MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

Átírás

1 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egenletrendszert! lg lg (9 pont) lg lg lg 1 6 a) 1. eset: ennek valós gökei és Ezek megoldásai az eredeti egenletnek. eset: 6 0, 6 ennek nincs valós megoldása Tehát az egenlet megoldásai a b) A logaritmus azonosságait használva 0 és lg 6 0, és a. 1 a logaritmus értelmezése miatt lg lg lg 1 Az lg függvén szigorú monoton nő A második egenletből kifejezzük -et, behelettesítve az elsőbe kapjuk, hog Ennek valós gökei és 0,75 Az miatt 0,75 nem eleme az értelmezési tartománnak Ezért csak egenletnek és íg lehetséges. A ; számpár megoldása az Összesen: 14 pont

2 ) a) Mel valós számok elégítik ki az alábbi egenlőtlenséget? b) Az alábbi f és g függvént is a 3 f és 0,5,5 g 3;6. (4 pont) intervallumon értelmezzük. Ábrázolja közös koordináta-rendszerben az f és g függvént a intervallumon! Igazolja számítással, hog a két grafikon metszéspontjának mindkét koordinátája egész szám! (4 pont) c) Oldja meg az alábbi egenlőtlenséget a valós számok halmazán! (6 pont) 0,5 3,5 a) Elvégezve a köbre emelést: b) összevonva és rendezve: a megoldáshalmaz tehát a ;6 1 1;1 intervallum f függvén heles ábrázolása g függvén heles ábrázolása 1; a metszéspont koordinátái c) A megoldandó egenlőtlenség ekvivalens a egenlőtlenséggel A bal oldal nem negatív a jobb oldal 5-nél nagobb -ekre negatív Az egenlőtlenség megoldásait a intervallumon a b) részben ábrázolt f 3;6 és g függvénekről leolvashatjuk intervallum 3;1 A megoldáshalmaz a 3 0,5,5 Összesen: 14 pont

3 3) Oldja meg a következő egenletrendszert, ha és valós számok, továbbá és 4) 0, 1 0, 1. log log sin 3 sin 4 1 Áttérve azonos alapú logaritmusra: 1 log log (13 pont) Mivel eg pozitív számnak és a szám reciprokának összege pontosan akkor, ha a szám 1 ezért log 1 azaz Behelettesítve a második egenletbe: sin5 1, azaz k 6 Innen 5 vag 5 5 l 6 ahol k és l A megoldások íg: k k és 1 1 l l 6 5 A kapott értékek kielégítik az egenletet 1 sin Összesen: 13 pont a) Ábrázolja a derékszögű koordinátarendszerben az függvént! (5 pont) f : 0;5, f 4 3 b) Tekintsük az 1 k paraméteres egenletet, ahol k valós paraméter. Vizsgálja a megoldások számát a k paraméter függvénében! (7 pont) c) Ábrázolja a megoldások számát megadó függvént a intervallumon! d) Adja meg a c)-beli függvén értékkészletét! k 6;6

4 a) f Az parabola tengelpontja az tengelt az 1;0 és Jó ábrázolás, leszűkítés a intervallumra 1 ; 1 3;0 pontokban metszi 0;5 Az abszolút érték figelembe vétele Heles ábra: b) A megoldások számát az f teljes grafikonja és az k egenes közös pontjainak száma adja Ha k 1, akkor két közös pontja van Ha Ha, akkor nég közös pontja van Ha Ha c) Heles ábra k 1, akkor három közös pontja van 0k 1 k 0, akkor két közös pontja van k 0, akkor nincs közös pont d) Értékkészlete: R 0;;3; 4 f Összesen: 16 pont

5 5) Oldja meg az alábbi egenletrendszert a valós számpárok halmazán! 3 3 log log 9 (16 pont) cos cos 0 A logaritmus miatt és 1-től különböző pozitív számok lehetnek Az első egenlet bal oldalát alakítsuk át a logaritmus azonosságát használva: (3 pont) 3 3 log log log 3log log log Íg az első egenlet: log log A log és a log egmás reciprokai, és összegük Ez pontosan akkor teljesül, ha mindkettő 1-gel egenlő, amiből azt kapjuk, hog Beírva a második egenletbe: cos cos 0 0, ahonnan cos 1 Ez akkor és csak akkor teljesül, ha, azaz k Összevetve az, ahol k, 0 feltétellel, k k, k (3 pont) Összesen: 16 pont

6 6) Eg város sportklubjának 640 fős tagságát felnőttek és diákok alkotják. A tagság 55%-a sportol rendszeresen. A rendszeresen sportoló tagok számának és a sportklub teljes taglétszámának az arána szor akkora, mint a rendszeresen sportoló felnőttek számának arána a felnőtt klubtagok számához viszonítva. A rendszeresen sportolók arána a felnőtt tagságban fele akkora, mint amekkora ez az arán a diákok között. Hán felnőtt és hán diák tagja van ennek a sportklubnak? (13 pont) Jelölje f a sportklub felnőtt tagjainak számát. Ekkor a diákok száma a sportklubban 640 f. A rendszeresen sportolók száma 640-nek a az 55%-a, 0, fő. A rendszeresen sportolók arána a teljes tagságban 0,55. Ennek a része, vagis 8 0,55 0, ed a rendszeresen sportolók arána a felnőttek között. A rendszeresen sportolók arána a diákok között ennek az aránszámnak a kétszerese, vagis 0,8 A rendszeresen sportoló felnőttek száma 0,4 f A rendszeresen sportoló diákok száma 0,8 640 f A rendszeresen sportolók száma e két létszám összege: 0,4 f 0,8 640 f 35 Innen és 640 f 40 A felnőtt tagok száma 400, a diákok száma 40 Ellenőrzés Összesen: 13 pont f 400

7 7) Eg egetem hallgatójának tanulmáni lapjáról összesítették az angol és német nelvvizsgák számát. Kiderült, hog a német nelvvizsgával nem rendelkezők 70%-ának, a német nelvvizsgával rendelkezők 30%-ának nincs angol nelvvizsgája. Az angol nelvvizsgával nem rendelkezők 60%-ának nelvvizsgája sincs. a) Ezek közül a hallgatók közül hánan rendelkeznek angol és hánan német nelvvizsgával? (1 pont) b) A hallgatók hán százaléka rendelkezett angol és német nelvvizsgák mindegikével? (4 pont) a) Szemléltessük a feltételeket ábrával, ahol a hallgatók közül főnek nincs német nelvvizsgája és főnek van német nelvvizsgája, nincs német van német nelvvizsgája nelvvizsgája ( fő) nincs angol nincs sem német, sem van német, de nincs nelvvizsgája angol nelvvizsgája angol nelvvizsgája van angol nelvvizsgája nincs német, de van német és angol angol nelvvizsgája nelvvizsgája is van A feladat heles értelmezése (komplementer halmazok) A feladat feltétele alapján az fő 70%-ának, vagis 0,7 főnek nincs sem német, sem angol nelvvizsgája és a fő 30%-ának vagis főnek van német, de nincs angol nelvvizsgája Tehát nincs angol nelvvizsgája ,4 főnek Íg a feladat feltétele szerint a 0, ,4 0,7 0, ,4 0,7 0, , főnek nincs sem német, sem angol nelvvizsgája fő 60%-ának, vagis 4140 Innen A német nelvvizsgával rendelkezők száma: fő Nincs angol nelvvizsgája , főnek Van angol nelvvizsgája főnek b) A német vizsgával rendelkezők 6440 fő 30%-a, (vagis 193 fő) nem vizsgázott angolból vagis a német nelvvizsgával rendelkezők 70%-a angolból is vizsgázott, ezek száma 4508 fő ,46 A hallgatók 4,6 %-ának van angolból és németből is vizsgája Összesen: 16 pont

8 8) Eg áruházban eg mosóport négféle kiszerelésben árusítanak. Az első kiszerelés 50%-kal drágább a harmadiknál, és 0%-kal kevesebb mosópor van benne, mint a másodikban. A második 50%-kal több mosóport tartalmaz, mint a harmadik, és 5%-kal többe kerül, mint az első. a) Az első három kiszerelés közül melikben a legalacsonabb a mosópor egségára? (13 pont) A negedik fajta kiszerelést úg állították össze, hog annak dobozán a feltüntetett egségár megegezett az első három kiszerelés átlagos egségárával. b) Ha a legolcsóbb kiszerelésű dobozon 600 Ft egségárat tüntettek fel, akkor hán forint egségár szerepel a negedik fajta dobozon?(3 pont) a) ár 1,5 tömeg egségár ár tömeg ,5 0,8 1, 1,5 1, 1,5 1,5 1,5 1,875 1,5 1,875 1,5 1,5 (1 pont) Tehát a harmadik kiszerelés egségára a legalacsonabb b) Ha a legolcsóbb kiszerelés egségára 600 Ft, a másik kettőé ennek a 15%-a, azaz Ft A három kiszerelés átlagos egségára: A negedik kiszerelésen 700 Ft egségár szerepel Összesen: 16 pont 9) A mosogatógépünkön háromféle program van. Eg mosogatáshoz az A program 0%-kal több elektromos energiát, viszont 10%-kal kevesebb vizet használ, mint a B program. A B program 30%-kal kevesebb elektromos energiát és 5%-kal több vizet használ mosogatáshoz, mint a C program. Mindhárom program futtatásakor 40 Ft-ba kerül az alkalmazott mosogatószer. Eg mosogatás az A programmal 151 Ft-ba, B programmal 140 Ft-ba kerül. Mennibe kerül a C programmal a mosogatás? (14 pont)

9 A B program Ft értékű elektromos energiát és Ft értékű vizet használ eg mosogatás alkalmával Ekkor Az A program 1, Ft értékű elektromos energiát, és 0,9 Ft értékű vizet használ eg mosogatáskor A költségekre vonatkozó egenlet: 1, 0, A következő egenletrendszert kapjuk -re és -ra: (1) () Az egenletrendszert megoldva: 70, 30 (3 pont) A feltételek alapján a C program futtatása során az elektromos energia ára: 100 0, , 0,9 111 a víz ára: 1,5 4 Ft A mosogatószer árát is figelembe véve, a C programmal eg mosogatás 164 Ft-ba kerül Összesen: 14 pont 10) Jelölje H a 5, 3 egenlőtlenség pozitív egész megoldásainak halmazát. Jelölje továbbá B azon pozitív egész b számok halmazát, 6 log b amelekre a kifejezés értéke is pozitív egész szám. Elemeinek felsorolásával adja meg a H, a B, a H B és a halmazt! (11 pont) B \ H A gökös kifejezés értelmezési tartomán vizsgálata alapján: 5,. Az egenlőtlenség elvégzése során: Tehát azok a pozitív számok elemei H halmaznak, melek nagobbak és 5,-nél kisebbek: 5, 9 3,8 H 1;;3; 4;5 3,8 -nál 6 Ha logb k, akkor, ami 64. A k kitevő pozitív egész, ezért a b olan pozitív egész szám lehet, melnek valamel pozitív egész kitevős hatvána 64-gel egenlő: B ; 4; 8; Ezért H B ; 4 B\ H 8;64 b k 6 Összesen: 11 pont

10 11) a) Igazolja, hog a 1, a 0 és a 3 is göke a egenletnek, és az egenletnek ezeken kívül más valós göke nincs! (5 pont) b) Oldja meg az alábbi egenletet a valós számok halmazán! 3 (6 pont) c) Mutassa meg, hog a egenletnek nincs valós göke! (5 pont) cos 5cos 3cos 0 a) Eg szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelik ténezője nulla! Az valóban gök. A többi gököt a megmaradt másodfokú egenletből kapjuk meg: A két gök: 1 és 3, azaz a megadott három szám valóban göke az eredeti egenletnek. Másodfokú egenletnek legfeljebb két különböző valós göke lehet, ezért több gök nincsen. b) Vezessünk be új ismeretlent:! A feladatrészből tudhatunk is: Mivel a cos megoldás. A cos 0 A 1 cos cos egenletnek keressük a valós gökeit, meleket az a) 1 1 0,, 3 3. kifejezés értéke -1 és 1 között mozoghat csak, ezért a 3 nem jó egenlet megoldása: egenlet megoldásai: c) Az egenlet bal oldalán k,3 kiemelhető:, ahol k m 3, ahol m. Az eponenciális függvén értékkészlete a pozitív valós számok halmaza, íg nem lehetséges. Másodfokúra visszavezethető a megmaradt egenlet: vag 1. Az eponenciális függvén már említett értékkészlete miatt ezek nem valós gökei, íg valóban nincs megoldása az egenletnek. Összesen: 16 pont

11 1) Két valós szám összege 9. Ha az egikből elveszünk 15-öt, a másikhoz pedig hozzáadunk 15-öt, az íg kapott két szám szorzata éppen ötszöröse lesz az eredeti két szám szorzatának. Melik lehet ez a két szám? (13 pont) Jelölje azt a számot, amelet 15-tel csökkentünk, pedig a másikat Az első egenletből például -t kifejezve és a második egenletbe (9 ) behelettesítve: A műveleteket elvégezve: (3 pont) Rendezve: Az egenlet megoldásai a -6 és a 7,5 Ha a 15-tel csökkentendő szám a 6, akkor a másik szám a 35 Ha a 15-tel csökkentendő szám a 7,5, akkor a másik szám a 1,5 Ellenőrzés a szöveg alapján: Ha a két szám a -6 és a 35, akkor az összegük 9, a szorzatuk -10 A megváltoztatott számok a -1 és az 50, ezek szorzata -1050, ami valóban az szöröse a -10-nek Ha a két szám a 7,5 és az 1,5, akkor az összegük 9, a szorzatuk 41,5. A megváltoztatott számok a 1,5 és a 16,5, ezek szorzata 06,5, ami valóban 5-szöröse a 41,5-nek. Összesen: 13 pont 13) A tavaszi idén utolsó bajnoki mérkőzésén a Magas Fiúk Kosárlabda Klubjának (MAFKK) teljes csapatából heten léptek pálára. A mérkőzés után az edző elkészítette a hét játékos egéni statisztikáját. Az alábbi táblázat mutatja a játékosok dobási kísérleteinek számát és az eges játékosok dobószázalékát egészre kerekítve. (A dobószázalék megmutatja, hog a dobási kísérleteknek hán százaléka volt sikeres.) Játékos mezszáma Dobási kísérletek száma Dobószázalék a) Számítsa ki, hog menni volt a csapat dobószázaléka ezen a mérkőzésen! (5 pont)

12 Az őszi idén kezdete előtt eg hónappal a MAFKK csapatához csatlakozott eg 195 cm magas játékos, íg a csapattagok magasságának átlaga a korábbi átlagnál 0,5 cm-rel nagobb lett. Pár nap múlva eg 0 cm magas játékos is a csapat tagja lett, emiatt a csapattagok magasságának átlaga újabb 1 cm-rel nőtt. b) Hán tagja volt a MAFKK-nak, és mekkora volt a játékosok magasságának átlaga a két új játékos csatlakozása előtt? (11 pont) a) Az eges játékosok sikeres dobásainak száma rendre: 1, 0, 6,, 3, és 8. A csapat dobási kísérleteinek a száma a mérkőzésen 50, a sikeres dobások száma volt. A csapat dobószázaléka 44. b) A két új játékos csatlakozása előtt a csapat tagjainak száma a tagok magasságának átlaga pedig cm volt., 0 (Az első játékos belépése előtt a csapattagok magasságának összege volt, 195 az új játékos után 0,5. 1 Az előzőhöz hasonló gondolatmenettel kapjuk, hog a második új játékos belépését követően 195 lett, tehát) Az egenletek rendezése után a 0,5 194,5 1, és 1,5 egenletrendszerhez jutunk.. 189,5. A csapat tagjainak száma 10, az átlagos magasságuk pedig 189,5 cm volt. Ellenőrzés. Összesen: 16 pont