1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

Átírás

1 . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen, adjunk minél többet! 3. Lássuk be, hogy arc tg = arcsin +. Mutassuk meg, hogy bár f() = ( + )sgn nem folytonos, inverze mégis az! Ábrázoljuk a következ ponthalmazokat a síkon! 5. (A) { (, y) R : = cos t, y = sin t, t R } 6. (A) { (, y) R : = ch t, y = sh t, t R } 7. (A) { (, y) R : = arc tg t, y = arc ctg t, t R } 8. A következ feladatokban adjunk iterációt az egyenletek megoldására és becsüljük a konvergencia sebességét! Igazoljuk, hogy jogosan jártunk el! Hány lépést kell megtenni, hogy 3 tizedesjegy pontossággal kapjuk meg az eredményt? 9. (A). (A) = +, [, ] + = +, [, ]. =, [, ] ( = + ). (A) =, 9 cos, [, ] 3. Igazoljuk, hogy található olyan (, π ), melyre sin = π.. Vizsgáljuk meg a következ függvényeket, hogy egyenletesen folytonosak-e! 5. (A) 6. (A) D(f) = (, ), D(f) = (, ), f() = f() = sin π

2 7. D(f) = R, f() = sin 8. (A) D(f) = R, f() = + sin 9. (A). D(f) = (, ), f() = D(f) = R, f() =. (A) D(f) = (, π), f() = sin. Legyen f : R R, D(f) = R olyan függvény, melyre f( + y) = f() + f(y). Igazoljuk, hogy ha ezen kívül (a) f folytonos, vagy (b) f monoton, akkor található a R, hogy f() = a! 3. Legyen f : R R, D(f) = R olyan függvény, melyre f( + y) = f()f(y). Igazoljuk, hogy ha ezen kívül (a) f folytonos, vagy (b) f monoton, akkor található a R, hogy f() = a!

3 . Dierenciálás. Lássuk be az alábbiakat!. (c) = (c R) ;. (th) = ch ;. (id n ) = n id n (n N) ;. (cth) = sh ; 3. (ep c ) = ln c ep c (c R + \ {}) ; 3. (arcsin) () =, (, ) ;. (log c ) = id ln c (c R+ \ {}) ;. (arccos) () =, (, ) ; 5. (sin) = cos; 5. (arc tg ) () = +, R; 6. (cos) = sin; 6. (arc ctg ) () = +, R; 7. (tg) = cos ; 7. (arsh) () =, R; + 8. (ctg) = ; 8. (arch) () = sin, (, + ) ; 9. (sh ) = ch ; 9. (arth) () =, (, ) ;. (ch ) = sh ;. (arcth) () =, R \ [, ]. 5. Számítsuk ki az alábbi függvények deriváltjait!. f () = ;. f () = sin 5 ;. f () = ln ;. f () = ;. f () = sin 5;. f () = lg e ; 3. f () = 3 5 ; 3. f () = sin 5 ; 3. f () = ;. f () = + ;. f () = sin5 5 5 ;. f () = sin ; 5. f () = + ; 5. f () = + ; 5. f () = π e ; 6. f () = + ; 6. f () = ; 6. f () = lg ; 7. f () = ; 7. f () = (+ ) + ; 7. f () = e e e ; 8. f () = 3 ; 8. f () = + ; 8. f () = sin 9. f () =. f () = 3 ;. f () =. f () = 3 arc tg ; ( ; 9. f () = 3 ) ; 9. f () = tg + tg tg5 ; 3. f () = ln + ; 5. f () = ln tg cos sin ; ( ; 3. f () = ln + ; 5. f () = a ; 3 3. f () = e sin 5; 5. f () = ln f () = ( + ) e ; 33. f () = ln sin +sin ; 53. f () = ; ln a + a+ a a+ ) ; + ;. f () = sin ; 3. f () = ln sin ; 5. f () = f () = e sin ; 35. f () = ln ln ; 6. f () = ln cos ; 36. f () = ln tg ( + π ) ; 7. f () = (ln ) ; 37. f () = ln ( + + a ) ; 8. f () = + ln ; 38. f () = arcsin ; 9. f () = cos ; 39. f () = arccos ;. f () = ln ;. f () = ln lg ; 3

4 6. Számítsuk az f (), f (), f (3) értékeket, ha f () = ( ) ( ) ( 3) 3! 7. Mutassuk meg, hogy az f () := { sin,,, = függvény folytonos a -ban, de ott nem dierenciálható! 8. Mutassuk meg, hogy az f () := { sin,,, = függvény a -ban dierenciálható! 9. Mutassuk meg, hogy a D () := {, Q,, R \ Q függvénynek (a) egyetlen pontban sincs határértéke; (b) D () a -ban folytonos, de nem dierenciálható; (c) D () a -ban dierenciálható! 3. A Legendre-polinom deníciója: P m () := Mutassuk meg az alábbi összefüggést! [ ( m ) ] m (m). m! ( ) P m () P m () + m(m + )P m () =. Segítség: Lássuk be az u() = ( ) m függvényr l, hogy ( ) u () = mu(), majd deriváljuk ezen egyenlet mindkét oldalát m + -szer! 3. Hol dierenciálhatók az alábbi függvények? Számítsuk ki a deriváltjukat! (a) f() = [] sin (π), R; (b) f() = log, >, ; (c) f() = { arctan,, π sgn +, >. 3. Határozzuk meg a következ összeget! n ke k, k= R 33. Tegyük fel, hogy f dierenciálható a-ban. Számítsuk ki az alábbi határértéket! a f(a) af(). a

5 Egy f : R R függvény tulajdonságainak vizsgálata: (a) Értelmezési tartomány és torlódási pontjainak meghatározása. (b) A függvény zérushelyei és tengelymetszetei. (c) Folytonosság (féloldali is), szakadási helyek. (d) Határérték az értelmezési tartomány torlódási pontjaiban ( ± -ben is). (e) Széls érték-vizsgálat (lokális és abszolút): i. szükséges: f ( ) =, ii. elégséges: f az -ban el jelet vált vagy f ( ) > szigorú lokális minimum, f ( ) < szigorú lokális maimum. (f) Monotonitási viszonyok i. f monoton n, f monoton fogy, ii. f > szigorúan monoton n, f < szigorúan monoton fogy. (g) Ineiós pontok: i. szükséges: f ( ) =, ii. elégséges: f az -ban el jelet vált vagy f ( ). (h) Konveitás-konkávitás: i. konve f monoton n vagy f, ii. konkáv f monoton fogy vagy f. (i) A függvény grakus ábrázolása. (j) Értékkészlet meghatározása. 3. (A) Végezzük el az alábbi függvények teljes kör vizsgálatát! (a) f () = 3 ; (i) f () = ln ( + + ) ; (b) f () = (c) f () = arcsin 5 (+) ; (j) f () = ( + ) e ; + ; (k) f () = tg; (d) f () = + e ; (l) f () = + ; (e) f () = + ; ln (m) f () = ; (f) f () = ; (n) f () = ; (+) 3 (g) f () = ( + ) ; (o) f () = e ; { (h) f () = ( + ) 3 ; (p) f () = e,, =. 5

6 35. (A) Számítsuk ki a következ határértékeket! (a) 3 5 ; (e) 3 (cos ) ; (b) tan sin ; (f) ( π cot π ) ; cos (c) (d) e sin ( sin ) ; (g) (h) ln ( ) ; ( ). 36. Legyen f : [, n ] R, f (n ) : [, n ] R folytonos, és létezik az f (n) : (, n ) R n-edik deriváltfüggvény. Tudjuk továbbá, hogy léteznek < <... < n, f ( i ) =, i =,..., n pontok. Mutassuk meg, hogy létezik ξ (, n ), f (n) (ξ) =! 37. Legyen f dierenciálható, ϕ monoton növ és dierenciálható I-n, f () < ϕ () I. Lássuk be, hogy ekkor f() f(y) < ϕ() ϕ(y), ha > y! Ennek segítségével mutassuk meg, hogy (a) < ln( + ), > (b) 3 3 < tan, < < π. 38. Tegyük fel, hogy f-re teljesülnek a Lagrange-középértéktétel feltételei [a, b]-n. Ki lehet-e választani az (a, b) intervallum bármely ξ pontjához olyan, [a, b] pontokat, melyekre 39. Bizonyítsuk be az alábbi egyenl tlenségeket! (a) sin sin y y ; (b) arctan (a) arctan (b) a b ; (c) (d) a b a + < ln( + ) <, > ; ln a b a b b, < b < a. f ( ) f ( ) = f (ξ)?. Írjuk fel az f() = ( + ) 3 3 függvény = valamint = pontokhoz tartozó érint inek egyenletét!. Mely pontokban lesz az f() = + függvény érint je párhuzamos (a) az -tengellyel; (b) az els síknegyed szögfelez jével? 6

7 . Adott terület téglalapok közül melyiknek a legkisebb a kerülete? 3. Melyik a legnagyobb terület azon derékszög háromszögek közül, melyeknél az átfogó és az egyik befogó összege állandó?. Egy a oldalú négyzet alakú fémlemezb l (felül nyitott) dobozt hajtogatunk. Mekkora az elérhet maimális térfogat? 5. Egy félgömb köré kúpot akarunk tenni a lehet legkisebb térfogattal úgy, hogy az alapjuk ugyanazon a síkon legyen. Milyenek legyenek a kúp méretei? 6. Határozzuk meg a körüli n-edik Taylor-polinomokat és Lagrange-féle maradéktagokat az alábbi függvények esetén! (a) f () = e ; (b) f () = sin ; (c) f () = cos ; (d) f () = ln( + ). 7. Írjuk fel a következ függvények a körüli n-edik Taylor-polinomjait! (a) f() = 3 8 +, a =, n = ; (b) f() = sin(sin ), a =, n = 3; (c) f() =, a =, n = 3; (d) f() = c ch c 8. Számoljuk ki (c ), a =, n =. (a) e értékét 9 pontossággal; (b) sin értékét 8 pontossággal; (c) az f () = e függvényt a [, ] intervallumon, pontossággal; (d) az f () = ln ( + ) függvényt a [, ] intervallumon, pontossággal! 7

8 3. Integrálszámítás 9. Alapintegrálokra visszavezethet feladatok (a) 5 6 (b) (5 + sin 3 cos ) (c) tan (d) cos 5 +cos() (e) coth (f) cosh +sinh (g) 5 5 (h) + 5. Integrálás helyettesítéssel (a) f(a + b) alakú integrandus: F () = f() f(a + b) = a (F (a + b)) + c i. 7 6 ii. e 5+ iii. ( 5 tanh ( ) ) (b) f α () f () = f α+ () α+ + c, α i. ( 3 + ) 99 ii. sin sin () iii. ln 3 iv. + v. ( + ) vi. + (c) f () f() = ln ( f () ) + c i ii. sin() 5+cos iii. cosh tanh iv. tan iv. 7 + v. vi. ( ) vii. + vii. (+ ) arctan viii. sin 3 tan cos 3 i. sin (5 sin ) 7. sin 5 cos 7 i. e sin cos v. arcsin vi. e e +3 vii. ln (d) További feladatok helyettesítéssel i ii. 5 6 iii. e +e (t := e ) iv. ( := sin t), cos t = +cos(t) ( = ) arcsin + v. ( := cosh t), sinh t = cosh(t) ( = arcosh ) 8

9 5. Parciális integrálás (a) Polinomfüggvénnyel szorzott ep, trigon. és hiperbolikus függvények i. ( + 3) sin (6) ii. e π iii. ( + ) coth 3 (b) Logaritmus, arcus és area függvények integrálása i. ln ii. iv. arsinh arcsin iii. v. arcosh arctan vi. arcoth (c) Ep függvénnyel szorzott trigonometrikus és hiperbolikus függvények i. e 3 sin () ii. cos(3 ) iii. 3 + sinh( ) (d) További feladatok (parciális integrálás) i. ln 3 ii. arcsin iii. e arcsin iv. arctan v. sin vi. ln 3 5. Racionális törtfüggvények integrálása (a) Nevez (a + b) n, számláló els fokú vagy konstans i. iii. (6 ) 7 ii. 5 (+3) (b) Nevez másodfokú, számláló konstans i ii (3 5) 3 iv. 3+ ( ) iii iv. +8+ (c) Nevez másodfokú, számláló els fokú i ii iii. + + (d) Parciális törtekre bontás i. ( 3) (+) ( ) ii iii. ( )(+) iv. 5 ( +) v. (+) ( ) vi. 53. Trigonometrikus függvények racionális kifejezéseinek integrálása (a) sin 7 (d) sin cos 6 (b) cos (c) sin 3 cos 5. t := tan (a) sin (b) cos t helyettesítés: sin = +t, cos = t +t (e) sin cos 3 (f) cos cos 3 (c) +sin cos (d) +cos 9

10 Gyakorló feladatok cos sin + cos ( ) 3 cos 7 5 sin ( + 3 ) sin( + 5) sinh( 7) 5 cos ( 6 + ) tan ( 3) sinh ( ) (3 sin )( 3 + cos ) ln e (e + 5) 7 + ( + ) ln( + ) ( + ) arctan cos cos 3 sin cos sin cos 3 cos 3 3 d; arctan earctan ( + ) 3 (arcsin ) (sin ) ln (tan ) ) 83. ( ln 8. cos ( ) ln ( + ) + arcsin e 88. * ( + ) n 89. * n +

11 9. Számoljuk ki a Newton-Leibniz-tétel alkalmazása nélkül! (a) d; (b) b a d. 9. Határozzuk meg a következ határértékeket! ( (a) n n + n + + n ) n ; ( (b) n n + + n ) ; n + n (c) (d) p + p + + n p n n p+ (p > ); ( + n n n + + n ) n. n 9. Számítsuk ki! (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 8 8 π π 5π 6 π d; 5 d; sin d; tan d; d; d; e d; (h) (i) (j) (k) (l) (m) π π.6. 3 π sin d; arcsin d; 3 d; e 3 e 3 + d; a sin + b cos d; α d, α =,,. 93. Mutassuk meg, hogy ha f folytonos [a, b]-n, [c, d] [a, b], akkor d h c 9. Bizonyítsuk be, hogy ha f konve, akkor ( ) a + b (b a) f f ( + h) f () =. b a f (b a) 95. Jelölje B m,n := tm ( t) n. Mutassuk meg, hogy B m+,n = m m + n B m,n f (a) + f (b). és ennek alapján B m,n = (m )! (n )!. (m + n )!

12 96. Lássuk be teljes indukcióval, hogy π (tan ) n = n k= ( ) k (n k) + ( )n π 97. Mutassuk meg, hogy ha f folytonos, akkor π f(sin ) = π π f(sin ). 98. (A) Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! (a) D(F ) := [, ], F () := t dt. (b) D(F ) := [, ], F () := t dt. (c) D(F ) := [, ], F () := sgn t dt. (d) D(F ) := [, ], F () := et dt. 99. Számoljuk ki értékét! d + t dt d. Számoljuk ki az alábbi improprius integrálokat! (a) (A) (b) (A) (c) (A) (d) (A) (e) (f) (A) (g) (h) d + e 3 d e d d + n e d (n N) 5 8 d d 3 d 5

13 . Igaz-e, hogy f improprius értelemben integrálható, ha (a) D(f) = R, f() = + ; (b) D(f) = (, ), f() = ln ; (c) D(f) = [ π cos, + ), f() = ; (d) D(f) = [, + ), f() = sin ; (e) D(f) = [, + ), f() = sin?. (A) A következ függvényeknél határozzuk meg a függvény grakonja és az tengely közötti területet! (a) D(f) = [, 6], f() = (b) D(f) = [, ), f() = (c) D(f) = [, π], f() = sin (d) D(f) = [, 6], f() = 3. (A) A következ függvényeknél határozzuk meg a függvény grakonjának ívhosszát! (a) D(f) = [, 3], f() = cosh (b) D(f) = [, 5], f() = 5 (c) D(f) = [, ], f() =. (A) A következ függvények grakonját megforgatva az tengely körül, mekkora térfogatú forgástestet kapunk? (a) D(f) = [, π], f() = sin (b) D(f) = [, ], f() = (c) D(f) = [, ], f() = (d) D(f) = [, ], f() = 3