Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Átírás

1 Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j b) 6+j c) 3 8j d) 4 5j. Ábrázolja a komple számsíkon azoknak a komple számoknak a halmazát, amelyre teljesül a következő összefüggés: a) Re(z) = b) Re(z) c) 1 < Re(z) 4 d) Re(z) < 4 e) Im(z) = 1 f) Im(z) 5 g) Im(z) > 3 h) 4 Im(z) < i) z = 5 j) z 3 k) z > l) < z 6 3. Végezze el a kijelölt műveleteket: a) (+7j)+(4 j) b) (4 3j) (9 j) c) ( +3j)(5+j) d) 7 4j +5j e) ( 3+5j)(4+7j) f) (6+4j)(6+4j) 4. Számítsa ki az alábbi hatványok értékét: a) j 3, j 4, j 5,..., j 01 b) (1+j), (1+j) 3

2 c) ( 3j), (3+j) 3 5. Oldja meg a komple számok halmazán a következő egyenleteket: a) z = 5+1j b) z z = 0 c) z = z d) z 6z +13 = 0 e) z 10z +34 = 0 A komple számok trigonometrikus és eponenciális alakja 1. Határozza meg a következő komple számok algebrai alakját: a) (cos(30 )+jsin(30 )) b) 6(cos(10 )+jsin(10 )) c) 4(cos(315 )+jsin(315 )) d) 3e πj e) 10e 4π 3 j f) 9e 5π 4 j. Határozza meg a következő komple számok trigonometrikus és eponenciális alakját: a) 3+7j b) 8+5j c) 3 5 j d) 6 11j 3. Számítsa ki a következő kifejezések értékét, ha a) z 1 z (z 1 z ) b) z 6 c) z (z 1 +z ) d) z 10 1 z 1 = j és z = (cos(5 )+jsin(5 )) 4. Oldja meg a következő egyenleteket a komple számok halmazán: a) z 3 = 7(cos(150 )+jsin(150 )) b) z 5 = 3 c) z 4 = 56

3 d) z 3 = 8e π 4 j 5. Adja meg a következő komple számokat trigonometrikus és eponenciális alakban: a) z 1 = 3(cos(75 )+jsin(75 )) b) z = 6(cos(13 ) jsin(13 )) c) z 3 = 4(cos(60 ) jsin(60 )) d) z 1 = 10(cos(310 )+jsin(310 )) e) z = 6(cos(68 ) jsin(68 )) f) z 3 = 1(cos(330 ) jsin(330 )) 6. Adja meg a z komple szám értékét mindhárom alakban, ha (z 1 + z )z 3 = z 5 4 z3, és z 1 = (cos(5 ) + jsin(5 )), z = e 3π 4 j, z 3 = 8(cos(40 ) jsin(40 )), z 4 = 1 j 3

4 Numerikus sorozatok A sorozat fogalma, megadása 1. Írja fel az alábbi sorozatok első néhány elemét! Ábrázoljon is néhányat Descartes-féle koordinátarendszerben! a) a n = n b) a n = 1 3n n 5n+1 c) a n = +( 1) n+1 3 ( d) a n = 3 1 ) n n e) a n = n 1 f) a n = n k +1 k=1 k(k +1) k=1 k(k +) 1 hanpáratlan, 3 n+1 hanpáratlan, g) a n = 1 h) a n = 1 hanpáros hanpáros n 3 n i) a 1 = 1, a n = 5 4a n 1 han j) a 1 = 1, a =,a n = a n +a n 1 han 3. A következő sorozatok első néhány eleme alapján keressünk olyan képletet, amely előállíthatja a sorozatot! a) 5,, 8 3, 11 4, 14 5,... b) 1, 1, 5 4, 7 5,... c) 1 1, 4, 1 9, 1 16,... d) 4 9, 9 16, 16 5,... e) 1, 5, 1, 5, 1, 15,... f) 4,, 4, 4, 4, 8,... g) 1, 1, 1, 3 4, 1, 5,... h) 1.5, 1.5, 1.15, 1.065,... 6 Monoton és korlátos sorozatok 3. Vizsgálja meg a következő sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából! a) a n = n 1 (n 3) b) a n = n+5 (n ) c) a n = n+1+ n n n d) a n = n+1 n e) a n = n+1 n 1 f) a 1 = 1, a =, a n = a n +a n 1 han 3 4. Határozza meg a következő sorozatok legkisebb elemét: a) a n = n 9n 100 Megoldás:a 4 = a 5 = 10 b) a n = n+ 5 n Megoldás:a 5 = Határozza meg a következő sorozatok legnagyobb elemét: a) a n = 0+19n n Megoldás:a 9 = a 10 = 110

5 b) a n = 7n n! Megoldás:a 6 = a 7 = 76 6! 163,4 c) a n = (n 3)(n+5) Megoldás:a n 4 = Melyik lehet (szigorúan) monoton növekedő, illetve csökkenő az ábrázolt sorozatok közül? Miért nem állíthatjuk biztosan a monotonitást az ábra alapján? a) a n 4 b) a n n 4 6 n c) a n 4 d) a n n 4 6 n Konvergens sorozatok 7. Bizonyítsa be a definíció alapján, hogy az alábbi{a n } sorozatok konvergensek! Határozzon meg olyann ε számot, amelynél nagyobb indeű elemek a sorozatban előírtε > 0-nál kisebb hibával közelítik meg a sorozat határértékét! (Nem kötelező a legkisebb ilyenn ε -t megadni.) a) a n = n+1 ε = 10 Megoldás:n n ε = 50 1 n+1 b) a n = ε = 10 Megoldás:n ε = 4 n c) a n = n+1 n ε = 10 1 Megoldás:n ε = 4 d) a n = 1 ε = 10 6 Megoldás:n 3 n ε = 1 +1 Határozza meg a következő feladatokban szereplő sorozatok határértékét: 8. a) a n = 7n +3n n 7n+π b) a n = 4n 3n+9 11n 1n+51 c) a n = 4n3 +5n +6n+7 d) a 1 9n 7n 3 +3n 4 n = 0n +11n+9 n 3 +8n 1n+47 e) a n = 81n6 8n 5 1n +3 f) a 9 17n +3n 3 9n 5 n = 3n5 +n 3 +71n 4n 4 +8n +36n+15 g) a n = 3n ++ n 4 n3 +n+16 3n Megoldás: 3 3

6 h) a n = n +6+ n +3n n +n 1+3n 9. a) a n = n Megoldás: 1 n n b) a n = Megoldás: 4n6 5n 3 +9 n 3 c) a n = (n 1) n n Megoldás: a) a n = 4n +5n 7 n Megoldás: 5 4 b) a n = n( n 4 +4 n ) Megoldás:0 c) a n = n+ n+ n n Megoldás: 1 1 d) a n = 3 Megoldás: n+1 3 n ( 11. a) a n = 1 n) 1 n Megoldás: 1 b) a e n = c) a n = ( ) n 5 n+3 n Megoldás: e 5 d) a n = ) (a n + 1an ( ) n n 3 Megoldás:e n 5 ( ) n 3n+1 +n+1 Megoldás:e 3 n n+1 1. a) a 1 = 1 és a n+1 = 1 n N\{0} Megoldás:1 b) a 1 = 3 és a n+1 = 1 ) (a n + 1an n N\{0} Megoldás:1 c) a 1 > 0 c > 0 és a n+1 = 1 ( a n + c ) n N\{0} Megoldás: c a n d) a 1 = 1 és a n+1 = a n a) a n = 3n! (n+1)!+n! +3 n N\{0} Megoldás:4 Megoldás:0 b) a n = 9(n+1)!+n! 10(n+1)! 7n! 14. Mely R esetén konvergensek a következő sorozatok: ( ) n 3 a) a n = Megoldás:],0] [1, [ +3 ( ) n +3 b) a n = Megoldás:], 1[ 1 ( c) a n = + n) 1 n Megoldás:] 1,1] Megoldás: 9 10

7 Elméleti kérdések 1. Definiálja a numerikus sorozat fogalmát!. Mikor nevezünk egy numerikus sorozatot korlátosnak? 3. Igaz-e, hogy minden szigorúan monoton sorozat monoton? Igaz-e ennek az állításnak a megfordítása? 4. Van-e olyan sorozat, amelynek sem legkisebb, sem legnagyobb eleme nincs? 5. Igazolja, hogy a numerikus sorozatok határértékének két definíciója ekvivalens! 6. Mondjon példát olyan sorozatra, ami monoton is és korlátos is! 7. Van-e olyan sorozat, amely konvergens, de nem korlátos? 8. Milyen főbb típusai vannak a divergens sorozatoknak? 9. Mit ért azon, hogy egy numerikus sorozatot rekurzív módon adtunk meg? 10. Hány határértéke lehet egy numerikus sorozatnak?

8 Függvények megadása és globális tulajdonságai 1. Értelmezzük a következő valós-valós függvényeket a valós számok lehető legbővebb részhalmazán! Mi lesz így az egyes függvények értelmezési tartománya? a) 3 +1 b) 3+ 6 c) 1 ( 1)(+9) d) 5 e) 7 f) 16 4 g) log 3 +4 h) lg 3 9 i) log 3 5. Értelmezzük a következő valós-valós függvényeket a valós számok lehető legbővebb részhalmazán! Mi lesz így az egyes függvények értelmezési tartománya? a) 4 15 b) d) e) g) log (4 6) h) log 5 1 c) 3+17 ( 7)( +9) 7+3 f) 10 i) log f : R R, f () = 6 +9 a) Hol vesz fel a függvény pozitív, illetve negatív értékeket? b) Van-e a függvénynek valamilyen szimmetria tulajdonsága? (Bizonyítás!) c) Van-e a függvénynek abszolút szélsőértéke? Ha igen adjuk meg a szélsőértékhely- (ek)et, illetve a szélsőérték(ek)et! Megoldás: ma. h.: = 3, ma. é.: f(3) = 1, min. h.: = 3, min. é.: f ( 3) = 1 4. Vizsgálja meg azf () = + 1 függvényt monotonitás, korlátosság és szélsőérték 3 szempontjából! Megoldás: ], ]-n szig. mon. csökken, [, [-en szig. mon. nő, alulról korlátos, de nem korlátos, min. h.: =, min. é.: f ( ) = Vizsgálja meg az f : f () = 1 ] cos és g : D g = π 4, π [, g() = 1 4 cos függvényeket monotonitás, korlátosság, szélsőérték és szimmetriatulajdonságok szempontjából! Hasonlítsa össze a két függvény vizsgált tulajdonságait!

9 6. Határozza meg az f () = log függvény értelmezési tartományát és értékkészletét! Vizsgálja meg a függvényt korlátosság, monotonitás, szélsőérték és szimmetriatulajdonságok szempontjából! 7. Az alábbi grafikonok alapján milyen függvénytulajdonságok jellemzik az ábrázolt függvényeket? (tegyük fel. hogy a függgvényeket teljes értelmezési tartományukon ábrázoltuk.) y y y y y y 8. f () = cos és g() = + Határozza meg az5f,f +g,f g,g f,3f +g,fg, f g, g,f g ésg f függvényeket! f 9. f() = { 3 ha, 1 ha <, g() = +1 Határozza meg az f +g, f g,fg, f,f g és g f függvényeket! g 10. f() = { 1 ha 5, ha < 5, g() = +3 Határozza meg az f +g, f g,fg, f,f g és g f függvényeket! g 11. Adottak a D f = D g R halmazon értelmezett f és g monoton növekedő függvények. Mit mondhatunk monotonitás szempontjából a két függvény összegéről, különbségéről, szorzatáról és hányadosáról? Megoldás: Az összegük is monoton növekedő. A többi művelet esetén általánosságban semmi nem mondható.

10 1. Mit mondhatunk a) két páros b) két páratlan c) egy páros és egy páratlan függvény összegéről, különbségéről, szorzatáról? 13. Bizonyítsa be a definíció alapján, hogy azf() = függvény szigorúan konve! 14. Mit mondhatunk konveitás szempontjából az { ha < 1, a) f() = 1 ha 1 3 ha 1, b) g() = ha 1 < 1, 1 ha1 < függvényről? Megoldás: Azf függvény se nem konve, se nem konkáv, ag függvény (nem szigorúan) konve. 15. Határozzuk meg a következő függvények legkisebb pozitív periódusát: a) f() = sin10 Megoldás: π 5 ( ) +1 b) g() = tg Megoldás: 3π 3 c) h() = sincos Megoldás:π d) i() = sin+cos Megoldás:π

11 Elméleti kérdések 1. Mit ért azon, hogy egy valós-valós függvény a) monoton növekedő, b) monoton csökkenő, c) szigorúan monoton növekedő, d) konve, e) alulról korlátos, f) korlátos, g) páros, h)...?. Igaz-e, hogy egy páros és egy páratlan függvény összege/különbsége/szorzata/hányadosa a) páros, b) páratlan, c) nem páros és nem páratlan? 3. Igaz-e, hogy egy szigorúan monoton növekedő függvény nem lehet felülről korlátos?

12 Inverz függvény 1. Határozza meg a következő függvények inverz függvényét, ha lehetséges: a) f() = 3+ Megoldás: f() = 3 b) D f = [ 1,+ [, f() = ++1 Megoldás:D f = [0,+ [, f() = 1 c) f() = e 1 Megoldás:D f = ]0,+ [, f() = ln d) f() = 3 +5 Megoldás: f() = 3 5 { ha > 1, 1 ha 1 Megoldás:D f = R\]0,], f() = { e) f() = Függvények folytonossága, határérték I. ha >, 1 ha 0 1. Határozzon meg a megadott ε > 0 számhoz olyan δ > 0 számot (ha lehetséges), hogy az 0 pontδ-sugarú környezetében felvett függvényértékekε-nál kevesebbel térjenek el a függvény 0 helyen felvett értékétől: a) f() = 0 = 0 ε = 10 3 Megoldás:δ = ε = ,0316 b) f() = 1 c) f() = = 1 ε = 10 Megoldás:δ = = 3 ε = 10 1 d) f() = [] 0 = ε = 1 e) f() = [] 0 = 1 ε = Határozza meg a következő határértékeket: a) lim Megoldás: b) lim 5+6 Megoldás: c) lim Megoldás: d) lim Megoldás: 0 e) lim f) lim Megoldás: 3 Megoldás: 6

13 4 3. a) lim Megoldás: b) lim Megoldás: c) lim Megoldás: d) lim Megoldás: e) lim Megoldás: a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim Megoldás: 0 Megoldás: 5 Megoldás: 5 Megoldás: + ( ) 5. a) lim +1 Megoldás: 0 ( b) lim ) Megoldás: Megoldás:0 c) lim ( ) d) lim ( + ) Megoldás:1 Megoldás: Megoldás: 6. Megadható-e apparaméter értéke úgy, hogy az 4 ha > a) f() = Megoldás: Igen: p = 6 +p ha { 1 ha 0 b) f() = Megoldás: Nem p ha = 0 függvény mindenütt folytonos legyen? 7. Tudjuk, hogy az f() = a+5 ha 5 5 b ha = 5 Megoldás:a = 6, b = 4

14 függvény folytonos 0 = 5-ben. Határozza megaés b értékét. 8. Hol és milyen jelegű szakadása van a következő függvényeknek? a) f() = 4 4 b) f() = (+1)( 3) c) f() = (+1)( 3) 5 5 d) f() = ( 1)(+) Elméleti kérdések 1. Definiálja az f valós-valós függvény 0 D f pontbeli folytonosságát!. Mikor nevezünk egy valós-valós függvényt egy adott pontban balról folytonosnak? 3. Definiálja az f valós-valós függvény 0 D f pontbeli határértékét! 4. Hány határértéke lehet egy valós-valós függvénynek egy adott pontban? 5. Mit mondhatunk két függvény összegének, különbségének, stb. adott pontbeli határértékéről? 6. Adja meg a valós-valós függvény adott pontban való folytonosságának szükséges és elégséges feltételét!

15 Függvények folytonossága, határérték II. sin +sin 1. a) lim 0 cos (sin5) tg b) lim 0 Megoldás: Megoldás:10 c) lim ctg 0 Megoldás: 1 4 cos cos 3 d) lim 0 Megoldás:1. a) lim b) lim c) lim d) lim ( ( 1 1 ) ) 15 Megoldás: 1 e 4 Megoldás:1 ( ) Megoldás: +4 ( ) +1 Megoldás: Vizsgálja meg, hogy hol nem folytonosak az alábbi függvények, és állapítsa meg, hogy ezen helyeken milyen jellegű szakadásuk van: 9 ha 0, ± ha = 3 a) f() = 0 ha = 0 b) f() = c) f() = 1 3 ha = 3 +3 ha 0 ha = 0 sin ha 0 1 ha = 0 4. Határozza meg az alábbi függvények jobb, illetve baloldali határértékét az 0 helyen. Döntse el, hogy folytonos-e a függvény az adott pontban, iletve milyen szakadási helye van 0 -ban. a) f() = 3 0 = b) f() = 0 = 0

16 1 c) f() = 4 d) f() = e) f() = 0 = 0 ha 1 0 ha 1 < < 5 ha 5 1 ha < 0 7 ha = 0 1 ha 0 < 0 = 0 0 = 5

17 Elemi függvények 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket: a) ( 5) 3 ( ) (+) > 0 Megoldás:M = ], [ ]5,+ [ b) 6(1 )( 3) 4 ( 8) 3 < 0 Megoldás:M = ]1,4[\{3}. Határozza meg a következő racionális törtfüggvények zérushelyeit, szakadási helyeit, határértékét a ± -ben, valamint a féloldali határértékeket a szakadási helyeken. Ezek alapján vázolja a függvény grafikonját: a) f() = ( ) ( 3) ( 1)(+6) b) f() = c) f() = Oldja meg a fenti függvényekkel az f() 0, illetve f() < 0 egyenlőtlenségeket! 3. Végezze el a kijelölt polinomosztásokat: a) ( ) : ( 3 1) b) ( ) : ( +3 3) 4. Határozza meg a következő függvények aszimptotáit: a) b) Megoldás:y = 9 5. Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket: Megoldás:y = +3+3 a) cos(arcsin) Megoldás: 1 4 b) sin(arccos) Megoldás: 1 4 c) tg(arcsin ) Megoldás: 1 d) sin ( arctg( 1) ) Megoldás: ( e) cos arctg ) Megoldás: 6. Igazolja az alábbi azonosságokat: a) arcsin+arccos = π c) arctg+arcctg = π e) arcctg( ) = π arcctg b) arcsin +arcsin 1 = π d) arccos( ) = π arccos 7. Határozza meg a következő függvények inverz függvényét ha létezik! (Ha nem adja meg a függvény egy olyan leszűkítését, amelynek már van inverze és határozza meg a leszűkítés inverzét!)

18 a) f() = 3 + d) f() = ln b) f() = sin c) f() = ln( +1) 8. Ábrázolja és jellemezze a következő függvényeket: ( ) +1 a) f() = arcsin(3+9)+π b) f() = 3arctg