Tehetetlenségi nyomatékok

Átírás

1 Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk távolság z egyenestől pedig d M: J = md + l sin α 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén tömegeloszlású rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd tömegközéppontjár, illetve rúd vlmely végpontjár vontkozón M: ml 1 ml Számítsuk ki z x + y = körvonlnk vlmelyik átmérőjére vontkozó tehetetlenségi nyomtékát M: π 4 Számítsuk ki z origór vontkozó tehetetlenségi nyomtékot z lábbi görbék esetében: C mx { x, y } = egyenletű négyzet b C z z irányított háromszögvonl, melynek csúcsi polárkoordinátákbn rendre P, 0, Q, π, R, 4π M: b 5 Htározzuk meg z x + y = szteroid pontjihoz trtozó rádiuszok középértékét, zz zt z r 0 r 0 > 0 számot, mely eleget tesz z I 0 = sr 0 összefüggésnek, hol I 0 görbének z origór vontkozó tehetetlenségi nyomték és s görbe ívhossz M: r 0 = 6 Htározzuk meg z illetve b oldlú, homogén tömegeloszlású m tömegű tégllp tehetetlenségi nyomtékát: tömegközépponton átmenő szimmetritengelyekre vontkozón b tégllp két egymásr merőleges oldlár vontkozón m, b m m 1, b m 1 1

2 c Írjuk fel középponti, illetve vlmely csúcspontr vontkozó tehetetlenségi ellipszisek egyenletét M: m 1 X + b m 1 Y = 1, illetve m X + b m Y bm XY = 1 7 Htározzuk meg z lpú, h mgsságú, m tömegű, homogén háromszöglpnk z lpr vontkozó tehetetlenségi nyomtékát M: I lp = mh 6 8 Htározzuk meg egy R sugrú, m tömegű homogén körlp tehetetlenségi nyomtékát: középpontjár vontkozón M: mr b kerületének vlmely pontjár vontkozón M: mr c egy átmérőjéte vonkozón M: mr 4 d egy érintőjére vontkozón M: 5mR 4 9 Tekintsük zt prbolszeletet, melyet z y = x x > 0 görbe és z Ox tengely htárol Számítsuk ki z Ox és Oy tengelyekre vontkozó I xx és I yy tehetetlenségi nyomtékot Mekkor z r x és r y tehetetlenségi sugár, vgyis z z érték, melyet z I x = Sr x és z I y = Sr y egyenlet definiál, hol S szelet területe ρ = 1? M: I xx = 105 4, I yy = 8 5 4, S = 4, r x = 5 70, ry = Számítsuk ki z és b féltengelyekkel rendelkező homogén ellipszislpnk főtengelyekre vontkozó tehetetlenségi nyomtékát ρ = 1 M: I xx π 4 b, I yy = π 4 b 11 Htározzuk meg z lábbi görbékkel htárolt trtományoknk z Ox és z Oy tengelyre vontkozó I x és I y tehetetlenségi nyomtékát ρ = 1: x b 1 + y h = 1, x b + y h = 1, y = 0 b 1 > 0, h > 0 b x + y =, x = 0, y = 0 0 x c r = 1 + cos ϕ d x 4 + y 4 = x + y

3 e xy =, xy =, x = y, x = y x > 0, y > 0 1 Tekintsük z x + y = x y görbével htárolt D trtományt Számítsuk ki z I O = x + y dx dy nyomtékot 1 Htározzuk meg z D y = x, x = y > 0 görbékkel htárolt síkidom I xy deviációs nyomtékát 14 Htározzuk meg z oldlú szbályos háromszögnek súlyponton áthldó és mgssággl α szöget bezáró tengelyre vontkozó tehetetlenségi nyomtékát 15 Igzoljuk, hogy h egy síkbeli pontrendszer esetén tehetetlenségi ellipszoidnk megfelelő AX + BY F XY = 1 egyenletű tehetetlenségi ellipszis z OX Y főtengelyrendszerben z A X + B Y = 1 egyenlettel írhtó le, kkor deviációs momentum kiküszöbölése egy ϕ szöggel vló forgtássl vlósíthtó meg, hol tg ϕ = F A B és két rendszerben megjelenő együtthtók közötti összefüggések: A, B = A + B A B ± + F 16 Htározzuk meg egy homogén, üres gömbhéj szimmetri tengelyre mr b vlmely érintő síkjár 4mR c vlmely érintő egyenesére 5mR vontkozttott tehetetlenségi nyomtékát 17 Htározzuk meg egy, b, c élhosszúságú, m tömegű homogén tömegeloszlású tégltest tehetetlenségi nyomtékát: középponton átmenő, z élekkel párhuzmos tengelyekre vontkozón M: m +b 1 mb +c 1 mc + 1

4 b vlmely csúcson áthldó élekre vontkozón M: m +b mb +c mc + c egy csúcson áthldó élekhez viszonyított rendszerben deviációs momentumokt M: mb 4 mbc 4 mc 4 18 Htározzuk meg egy R sugrú, h mgsságú, m tömegű homogén tömegeloszlású, egyenes körhenger tehetetlenségi nyomtékát: henger forgástengelyére vontkozón M: mr b henger vlmely lkotójár vontkozón M: mr c vlmely tömegközépponton áthldó és forgástengelyre merőleges egyenesre vontkozón M: mr +h 1 19 Htározzuk meg z m tömegű R sugrú homogén tömegeloszlású gömb szimmetri tengelyekre vontkozttott tehetetlenségi nyomtékát Írjuk fel középponti tehetetlenségi ellipszoid egyenletét M: mr 5, X + Y + Z = 5 mr 0 Számítsuk ki z lábbi felületekkel htárolt homogén testeknek koordinátsíkokr vontkozó tehetetlenségi nyomtékit szereplő prméterek pozitívk: x + y b + z c = 1, x = 0, y = 0, z = 0 b x + y b + z c = 1 c x + y b = z c d x + y b + z x c = 1, + y b = x e x + y b = z c, x + y b = z c x f + y b + z c = x + y b z c g x + y b + z c = 1, x = 0, y = 0, z = 0 n > 0 x 0, y 0, z 0 1 Htározzuk meg következő felületekkel htárolt homogén testeknek z Oz tengelyre vontkozó tehetetlenségi nyomtékát: z = x + y, x + y = ±1, x y = ±1, z = 0 b x + y + z = x + y = z z > 0 4

5 c x + y + z = 5 z Számítsuk ki z x + y, z = ±h ρ 0 sűrűségű homogén hengernek z x = y = z egyenesre vontkozó tehetetlenségi nyomtékát Számítsuk ki z x + y + z = z + y felülettel htárolt ρ 0 sűrűségű homogén testnek z origór vontkozó tehetetlenségi nyomtékát 4 Az x + y + z R inhomogén gömb tömege M, tömegsűrűsége P x, y, z pontbn rányos P pont és középpont távolságávl Számítsuk ki gömb egy átmérőjére vontkozó tehetetlenségi nyomtékát 4 9 MR 5 Htározzuk meg egy homogén, ellipszoid szimmetritengelyeire vontkozttott tehetetlenségi nyomtékit Írjuk fel középponti tehetetlenségi ellipszoid egyenletét 6 Egy homogén ρ = 1 körkúp mgsság h, lpkörének sugr r Htározzuk meg kúp tehetetlenségi nyomtékát: z lpkör síkjár vontkozón M: I Oxy = π 0 r h b kúp szimmetritengelyére vontkozón M: I Oz = π 10 r4 h c kúp vlmely lkotójár vontkozón M: πr4 h d csúcsár vontkozón M: I O = πr h 10 0 h + r 6h +r h +r 7 Htározzuk meg z élű, egységnyi tömegű, homogén tömegeloszlsú kock fő tehetetlenségi tengelyeit és fő tehetetlenségi nyomtékit kock egyik csúcsár vontkozón M: λ 1 = λ = 11 /1, λ = /6, z egyik fő tehetetlenségi tengely kock átlój, másik két tengely irány htároztln 8 Htározzuk meg egy homogén, tömör, szbályos élű tetréder vlmely oldllpjár vontkozttott tehetetlenségi nyomtékát ρ = 1 M: