Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Átírás

1 Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei Középiskolák Plotás József és Kertész Andor Mtemtiki Emlékversenye 0. évfolym ( feldtok megoldás). Az ABC háromszög csúcsink koordinátái derékszögű koordinát-rendszerben A 0;5, B ;0 és C 4;9. Htározzuk meg z ABC háromszög területét és C csúcsból húzott mgsságánk hosszát!. Megoldás: ábrázoljuk megdott pontokt derékszögű koordinát-rendszerben. Az. ábrán z ABC háromszöget belefoglltuk koordináttengelyekkel párhuzmos oldlú OBEF tégllpb.. ábr pont Nyilvánvló, hogy z ABC háromszög területét megkpjuk, h z OBEF tégllp területéből levonjuk z ACF ; ABO ; BCE derékszögű háromszögek ; ; területét. pont

2 A koordinátákból leolvshtó, hogy () OBEF 9 08 területegység, és () ; 0; területegység. pont Az () és () területek lpján z ABC háromszög területe területegység. Az ABO derékszögű háromszögből Pitgorsz tételével kpjuk, hogy AB c 5. Mivel AB CD, ezért CD 4, honnn 8 CD hosszúságegység. pont. Megoldás: z AB egyenes egy irányvektor AB; 5 egy normálvektor z vektor. Ezzel z AB n AB 5; egyenes egyenlete: v vektor, ezért z AB egyenes 5 y 0 0. pont Az ABC háromszög C egyenes távolság. csúcsból húzott mgsságánk hossz C pont és z AB A pont és egyenes távolságánk képletével: 5 c c CD, 5 0 hol c 4; c 9 számok C pont koordinátái. Így CD távolságr CD hosszúságegység 5 dódik. pont Az ABO derékszögű háromszögből Pitgorsz tételének lklmzásávl: AB c 5. Az ABC háromszög területére 8 AB CD, zz 4 területegység. pont

3 . Htározzuk meg tg pontos értékét, h z vlós számr fennáll, hogy sin cos! Megoldás: h cos 0 voln, kkor sin cos lpján de tudjuk, hogy sin és ezért sin nem állht fenn. De sin lenne, sin 0 lehetséges, mert ekkor feltételből cos dódn, miközben cos. pont Átlkítjuk sin cos egyenletet: () sin cos. sem Mivel cos, ezért cos 0 és mivel így () bl oldl is pozitív, zt kpjuk, hogy is teljesül. sin 0 Négyzetre emelhetjük () mindkét oldlát, műveletek elvégzésével: () sin cos cos. A sin cos zonosság lklmzásávl és rendezéssel zt kpjuk, hogy () cos cos 0. A () egyenlet bl oldl teljes négyzet, mégpedig ezért cos cos cos, cos 0, ebből pedig z következik, hogy (4) cos. pont A feltétel szerint ezért sin, honnn rendezéssel dódik, hogy (5) sin. sin A (4) és (5) összefüggések lpján egyszerű számolássl kpjuk tg definíció cos lpján, hogy tg. H tehát z vlós számr fennáll, hogy sin cos, kkor tg pontos értékére teljesül, hogy tg. pont

4 . Legyenek z ABC háromszög szögei rendre ; ;, háromszög körülírt körének sugr R, beírt r körének sugr r. Bizonyítsuk be, hogy ( cos ) ( cos ) ( cos )! R Megoldás: legyenek z ABC háromszög ; ; szögeivel szemközti oldlink hosszúsági rendre BC ; CA b; AB c. Az oldlr felírhtjuk koszinusztételt: b c cos. bc b c Ebből zt kpjuk, hogy cos, zz bc b c b c cos. pont bc A háromszög félkerülete s b c, ezzel jelöléssel s b s c cos. pont bc Hsonlón átlkításokkl kpjuk, hogy s s c s s b cos és cos. c b A kpott kifejezések megfelelő oldlink összeszorzásávl dódik, hogy cos cos cos s s b s c 8. b c Felhsználjuk háromszög területére vontkozó Héron-képletet: s s s b s c, ezért 4 s s b s c. s Ismeretesek z b c 4 R továbbá r összefüggések, honnn egyrészt s b c R, másrészt r következik. s Ezek behelyettesítésével és egyszerűsítéssel dódik, hogy r cos cos cos, R mit bizonyítni krtunk. 4

5 4. Oldjuk meg vlós számok hlmzán Megoldás: ritmus értelmezése mitt 0 egyenletet!, továbbá 0 és 0 melyekből, illetve, ritmusfüggvények szigorún monoton növekedése mitt pedig egyránt következik. A kpott egyenlőtlenségek mitt feldt megoldását z ; számhlmzon keressük., A b zonosság szerint b és. pont Így z eredeti egyenlet következő lkb írhtó: Felhsználjuk z y y zonosságot, ezzel: és Az összefüggéseket beírv z egyenletbe:... A kpott egyenlettel ekvivlens egyenlet: Vezessük be y y. y jelölést, ezzel, y, zz, illetve y. 5

6 Mivel ritmus zonosság szerint ezért honnn, y, következik. y Eszerint, ez pedig ritmusfüggvény kölcsönösen egyértelmű tuljdonság mitt zt jelenti, hogy. Ebből ritmus definíciój lpján következik, hogy, zz 8. A kpott megoldás megfelel z feltételnek. Átlkításink ekvivlensek voltk, tehát z eredeti egyenletnek vlóbn megoldás. 8