Gyakorló feladatsorok 9. évfolyam

Átírás

1 Gykorló feldtsorok 9. évfolym 1.) Legyen U {1;;;4;5;;7}, A {;4;;7} és B {1;;5;;7}. Készíts Venn-digrmot, mjd dd meg következő hlmzokt!.) A B; b.) B U c.) B \ A d.) A B.) Htározd meg z A és B hlmzokt, h tudjuk, hogy: A B {5,,7,8;9;10, A \ B {8;9,10} és A B {5}.Lili és Evelin mjdnem minden órán leveleznek egymássl fiúkról. M pont sját osztálytársikt vittják meg, mikor mtemtiktnár elcsípi z lábbi postát. Fiú vgy lány jár több Liliék osztályáb, h lányoknk vn még 14 lány osztálytárs?.) Ábrázold számegyenesen vlós számok zon részhlmzát, mely megfelel z lábbi feltételnek:.) x nem kisebb -nál; b.) x leglább 1 vgy legfeljebb 1; c.) < x 5. 4.) Add meg műveletek eredményét, mjd ezt ábrázold számegyenesen!.) ] 5;1 [ [ 1; [ b.) [0;7 [ [ ;] 5.) Számítsd ki z lábbi kifejezések értékét htványzonosságok felhsználásávl! (Nem zsebszámológéppel!).) ( 7 ) b.) ( b) 8 ( b ) b 5 c.) Jóképű 7 Okos 5 Jóképű és okos o Egyik sem d.) 4 8 e.) f.) ( ) g.) 4.) Végezd el kijelölt műveleteket, vonj össze, mjd rendezd csökkenő fokszám szerint tgokt!.) x (x x + 7) b.) ( ) ( ) c.) (8 1) (8 + 1) 7.) Végezd el műveleteket!.) (10 + b) b.) ( 9b ) c.) d.) ( x + z) e.) ( 8 5b ) f.) 1 x + y b 7 8.) Melyik kifejezés négyzete következő kifejezés?.) b.) b 10b + 5 c.) x 40x d.) c 14c ) Alkítsd szorzttá z lábbi kifejezéseket!.) 0x y 0xy b.) 0x y 14x y + 1x y 4 c.) 15x 10y + bx 4by d.) 4 9 x y e.) 1x + 88x + 11 f.) 4b 9x g.)

2 10.) Add meg vlós számoknk zt legbővebb részhlmzát, melyen z lábbi kifejezések értelmezhetők:.) 4x x + b.) 1 + c.) x 4x x x 1 11.) Számítsd ki z lábbi kifejezések helyettesítési értékét, h 4, b 1, és c 5!.) c b.) 4 5b c.) + bc d.) 5b + 1c 1.) Egyszerűsítsd következő törteket! 17x y 4xy.) 4 b.) 8 4( x ) ( x )( x + ) c.) x 5x y 5y + b + b d.) b 1.) Végezd el következő műveleteket! 1 7b 1 x b y xy b.) : 7.) 8 x 15y 1 x 5y c.) 14.) Végezd el következő törtkifejezések összevonását!.) b.) x 1 x + + x + 1 x + 15.) Milyen számjegyek írhtók x és y helyére, h.) 15 5 x7y b.) 1 5x7y Htározd meg!.) (40; 50) b.) (145; 175) c.) (97; 48) d.) [00; 70] e.) [9; 448] f.) [800; 400] 1.) Ábrázold síkon zokt pontokt, melyeknek koordinátái kielégítik következő egyenlőtlenségeket!.) x b.) y c.) x < d.) x < 4 17.) Htározd meg zt lineáris függvényt, melynek grfikonj áthld két megdott ponton. Add meg függvény meredekségét és zokt pontokt, hol grfikon metszi z x és y tengelyeket!.) P(1; 1) és Q(; ) b.) P(1; 1) és Q(4; ) c.) P(; ) és Q(; 0) 18.) Ábrázold következő intervllumokon értelmezett vlós értékű függvényeket!.) f(x) x x, x [ ; 4] b.) g(x) x 4, x [-; ] c.) h(x) x +, x [ ; 1] d.) i(x) (x + ) + 1, x [ 4; 0] 19.) Oldd meg z egyenleteket!.) ( x + 4) x 1 x b.) + 1 x 1 x 1 c.) x x + 17 x

3 d.) x + x x 1 ( x 1) 4 e.) ( x) x + 1 x f.) 7 x x 19 g.) x 4 1 x 1 x + h.) x + x x 9 0.) Oldd meg z egyenlet-rendszereket! Ellenőrizz!.) x + y 8 b) 7x + 9y 8 c.) x + y 1 x y 10 9x 8y 9 7x + 5y 4 d.) y x + 1 e.) y + x x y 1 1 x y ) Oldd meg z egyenlőtlenségeket! Ellenőrizz!.) x + 15 x 1 x 9 5 x 5 x 5 b.) 1 x 1 x 9x c.) 0 x + x + 5 d.) 0 x Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek otthoni gykorlásr (mozgási, helyiértékes, keverési, együttes munkár vontkozó, egyéb feldtok) 1. 4 km-es útját egy gylogos ór ltt tette meg. Ugynezt z utt egy kerékpáros 8 km/h-vl ngyobb átlgsebességgel futott be. Hány ór kellett kerékpárosnk z út megtételéhez?. Egy gylogos elindul egy fluból 4,5 km/h sebességgel. 5 ór múlv ugynonnn után indul egy kerékpáros 1 km/h sebességgel. Mennyi idő múlv és flutól hány km-re éri utol kerékpáros gylogost?. Vlki 40 perc ltt tette meg z A és B községek közötti utt. Visszfelé 0,5 km/h-vl kisebb sebességgel jött, így ugynez z út 45 percig trtott. Mekkor két község közötti távolság, és mekkor volt gylogos sebessége od és visszfele? 4. A-ból B felé elindult egy 10 km/h sebességgel hldó gőzhjó. 4 órávl után ugyncsk A-ból B felé elindult egy másik gőzhjó is, 1 km/h sebességgel. A két hjó egyszerre ért B-be. Hány km-re vn A-tól B? km-es út két végéről egy gylogos és egy kerékpáros indul el egymás felé. A gylogos ór ltt, kerékpáros 50 perc ltt teszi meg z utt. Hol tlálkoznk, h kerékpáros 1 órávl később indul, mint gylogos?. A Sopron és Ttbány közötti utt 7 km/h sebességgel 0 perccel több idő ltt lehet megtenni, mint 84 km/h sebességgel. Milyen hosszú két város közötti út?

4 7. Egy hjó két állomás közötti utt od-vissz 4 ór és 40 perc ltt tette meg. A sebessége folyón lefele menet 1 km/h volt, folyón felfelé pedig 1 km/h. Milyen messze vn egymástól két állomás? 8. Egy kétjegyű szám második jegye kétszer kkor, mint z első. H jegyeit felcseréljük, 7-tel ngyobb számot kpunk. Melyik ez szám? 9. Egy kétjegyű szám első számjegye öttel több, mint második. A jegyek felcserélésével kpott szám z eredetinél 45-tel kisebb. Melyik ez szám? 10. H egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, kkor z eredetihez képest felekkor számot kpunk. Az eredeti szám első számjegye kétszerese második számjegynek. Melyik ez szám? 11. Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 9. Kivonv belőle szám jegyeinek felcserélésével kpott számot, z eredeti szám /7-ét kpjuk. Melyik ez szám? 1. Egy kétjegyű szám jegyeinek rány : 4. H jegyeket felcseréljük, z új szám z eredeti /- szeresénél 8-cl kisebb lesz. Melyik ez szám? 1. Egy kétjegyű szám tízeseinek szám -ml ngyobb z egyesek számánál. A számjegyek felcserélésével kpott kétjegyű szám 10-zel ngyobb, mint z eredeti szám fele. Melyik ez kétjegyű szám? 14. Egy zérusr végződő háromjegyű szám számjegyeinek összege 1. H z első számjegyet második számjegy értékével csökkentem, és többi számjegyet nem változttom, kkor 00- zl kisebb számot kpok. Melyik z eredeti szám? 15. Ugynnnk svnk 8 liter 45 %-os és 4 liter 0 %-os oldtát összekeverjük. Hány %-os oldtot kpunk? 1. 5 liter 40 %-os kénsvoldthoz mennyi víz kell, hogy 10 %-os oldtot kpjunk? 17. liter 0 %-os és 4 liter %-os lkoholhoz hány liter 0 %-ost öntsünk, h 40 %-os lkoholt krunk kpni? 18. liter 9 %-os és 5 liter 75 %-os lkoholunk vn. Az egész készletből 40 %-os lkoholt szeretnénk kpni. Mennyi víz szükséges keverék elkészítéséhez? liter 4 o C-os vízhez 80 o C-os vizet öntöttünk. A keverék 0 o C-os lett. Hány liter 80 o -os vizet öntöttünk hozzá? 0. Hány kg vizet kell elpárologttni hhoz, hogy 8 kg 0 % sót trtlmzó oldtból 50 %-os oldtot kpjunk? grmm 15 %-os töménységű oldthoz 5 grmm vizet öntünk. Hány %-os oldtot kpunk?. Egy külföldi gyár Mgyrországról műszereket rendelt. Ezek elkészítését z egyik gyár 4 hónpr, másik hónpr válllt. A megrendelő kérésére két gyár együttesen készítette el műszereket. Hány hónp múlv készültek el így munkávl?. A gzdság kertjét két motoros szivttyúvl öntözik. H csk ngyobb szivttyú működik, 4 ór ltt lesznek készen, h csk kisebbik, 9 ór ltt. Mennyi idő ltt lennének készen, h mind két szivttyút hsználnák?

5 4. Egy lkás prkettázásávl z egyik munkás 40 ór ltt, másik 48 ór ltt, hrmdik 0 ór ltt lenne készen. Hány ór ltt lesznek készen munkávl együtt? 5. Két cspon keresztül 4 ór ltt telik meg benzintrtály. H csk z egyik vn nyitv, trtály 7 ór ltt lesz tele. Mennyi idő ltt telik meg másikcspon keresztül trtály?. Két trktor együttesen 1 np ltt tud felszántni egy földterületet. Ugynezt földterületet z egyik egyedül 0 np ltt szántná fel.(állndó teljesítmény!) Mennyi idő ltt készülne el egyedül másik? 7. Egy üzemben három gép dolgozik. 150 munkdrbot z első 10 ór ltt, második 1 ór ltt, hrmdik pedig 15 ór ltt készít el. Hány ór ltt készül el 150 munkdrb, h mindhárom gép egyszerre dolgozik? 8. A víztározó csövön át tölthető meg, mégpedig egyedül z első 4 ór ltt, egyedül második ór ltt. Egy hrmdik csövön teli víztározó 1 ór ltt ürül ki. Mennyi idő ltt ürül ki teli tároló, h mindhárom cső egyszerre vn nyitv? Szöveges feldtok 1. Gondoltm egy számot. A számhoz hozzádv kétszeresét, z így kpott összegből kivonv számnál 8-cl kisebb számot, és z eredményt elosztv kettővel 7-et kptm. Melyik számr gondoltm?. Gondoltm egy számot. A szám feléhez hozzádv szám kétszeresét és kpott eredményt 7-tel osztv z eredeti számnál -tl kisebb számot kptm. Melyik számr gondoltm?. Gondoltm egy számot. A szám hrmdához hozzádv 18-t z eredeti szám felét kpom. Melyik számr gondoltm? 4. Gondoltm egy számot. A szám feléhez hozzádv -t és z eredményt elosztv -ml z eredeti szám kétszeresénél 7-vel kisebb szám tizedét kpom. Melyik számr gondoltm? 5. Gondoltm egy számot. A szám 5-szörösáhez hozzádv szám felénél 17-tel kisebb számot z eredeti szám -szorosánál 4-gyel kisebb számot kpok. Melyik számr gondoltm?. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 9. H felcserélem számjegyeit, kkor z eredeti számnál 9-cel ngyobb számot kpok. Melyik ez szám? 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 14. H felcserélem számjegyeit, kkor z eredeti szám felénél 5-tel ngyobb számot kpok. Melyik ez szám? 8. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 8. H felcserélem számjegyeit, kkor z eredeti számnál0-szl kisebb szám hrmdát kpom. Melyik ez szám? 9. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 11. H felcserélem számjegyeit, kkor z eredeti számnál 7-tel ngyobb számot kpok. Melyik ez szám? 10. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 17. H felcserélem számjegyeit, kkor z eredeti számnál 9-cel kisebb számot kpok. Melyik ez szám? 11. Egy kétjegyű szám számjegyeinek szorzt 7. H felcserélem számjegyeit, kkor z eredeti számnál 54-gyel ngyobb számot kpok. Melyik ez szám? 1. Egy kétjegyű szám számjegyeinek szorzt 1. H felcserélem számjegyeit, kkor z eredeti számnál 9-cel kisebb számot kpok. Melyik ez szám? 1. Gondoltm egy kétjegyű számot. A tízes helyi értéken álló számot kivontm z egyes helyi értéken álló számból és 7-et kptm. H felcserélem számjegyeit, kkor z eredeti számnál -ml ngyobb számot kpok. Melyik ez szám? 14. Gondoltm egy kétjegyű számot. Az egyes helyi értéken álló számot kivontm tízes helyi értéken álló számból és -t kptm. H felcserélem számjegyeit, kkor z eredeti számnál 18-cl kisebb számot kpok. Melyik ez szám? 15. Gondoltm egy kétjegyű számot. A tízes helyi értéken álló számot elosztv z egyes helyi értéken álló számml -t kpok. H felcserélem számjegyeit, kkor z eredeti számnál -tl kisebb számot kpok. Melyik ez szám?

6 1. Gondoltm egy kétjegyű számot. Az egyes helyi értéken álló számot elosztv tízes helyi értéken álló számml -t kpok. H felcserélem számjegyeit, kkor z eredeti számnál 7-tel ngyobb számot kpok. Melyik ez szám? 17. Egy háromjegyű szám számjegyeinek összege 14. A tízes helyi értéken álló számból kivonv z egyes helyi értéken álló számot 8-t kpok. H felcserélem százs helyi értéken álló számot tízes helyi értéken álló számml, kkor z eredetinél 450-nel ngyobb számot kpok. Melyik ez szám? 18. Egy háromjegyű szám számjegyeinek összege 7. A tízes helyi értéken álló szám százs helyi értéken álló szám kétszerese. H felcserélem százs helyi értéken álló számot és z egyes helyi értéken álló számot, kkor z így kpott szám négyszerese z eredeti számnál 75-tel ngyobb lesz. Melyik ez szám? 19. Egy háromjegyű szám számjegyeinek összege 17. A százs helyi értéken álló szám hrmd megegyezik z egyes helyi értéken álló szám felével. H felcserélem százs helyi értéken álló számot tízes helyi értéken álló számml, kkor z így kpott szám z eredeti szám felénél 19-cel ngyobb szám lesz. Melyik ez szám? 0. Egy p és fi együtt 0 évesek. Az p 9-szer nnyi idős, mint fi. Hány évesek? 1. Egy p és fi együtt évesek. Az p 8-szor nnyi idős, mint fi. Hány évesek?. Dóri és Elemér együtt 9 évesek. Elemér évvel idősebb Dórinál. Hány évesek?. Aldár, Bél és Cecil testvérek. Együtt 44 évesek. Cecil 4 évvel idősebb Bélánál. Aldár és Bél együttes életkor. Hány évesek? 4. Vn három testvér. A legidősebb évvel idősebb középsőnél. A legfitlbb és legidősebb együtt 1 éves. A középsőnél legfitlbb 5 évvel fitlbb. Hány évesek? 5. Lci, Misi és Nóri testvérek. Együtt 48 évesek. Misi évvel fitlbb Nórinál. Nóri 9 évvel idősebb Lcinál. Hány évesek?. Most -szor nnyi idős vgyok, mint 0 évvel ezelőtt. Hány éves vgyok most? 7. Egy p és fi most összesen 51 éves. 8 évvel ezelőtt z p -szor nnyi idős volt, mint fi. Hány évesek most? 8. Géz 1 évvel idősebb Ferinél. 5 évvel ezelőtt együtt 47 évesek voltk. Hány évesek most? 9. Helg 7 évvel fitlbb Ildinél. év múlv együtt 51 évesek lesznek. Hány évesek most? 0. Jni kétszer nnyi idős, mint Krcsi. év múlv együtt 9 évesek lesznek. Hány évesek most? 1. Egy szobát András 8, Bél pedig ór ltt tpétázn ki egyedül. Mennyi idő ltt készülnek el együtt?. Egy lkást Cecil 4, Dénes pedig 9 ór ltt festene ki egyedül. Mennyi idő ltt készülnek el együtt?. Endre léckerítésüket 00, Fruzsin pedig 50 perc ltt mázolná le egyedül. Hány ór ltt készülnek el együtt? 4. Egy medencét két cspon keresztül lehet feltölteni. H csk z egyik csp vn kinyitv (teljesen), kkor ór ltt lesz tele medence. H csk második cspot nyitjuk ki (teljesen), kkor 4 ór ltt. Mennyi idő ltt tudjuk megtölteni medencét, h mindkét csp egyszerre vn kinyitv? 5. Gizi egyedül 1,5 ór ltt, Hugó pedig 1 ór ltt gereblyézné fel házuk udvráról fleveleket. Hány perc ltt végeznek együtt?. Ilon egyedül 0, Julcsi pedig 45 perc ltt mosná fel lkást. Hány perc ltt végeznek együtt? 7. Kitti egyedül 1, Lol pedig ¾ ór ltt törölné le port szobájukbn. Mennyi idő ltt végeznek együtt? 8. Egy Budpest-Szeged vonlon közlekedő gyorsvonton két kluz kezeli jegyeket egyszerre. Egyikük 0 perc ltt kezelné z összes jegyet egyedül, másik pedig 5 perc ltt. Mennyi ideig trt kettőjüknek együtt? 9. Máté és Nándi rkodómunkások. Máté egyedül 4, Nándi pedig 5 ór ltt pkoln tele egy teherutót ládákkl. Mennyi idő ltt végeznek együtt? 40. Ottó és Péter erdészek. Ottó egyedül 1, Péter pedig 11 ór ltt járná be területüket. Mennyi idő ltt végeznének együtt? Algebri kifejezések (otthoni gykorlásr)

7 1. Végezd el lehetséges összevonásokt! ) 5 b + b 5 + b b) 4 xy x + 5xy 7y + 10x + y x 7x y x xy c) d) b 10 b e) 5, + 0, f) b b + + b Írd le kifejezéseket zárójel nélkül! (Ahol lehet, vonj össze!) ) ( 1) 5 b) ( 1)( + 1) c) ( x )( x + ) d) ( + )( ) e) ( x + ) x f) ( 5b ) 5y 5s s s g) ( 4 ) y h) ( ) i) ( x + y) j) ( b) k) ( x + y)( x y) l) ( x + y). Végezd el kijelölt műveleteket! x x ) : y y b) b 15b : c) : 10 4b d) x x 8b e) 4y : 4y 1 b : f) xy y : x y x g) 18 b b b h) 1x x 9 x : x i) y 4x y 5 x y 15b b j) + b b b b b k) b b

8 PITAGORASZ TÉTEL 1.) Az ABC derékszögű háromszögben (ACBÐ 90 ) AC 9 cm, BC 1 cm. Hány centiméter AB hossz?.) Derékszögű háromszög átfogój 1 cm, egyik befogój 5 cm. Milyen hosszú másik befogó?.) Mekkor z egységnyi befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogój? 4.) Derékszögű háromszög egyik befogój 8 cm, területe 4 cm. Milyen hosszú z átfogó? 5.) Az ABC derékszögű háromszögben (ACBÐ 90 ) AB cm, AC 10 cm. Mekkor háromszög területe?.) Derékszögű háromszög egyik szöge 0, rövidebbik befogój, mm. Milyen hosszú z átfogó? 7.) Derékszögű háromszög egyik szöge 0, z átfogó hossz 7 m. Mekkor hosszbbik befogó? (A válsz milliméter pontosságú legyen.) 8.) Mekkor nnk négyzetnek z oldl, melynek átlój 0 egység hosszú? 9.) Egy 10 cm sugrú kör húrj 1 cm. Mekkor húr és kör középpontjánk távolság? 10.) Mekkor nnk tégllpnk z átlój, melynek két szomszédos oldl 7 cm, ill. 10 cm hosszú? 11.) Milyen hosszú egység sugrú kör középpontjától,4 egységnyi távolságbn hldó húrj? 1.) Mekkor 10 cm oldlú szbályos háromszög mgsság? 1.) Hány cm nnk z egyenlő szárú háromszögnek területe, melynek lpj 1 cm és szári 18 cm hosszúk? 14.) Az ABC egyenlő szárú háromszög területe 105 cm, BC lpj 14 cm. Mekkorák háromszög AB és AC szári? 15.) Mekkor nnk rombusznk területe, melynek kerülete 40 cm, és egyik átlój kétszer olyn hosszú, mint másik? 1.) Közelítőleg mekkor sugrú körhöz húzhtó középpontjától 1 méterre lévő pontból 75 cm hosszú érintő? 17.) Milyen hosszú húr trtozik 10 cm sugrú körben 0 -os középponti szöghöz? 18.) Az O középpontú kör AB húrj 0 cm, z OAB háromszög területe 150 cm. Mekkor kör sugr? 19.) A cm sugrú kör középpontjától 58 cm-re lévő P pontból érintőt húzunk körhöz. Milyen hosszú közelítőleg z érintési szksz? 0.) Mekkor z ABC háromszög B csúcsából húzhtó súlyvonlánk közelítő hossz, h 14, b 15, c 1 egység? 1.) Két, egymástól méter távolságr lévő A és B pontot összekötünk egy 10 cm hosszú fonálll. Ezután fonlt kifeszítjük z F középső pontjábn, így egy AFB egyenlő szárú háromszöget kpunk.

9 Közelítőleg mekkor távolságr vn F z AB egyenestől?.) Mennyi z ABC háromszög B csúcsából húzhtó mgsságánk hossz, h AB AC 0 cm, BC cm?.) Mekkor z ABC háromszög köré írt kör sugr, h AB AC 0 cm, BC cm? 4.) Az ABC háromszögben cm, b 8 cm. Igz-e, hogy h c > 10 cm, kkor háromszög tompszögű? 5.) Típus szerint milyen z háromszög, melyben 10 cm, b 4 cm, c 5 cm?.) Típus szerint milyen z háromszög, melyben 10 cm, b 4 cm, c 7 cm? 7.) Hány cm-rel kell cm-es könyvet megdönteni, hogy beférjen egy 4 cm mgsságú polcr? 8.) Egy szbályos háromszög lkú sztllpot, melynek egyik oldl éppen 1 méter, kör lkú terítővel teljesen lefedünk. Hány cm terítő sugr? 9.) Egy háromszög lkú rét oldli 5, 45 és 8 méter hosszúk. Hány négyzetméter rét területe? Geometri Háromszög: 1) Oldlk szerint: - áltlános háromszög - Egyenlő szárú háromszög - Egyenlő oldlú háromszög ) Szögek szerint: - Hegyes szögű háromszög - Derékszögű háromszög - Tompszögű háromszög - A háromszög feltétele: - Egy háromszög belső szögeinek összege 180, zz α+β+γ180 - Egy háromszög bármely oldlánk összege ngyobb hrmdik oldlnál. Azz +b>c. - Ngyobb oldlll szemben ngyobb szög vn, zz h >b, kkor α>β. Mgsság: A háromszögben z oldlll szemközti csúcsból húzott szksz, mely z oldlr merőleges. A mgssági szkszok egy pontbn metszik egymást, ez háromszög köré írt kör középpontj. A háromszög szögfelező egyenesei egy pontbn metszik egymást, ez pont beírt kör középpontj Háromszög súlyvonl z szksz, mely oldl felezőpontj és vele szemközti csúcs htárol. Súlyvonlk egy pontbn metszik egymást, melyet súlypontnk hívunk. Háromszöghöz trtozó tételek (bizonyítás nélkül): - Pitgorsztétel b + c - Koszinusztétel b + c bc cosα

10 sinα b sin β sinα - Szinusztétel ; ; b sin β c sin γ c sin γ - Heronképlet T s( s )( s b)( s c) s beírt kör sugr. Kerületszámítás: - Egyenlő oldlú háromszög esetén: K. - Egyenlő szár esetén: K+b - Áltlános háromszög esetén: K+b+c Területszámítás: - Egyenlő oldlú háromszög esetén: T - Derékszögű háromszög esetén: b T bsin 4 γ bcsinα csin β - Áltlános háromszög esetén: T m bmb cmc - Áltlános terület képlet háromszögre: T Négyszög: - Áltlános négyszög - Trpéz - Deltoid - Prlelogrmm - Rombusz - Tégllp - Négyzet 1. Áltlános négyszög - Négy oldl vn - Belső szögeinek összege 0, zz α+β+γ+δ0 - átlój vn. - Kerülete K+b+c+d képlettel számolhtó ki.. Trpéz - Egy párhuzmos oldl párj vn. - Derékszögű, egyenlő szárú, s áltlános fjtái ismertek - Kerülete K+b+c+d vgy K+b+c képlettel számolhtó ki ( + c) m - Területe T képlettel számolhtó ki. Deltoid - párhuzmos oldl párj vn - Átlói merőlegesek egymásr, és z e átló felezi z f átlót, s szögfelezők - Kerülete K(+b) képlettel számolhtó ki ef - Területe T képlettel számolhtó ki

11 4. Prlelogrmm - Szemközti oldli és szögei egyenlők, tehát - oldl párhuzmosk - Átlói felezik egymást - Kerülete K(+b) képlettel számolhtó ki - Területe T m bmb képlettel számolhtó ki 5. Rombusz - Szemközti oldli és szögei egyenlők, tehát - oldl párhuzmosk - Átlói felezik egymást - Kerülete K4 képlettel számolhtó ki - Területe T m képlettel számolhtó ki. Tégllp - Szemközti oldli és szögei egyenlők, tehát - oldl párhuzmosk - Átlói felezik egymást - Kerülete K(+b) képlettel számolhtó ki - Területe T b képlettel számolhtó ki 7. Négyzet - Szemközti oldli és szögei egyenlők, tehát - oldl párhuzmosk - Átlói felezik egymást, és merőlegesek egymásr - Kerülete K4 képlettel számolhtó ki - Területe T képlettel számolhtó ki noldlú szbályos sokszögekről: Kör: - Belső szögeinek összege (n-)180 - Egyenlő oldluk vn - Kerülete KN képlettel számolhtó ki - Területszámításhoz szükségünk vn z oldl hosszár, z beírt kör sugránk hosszár vgy csúcs és beírt kör középpontj közötti szksz hosszár, z oldlhoz trtozó szögre, vlmint 0 nnyid részére, hány oldls sokszög. r d α d cos d sin β d + r cos β α sin r d sinα d sin β T - sokszög oldl, mely beírt kör egyik érintője. - d beírt kör középpontj, s csúcs közötti szksz, mely sokszög szögfelező egyenesére illeszthető szksz is egyben. - r sokszögbe beírt kör sugr, mely merőleges sokszög oldlár. - Egy dott ponttól dott távolságr lévő pontok hlmz. - A kör átmérője kör középpontján átmenő szksz, mely kör legngyobb húrj is. K r - T r c

12 Szögfüggvények: - Szinusz - Koszinusz - Tngens - Kotngens sin α c b cos α c tg α b b ctg α sinα tgα cosα cosα ctgα sinα 1 ctgα tgα tgα ctgα 1 sin α + cos α 1 cos0 sin0 1 cos0 sin0 cos45 sin45 tg0 ctg0 tg0 ctg0 tg45 ctg45 1 tg0 ctg90 0 tg90 ctg0 nincs érték Térgeometri Kock: - 1 éle vn, melyek egyenlők - oldl lpj, melyek négyzetek A - V Tégltest: - 1 éle vn - oldl lpj, melyek tégllpok A ( b + bc + c) - V bc Tetréder: - 4 egyenlő oldlú háromszög htárolj - éle vn

13 - 1 V M A Henger: - körből áll és egy tégllpból - Egyenes és ferde változt ismert - ( ) Mr V M r r A + Kúp: - Egy körből, s egy mgsságtól függő körcikkből áll. - Egyenes és ferde változt ismert - Mr V r r A + Gömb: - Térben egy dott ponttól dott távolságr lévő pontok hlmz r V r A Kerület- és területszámítás A sokszögek kerülete oldlik hosszánk összege. A kör kerülete: r K, hol r kör sugr, 14, irrcionális állndó. Adott körben középponti szögek ngyság és hozzájuk trtozó körív hosszk egyenes rányosk. Ebből következik, hogy z ív hossz: α α r r i, hol r kör sugr, 14, irrcionális állndó, α körívhez trtozó középponti szög fokbn kifejezve. (l.. tétel) A kerület mértékegysége megegyezik hosszúság mértékegységeivel (méter).

14 Területmérés: Egy lkzt területét úgy kpjuk meg, hogy összehsonlítjuk z egységül válsztott területtel. Alpegysége: z egységnyi oldlhosszúságú négyzet területe. H négyzet oldl 1 mm, kkor négyzet területe: 1 mm H négyzet oldl 1 cm, kkor négyzet területe: 1 cm. H négyzet oldl 1 dm, kkor négyzet területe: 1 dm. H négyzet oldl 1 m, kkor négyzet területe: 1 m. H négyzet oldl 1km, kkor négyzet területe:1 km. A 100 m oldlhosszúságú négyzet területe: 1 h. (hektár). Területképletek: Háromszög T b sinγ c sin β bc sinα m b mb c mc T Prlelogrmm T m b m T b sinα b Deltoid T e f Rombusz T T m e f Tégllp T b Négyzet T

15 Trpéz T ( + c) m Szbályos sokszög T 0 r sin r sinα n n n Kör Körcikk T r Adott körben középponti szögek ngyság és hozzájuk trtozó körcikkek területe egyenesen rányosk. Így körcikk területe: T körcikk 0 α r Feldtlp Válssz ki következő kérdésekre dott válszok közül helyes válszt és krikázz be betűjelét! 1. Lehet-e szimmetri-tengelye egy prlelogrmmánk? ) igen; b) nem;. Hány szimmetri-tengelye vn egy négyzetnek? ) kettő; b) négy;. Melyik háromszögnek vn szimmetri-tengelye? ) Derékszögű, de nem egyenlőszárú b) Derékszögű és egyenlőszárú 4. Hány szimmetri-tengelye vn egy tégllpnk? ) pontosn kettő b) lehet kettő, vgy négy, vgy egy sem 5. Középpontosn szimmetrikus-e prlelogrmm? ) igen b) nem. Lehet-e egy rombusznk kettőnél több szimmetri-tengelye? ) igen b) nem 7. Hány szimmetri-tengelye vn egy körnek? ) négy b) végtelen sok

16 8. Hány fokkl kell elforgtni egy szbályos htszöget szimmetri-középpontj körül, hogy önmg mrdjon? ) 90 b) 10