A gyakorlatok anyaga

Átírás

1 A gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], a, b), a, b], [a, b),, a), stb. Ajánlott irodalmak: 1. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I., TYPOTEX Kiadó, Budapest, Barabás Béla és Fülöp Ottilia: Az építészek matematikája, I letölthető: 3. Sydsæter Hammond: Matematika közgazdászoknak, Aula Kiadó, október

2 F1. Legyen 7. gyakorlat Differenciálszámítás folytatás). Egyoldali deriváltak. Magasabbrendű deriváltak, monotonitás, szélsőérték f) := π ) cos + tg 3 6 π 3, π 3 ) ). Írja fel a függvény deriváltfüggvényét. Mutassa meg, hogy az f) = 0 egyenletnek pontosan egy gyöke van a 0, π 6 ) intervallumban. F. Állapítsa meg, hogy az 1 + 1, ha 0 f) := 1 +, ha 0 < 3, ha 3 < függvény differenciálható-e az = 0 és = 3 helyeken? Útmutatás. A differenciálhatóság szükséges feltétele a folytonosság. Az első lépésben a folytonosságot kell megvizsgálni. Ehhez a függvénynek az adott pontban a jobb- és a bal oldali határértékét kell meghatározni. Ha ezek egyenlők, akkor a függvény az adott pontban folytonos, az ellenkező esetben nem folytonos, és ekkor nem is differenciálható. Ha a függvény az adott pontban folytonos, akkor a következő lépés a jobb- és a bal oldali deriváltak meghatározása. Ha ezek egyenlők, akkor a függvény az adott pontban deriválható, az ellenkező esetben nem deriválható. Az eredmény: a függvény az = 0 helyen deriválható, az = 3 helyen pedig nem deriválható.) F3. Legyen f) := 1 π cos, π ) ). Számítsa ki f másodrendű deriváltját, vagyis f ) )-et. F4. Adja meg azt a legbővebb intervallumot, amelyen az f) := függvény szigorúan monoton. F5. Határozza meg az R) f) := ln1 + ) 1, + ) ) lokális szélsőértékhelyeit és lokális szélsőértékeit alkalmazza az elsőrendű szükséges feltételt és az elsőredű vagy a másodrendű elégséges feltételt).

3 8. gyakorlat Differenciálszámítás. Szélsőérték feladatok folytatás). F1. Határozza meg az alábbi, korlátos és zárt intervallumon értelmezett f) := [ 10, 1] ) függvény abszolút maimumát és minimumát ha azok léteznek), és mondja meg azt is, hogy hol veszi fel a szélsőértékeket. F. Határozza meg az alábbi, nem korlátos intervallumon értelmezett f) := < < + ) függvény abszolút maimumát és minimumát ha azok léteznek), és mondja meg azt is, hogy hol veszi fel a szélsőértékeket. F3. Szöveges szélsőérték feladat: Határozza meg az R sugarú körbe írható maimális területű téglalap területét. F4. Határozza meg az alábbi függvények deriváltját: a) f) := sin ln, ) 0, π ; ) + 3 b) f) := sin, R; 1 + ) sin c) f) :=, ) 0, π 4. 3

4 9. gyakorlat Konveitás. Infleió. Aszimptoták. L Hospital-szabály F1. Adja meg azokat az intervallumokat, amelyeken az f függvény konve, illetve konkáv. Van-e a függvénynek infleiós pontja? a) f) := R), b) f) := R). F. Van-e az f függvénynek aszimptotája + )-ben, illetve )-ben? Ha igen, akkor határozza meg: a) f) := + 9 ) R \ {0}, b) f) := sin + R \ {0} ), c) f) := 3 R). Útmutatás: Alkalmazza a következő állítást: Az f : a, + ) R függvénynek + )-ben akkor és csak akkor van aszimptotája, ha léteznek és végesek az alábbi határértékek: f) lim + ) =: A és lim f) A =: B. + Ebben az esetben az y = A + B egyenletű egyenes f aszimptotája + )-ben. Ha a fenti határértékek közül valamelyik nem létezik vagy nem véges, akkor f-nek nincs + )-ben aszimptotája. Hasonló állítás érvényes a )-beli aszimptotákra. F3. A L Hospital-szabály alkalmazásával számítsa ki az alábbi határértékeket. Minden egyes esetben állapítsa meg, hogy milyen típusú kritikus határértékről van szó.) a) lim e 1 b) lim 0 tg sin, c) lim ln 1. 0 ) + ), 4

5 10. gyakorlat Teljes függvényvizsgálat F1. Végezzen teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényeken, és vázolja a grafikonjukat: a) f) := R), ) 1 b) f) := R \ { 1 + 1, c) f) := 3 ) R \ {}, d) f) := arc tg R), e) f) := > 0), f) f) := e 1 + e R). 5

6 11. gyakorlat Határozatlan integrálok primitív függvények) F1. Keresse meg azt a f függvényt, amelyre a) f ) = 1 R+ ), f4) = 1; b) f ) = 3e + 5 sin R), f0) = 1, f 0) = ; c) f ) = sin, R), f0) = 1, f 0) = 1, f 0) = 1. F. Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat: a) + 3 ) d, > 0; b) d, > 0; + 1) c) d, > 0. F3. Határozza meg az alábbi primitív függvényeket: e 3 a) d, R; e b) ) 016 d, R; 1 c) cos tg ) d, π, ) π F4. A parciális integrálás szabályát alkalmazva számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat: a) cos5) d, R; b) e sin d, R; c) e 3 sin) d, R; d) e cos3) d, R; e) arc tg 3 d, R; f) ln d, I := R +. 6