4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

Átírás

1 Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket! Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket! y Oldjuk meg z lái egyenleteket! Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük számjegyeket, 8-l ngyo számot kpunk. Melyik ez szám? Oldjuk meg következő egyenleteket!

2 Alkítsuk szorzttá z lái polinomokt! Oldjuk meg z lái egyenleteket!

3 Mtemtik 0. elődás.... y y 9 y 9 y y y y y 6. 6 y 0 0y 0. H egy tégllp egyik oldlát m-rel, másikt pedig m-rel növeljük, kkor területe 0. m -rel nő. H z eredeti tégllp oldlit (ugynilyen sorrenden) 0. m- rel sökkentjük ill.. m-rel növeljük, kkor területe. m -rel nő. Mekkorák z eredeti tégllp oldli? 6. H egy tégllp egyik oldlát m-rel, másikt pedig m-rel növeljük, kkor területe 0. m -rel nő. H z eredeti tégllp oldlit (ugynilyen sorrenden) 0. m- rel ill. m-rel sökkentjük, kkor területe tégllp oldli?.7 m -rel sökken. Mekkorák z eredeti 7. H egy tégllp egyik oldlát m-rel, másikt pedig m-rel növeljük, kkor területe 0. m -rel nő. H z eredeti tégllp oldlit (ugynilyen sorrenden) 0. m- rel ill. m-rel sökkentjük, kkor területe tégllp oldli?. m -rel sökken. Mekkorák z eredeti y 6 y 6 y y

4 y y... y y 6 y y y y y. y y y y y y 9 y y y 0 y y y y y y y 9 y y y y 6 y y. y y y y

5 . y y.. y 0 y y y 6 6 Mtemtik 0. elődás Árázolj lineáris trnszformáiók segítségével z lái függvényeket! Adj meg függvények értelmezési trtományát és értékkészletét is!. f f. f f f f ln f sin f ros 8. Mtemtik 0. elődás Oldjuk meg z lái egyenlőtlenségeket!

6 Mi vlós számok legőve részhlmz, melyen z lái függvények értelmezhetők?. f 6. f 7. f log 7 8. f 9. f 8 log 7 0. f 6. f. f ln. f ln 0. f log. f ln 9 6. f ln tg 7. f log 6

7 Mtemtik 0. elődás Alkosson kétféle módon összetett függvényt z lái függvény párokól! 9. f tg, g 0. f, g lg. f g os Htározz meg, hogy z lái összetett függvények esetén mi külső és mi első függvény! f sin.. f ln f e.. f rsin Htározz meg z lái függvényekhez, vgy megfelelő leszűkítésükhöz trtozó inverz függvény hozzárendelési utsítását! Adj meg z eredeti és z inverz függvény értelmezési trtományát és értékkészletét is! 6. f 7. f 8. f e 9. f lg 0. f sin. f rtg Árázolj z lái függvényeket! A grfikonok lpján htározz meg, hogy melyik függvény páros, melyik pártln, melyik periodikus, melyik egyik sem! Döntse el, korlátoske függvények, és h igen, djon meg lsó és felső korlátot! Htározz meg, hogy függvények hol növekvők és hol sökkenők, vlmint hol és milyen szélsőértékük vn! f. f. f e. f. 6. f e 7. f e 8. f 9. f sin sin

8 Mtemtik 0 6. elődás Oldj meg z lái egyenleteket és egyenlőtlenségeket! A 0.. és. feldtok kivételével oldj meg feldtot grfikusn is! , h pozitív. 0.0, h pozitív egész

9 Mtemtik 0 7. elődás A htványozás és gyökvonás fontos zonossági:,,,, n n n, n, n p q q, n n n, k n kn p,. Írjuk fel tört helyett negtív kitevővel z lái kifejezéseket! y,,,,,. Írjuk fel negtív kitevő helyett törtekkel z lái kifejezéseket!,,, y,. Végezzük el kijelölt műveleteket kétféle módon, egyszer negtív kitevős htványokkl, egyszer törtekkel számolv! y y y, y, y y,. Írjuk fel négyzetgyökjel nélkül z lái kifejezéseket!,, 6,, 8 y. A változó mely értékeire áll fenn z egyenlőség?, 6 9, 6. Hozzuk ki négyzetgyökjel elé, mit lehet!, 8, 7 7, 8, y 8y 7. Vigyünk mindent négyzetgyökjel lá!,,,,

10 8. Végezzük el műveleteket! , y y, y : y, y y : y, y : y y 9. Gyöktelenítsük nevezőt!,, 7, 7, 7 0. Vigyünk mindent gyökjel lá!,,, 9. Végezzük el műveleteket!, 8, y :, y. Írjuk fel egyetlen gyökjellel!,,,,. Írjuk fel törtkitevő helyett gyökjellel!, 0.8,,,. Írjuk fel törtkitevővel!,,,,. Végezzük el műveleteket!,,,,

11 Mtemtik 0 8. elődás A logritmus zonossági: log, log log log log, log log log log log, log log log log, log log log Oldj meg következő egyenleteket! Htározz meg z lái kifejezések értékét?. lg000. lg 0.0. log 8 6. log 9 7. log 8. log 9. ln e 0. ln e log.

12 . 0.. lg6 lg log 7 ln e Oldj meg következő egyenleteket!. log 6. log 7. lg 8. ln 9. log 6 0. log 9. log. lg lg lg. log log log 8. ln ln ln lg lg lg. 6. lg lg 7. log log Oldj meg grfikus úton következő egyenleteket! log log Oldj meg következő egyenlőtlenségeket! Készítsen árát is!. 9.. lg. log 7

13 Mtemtik 0 9. elődás. Egy színház nézőterén 0 sor vn. Minden sorn kettővel töen férnek el, mint z előzően. Hány emer fér el nézőtéren, h. sorn 0 férőhely vn?. Egy számtni sorozt első tgj, differeni pedig. E sorozt első k tgjánk z összege háromjegyű, de z első k+ tg összege már négyjegyű szám. Htározz meg k értékét!. Adj meg zon mértni sorozt első tgját és hánydosát, melynek hrmdik eleme, s. eleme pedig /.. Egy mértni sorozt első három tgjánk összege, következő három tg összege pedig. Melyik ez sorozt?. Egy számtni sorozt első három tgjánk z összege. H z első tghoz -et, másodikhoz -t, hrmdikhoz -öt dunk, egy mértni sorozt szomszédos tgjit kpjuk. Htározz meg számtni sorozt első elemét és különségét! 6. Egy mértni sorozt első három tgjánk szorzt 6. H hrmdik számot -ml sökkentjük, egy számtni sorozt első három tgját kpjuk. Htározz meg mértni sorozt első elemét és hánydosát! 7. Egy számtni sorozt második tgj 7; e sorozt első, hrmdik és nyoldik tgj egy mértni sorozt három egymást követő tgj. Htározz meg e mértni sorozt hánydosát! 8. Öt szám közül ez első három egy mértni sorozt három egymás utáni tgj, négy utolsó pedig egy számtni sorozt négy egymást követő tgj. A négy utolsó szám összege 0, második és z ötödik szám szorzt 6. Melyik ez z öt szám? 9. Egy öltöny árát %-kl felemelték, mjd z emelt árt új 0 %-kl megemelték. Az eredeti árhoz képest hány százlékkl emelkedett z öltöny ár? 0. Mivel egy ngyo vásárlást szerettünk voln leonyolítni, ezért kölsönt vettünk fel egy évre évi %-os kmtlár. Mire zonn hitelt elintéztük, elfogyott z termék, mit meg krtunk venni. A pénzt ezért nk tettük, hogy sökkentsük veszteségünket. A nketét kmtlá 8 %. Hány százléknyi veszteségünk vn hitelen, nkn történő elhelyezéshez viszonyítv?. Egy országn, hol személyi jövedelemdózás sávosn történik, következő dósávok vnnk érvényen. (Az ország pénznemét jelöljük Pe-vel.) Pe dómentes Pe 0 % dó Pe 0 % dó Pe fölött 0 % dó Mennyi dót fizet egy olyn állmpolgár, kinek ruttó jövedelme Pe?. Az előző feldtn szereplő ország egyik állmpolgár Pe dót fizetett e z állmnk. Mennyi volt ruttó jövedelme?. Beteszünk nk Ft-ot évi %-os kmtlár. Mekkor összeg lesz számlánkon év múlv, h ) nk lineáris kmtozássl számol? ) nk kmtos kmttl számol?. ) Mennyi ideig trtsuk pénzünket nkn, h minimum dupláját krjuk visszkpni? Az éves kmtlá 0 %, s nk sk teljes évekre fizet kmtot. ) Mekkor z éves kmtlá, h pénzünk év ltt duplázódik meg?. Egy ingtln eldásáól ngyo összeghez jutottunk. A pénz egy részét válllkozásunk fejlesztésére fordítjuk, másik részéől egyetlen gyermekünk, ki most éves, jövőjét kívánjuk meglpozni. A jelenleg elérhető legmgs fi éves

14 kmtlá 8 %. Mekkor összeget helyezzünk el most nkn, h zt szeretnénk, hogy gyermekünk éves korán, mikor várhtón efejezi z egyetemet, megvehessen egy Ft értékű lkást? 6. Egy telket krunk eldni. Az érdeklődők közül négyen tesznek érdemleges vételi jánltot. A vevő jánlt: most fizet Ft-ot B vevő jánlt: most fizet Ft-ot, s év múlv Ft-ot C vevő jánlt: most fizet Ft-ot, mjd évenként még háromszor Ftot D vevő jánlt: most fizet Ft-ot, mjd kétévente kétszer Ft-ot Melyik legkedvező jánlt, h z éves kmtlá %? 7. Elhelyezünk Ft-ot 8 % nominális kmtlár nkn. Mennyi pénz lesz számlánkon egy év elteltével, és mekkor reális kmtlá, h ) hvont tőkésít nk? ) npont tőkésít nk? ) folymtosn tőkésít nk? 8. Egy dolgozó Ft-os nettó jövedelme z év során %-kl emelkedik. Mennyi z emelt fizetés vásárlóértéke, h z infláiós rát 0%? Hány százlékkl nőtt fizetés vásárlóértéke z év során? 9. Leglá hány százlékos jövedelmezőséggel kell efektetni pénzünket, h zt krjuk, hogy vásárlóértéke 0 év ltt, 6 %-os infláió mellett megduplázódjon? 0. 0 éven keresztül efizetünk Ft-ot z év elején 8 %-os kmtlár. Mennyi pénzünk lesz 0. év végén?. Autór szeretnénk gyűjteni, ezért éven keresztül minden hónp elején e fogunk fizetni egy izonyos összeget egy számlár. Mekkor legyen ez z összeg, h. év végére Ft-ot krunk összegyűjteni és nominális kmtlá %?. Nyugdíjs éveinkre szeretnénk összespórolni egy kis pénzt, ezért gyűjtése krunk kezdeni. A nyugdíj vonulásunk előtt leglá mennyi idővel kezdjünk el tkrékoskodni, h hvont 000 Ft-ot szánunk erre élr, nominális kmtlá %, és leglá Ft-ot szeretnénk összegyűjteni?. Év elején felvettünk Ft kölsönt 0 %-os kmtlá mellet év futmidővel úgy, hogy évente egy-egy lklomml zonos részletet fizetünk. Az első efizetésre kölsön felvétele után egy évvel kerül sor. Mekkor összeget kell fizetnünk egy éven?. Kölsönt szeretnénk felvenni %-os kmtlá mellett úgy, hogy évente egy lklomml törlesztünk, s z első részletet felvétel után egy évvel fizetjük. Legfelje mekkor összeget tudunk felvenni, h Ft-nál töet nem tudunk egy éven fizetni, s futmidő ) év? ) 0 év?. Öröklés révén 0 éves korunkn Ft-hoz jutottunk. Időse npjinkr gondolv nk tettük pénzt %-os kmtlár. H 6 éves korunkn nyugdíj megyünk kkor minden éven szeretnénk Ft-ot kivenni, hogy szerény nyugdíjunkt kiegészítsük. Hány éven keresztül tehetjük meg ezt? 6. 0 éven keresztül minden év elején eteszünk nk 000 Ft-ot. A következő 0 éven minden év elején kiveszünk 7 00 Ft-ot. Mennyi pénz lesz számlánkon 0. év végén, h kmtlá 7 %? 7. Szó úr gondos emer, ezért gyermeke 0 éves korán elkezd tkrékoskodni, hogy támogthss mjd z egyetemi évek ltt. Minden éven Ft-ot fizet e egy

15 számlár 8 éven keresztül. Mekkor összeggel tudj évenként segíteni gyermeke tnulmányit, h kmtlá %, s gyermek év ltt fejezi e tnulmányit? Mtemtik 0. elődás. Írjuk fel P, ponton áthldó n, normálvektorú egyenes egyenletét.. Írjuk fel nnk z egyenesnek z egyenletét, mely áthld P, ponton és irány vektor v,.. Írjuk fel 9,6 és, koordinátájú pontokon átmenő egyenes egyenletét.. Írjuk fel nnk z egyenesnek z egyenletét, melynek tengelymetszetei: - és.. Rjt vn-e y P, pont? egyenesen 6. Adjuk meg y egyenletű egyenesnek zt pontját, melynek szisszáj kétszer kkor, mint z ordinátáj. 7. Árázoljuk tengelymetszetek segítségével 8 y 0 egyenletű egyenest. 8. Htározzuk meg p prméter értékét úgy, hogy y és py 0 egyenletű egyenesek párhuzmosk legyenek egymássl. 9. Htározzuk meg p prméter értékét úgy, hogy z y és z y p egyenletű egyenesek merőlegesek legyenek egymásr., 0. Htározzuk meg nnk z egyenesnek z egyenletét, mely, és z pontokt összekötő szkszt merőlegesen felezi. A 6,, B,, mgsságpontj. Egy háromszög két súspontjánk koordinátái: M,. Htározzuk meg hrmdik sús koordinátáit.. Számítsuk ki z ABC háromszög B és C súsánk koordinátáit, h z A sús koordinátái, és két mgsságvonlánk egyenlete 7 y 0 és 7y Írjuk fel kör egyenletét, h középpontj, pont, és sugr egység.. Htározzuk meg nnk körnek z egyenletét, melynek középpontj z, pont, és áthld, ponton.. Egy kör átmérőjének végpontji:,,,. Írjuk fel kör egyenletét. 6. Írjuk fel kör egyenletét, h sugr egység, középpontj z egyenesre illeszkedik, és érinti z tengelyt., ponton hld át, és mindkét 7. Írjuk fel nnk körnek z egyenletét, mely koordináttengelyt érinti. 8. Mi nnk körnek z egyenlete, melynek sugr egység, áthld 9,9 ponton, és érinti z y tengelyt? 9. Döntsük el, hogy y 6y 0 és y 0 egyenletek közül melyik kör egyenlete. Adjuk meg kör sugrát és középpontjánk koordinátáit. 0. A sík mely pontjink koordinátái elégítik ki y y 0 egyenlőtlenséget?. Htározzuk meg z y körnek y 7 egyenessel párhuzmos érintőit.