Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Átírás

1 és és /

2 Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend relv 4 Jobb és bal oldali határértékek 5 Nevezetes határértékek 6 Aszimptoták 7 Összefoglalás és /

3 A valós függvén fogalma Deníció (Egváltozós valós függvén) f -et valós függvénnek nevezzük, amenniben a valós számok eg részhalmazához (értelmezési tartomán - D(f )) rendel valós számokat ol módon, hog az értelmezési tartomán minden eleméhez pontosan eg értéket rendel. Az értelmezési tartomán eg értékéhez rendelt értéket f () jelöli. Deníció (Valós függvén grakonja) {(, ) R 2 D(f ), = f ()} R 2 eg részhalmaza akkor és csak akkor grakonja eg függvénnek, ha minden függ leges egenes legfeljebb eg pontban metszi és /

4 A valós függvén fogalma Példa f 1 () = függvén f 2 : D(f ) = {1} f (1) = 2 függvén {(, ) = 1} nem grakonja függvénnek függvén: f minden irracionális értékhez 1-et rendel hozzá és /

5 A határérték fogalma a végtelenben Deníció (Függvén határértéke a végtelenben) 1. Legen f eg olan függvén, amelre [N, ) D(F ) valamel alkalmas N R számra. Ekkor az f függvén határértéke a végtelenben L (jelölés: lim f () = L), ha ε > 0 M [ > M f () L < ε ]. 2. Legen f eg olan függvén, amelre (, N] D(F ) valamel alkalmas N R számra. Ekkor az f függvén határértéke a mínusz végtelenben L (jelölés: f () = L), ha lim ε > 0 m [ < m f () L < ε ] és /

6 A határérték fogalma a végtelenben Példa lim = 2, adott ε > 0 értékhez M = 1 ε megfelel L + ε L = 2 L ε f = M és /

7 A határérték fogalma a végtelenben Példa lim sin nem létezik, hiszen minden M érték fölött felveszi az 1 és a 1 értékeket is, íg bármilen L értéket is vennénk, már pl. ε = 1-re sem lenne megfelel M f = sin és /

8 A határérték fogalma a végtelenben Példa sin lim = 0, hisz adott ε > 0-hoz M = 1 ε megfelel : ha > 1 ε, akkor 1 1 sin < ε. L + ε L = 0 L ε M = 1 ε f = sin és /

9 A határérték fogalma véges pontban Deníció (Függvén határértéke véges pontban) Tegük fel, hog az f függvén értelmezve van valamel, a c-t tartalmazó nílt intervallum esetleg c kivételével minden pontjában. Azt mondjuk, hog f () tart L-hez, amint tart c-hez (f határértéke a c helen L), szimbolikusan lim f () = L, c ha bármel ε > 0 számhoz van olan δ > 0 szám, hog minden esetén, ha 0 < c < δ, akkor f () L < ε. Formulával: ε > 0 δ > 0 [ 0 < c < δ f () L < ε ]. Intuitívan: az f () függvénértékek tetsz legesen közel kerülhetnek az L számhoz, amenniben az értékek eléggé megközelítik c-t és /

10 A határérték fogalma véges pontban Példa (Az identikus és az abszolút érték függvén határértéke) Ha f az identikus leképezés, azaz minden -re f () =, akkor tetsz leges c esetén Adott ε > 0-hoz δ = ε megfelel. lim f () = lim = c. c c Ha f az abszolút érték függvén, azaz minden -re f () =, akkor tetsz leges c esetén Adott ε > 0-hoz δ = ε megfelel. lim f () = lim = c. c c Például lim = 3, 3 lim = és /

11 A határérték fogalma véges pontban Példa (A konstans függvén határértéke) Ha f konstans függvén, azaz minden -re f () = k valamel k számra, akkor tetsz leges c esetén lim f () = lim k = k. c c Adott ε > 0-hoz δ = 1 megfelel (vag bármilen pozitív δ). Például lim 7 (4) = lim (4) = és /

12 A határérték fogalma véges pontban Példa Vessük össze az alábbi három függvén viselkedését az = 1 pont körnezetében. 2 1 f () = g() = ha ha = 1 h() = + 1 Az c = 1-ben vett határéték mindhárom függvén esetében és /

13 A határérték fogalma véges pontban Példa (Amikor nem létezik határérték) Hogan viselkednek az alábbi függvének, amikor 0? { { { 0 ha < 0 1/ ha 0 sin( 1 ) ha > 0 e() = g() = f () = 1 ha 0 0 ha = 0 0 ha 0 e g f és /

14 A határérték fogalma Végtelen határértékek Deníció (Végtelen határértékek véges helen) 1. Az f határértéke a c helen végtelen ( ), szimbolikusan lim f () =, c ha B δ > 0 [ 0 < c < δ f () > B ]. 2. Az f határértéke a c helen mínusz végtelen ( ), szimbolikusan lim f () =, c ha B δ > 0 [ 0 < c < δ f () < B ] és /

15 A határérték fogalma Végtelen határértékek Példa (A deníció alkalmazása) 1 Igazoljuk, hog lim 0 =. 2 Megoldás Megmutatjuk, hog B δ > 0 [0 < c < δ 1 2 > B] B > 0 esetén 1 2 > B pontosan akkor, ha 2 < 1 1, azaz ha < B B. Legen δ 1/ B, akkor minden -re < δ 1 > 1 2 δ B. 2 B 0-ra pedig mindenképpen teljesül az 1 2 > B egenl tlenség, tehát lim = és /

16 A határérték fogalma Végtelen határértékek B δ 0 δ f és /

17 A határérték fogalma Végtelen határértékek Deníció (Végtelen határértékek a végtelenben) 1. Az f függvén határértéke a végtelenben végtelen ( ), szimbolikusan lim f () =, ha B M [ > M f () > B ]. 2. Az f függvén határértéke a végtelenben mínusz végtelen ( ), szimbolikusan lim f () =, ha Megjegzés B M [ > M f () < B ]. A -beli határértékeket hasonlóan deniáljuk és /

18 A határértékek kiszámítása Tétel (ek és algebrai m veletek) Legenek L, M, k valós számok, és α R {± }. Tegük fel, hog lim f () = L és lim α g() = M. α Ekkor léteznek az alábbi határértékek és fennállnak a következ k: (1) Összeg, különbség: lim (f ± g) = L ± M, α (2) Szorzat: lim (f g) = L M, α (3) Konstanssal való szorzás: lim (k f ) = k L, α f (4) Hánados: lim α g = L (amenniben M 0), M (5) Hatvánozás: lim f n = L n, n Z, feltéve, hog L n értelmezve van α (m ködik racionális a kitev re is, ha L a értelmezve van) és /

19 A határértékek kiszámítása Bizonítás (csak (1)-et α = c R-re) Legen adva az ε > 0 szám. Meg kell adnunk eg pozitív δ-t, amelre teljesül, hog minden esetén 0 < c < δ f () + g() (L + M) < ε. A tagokat átrendezve és a háromszög-egenl tlenséget felhasználva: f () + g() (L + M) = (f () L) + (g() M) f () L + g() M és /

20 A határértékek kiszámítása Bizonítás (foltatás) A megadott ε-hoz létezik olan δ 1 > 0 és δ 2 > 0, hog minden -re 0 < c < δ 1 f () L < ε/2, 0 < c < δ 2 g() M < ε/2. Ha δ = min{δ 1, δ 2 }, akkor 0 < c < δ esetén f () L < ε/2, és g() M < ε/2. Tehát f () + g() (L + M) < ε 2 + ε 2 = ε, ami azt bizonítja, hog valóban: lim (f () + g()) = L + M. c és /

21 A határértékek kiszámítása A tételben L és M lehet ± is, de ilenkor nem mindig tudjuk csupán a két függvén limeszéb l meghatározni az összeg, szorzat, stb. limeszét: + b +? a a + b + +? + + β b < ± 0 + b > β 0 1 b nincs + 1 b 0 b < 0 0 b > ? a < 0 + ab 0 ab 0? 0 0 0? a > 0 ab 0 ab + +? : pozitívan tart 0-hoz 0 : negatívan tart 0-hoz és /

22 A határértékek kiszámítása Az eldönthetetlen, 0, 0, 0 limeszeknél a függvént próbáljuk meg úg átalakítani, hog az új kifejezés limesze már eldönthet legen. Példa lim = + 2 = =?, de lim = lim 2 ( ) = ( ) = 1 =. Példa lim lim = =?, de 2 (1 1 = lim ) = lim 2 ( ) = és /

23 A határértékek kiszámítása Deníció A P() függvént polinomnak nevezzük, ha alkalmas a 0,..., a n valós számokkal P() = a n n + a n 1 n a 0 alakba írható. Az a i értékeket a polinom egütthatóinak nevezzük. Ha a n 0, akkor azt mondjuk, hog a P() polinom foka n. Tétel (Polinomok határértéke) Ha P() = a n n + a n 1 n a 0, akkor Következmén lim P = P(c) = a n c n + a n 1 c n a 0. c Ha P() és Q() polinomfüggvének és Q(c) 0, akkor P() lim c Q() = P(c) Q(c) és /

24 A határértékek kiszámítása A rend relv Tétel (Rend relv (Szendvicstétel)) Ha a c pontot tartalmazó nílt intervallum (esetleg c kivételével) minden elemére teljesül, hog g() f () h(), és akkor fennáll lim f = L is. c lim g = lim h = L, c c Tétel Ha a c pontot tartalmazó nílt intervallum (esetleg c kivételével) minden elemére f () g(), és léteznek a lim f és lim g határértékek, akkor c c lim f lim g. c c A fenti két tétel ± -beli limeszekre és végtelen határértékre is teljesül és /

25 A határértékek kiszámítása A rend relv Példa (A rend relv alkalmazása) Menni a következ határérték? lim 0 2 sin 1 Megoldás 2 2 sin 1 2 lim 2 = lim 2 = 0, íg 0 0 lim 2 sin 1 0 = és /

26 A határértékek kiszámítása A rend relv Példa (A rend relv további alkalmazásai) 1 sin ϕ ϕ ϕ cos ϕ 1 cos ϕ Radiánban írva: sin ϕ ϕ 0 1 cos ϕ ϕ és /

27 A határértékek kiszámítása A rend relv ϕ sin ϕ ϕ, és lim ϕ 0 ( ϕ ) = lim ϕ 0 ( ϕ ) = 0, ezért lim sin ϕ = 0. ϕ 0 sin és /

28 A határértékek kiszámítása A rend relv 0 1 cos ϕ ϕ, íg lim (1 cos ϕ) = 0, azaz lim cos ϕ = 1 ϕ 0 ϕ 0 1 cos és /

29 Jobb és bal oldali határértékek Deníció (Jobb és bal oldali határérték) Az f függvén jobb oldali határértéke a c helen az L szám (jelölése: lim f () = lim f () = L), ha c + c+0 ε > 0 δ > 0 [ c < < c + δ f () L < ε ]. Az f függvén bal oldali határértéke a c helen az L szám (jelölése: lim f () = lim f () = L), ha c c 0 ε > 0 δ > 0 [c δ < < c f () L < ε] és /

30 Jobb és bal oldali határértékek f () L + ε L L ε c c + δ és /

31 Jobb és bal oldali határértékek f () L + ε L L ε c δ c és /

32 f () = { sin( 1 ) ha > 0 Jobb és bal oldali határértékek 0 ha 0 f lim 0 f () = 0 lim f () = NEM LÉTEZIK és /

33 Jobb és bal oldali határértékek Tétel (Jobb és bal oldali határérték és határérték kapcsolata) f -nek pontosan akkor létezik a c helen határértéke, ha uganitt létezik mind a jobb, mind a bal oldali határértéke és ezek egenl ek: lim c f () = L lim f () = L és lim c + f () = L. c és /

34 Nevezetes határértékek Tétel (A sin(ϕ)/ϕ függvén határértéke) Ha a ϕ szöget radiánban adjuk meg, akkor sin ϕ lim ϕ 0 ϕ = és /

35 Nevezetes határértékek T P 1 tg ϕ sin ϕ O ϕ cos ϕ Q A(1, 0) OAP területe < OAP körcikk területe < OAT területe és /

36 Nevezetes határértékek Bizonítás Belátjuk: a jobb és a bal oldali határérték 1 kétoldali határérték is A jobb oldali határérték 1 (0 < ϕ < π/2): OAP területe < OAP körcikk területe < OAT területe. A területek: T OAP = 1 2 alap magasság = sin ϕ = 1 2 sin ϕ T OAP körcikk = 1 2 ívhossz sugár = 1 2 r 2 ϕ = 1 2 (1)2 ϕ = ϕ 2 T OAT = 1 2 alap magasság = tg ϕ = 1 2 tg ϕ Az egenl tlenségbe helettesítve: 1 2 sin ϕ < 1 2 ϕ < 1 2 tg ϕ és /

37 Nevezetes határértékek 1 2 sin ϕ-val osztva (sin ϕ > 0): 1 < ϕ sin ϕ < 1 cos ϕ A reciprokokat véve: a red relv alapján 1 > sin ϕ ϕ > cos ϕ 1 sin ϕ lim ϕ 0 + ϕ = 1 2. sin ϕ és ϕ páratlan függvének (sin ϕ)/ϕ páros sin ϕ lim ϕ 0 + ϕ = lim sin ϕ ϕ 0 ϕ = 1, íg lim ϕ 0 sin ϕ ϕ = és /

38 Nevezetes határértékek sin és /

39 Aszimptoták Deníció (Függ leges aszimptota) Az = a egenlet egenes az = f () függvén grakonjának függ leges aszimptotája, ha az alábbiak közül legalább eg teljesül: lim f () = ; lim a + f () = ; lim a + f () = ; lim a f () = a és /

40 Aszimptoták és /

41 Aszimptoták sin 1 sin = csc és /

42 Aszimptoták és /

43 Aszimptoták Deníció (Vízszintes aszimptota) Az = b egenlet egenest az = f () függvén grakonja vízszintes aszimptotájának nevezzük, ha lim f () = b vag lim f () = b és /

44 Aszimptoták és /

45 Aszimptoták Deníció (Ferde aszimptota (tartalmazza a vízszintest is)) Az = a + b egenlet egenest az = f () függvén grakonja ferde aszimptotájának nevezzük, ha lim (f () (a + b)) = 0 vag lim (f () (a + b)) = 0. Megjegzés Az a és b meghatározható az f () a = lim, és a b = lim (f () a) határértékek segítségével, uganis f () (a + b) 0 miatt f () a b f () 0, azaz a és /

46 Aszimptoták Példa f () = 2 +1 f () a = lim = lim b = lim (f () a) = lim + 1 = lim ( ) = = 1 = lim + 1 = 1 = 1 f () és /

47 Összefoglalás Összefoglalás ek deníciói példákkal Függvének összegének, szorzatának, hánadosának, skalárszorosának, hatvánának határértéke Rend relv sin határértéke Aszimptoták és /