MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos cos sin ( pont) sin cos cos cos cos (+ pont) cos cos 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldva a fenti egyenletet, a gyökök: cos, cos vagy cos (+ pont) k Ha cos, akkor 5 k ( pont) ahol k Ha cos, akkor nincs megoldás, hiszen cos, minden esetén. ( pont) Az egyenlet megoldása közben ekvivalens átalakításokat végeztünk, így mindkét gyöksorozat megoldása az eredeti egyenletnek. Összesen: pont ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) b) log, ahol valós szám és (6 pont) cos 5sin, ahol tetszőleges forgásszöget jelöl ( pont) a) A logaritmus definíciója szerint ( pont) Ellenőrzés.

2 b) cos sin helyettesítéssel, sin 5sin 0 sin y új változóval y 5y 0. y ; y ( pont) y nem megoldás, mert sin k vagy 5 k (fokban is megadható) ( pont) 6 6 k Ellenőrzés, vagy le kell írni, hogy a gyökök igazzá teszik az eredeti egyenletet, mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk. Összesen: 7 pont ) Oldja meg a következő egyenleteket: a) 9 0 (6 pont) b) sin sin (6 pont) a) Legyen a Az a a 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: a és a a esetén a egyenlet nem ad megoldást, mert minden valós kitevőjű hatványa pozitív szám. Az kielégíti az eredeti egyenletet. b) Legyen sin a Az a a 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: a és a. a sin nem ad megoldást, mert sin a sin A sin egyenlet gyökei: k, ahol k tetszőleges egész szám. Ezek az értékek kielégítik az egyenletet. Összesen: pont ) Mely valós számokra teljesül a 0 ; intervallumon a sin egyenlőség? ( pont) 6 5 6

3 Összesen: pont 5) Adja meg az összes olyan forgásszöget fokokban mérve, amelyre a 5 k kifejezés nem értelmezhető! Indokolja a válaszát! ( pont) cos A kifejezés nem értelmezhető, ha 90 n 80, n ( pont) 6) Határozza meg az alábbi egyenletek valós megoldásait! a) b) log log 6 0 (7 pont) sin (0 pont) 6 a) Az egyenlet bal oldalán szereplő szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ha az első tényező 0, akkor log b) Innen 8 Ha a második tényező 0, akkor 6 log 6 Innen 6 ahonnan a pozitív tartományba csak az 8 Mind a két gyök kielégíti az eredeti egyenletet. sin vagy sin 6 6 ( pont) n vagy n ( pont) 5 7 n vagy n ( pont) n ; n ; n ; n, n ( pont) Összesen: 7 pont 7) Döntse el az alábbi két állítás mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis! ( pont) sin függvény periódusa. a) Az b) Az sin függvény periódusa. a) igaz b) hamis Összesen: pont

4 8) Oldja meg a valós számok halmazán a sin 0 egyenletet, ha ( pont) A megoldások: ; ; 0; ;. ( pont) 9) Döntse el az alábbi négy állításról, hogy melyik igaz, illetve hamis! A: Van olyan derékszögű háromszög, amelyben az egyik hegyesszög szinusza B: Ha egy háromszög egyik hegyesszögének szinusza, akkor a háromszög derékszögű. C: A derékszögű háromszögnek van olyan szöge, amelynek nincs tangense. D: A derékszögű háromszögek bármelyik szögének értelmezzük a koszinuszát. A: igaz B: hamis C: igaz D: igaz Összesen: pont 0) Melyik szám nagyobb? A lg vagy B cos8 ( pont) 0 A nagyobb szám betűjele: B cos 8 ( pont) ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 5 7 (6 pont) b) sin cos (6 pont) a) A négyzetgyök értéke csak nemnegatív lehet: 5. és csak nemnegatív számnak van négyzetgyöke: 5,5 Négyzetre emelve: Rendezve: amelynek valós gyökei a 6 és a 6. Az utóbbi nem felel meg az első feltételnek, ezért nem megoldása az egyenletnek Az egyenlet egyetlen megoldása a 6, hiszen ez mindkét feltételnek megfelel, s az adott feltételek mellett csak ekvivalens átalakításokat végeztünk.

5 b) A baloldalon a sin cos helyettesítést elvégezve kapjuk: cos cos cos cos 0 cos cos 0 Ha cos 0, akkor k, ahol k. ( pont) egyenletnek nincs megoldása (mert cos nem lehetséges). Összesen: pont A cos 0 ) Határozza meg a radiánban megadott szög nagyságát fokban! ( pont) 5 ( pont) ) a) Oldja meg a valós számok halmazán az 0 egyenlőtlenséget! (7 pont) b) Adja meg az négy tizedesjegyre kerekített értékét, ha 0. ( pont) c) Oldja meg a ; alaphalmazon. cos cos 0 egyenletet a (6 pont) a) Ha, akkor ( 0, ezért) 0, vagyis. ( pont) A -nál kisebb számok halmazán tehát a ; intervallum minden eleme megoldása az egyenlőtlenségnek. Ha, akkor ( 0, ezért) 0, vagyis. ( pont) A -nál nagyobb számok halmazában nincs ilyen elem, tehát a -nál nagyobb számok között nincs megoldása az egyenlőtlenségnek. A megoldáshalmaz: ;. b) 5 0 log, 69 c) (A megadott egyenlet cos -ben másodfokú,) így a megoldóképlet felhasználásával cos 0,5 vagy cos. ( pont) Ez utóbbi nem lehetséges (mert a koszinuszfüggvény értékkészlete a ; intervallum). A megadott halmazban a megoldások:, illetve. ( pont) Összesen: 7 pont

6 ) Adja meg azoknak a 0 és 60 közötti szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! cos ( pont) Összesen: pont 5) Adja meg azoknak a 0 és 60 közötti szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! ( pont) sin A számológépbe beírva megoldást kapunk 5 Viszont van egy másik megoldás is ) Oldja meg a ; zárt intervallumon a, Összesen: pont cos egyenletet! ( pont) ( pont)

7 7) a) Egy háromszög oldalainak hossza 5 cm, 7 cm és 8 cm. Mekkora a háromszög 7 cm-es oldalával szemközti szöge? ( pont) 0; intervallumon a következő egyenletet! b) Oldja meg a cos. (6 pont) c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! ( pont) I) Az f :, f sin függvény páratlan függvény. II) Az : intervallum. III) A : g, g cos függvény értékkészlete a ; h, h cos a ; intervallumon. zárt függvény szigorúan monoton növekszik a) (A kérdezett szöget -val jelölve) alkalmazzuk a koszinusztételt: cos Ebből cos, azaz (mivel egy háromszög egyik szögéről van szó) 60 b) Ha cos, c) akkor a megadott intervallumon, 5 vagy. Ha cos, akkor a megadott intervallumon, vagy. I) igaz II) hamis III) hamis 8) Adja meg a következő egyenlet pontos értékét! sin ( pont) Összesen: pont 0;π intervallumba eső megoldásának ( pont) ( pont)

8 9) Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett cos függvény értékkészletét! ( pont) A függvény értékkészlete: 0; ( pont) 0) A dja meg a valós számok halmazán értelmezett f ( ) sin függvény értékkészletét! Felírjuk a sin függvény értékkészletét. sin ( pont) Ha az így kapott egyenlőtlenség minden oldalához hozzáadunk egyet, megkapjuk az sin függvény értékkészletét. 0 sin ( pont) Tehát a megoldás 0;. Összesen: pont ) O ldja meg a sin egyenletet a valós számok halmazán! ( pont) k k ( pont) Összesen: pont