KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
|
|
|
- Alajos Tamás
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19
2 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely, az és x = b egyenesek által közrezárt görbevonalú trapéz területe (325 ábra): (1) 325 ábra Ha ezen az intervallumon jelölt síkidomok területe: (326 ábra) vagy f(x) többször előjelet vált (327 ábra), akkor az ábrán vonalkázással (2) 326 ábra 327 ábra
3 Ha az [a,b] intervallumon, akkor az és, görbék közötti síkidom területe (328 ábra): (3) 328 ábra Ha a görbe polárkoordinátás egyenlete, akkor a 329 ábrán vonalkázással jelölt szektor területe: (4) 329 ábra Ha a görbe az területe (329 ábra): egyenletrendszerrel paraméteresen van megadva, akkor a szektor (5) Az (1), (4) és (5) formulák egyszerűbb jelölése lehet:,,
4 Ívhosszszámítás Az görbe ívhossza (330 ábra): (6) 330 ábra Ha a görbe polárkoordinátás egyenlete, akkor (7) Ha a görbe az egyenletrendszerrel paraméteresen van megadva, akkor (8) A (6), (7) és (8) formulák egyszerűbb jelölése lehet: 2 FORGÁSTEST TÉRfOGATÁNAk ÉS felszínének SZÁmÍTÁSA Forgástest térfogata Ha az, egyenletű görbe az x tengely körül forog (331 ábra), akkor forgásfelület keletkezik E forgásfelület, valamint az x = a és x = b síkok által közrezárt forgástest térfogata: (9)
5 331 ábra Ha az egyenletű görbe az y tengely körül forog (332 ábra), akkor a keletkező forgástest térfogata: (10) 332 ábra Forgásfelület felszíne Az görbe x tengely körüli forgásával keletkező forgásfelület felszíne: (11) Ha az görbe az y tengely körül forog, akkor a keletkező forgásfelület felszíne: (12) 3 NYOmATÉk ÉS SÚLYPONT SZÁmÍTÁSA
6 Elsőrendű statikai nyomaték és súlypont számítása Síkidom Tekintsük a (325) ábrán vonalkázással jelölt síkidomot 325 ábra E síkidom x-, ill y tengelyre vonatkozó elsőrendű (statikai) nyomatéka: (13) Megjegyezzük, hogy a síkidomot kitöltő tömeg sűrűségeloszlását itt -nek tételezzük fel Ha a síkidom területe T, akkor súlypontjának koordinátái: (14), Görbe Az, egyenletű görbeív x-, ill y tengelyre vonatkozó statikai nyomatéka: (15) Ha a görbe ívhossza s, akkor súlypontjának koordinátái: (16), Forgástest és forgásfelület A 331 ábrán vázolt (homogén) forgástest (y, z) síkra vonatkozó elsőrendű (statikai) nyomatéka: (17)
7 331 ábra Ha e forgástest térfogata, akkor súlypontjának abszcisszája: (18) A 331 ábrán vázolt (homogén) forgásfelület (y, z ) síkra vonatkozó elsőrendű (statikai) nyomatéka: (19) Ha a forgásfelület felszíne, akkor súlypontjának abszcisszája: (20) Másodrendű nyomaték számítása Síkidom A 325 ábrán vázolt síkidom x -, ill y tengelyre vonatkozó másodrendű (tehetetlenségi, inercia) nyomatéka: (21) 325 ábra Görbe Az görbeív x -, ill y tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka:
8 (22) Forgástest és forgásfelület A 331 ábrán vázolt forgástest x tengelyre (a forgástengelyre) vonatkozó másodrendű nyomatéka: (23) a forgásfelület x tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka pedig: (24) 4 MINTAPÉLDÁk Megoldások: láthatók nem láthatók Számítsuk ki az alábbi görbék (vonalak) által határolt síkidomok területét: 1,,, ; Megoldás A síkidom olyan görbevonalú trapéz, amelyet "felülről" az parabola, "alulról" az x tengely szakasza, oldalról pedig az y tengely és az egyenes határol (333 ábra) 333 ábra Használjuk az (1) képletet: 2,, ;
9 Megoldás A síkidom az (1) képlet szerint görbe egy félhulláma és az x tengely közötti síkrész (3 34 ábra) Az 334 ábra 3,, ; Megoldás A síkidom a 335 ábrán látható A (3) képletet alkalmazva, 335 ábra 4,, ; Megoldás A síkidom a 336 ábrán látható Az (1) képlet szerint
10 336 ábra 5,, ; Megoldás A síkidomot "felülről" az, azaz kör, alulról az parabola határolja (337 ábra) 337 ábra A metszéspontok abszcisszáit az, egyenletrendszer megoldásával kapjuk Az képletet: felhasználásával Ennek valós megoldásai: és Használjuk a (3) Itt kihasználtuk azt, hogy, és 6, ; Megoldás A síkidom a 338 ábrán látható
11 338 ábra A metszéspontok abszcisszái az, egyenletrendszer megoldásával kaphatók Az másodfokú egyenlet gyökei:, A (3) képlet szerint 7, r és polárkoordináták; Megoldás A görbe kardioid, amely szimmetrikus a polártengelyre (339 ábra) 339 ábra Ezt a szimmetriát kihasználva, a (4) képlet szerint a terület: 8 Megoldás A síkidom egy ciklois ív és az x tengely szakasza közötti síkrész (340 ábra)
12 340 ábra Első megoldás Használjuk az (1) képletet alakban Mivel Második megoldás A síkidom szektornak is tekinthető Az (5) képletet használva,, és t változik -től 0-ig Így a szektorterület, egyúttal a görbe alatti síkidom területe is: Számítsuk ki az alábbi görbék ívhosszát: 9 ; Megoldás, így a (6) képlet szerint 10 ; Megoldás, így a (6) képlet szerint
13 11 ; Megoldás Használjuk a (6) képletet,, 12 ; Megoldás A görbe kardioid (339ábra),, A (7) képlet szerint, a szimmetriát kihasználva, 13 Megoldás A görbe ciklois Használjuk a (8) képletet:,,
14 14 Számítsuk ki az görbe (341 ábra), majd az görbe egy fél hullámának x tengely körüli forgásával keletkező forgástest térfogatát 341 ábra Megoldás Az keletkezik Ennek térfogata a (9) képlet szerint görbe esetére a forgástest például a [0; p] intervallumra eső ív forgatásával Az görbe egy félhulláma p/2 hosszúságú Így a térfogat: 15 Számítsuk ki az parabola ívének y tengely körüli forgásával keletkező forgásparaboloid térfogatát (342 ábra) 342 ábra Megoldás Használjuk a (10) képletet Mivel, ezért Érdemes megfigyelni, hogy a befoglaló henger térfogata, és a paraboloid térfogata
15 ennek fele Ez jellemző a forgásparaboloidra 16 Számítsuk ki az ciklois ívének x tengely körüli forgásával keletkező forgástest térfogatát (l a 340 ábrát, ahol ) Megoldás Használjuk a (9) képletet, miközben, Ha, akkor, ha, akkor 17 Számítsuk ki a gömb térfogatát és felszínét Megoldás Forgassuk meg az kör "felső" felét, az görbét az x tengely körül A keletkező felület a gömbfelület, annek belseje a gömbtest Ennek térfogata a (9) szerint, kihasználva a szimmetriát is, A felszín számításához használjuk a (11) képletet Mivel, kihasználva a szimmetriát is, 18 Számítsuk ki az görbe ívének x, ill y tengely körüli forgásával keletkező forgásfelület felszínét (343 ábra)
16 343 ábra Megoldás Használjuk a (11), ill (12) képletet, és vegyük figyelembe azt, hogy a görbe szimmetrikus az y tengelyre:, 19 Számítsuk ki az, félkörlap súlypontjának koordinátáit (344 ábra) 344 ábra Megoldás A félkörlap szimmetrikus az y tengelyre, ezért a súlypont az y tengelyen van, így annak abszcisszája A (14) képletek szerint A félkörlap területe Az statikai nyomaték a (13) képlettel számítható Mivel, ezért
17 Így Tehát az súlypont koordinátái:, 20 Határozzuk meg az, félkörív súlypontját (344 ábra) 344 ábra Megoldás A súlypont koordinátáit kell kiszámítani Használjuk a (16) képleteket A szimmetria miatt a súlypont abszcisszája A félkörív hossza Az statikai nyomatékot a (15) képletekkel számítjuk Mivel,, ezért, és Így Tehát az S súlypont koordinátái:, 21 Számítsuk ki az görbe, az x tengely és az egyenes által közrezárt síkrész súlypontjának koordinátáit és e síkidomot határoló zárt görbe súlypontjának koordinátáit (345 és 346 ábra) 345 ábra 346 ábra
18 Megoldás A síkidom területe: A statikai nyomatékok a (13) képletek szerint:, Tehát a síkidom súlypontjának koordinátái a (14) képletek szerint:, (345 ábra) A síkidom kerülete 3 vonaldarabból áll (346 ábra) Ezek összhossza (a kerület): A statikai nyomatékokat a három vonaldarabra külön-külön számítjuk, majd ezeket összeadjuk Az x tengelyre vonatkozó nyomatékok: Az s hosszúságú ívdarab nyomatéka a (15) képlet alapján: Az x tengely (y = 0) szakaszának nyomatéka: Az egyenes szakaszának nyomatéka integrálás nélkül számítható: Tehát az x tengelyre vonatkozó statikai nyomaték:,
19 Így a határoló zárt görbe súlypontjának ordinátája: Hasonlóan számítjuk a súlypont másik koordinátáját Az ív nyomatéka: A szakasz nyomatéka: Az egyenes szakaszának nyomatéka: Tehát az y tengelyre vonatkozó statikai nyomaték: Így a határoló görbe súlypontjának abszcisszája: 22 Számítsuk ki az,, negyedkör x tengely körüli forgásával keletkező forgástest (félgömbtest) súlypontjának koordinátáit Megoldás A súlypont az x tengelyen van A statikai nyomatékot a (17) képlettel számítjuk: A félgömbtest térfogata: Így a súlypont abszcisszája a (18) képlet szerint: A másik két koordináta 0 23 Számítsuk ki az,, negyedkör x tengely körüli forgásával keletkező félgömbhéj súlypontjának koordinátáit Megoldás A súlypont az x tengelyen van A statikai nyomatékot a (19) képlettel számítjuk Mivel, ezért
20 A félgömb felszíne Így a súlypont abszcisszája a (20) képlettel: A másik két koordináta 0 24 Számítsuk ki az parabola és az x tengely által közrezárt síkidom x, ill y tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát (3 47 ábra) 347 ábra Megoldás A (21) képletek szerint ; 25 Számítsuk ki az egyenes szakasz x tengely körüli forgásával keletkező forgáskúptest és -palást x tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát (348 ábra) 348 ábra Megoldás A forgástest nyomatéka a (23) képlet szerint: ;
21 A forgásfelület (a palást) nyomatéka a (24) képlettel, figyelembe véve, hogy : 5 FELADATOk Számítsa ki az alábbi görbék és az x tengely közötti síkidom (görbevonalú trapéz) területét: 1, ; 2, ; 3, ; 4, ; 5, ; 6, ; 7, ; 8, 9 Számítsa ki annak a két darabból álló síkidomnak a területét, amelyet az,, az x tengely, az y tengely és az egyenes közrezár Számítsa ki annak a korlátos síkidomnak a területét, amelyet az alábbi görbék és az x tengely közrezár: Számítsa ki az alábbi görbepárok által közrezárt síkidom területét:
22 14 és ; 15 és, ; 16 és 17 Az görbe és az egyenes kétféle síkidomot zár közre Számítsa ki a kisebbik területét 18 Számítsa ki az ellipszis területét 19 Számítsa ki az görbe által határolt idom (hurok) területét 20 Az parabola az kör belsejét (a körlapot) két részre vágja Számítsa ki ezek területét 21 Számítsa ki m értékét, ha az y = mx egyenes és az parabola által közrezárt síkidom területe 9 22 Számítsa ki a értékét, ha az parabola felezi az x tengely és az görbe által közrezárt síkidom területét 23 Az és görbék egybevágó síkidomokat zárnak közre Számítsa ki egy ilyen idom területét Számítsa ki az alábbi, poláris koordinátákkal adott görbék által határolt síkidom területét: 24 ; 25 ; 26 ; 27, ; 28 ; Számítsa ki az görbe területét 31 Az kardioidot az egyenes két részre vágja Számítsa ki a részek területét Számítsa ki az alábbi görbék által határolt síkidom területét (mint szektor területét): 32, ; 33,, ; 34, ; 35,
23 Számítsa ki az alábbi görbék forgásával keletkező forgástestek térfogatát: 36 Az egyenes első síknegyedben lévő szakasza forog az x tengely körül (r > 0, m > 0); 37 Az hiperbola íve forog az x, ill az y tengely körül 38 Az görbe íve forog az x tengely körül; 39 Az ellipszis forog az x ill y tengely körül; 40 Az parabola íve forog az x ill y tengely körül; 41 Az görbe forog az x ill y tengely körül; 42 Az görbe íve forog az x tengely körül; 43 Az, ciklois íve forog az x tengely körül; 44 Az kardioid forog a tengely körül Számítsa ki a következő görbék ívhosszát: 45, ; 46,, ; 47, ; 48 ; 49, ; 50, ; 51,, a > 0; 52, ; 53, ; 54, a > 0 (r és poláris koordináták) 55,, ; 56, ; 57,, ;
24 58,, Számítsa ki az alábbi görbék x tengely körüli forgásával keletkező forgásfelület felszínét: 59, ; 60,, ; 61, ; 62 ; 63, ; 64, a > 0 Számítsa ki az alábbi görbék y tengely körüli forgásával keletkező forgásfelület felszínét: 65, ; 66, ; 67 ; 68, ; 69,, Számítsa ki az alábbi görbékkel határolt korlátos síkrész x és y tengelyre vonatkozó statikai nyomatékát és súlypontjának koordinátáit: 70,,, ; 71,,, ; 72, ; 73,, ; 74,,,,, ; 75, r és poláris koordináták Számítsa ki az alábbi görbeív x és y tengelyre vonatkozó statikai nyomatékait és súlypontjának koordinátáit:
25 76, ; 77, negyedkörív; 78,, ; 79,,,,, ; 80, r és poláris koordináták Határozza meg annak a forgástestnek a súlypontját, amely az alábbi görbék által határolt korlátos síkidom adott tengely körüli forgásával keletkezik 81,,, az x tengely körül forog; 82,,, az y tengely körül forog; 83, az x tengely körül forog; 84, az x tengely körül forog Számítsa ki az alábbi görbeív forgásával keletkező forgásfelület súlypontjának koordinátáit: 85, az x tengely körül forog; 86 Az, az x tengely körül forog 87 Számítsa ki az és az x tengely által határolt síkidom y tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát 88 Számítsa ki az, íve és az x tengely által határolt síkrész x ill y tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát 89 Számítsa ki az kör (körvonal) x tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát 90 Számítsa ki az, aszteroida x tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát 91 Számítsa ki az parabola ívének x tengely körüli forgásával keletkező forgásparaboloid belsejébe eső forgástest x tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát Digitális Egyetem, Copyright Kovács Béla, 2011
Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd
Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin
Matematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
ANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Matematika példatár 5.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 5 MAT5 modul Integrálszámítás alkalmazása SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999
Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
Az integrálszámítás néhány alkalmazása
Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8
Matematika példatár 5.
Matematika példatár 5 Integrálszámítás alkalmazása Csabina, Zoltánné Created by XMLmind XSL-FO Converter Matematika példatár 5: Integrálszámítás alkalmazása Csabina, Zoltánné Lektor: PhD Vigné dr Lencsés,
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
A Maple és a határozott integrál alkalmazásai
A Maple és a határozott integrál alkalmazásai A Maple programcsomag egy nagyon jól kidolgozott algebrai és vizuális megjelenítésre alkalmas rendszer. A gondosan megszerkesztett súgók köszönhetõen könnyen
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
Feladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
A kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
Határozott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
Többváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására
Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. február 22. Tekintsük az alábbi keresztmetszetet. 1. ábra. A vizsgált
Geometriai példatár 2.
Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok
10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
A hordófelület síkmetszeteiről
1 A hordófelület síkmetszeteiről Előző dolgozatunkban melynek címe: Ismét egy érdekes mechanizmusról azon hiányérzetünknek adtunk hangot, hogy a hordószerű test görbe felülete nem kapott nevet. Itt elneveztük
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
TANMENET. a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján
Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál
Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató A hármas és háromszoros integrál Definició A fizikai meggondolások előzményeként jutunk el a hármas integrál következő értelmezéséhez. Legyen értelmezve
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
Koordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
Koordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
A Cassini - görbékről
A Cassini - görbékről Giovanni Domenico Cassini, a 17-18 században élt olasz származású francia csillagász neve egyebek mellett a róla elnevezett görbékről is ismert lehet; ilyeneket mutat az 1 ábra is
MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép
10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.
. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Tehetetlenségi nyomatékok
Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk
Ismét egy érdekes mechanizmusról. Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával.
![Ismét egy érdekes mechanizmusról. Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával.](/thumbs/91/106007800.jpg "Ismét egy érdekes mechanizmusról. Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával.")
1 Ismét egy érdekes mechanizmusról Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ennek a 10. 47. számú rajza egy szinuszos mechanizmust ábrázol. Ezzel korábban
Matematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
Kettős és többes integrálok
Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin
Egy általános helyzetű lekerekített sarkú téglalap paraméteres egyenletrendszere. Az egyenletek felírása
1 Egy általános helyzetű lekerekített sarkú téglalap paraméteres egyenletrendszere Az egyenletek felírása Korábbi dolgozataink már mintegy előkészítették a mostanit; ezek: ~ KD - 1: Általános helyzetű
MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.
YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához
1 Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához Előző dolgozatunkkal melynek címe: A ferde körkúp palástfelszínének meghatározásához már mintegy megágyaztunk a jelen írásnak. Több mindent
20. Integrálszámítás
20. Integrálszámítás I. Elméleti összefoglaló Az előző fejezetben sokszögek és a kör részeinek területével foglalkoztunk. Ebben a fejezetben olyan korlátos síkidomok területét is meghatározzuk, amelyeket
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most
Dierenciálgeometria és nemeuklideszi geometriák c. gyakorlat
matematikatanári szak (2017/18as tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Másodrend görbék a projektív síkon. Konjugált pontok.) A koordinátageometriai feladatoknál feltesszük, hogy a σ euklideszi sík egy derékszög
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről
1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges
Analízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
Többes integrálok matematikai és fizikai alkalmazásai
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Többes integrálok matematikai és fizikai alkalmazásai Témavezető: Fehér László Egyetemi docens nalízis Tanszék Készítette: Boda Lívia Matematika BSc
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat
1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer
Ellipszis perspektivikus képe 2. rész
1 Ellipszis perspektivikus képe 2. rész Dolgozatunk 1. részében nem mentünk tovább a matematikai kifejtésben. Ezzel mintegy felhagytunk a belső összefüggések feltárásával. A jelen 2. részben megkíséreljük
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
4. Felületek Forgásfelületek. Felületek 1. Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel
Felületek 1 4. Felületek Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel adjuk meg. Ekkor egy F felületet az (u, v) r(u, v), (u, v) T kétváltozós vektor-vektor
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Dierenciálgeometria feladatsor
Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
Észrevételek a forgásfelületek síkmetszeteivel kapcsolatban. Bevezetés
1 Észrevételek a forgásfelületek síkmetszeteivel kapcsolatban Bevezetés Előző dolgozatainkban melyek jelölése és címe: ~ ED - 1: Ismét egy érdekes mechanizmusról; ~ ED - 2: A hordófelület síkmetszeteiről
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Ellipszis átszelése. 1. ábra
1 Ellipszis átszelése Adott egy a és b féltengely - adatokkal bíró ellipszis, melyet a befoglaló téglalapjának bal alsó sarkában csuklósan rögzítettnek képzelünk. Az ellipszist e C csukló körül forgatva