Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Átírás

1 Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk ki a következő integrálokat! (t + 6t 5)dt + + ( + e ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + + m) n) o) p) q) r) s) t) ( e ( 3) cos ). z f α f = f α+ α + (α ) és f f = ln f formulák segítségével határozzuk meg a következő integrálokat!

2 + + ( 4) ln tg e + e sin + sin lkalmas helyettesítésekkel határozzuk meg a következő határozatlan integrálokat! e sin 3 cos 3 ( + 3 ) 3 ( + ) (8 + 7) sin cos3 arc tg 3 + tg cos 4. Számítsuk ki (parciális integrálássa a következő határozatlan integrálokat! e e cos 3 e e cos sin e sin ln ln

3 ( )e m) 7 ln ( + ) cos n) arc tg ( 3 3 7) sin o) arc tg ( + ) ln p) arcsin 5. Integráljuk a következő racionális törtfüggvényeket! ( + ) ( + ) m) n) 5 ( )( + 5) + 3 ( )( + 5) Bontsa fel a 3 ( + ) ( + ), 5 ( ) 3 ( + ) ( + + ) racionális törteket parciális törtekre, és az együtthatók kiszámolása nélkül (határozatlan együtthatókka határozza meg e függvények integrálját! 7. lkalmas helyettesítéssel számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! 3

4 + cos (t = tg + + ( + ) 3 e 4 + e e (e = t ) tg 3 (t = tg ) e ( = sin t) m) n) o) p) 3 ( + ) 4 + sin + cos ln + ln cos cos sin(ln ) + Határozott integrál 8. Számítsuk ki a következő határozott integrálokat! ; 3 ; π sin ; cos ; π ; ; 3 ( e + + ). 9. Legyen ha < f() = 3 ha = ha > ; g() = { ha < ha >. Mennyi a következő integrálok értéke? f() ; 3 f() ; 3 f() ; g() ; 5 4

5 g() ; 3 g() ; b f() b g() (a < b, b > ). a a. Számítsuk ki a következő integrálokat! 3 e ; ( ) 7 ; π/ π/3 ctg () ;,5.. Számítsuk ki a következő határozott integrálokat! 3 e ; 4 ; e e 4 + e ; 4 3. Improprius integrálok. Léteznek-e a következő impropius integrálok? Ha igen, számítsuk ki őket! ln ; e ln ; ln ; ; ; + e ; e ; ; ; 3 ; Léteznek-e az alábbi improprius integrálok? Ha igen, számítsuk ki őket! 3 ; ( ) ; 4 e ; ; + 6 e /3 ; 3 ; ; +. 5

6 4. Legyen f() = ( ). Melyek léteznek a következő integrálok közül? f() ; f() ;,5 f() ; f() ;,5 f() ; f() ; f(). 5. Mennyi π ( ) ; ; 4 ; e ; π e ; ln ; ln ; ; 6 ; z integrál alkalmazásai 6. Mennyi π sin és 4. Próbáljuk meg az eredményt megtalálni a π primitív függvény kiszámítása nélkül! 7. Egy munkás bére egy adott év n-edik napján b(n) = 5F t + n, 5F t + n, F t. Mennyit keres így egy év alatt? Helyes-e az integrálszámítást használni a feladatok megoldásához? 8. Ha egy év n-edik napján a napi inflációs ráta értéke i(n) = (, +, n +, sin(nπ/8)) % nap akkor mennyi az éves infláció mértéke?, (n N) 9. Tegyük fel, hogy a GNP növekedési üteme az n-edik évben f(n) % év. Hányszorosára nő ekkor a GNP az n és n -edik évek között? 6

7 . Egy üzem raktárában r egység anyagmennyiség van, és ezt T nap alatt dolgozzák fel. rendelkezésre álló adatok szerint a raktárkészlet fogyásának grafikonja jól közelíthető egy y = a( parabolával a [, T ] intervallumon. Számítsuk ki a -t és b -t, majd határozzuk meg a T napra fizetendő raktározási költségeket, ha egy egység raktározása R forintba kerül naponként.. Legyen = {(, y) y } és B = {(, y) y + }. Mennyi B területe?. Mennyi az a + y = ellipszis területe? b 3. Mennnyi az f() = 4 függvény görbéjének a hossza =, 5 és = között? 4. Ha egy [a, b]-n értelmezett f() függvény görbéjét megforgatjuk az -tengely körül, akkor az általa határolt forgástest térfogata b V = f () π. a Ezt felhasználva számítsuk ki egy gömb és egy kúp térfogatát! 5. Forgassuk meg az y tengely körül az y = 8 egyenletű parabolának az első síknegyedbe eső részét! Mekkora térfogatú test keletkezik? Többszörös integrálok 6. Számítsuk ki! y dy ; e +y dy ; b d y dy a c 7. Integrálja a következő függvényeket az tartományon! ( + y ) dy = {(, y), } (a + by + dy = {(, y) ( ) + (y ) } cos( + y) dy = {(, y), y, + y π} ( + y + ) dy = {(, y) + y, n y} 7

8 8. Határozza meg a dy kettős integrál értéket, ha = { (; y) y, y }! 9. Határozza meg a dy kettős integrál értéket, ahol az y = 3 és az y = + 4 parabolák által közrezárt tartomány! 3. Határozza meg a ( + y) dy kettős integrál értéket, ahol az =, y = és az + y = egyenletű egyenesek által határolt háromszög! 3. Határozza meg a e y dy kettős integrál értéket, ahol az =, y = és az y = egyenletű görbék által határolt síkrész! Differenciálegyenletek 3. Oldjuk meg a következő szeparábilis differenciálegyenleteket! y = e sin y = + y ( + sin )y = + y + yy = ( + e )y = e y sin = y ln y y y = y 3 ( )y + y = + 5 = yy e y y + =. 33. Határozzuk meg az ( + e )yy = e differenciálegyenlet y() = kezdeti feltételt teljesítő megoldását! 8

9 34. Melyik az az origón átmenő görbe, amelynek bármely pontjához húzott érintője átmegy az (, ) ponton? 35. Jelölje y() egy iparág dolgozóinak összlétszámát az időpillanatban. Tegyük fel, hogy a létszámcsökkenés sebessége olyan hogy y () = λy(), ahol λ >, az iparágra jellemző kilépési együttható, konstans. = -ban a kezdő létszám ismert. Mennyi idő alatt csökken le a kezdő létszám a 3/4-ére? 36. Egy tartályban száz liter kg konyhasót tartalmazó oldat van. tartályba l/perc sebességgel tiszta viz folyik be, és ugyanekkora sebességgel sóoldat folyik ki (állandó keverés miatt az oldat minden időpontban homogén). perc eltelte után mind a kifolyó, mind a befolyó csapot elzárjuk. Mennyi só marad ekkor az oldatban? 37. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket szeparábilis egyenletre való transzformáció segítségével (az első három egyenletnél lineáris helyettesítést a többinél z() = y() helyettesítést használjun! y = ( y) + y = sin( y) (y ) = + y + (y > ) + y + y = y = y ln y y ln ( y)y = + y + y + y y = y = y (3y + )y = 6y + 4 y yy + y + y = y = y. y 38. Oldjuk meg a következő lineáris differenciálegyenleteket! y = y y y = e sin y y = e y + y tg = sin y + 3y 3e = y sin + y cos = cos y = y y y e = y 3y + 5 = y = y + 3y ( + )y y = y = y Oldja meg az y + y = e differenciálegyenletet! Határozza meg a megoldásfüggvények határértékét esetén! y + y = e y + y = 3 9