mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

Átírás

1 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági Azoos lpú htváyok: ( x y + ) 9x + y + 6xy + 0x 10y ( + ) ( x + ) x + x + x + x + 6x + 1x + 8 ( ) + + ( + ) ( ) x 9 ( x + ) ( x ) 4x 6 ( + )( + ) x + ( x + ) ( x x + 4) ( ) ( ) + + ( x - ) x x x ( x ) x + x x x 6x ( ) + 1x 8 ( x) 6 ( x + 6) ( x 6) k k + k x 4 x 6 x 10 x+ x+ 4 x+ + x+ 4 x+ 7 k x 8 x x+ 4 x x+ 4 ( x+ 4 x x+ x+ ( ) k k ( x ) x 1 ( x+ ) x+ k k 1 x x x 8 8 x ( ) x+ 6 Azoos kitevőjű htváyok: ( ) x y ( x y) x+ 1 9 x+ 1 ( 9) x x+ 1 visszfelé ( ) ( x y) x y x y 7 ( ) x 10 y 14 x y x y visszfelé 8 1 x y 4 x 1 y 0

2 Gyökvoás zoossági mteksoft.hu x y x y 4 8 visszfelé k k x 1 x k k x x 8 8 Logritmus zoossági log x + log y log ( x y) log + log log 1 log ( x + 1) + log ( x ) log ( x + 1) ( x ) log x log y log x y log log log x + 1 log log ( x + 1) log ( x ) x log x log x log 7 log 7 visszfelé log x 8 8 log x átírás másik lpr: log x log x log log 4 9 log 9 log 4 Közepek: Számti közép A x 1 + x x A( 10, ) A(, 7, 1) Mérti közép G x1. x.... x G(, 0) G(, 10, 0)

3 Soroztok: mteksoft.hu Számti sorozt 1 + ( 1) d 1 + d d S S Mérti sorozt 1 q 1 1 q q 99 q 1 S 1 q 1 1 q S Komitorik: Permutáció (sorredezés): Ismétlés élküli: Piros, sárg, kék, fehér, fekete golyó sorredezése =! P! Ismétléses:! P 1!!.. k! piros, kék, 7 fehér golyó sorredezése 1!!! 7! Vriáció (Kiválsztás; számít sorred és megkülööztetjük z elemeket): Ismétlés élküli: Ismétléses: Egy fgyizó, háyféleképpe válszthtuk 8 íz közül gomócot tölcsére, h em szereték kétszer ugyolyt ei? V Egy fgyizó, háyféleképpe válszthtuk 8 íz közül gomócot tölcsére, h ugyoly ízt töször is válszthtuk? Komiáció (Kiválsztás; em számít sorred és em külööztetjük meg z elemeket): Ismétlés élküli: C k Ismétléses: C + k 1 k V Háyféleképpe válszthtuk ki 8 fjt péksüti közül hármt, h ugyolyt em válsztuk? = meyiől válsztuk k = meyit Háyféleképpe válszthtuk ki 8 fjt péksüti közül hármt, h töször is válszthtuk egy fjtát? = meyiől válsztuk k = meyit 8 8!!! !! 7!

4 Síkgeometri: mteksoft.hu Háromszögek Mgsság vol: A mgsság vol csúcsól, szemközti oldlr állított merőleges. A mgsság volk egy pot metszik egymást, mely mgsság pot. Nics továi fukciój. Oldlfelező merőlegesek: Az oldlfelező merőlegesek is egy pot metszik egymást, mely háromszög köré írhtó köréek középpotját dj. Szögfelezők: A háromszög első szögfelezői is egy pot metszik egymást. Ez dj eírhtó kör középpotját. Súlyvol: A súlyvol, csúcsot szemközti oldl felezőpotjávl összekötő egyees. A súlyvolk egy pot metszik egymást. A súlypot hrmdolj súlyvolkt 1/, / ráy. 1/ z oldl felé, / csúcs felé.

5 Szögfüggvéyek derékszögű háromszöge mteksoft.hu siα szemközti átfogó c cosα melletti átfogó c 4 tgα szemközti melletti 4 ctgα melletti szemközti 4 Sziusztétel Kosziusztétel siα si40 c siβ siγ 6 si0 c + cosα c cos0 Nevezetes szögek szögfüggvéyei

6 Négyszögek mteksoft.hu Húrégyszög: Azok égyszögek, melyek köré kör írhtó. Szemközti szögek összege 180 Éritőégyszög: Azok égyszögek, melyeke kör írhtó. Szemközti oldlk összege egyelő. α + γ 180 β + δ c + d Sokszögek átlók szám: ( ) 10 oldlú sokszög eseté: 10 ( 10 ) első szögek összege: ( ) oldlú sokszög eseté: ( 10 ) külső szögek összege: oldlú sokszög eseté: 60 1 d első szög szályos sokszög eseté: ( ) oldlú szályos sokszög eseté, 1 d első szöge: ( 10 ) d külső szög szályos sokszög eseté: oldlú szályos sokszög eseté, 1 d külső szöge:

7 Síkidomok kerület, területe mteksoft.hu Háromszög K( kerület) + + c s( félkerület) T( terület) K m Az egyik oldl szorozv hozzátrtozó mgssággl és osztv kettővel. T siγ Két oldl szorozv közezárt szög sziuszávl és osztv kettővel. T T s r 4R c Héro képlet Három oldl szorztát osztjuk, köré írhtó kör sugrák égyszeresével. A félkerület szorozv eleírhtó kör sugrávl. Prktikus képlet, h ismerük egy oldlt és szemközti szöget. Mert köye meghtározhtó z R! R R siα siβ T s( s ) ( s ) ( s c) c R siγ Négyzet Tégllp Prlelogrmm Romusz m γ K 4 T K + K + K 4 T T m T m T siγ T siγ Trpéz d K + + c + d Deltoid K + T e f T e f T + c m

8 Kör Körcikk Körszelet α K π T r π r i T π 180 r α ( π, ) T 1 ( r i h( r m) ) r i π vgy T 60 r α Felszí, térfogt Hsáok (lehet égyzet, tégllp, ötszög, tízszög lpú is) V( térfogt) T M Alpterület szorozv mgssággl. A feti árák szépe szemléltetik, hogy z lpterület ige sokféle lehet. A( felszí) T + T p Két dr lpj v (lul, felül) és plástj (köre). A plást = oldllpok összterülete. Heger (kör lpú hsá) V( térfogt) T M r π M Mert z lpterülete kör! A( felszí) T + T p r π + r π M (A kör kerülete szorozv mgssággl!) T T p mteksoft.hu

9 mteksoft.hu Gúl (A gúl lpterülete is ige sokféle lehet, így z lpterület kiszámítás mide esete más!) V T M A T + T p Négyzet lpú gúl eseté: Prktikus képlet!!! (Péld plástr: háromszögű lp eseté, d háromszög. Htszög eseté 6 d háromszög.) A + 4m + Kúp V T M r π M Mert z lpterület kör! A r π T + π r r π( + r) T p Csokgúl Csokkúp

10 mteksoft.hu Göm Kocká göm: Göme kock: A 4 π r V 4 π r r R = testátló fele Trigoometri si α + cos α 1 tgα siα cosα tg0 si0 cos0 siα cos( 90 α) si0 cos( 90 0 ) cosα si( 90 α) cos0 si( 90 0 ) ctgα cosα siα ctg0 cos0 si0 siα siα cosα six six cosx tgα 1 ctgα tg0 1 ctg0 cosα cos α si α cosx cos x si x ctgα 1 tgα ctgα 1 tg0 si( α + β) siα cosβ + cosα siβ si( x + 0 ) six cos0 + cosx si0 si( α β) siα cosβ cosα siβ si( x 0 ) six cos0 cosx si0 cos( α + β) cosα cosβ siα siβ cos( x + 0 ) cosx cos0 six si0 cos( α β) cosα cosβ + siα siβ cos( x 0 ) cosx cos0 + six si0

11 Koordiát-geometri mteksoft.hu Két potól vektor: végpotól kezdőpot. ( ) B( x y ) A x 1, y 1, AB x x 1, y y 1 ( ) BA( x 1 x, y 1 y ) Péld: B koordiátákól A A(, ) B(, 6) (jor, fel 4) (lr, le 4) Vektor hossz: ( x, y) AB(, 6 ) BA(, 6) AB(, 4) BA(, 4 x + y A koordiátákól B Péld: (, 4) 4 + Két pot távolság: ( ) B( x, y ) A x 1, y 1 ( ) + ( y y 1 ) d x x 1 Péld: A(, ) B(, 6) d ( ) + ( 6 ) Felezőpot: A x 1, y 1 F Péld: ( ) B( x, y ) A, x 1 + x, y 1 + y ( ) B(, 6) F +, F( 4, 4) + 6

12 Hrmdolópot: ( ) B( x, y ) A x 1, y 1 x 1 + x H 1, Péld: y 1 + y A csúcshoz közelei A(, ) B(, 6) x 1 + x H, y 1 + y B csúcshoz közelei mteksoft.hu + H 1, H, H 1, 10 1 H, 14 Háromszög súlypotj: ( ) B( x, y ) C( x, y ) A x 1, y 1 S Péld: x 1 + x + x, y 1 + y + y A(, ) B( 4, ) C(, 6) S S(, 4), + + 6

13 Egyees egyelete Normálvektor, pot Péld: Iráyvektor, pot mteksoft.hu Péld: (, ) v( v 1, v ( A, B) ) v(, ) P (, 6 P( x ) 0, y 0 ) P( x 0, y 0 ) P( 4, 6) Ax + B y Ax 0 + By 0 x + y + 6 v x v 1 y v x 0 v 1 y 0 x y 4 6 x + y 8 x y Két poto átmeő ( ) B( x, y ) A x 1, y 1 ( x x 1 ) y y 1 Péld: ( ) ( y y 1 )( x x 1 ) A(, ) B( 9, 7) ( 9 ) ( y ) ( 7 ) ( x ) 6( y ) ( x ) 6y 0 x 6 4 x 6y Pot, meredekség P x 0, y 0 H α v megdv, kkor m=tgα!!! Péld: ( ) P 4, 7 ( ) m m y y 0 m x x 0 ( ) y 7 ( x 4) y 7 x 1 Fotos!!! x y 1 x y Kör egyelete C( u, v) kör középpotj r kör sugr ( x u) + ( y v) r Péld: c(, 4) r 9 ( x ) + ( y + 4) 81 Az u és v eillesztéséél figyelj z elletétes előjelre!!!

14 Függvéyek Elsőfokú lieáris függvéy: Aszolútérték-függvéy mteksoft.hu y mx + y x + + c m = meredekség = hol metszi z y-tegelyt = yújtás/zsugorítás függőlegese = x-tegelye mozgtás ellekező iráy c = y-tegelye mozgtás "ormális" iráy y x y x Másodfokú függvéy: Négyzetgyökfüggvéy y ( x + ) + c y x + + c = yújtás/zsugorítás függőlegese = x-tegelye mozgtás ellekező iráy c = y-tegelye mozgtás "ormális" iráy = yújtás/zsugorítás függőlegese = x-tegelye mozgtás ellekező iráy c = y-tegelye mozgtás "ormális" iráy y ( x ) y x

15 Logritmusfüggvéy Expoeciális függvéy y log ( x + ) + c y x+ + c = yújtás/zsugorítás függőlegese = x-tegelye mozgtás ellekező iráy c = y-tegelye mozgtás "ormális" iráy = yújtás/zsugorítás függőlegese = x-tegelye mozgtás ellekező iráy c = y-tegelye mozgtás "ormális" iráy y log ( x ) y x Sziuszfüggvéy y six periódus: π Kosziuszfüggvéy y cosx periódus: π mteksoft.hu

16 Tgesfüggvéy Kotgesfüggvéy π y tgx x + k π y ctgx x 0 + k π periódus: π periódus: π mteksoft.hu