [ szakaszokon, így ott a függvény szigorúan monoton növekvő, f () < a ], [ szakaszon, így ott a függvény szigorúan monoton csökkenő. határértékek a végtelenekben: f() (3 ) ( 3 ) (, f() (3 ) 3 )

2 mivel a zárójeles részek határértéke. z f függvény gráfját a következő ábra mutatja (az infleiós pontot megjelöltük): (b) zérushelyek: g() e ( + ) -ból, ± 9 amiből, mindkét zérushely egyszeres, a függvény gráfja e pontoknál átmetszi az tengelyt. stacionárius pontok: az g () e ( + + 3), egyenletből 3,4 ± 3, 3, 3, 4, 3. z infleiós helyek: a g () e ( 3 ), 3 egyenletből 5,6 3 ± 7, 5 ± 4, 5, 5 3, 56, 6, 56 lehetnek, mindkét érték valóban infleiós hely, mivel e pontokban a második derivált előjelet vált. z y 3 parabolát felrajzolva láthatjuk, hogy g konve a ], 6 ] és [ 5, [ szakaszokon, konkáv az [ 6, 5 ] szakaszon. Mivel g ( 3 ) < az 3 pontban szigorú lokális maimuma van a függvénynek, g ( 4 ) > alapján az 4 pontban szigorú lokális minimum van. z y parabolát ábrázolva láthatjuk, hogy g () > az ] 4, 3 [ szakaszon, így ott a függvény szigorúan monoton növekvő, g () < a ], 4 [ és ] 3, [ szakaszokon, így ott a függvény szigorúan monoton csökkenő. határértékek a végtelenekben: g() + g() mivel mindkét tényező végtelenhez tart e + e e, ahol a L Hospital szabályt alkalmaztuk (kétszer). g függvény gráfját a következő ábra mutatja (az infleiós pontokat megjelöltük):

3 3 (3) L Hospital szabály alkalmazásával határozza meg az alábbi határértékeket: 5 sin(5) 3, e ( 3 4 ), 5 sin(5) 5 5 cos(5) 5 sin(5), 4. 4 e ( ) e e e e, (4) Egy személy Ft bruttó jövedelme utáni () Ft adóját az () a(b + c) + k képlettel számolhatjuk, ahol a, b, c pozitív állandók, k R. Milyen jövedelem mellett lesz az Ā() () átlagos adóhányad minimális? a(b + c) + k Ā () (a(b + c)b + k) ( a(b + c) + k ) a(b + c) ab(b + c) (b c) ( c ), b ab(b + c) a(b + c) amiből Ā zérushelyei, a stacionárius pontok: c b és c b. Mivel < nincs a szóbajöhető értékek között (csak pozitív jövedelmeket vizsgálunk) így az egyetlen stacionárius pont. Látható, hogy < -nél Ā () < ezért itt az Ā függvény szigorúan csökkenő, > - nél Ā () > ezért itt az Ā függvény szigorúan növekvő. Ez azt jelenti, hogy az Ā függvénynek

4 4 szigorú lokális minimuma van az pontban, és függvény monotonitási tulajdonságai miatt ez globális minimumhely is a pozitív félegyenesen. (5) Számítsa ki a következő integrálokat! + 5 d, d, ( + ) sin d, + 3 d, tg( π + π/4) d, e 4 d, + e 4 ( 5 3 ) ln d, 3 d, ( )e d, 3 + d, sin cos d, e + d (e + t ). + 5 d ln C, d 3 + C, 3 tg( π + π/4) d ln cos( π + π/4) /( π) + C, d arc tg + C, 6 6 e 4 ( + e 4 ) d d + e e 4 4 ln( + e 4 ) + C, ( )e ( )e e d ( )e e + C ( 3)e + C, ( + ) sin d ( + ) cos + ( + ) cos d ( + ) cos + ( + ) sin sin d ( + ) cos + ( + ) sin + cos + C ( + ) sin ( + ) cos + C, ( 5 3 ) ln d ( 6 /6 3) ln ( 6 /6 3) /d ( 6 /6 3) ln 6 / /3 + C, 3 ( + d + ) d ( 3 /3 / + ln + + C, d sin cos d e + d t ( + ) d 4 ln ( + ) ( + ) + + C 4 ln C, (sin ) / (sin ) d sin3/ 3 t t dt (t ) + t dt + C, ( + ) t dt t + ln t t + + C e + + ln e + e C.

5 5 (6) Számítsa ki a következő határozott integrálokat! π/6 sin d, 3 d, ( d, + ) 9 π/ + d. π/6 sin d [ cos ] π/6 3/ +, ( + ) 9 d [ ( + ) 8 /( 8) ], π/ 3 d [ 4 /4 ] 4, 4 d [arc tg ]π/ + arc tg (π/). (7) Léteznek-e a következő improprius integrálok? Ha igen, számítsa ki őket! + 9 ln d, + + d, ln d [ ln ] t t (t t ln t) t t d + t d 9 t + t t 9 d. ( t ln t ) t t d + [arc tg t ]t (arc tg t ) π/, t d [ ] 9 ( 9 t) 9 6. t + t t + t t, (8) Számítsa ki az ( 3 + y) 5 dy d e y ddy kettős integrálokat, ahol az, y és az y egyenletű görbék által határolt síkrész! ( 3 + y) 5 dy d [ ] y ( ( 3 + y)6 d ( 3 + 4) 6 ( 3) 6) d y [ ( ( 3 + 4) 7 ( 3) 7)] ( ) ( ).

6 6 z halmazt az alábbi ábra mutatja, ahol az határai kék színnel, az y tengely -tól -ig terjedő határ-rész feketével van jelölve. Ez a halmaz első és másodfajú normál tartománynak is tekinthető. z halmazt {(, y) :, y } alakban, elsőfajú normál tartományként felírva, az integrál kiszámítása: e y ddy y dy d. e z halmazt másodfajú normál tartományként felírva az integrál kiszámítása: {(, y) : y, y }, e y ddy y e y d dy. z első alakban nem tudjuk az integrált kiszámítani, mert az e y függvény y változó szerinti primitív függvénye (valószínűleg) nem elemi, ezért az utóbbi kiszámítási képletet kell alkalmazni. belső integrál y így (parciális integrálással) e y ddy e y d [ye y ] y y ye y (y ye y ) dy ydy ye y dy [ y (yey e y ) ] y y 3.