Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Átírás

1 Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció... 4 A kettősintegrál kiszámítása téglalap tartományon... 4 A kettősintegrál kiszámítása normál tartományon... 6 Kettősintegrál y-tengelyre vonatkoztatott normál tartományon... 7 A kettősintegrál geometriai jelentése... 7 Integráltranszformáció... 8 Polárkoordinátás transzformáció... 9 Térgörbék... Kísérő triéder... 5 Térgörbék ívhossza... 8

2 Kétváltozós függvény integrálszámítása Primitívfüggvény Az f ( y, ) függvény változó szerinti primitív függvénye (, ) (, ) (, ) F y = f y Az összes primitív függvény jelölése: (, ) (, ) F y, ha f yd= F y + C Az f ( y, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G(, y ), ha G (, y) = f (, y) Az összes primitív függvény jelölése: (, ) (, ) y Példa f ydy= Gy + C e d= e d= e + C, mert y y y y y y y e = e = e y y y y y y y y y y e dy = e dy = e + C y y y, mert y y e = e y Kettősintegrál A kettősintegrál téglalap tartományon Legyen T egy téglalap alakú tartomány a koordinátatengelyekkel párhuzamos oldalakkal, (, ): a T y b =, osszuk fel az [ ab, ] intervallumot n egyenlő részre, jelölje az c y d osztópontokat a= 0 < <... < í < i+ <... n = b, osszuk fel a [ cd, ] intervallumot is m egyenlő részre, jelölje az osztópontokat c= y0 < y<... < yj < yj+ <... ym = d. Legyen ( ui, vj) egy tetszőleges belső pontja az < u < y < v < y i i i+ j j j+ téglalapnak. f u, v ( y y ) ( ) Képezzük az ( ) + + i i j j i i szorzatot, azaz a téglalap egy tetszőleges belső pontjában vett függvényértéket szorozzuk meg a téglalap területével. Summázzuk a szorzatot az összes téglalapra.

3 n m I = f ui, vj ( i i) ( yj yj), melyet a konkrét (n,m) A kapott összeg ( ) + + i= j= felosztáshoz tartozó általános integrálközelítő összegnek nevezünk. = vagyis mij az alsó határa, M ij a felső határa a téglalapbeli függvényértékeknek. n m Legyen snm, = mij( i+ i) ( yj+ yj), ezt az összeget, az adott (n,m) felosztáshoz Legyen mij = inf { f( ui, vj )} és M ij sup { f( ui, vj )} i= j= tartozó alsó közelítő összegnek nevezzük. n m Legyen Snm, = Mij( i+ i) ( yj+ yj), ezt az összeget, az adott (n,m) felosztáshoz i= j= tartozó felső közelítő összegnek nevezzük. Ekkor minden integrálközelítő összegre igaz, hogy snm, I Snm, osztópontok felvétele esetén az alsó összeg nő (nem csökken), a felső összeg csökken (nem nő). Ha az alsó összegeknek a felső határa és a felső összegeknek alsó határa megegyezik, vagyis ha sup( snm, ) = inf( Snm, ), akkor mondjuk, hogy f ( y, ) integrálható T -n. Jele: f (, y) ddy (szokásos jelölés még dt ) A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele T minden I -re. További Az integrál definíciójából következik, hogy ha létezik a kettős integrál, akkor az f ( y, ) függvény korlátos a T tartományon. 3

4 Illusztráció Vegyük az f (, y) 9 y ha + y 9 = függvényt! 0 ha + y 9 A hozzá tartozó felület egy forgás-paraboloid z = + y, lefelé fordítva (--el szorozva) és feltolva a z=9 pontba. Legyen a T tartomány egy 6 egység oldalú négyzet melynek középpontja az origó. Elkészítettük az n=m (ugyanannyi részre osztjuk fel a négyzet mindkét oldalát) felosztáshoz tartozó alsó és felső közelítő összegek egyikét-másikát. A kettősintegrál kiszámítása téglalap tartományon A kettősintegrál egy téglalap tartományon (, ): a T y b = visszavezethető két c y d egymás után végrehajtható egyszeres integrálra. Téglalap tartomány esetén tetszőleges az integrálás sorrendje. Ha az integrálközelítő összegben az összes téglalapra való összegezést először rögzített ( i+, i) mellett végezzük j szerint ab -n, akkor két egyszeres [ cd, ] -n, majd i szerint [, ] integrálközelítő összeget kapunk, tehát: 4

5 b d f (, y) ddy = f (, y) dy d T a c Könnyen látható, hogy ha fordított sorrendben végezzük az összes téglalapra való összegezést, először rögzített ( yj+, yj) mellett végezzük i szerint [ ab, ] -n, majd j szerint cd -n, akkor két egyszeres integrálközelítő összeget kapunk, tehát: [, ] d b f (, y) ddy = f (, y) d dy Vagyis az integrálás sorrendje tetszőleges. T c a Példa Határozzuk meg az (, ) y f y e + = függvény kettős integrálját a T = (, y): y tartományon! Megoldás Ha először y-szerint integrálunk azután -szerint, akkor: T + y + y y y y e ddy = e dy d = e e dy d = e e dy d = e e d = = e e d= e e e e e Példa Határozzuk meg a z = sin + sin yfüggvény kettősintegrálját N-en. π π π N = {(, y) :,0 y π π π π = yddy y ddy y π dy = 0 π 0 ( sin sin ) ( sin sin ) [ cos sin ] N + = + = + = 5

6 π [ ] π = π sin ydy = π cos y = π cos + cos 0 = π 0 0 π A kettősintegrál kiszámítása normál tartományon Definíció -tengelyre vonatkoztatott normál tartománynak nevezzük a következő tartományt. N a b = (, y): f( ) y f( ) Ha az integrálközelítő összegben rögzített akkor az hez tartozó intervallum [ ( ), ( )] i i i mellett végezzük előbb az összegezést, f f. i Tehát: b f ( ) f (, y) ddy = f (, y) dy d N a f ( ) Példa Határozzuk meg az ( ) f y, = yfüggvény kettős integrálját a N 0 = (, y): y tartományon! Megoldás N 5 y ddy = ydy d = y d = ( ) d = Példa y Számítsuk ki az f(, y) = függvény kettősintegrálját a D tartományon! + 6

7 D 0 = y ; D y 0 y = 0 y 4 y y y ddy = dy d = ydy d = d = d = D = ln( ) [ ln( ) ] ( ) 0 d = + d = d = = ln( + ) + + ln( + )) = + + = Kettősintegrál y-tengelyre vonatkoztatott normál tartományon Definíció: y-tengelyre vonatkoztatott normál tartománynak nevezzük a következő tartományt. N y c y d = (, y): g( y) g( y) d g ( y) f (, y) ddy = f (, y) d dy Ny c g ( y) A kettősintegrál geometriai jelentése A téglalap tartományon vett kettősintegrál geometriai jelentése a felület alatti előjeles térfogat, hiszen egy felosztáshoz tartozó alsó közelítő összeg a beírt hasábok térfogatának összege, a felső összeg pedig a kívül írt hasábok térfogatának összege: Példa 7

8 Határozzuk meg a f ( y, ) = y függvény kettősintegrálját az egységkörön. Megoldás y ddy = 0, mert a függvény értéke szimmetrikus de ellentétes előjelű a következő K tartományon. Határozzuk meg a f ( y, ) = y felület és az egységsugarú henger részének térfogatát. + y = z = z közös Megoldás Tekintettel arra, hogy most nem előjeles térfogatot számolunk, kiszámoljuk az első síknegyedbe eső N negyedkörre az integrál értékét és négyszer vesszük. y V = 4 y ddy 4 y dy d 4 = = d= 4 d= N = 4 d= 4 = Integráltranszformáció f (, y) ddy kettősintegrál kiszámításánál, ha az [, ] T (, y) koordinátájú ponthoz az [ uv, ] síkon a ( (, ), (, )) f ( y, ) f( uv (, ), yuv (, )) és a T tartomány az [, ] át. A kettősintegrál pedig ( (, ), (, )) J (, ) v(, ) (, ) (, ) uv uv Q y síkon minden uv yuv pontot rendeljük, akkor uv síkon egy Q tartományba megy f u v y u v J dudv integrálba megy át, ahol u = neve Jacobi determináns. y u v y u v u v 8

9 Polárkoordinátás transzformáció Ha az u paraméter geometriai jelentése az origótól való távolság, a v jelentése pedig a pont irányszöge (-tengely pozitív felével bezárt szög) akkor a szokásos u = r v = ϕ jelöléssel ( r, ϕ ) = r cos ϕ, y( r, ϕ) = r sinϕ r ( r, ϕ) ϕ ( r, ϕ) cosϕ r sinϕ J = = = rcos ϕ+ rsin ϕ = r y r, ϕ y r, ϕ sinϕ r cosϕ u ( ) ϕ ( ) A transzformációnál az [, y] síkban lévő szektor (lásd az ábrát) téglalap tartományba megy át az [ r, ϕ ] síkon Példa Határozzuk meg az f ( y, ) ln( y ) T {(, y):3 y 4, y 0} = + tartományon! = + függvény kettősintegrálját A T tartomány egy fél körgyűrű, mely polárkoordinátás transzformációval egy Q téglalap tartományba megy át a polár síkon. = rcosϕ y = rsinϕ Polár transzformációt alkalmazva kapjuk: ln( ) ( ln ) ( ln ) ( ln ) T π 4 π 4 π 4 + y ddy= r rdrd ϕ = r rdrd ϕ = r rdrd ϕ Parciális integrálás segítségével: r r lnr dr = r ln r r (ln r) dr = r lnr r dr = r lnr = r lnr r 9

10 Tehát visszatérve a keresett integrálra: π 4 4 r ln r dr dϕ = π r ln r = π 6(ln 4 ) 9(ln 3 ) Példa Határozzuk meg a nyeregfelület kettősintegrálját az egységkörön. 0

11 Példa Számítsuk ki az Megoldás + y = z kúp + y + z = gömb belsejébe eső részének térfogatát! A térfogatot két egyenlő részből számoljuk. A kúp pozitív fele z = + y. A test, melynek a térfogatát számoljuk a kúpból és egy gömbszeletből áll. A gömbszelet alatti térfogatból ki kell vonni a kúp alatti térfogatot. K + yddy yddy K Ahol a K tartomány a test vetülete az [, y ] síkon, melyet úgy kapunk, hogy a gömb és kúp metszetgörbéjét levetítjük az [, y ] síkra. A metszetgörbe pontjaira: y + = innen y = + y ; + y = y = + y ;azaz Tehát a K tartomány egy sugarú kör origó középpontú kör. Az integrál additivitása miatt yddy + yddy= ( y + y) ddy= V K K K Polár transzformációt alkalmazva kapjuk: K π π 3 3 r ( ) ( y + y ) ddy = r r r dr dϕ = ( r ) dϕ = π 3 3 r 0 0 π ( ) π ( r ) dϕ = ( ) r 3 3 = Feladatok:. Számítsa ki a z = 8 y paraboloid és a z = 0 sík közé zárt térrész térfogatát!

12 . Határozza meg a T y 3 ddy kettős integrál értékét, ha a T tartományt az + y 4, 0, y 0 egyenlőtlenségek jelölik ki. Térgörbék

13 Deriválás 3

14 4

15 Kísérő triéder 5

16 6

17 7

18 Térgörbék ívhossza 8

19 Példa a.) Bizonyítsuk be, hogy az astroid rt () ((cos), t ) 3 (sin t), 3 0 = síkgörbe minden pontjában az érintőjéből a koordináta tengelyek által lemetszett szakasz ugyanakkora. b.) Számítsuk ki az astroid ívhosszát! Megoldás ( ) rt &( ) = 3(cos t) ( sin t), 3(sin t) cos t, 0 rt &() = 9(cos)(sin) t t + 9(sin)(cos) t t = 3cossin t t= sint A negyed részének ívhossza: t t π π 3 s = r& ( t) dt = sint dt = 3 sint dt = 3[ cost] = Tehát az astroid hossza: π 9

20 Példa Bizonyítsuk be, hogy az r() t ( tcos t, tsin t, t) egyenletű kúpfelületen. Adjuk meg a görbületét a Megoldás t = térgörbe rajta van az π = paraméterű pontban! Vetülete az[, y] síkon + y = z () ( cos sin, sin cos, ) r t = t t t t+ t t, r π = π,, && r t = sin t (sin t+ tcos t), cos t+ (cost tsin t), 0 && r() t = ( sin t t cos t), cost t sin t, 0), && r π =, π, 0 i j k () ( ) π π π r& && r = =,, +, 4 π 0 π r& = + 4 Feladatok r& && r g = = r& 3. Adott az r() t ( e cos, cos, ) t t e t t e t π π π π r& && r = ( + ) = = térgörbe π 5π π + 4 a) Írja fel a térgörbe t 0 = 0 pontjához tartozó simulósíkjának és érintő egyenesének egyenletét. b) Számítsa ki a térgörbe t 0,ln intervallumba eső darabjának az ívhosszát. r t cos t, sin t, ln cost P,0,0 pontbeli kísérő = térgörbe ( ) 4. Határozza meg az () ( ) triéderének egységvektorait, a görbületet! Határozza meg ebben a pontban a simulósík és az érintő egyenes egyenletét is! 0 0

21 Példa = cos t Igazoljuk, hogy a rt () = y = costsint z = sin t számítsuk ki az ívhosszát! π π t térgörbe az egység sugarú gömbön van, és Megoldás Az egységsugarú gömb egyenlete: + y + z =, az egyenletbe behelyettesítve a térgörbe koordináta-függvényeit, ( ) ( ) ( ) cos t + cost sin t + sin t = cos t cos t+ sin t + sin t =, kielégíti azt, tehát valóban a felületen van. & = sin t rt &() = y& = cost, z& = cost & rt ( ) = sin t+ cos t+ cos t= + cos t Az ívhosszát nyolc egybevágó darabból számolva: π t s = r& () t dt = + cos t dt t 0 közelítőleg tudjuk kiszámítani (elliptikus integrál) A görbe nézetei: