2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

Átírás

1 I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx = x arctg + C g fx dx = arcsinx + C h fx dx = arcsinx + C i fx dx = arcsinx + + C j fx dx = arcsinx + C Milyen típusú racionális törtek összegére bontaná az alábbbi törteket: a A x + B b A x + 4 x + B 9x + c A x + B x + e A x + C x B x + C x + Dx + E x + d A x + Bx + C 5x + + Dx + E 5x + A f x + B x + C x + Dx + E x F x + G x Hx + I x J x + Bontsa fel az alábbi racionális törteket elemi törtek összegére: a fx = x b fx = x + x x + c fx = x 5 x + d fx = x + 5 x + x x + e fx = x x + + x + f fx = x + x x x g fx = x + x + + x + 7 x + + x h fx = x + + x x + x x + + x + x + 4 Határozza meg az alábbi integrálokat: a lnx lnx + + C b ln x + lnx + lnx + + C c ln x + x arctg + + C d ln x + x + + C e ln x + ln x + + C f ln x + ln x + 7 x C g arctgx + ln x x + C h ln x + x + x arctg + C

2 5 Határozza meg az alábbi integrálokat! a xe x x + C t = x b x ln x + + C t = x c x cos x + 6x sin x sin x + x cos x + C t = x d 97x 97 99x 99 98x + C t = x 98 96x 96 e e x ln e x + + C t = e x f xsinln x cosln x + C t = ln x g cose x + C t = e x h sin x + C t = x i ex ex ln e x + + C t = e x j 5x 5 ln ex + + C t = e x k x x ln x + + C t = x + l x 4 x 8 ln x + C t = x m arctg x + C t = x n x cos x + sin x + C t = x o ln e x + + arctge x + C t = e x p ln ex + ln e x C t = e x q 4x + 4x + + C t = 4x + 4 r 5 x 9 x + C t = x s 5 5 5x x + + C t = 5x + t x + x 5 + C t = + x u x + 5 cos x sin x C t = x + 5 v 4 xe 4 x + e 4 x + C t = 4 x 6 Határozza meg az alábbi improprius integrálokat! a b c 4 d 84 e 7 e f g 5 h i j π k 7 Határozza meg az alábbi improprius integrálokat! a b c d 5 4/5 e f π g h 5 /5 + 7 /5 i 5 4 /5 + 5

3 IV feladatsor Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények összes lehetséges elsőrendű parciális deriváltfüggvényét! a fx y = x b fx y = y c fx y = x + y d fx y = x y 4 e fx y = e x +y Megoldás a fx y = x fx y = b fx y = fx y = y c fx y = x fx y = y d fx y = xy 4 fx y = 4x y e f fx y = xy ye y e fx y = x e y y y e y f fx y = x y fx y = e x e y így fx y = e y e x x fx y = e x e y y y y = x Határozza meg a f f f f f f f f függvényeket az alábbi függvények esetén: a fx y z = 5z b fx y z = x + y + z c fx y z = ze x y Megoldás a fx y = fx y = fx y = 5 Ebből adódik hogy minden magasabb rendű parciális deriváltfüggvény b fx y = fx y = fx y = Ebből adódik hogy minden magasabb rendű parciális deriváltfüggvény c fx y = ze x y fx y = ze x y fx y = e x y A másodrendű deriváltak: fx y = fx y = ze x y fx y = fx y = ze x y fx y = e x y A harmadrendű deriváltak: fx y = e x y fx y = e x y Mutassa meg hogy ha ux y = lnx + y illetve ux y = arctg x akkor y Megoldás a u := ux y + ux y = ln x + y = y x x + y ln x + y = x y x + y az összegük valóban nulla b arctg x = xy y x + y arctg x xy = y x + y az összeg itt is nulla 4 Keresse meg az alábbi f : R R függvények lokális szélsőértékeit! a fx y = x + y xy; b fx y = x + y + ; y c fx y = x 4 4xy + y 4 ; d fx y = x 4 + y 4 x y ; e fx y = x 4 + y 4 x y ; f fx y = x xy + y Megoldás a A parciális deriváltak: fx y = x y = fx y = y x = Az első egyenletből y = x ezt a második egyenletbe helyettesítve = x 4 x = xx x = vagy x = Vagyis az f x y = egyenletet kielégítő pontok: x y = illetve 6x 6 f x y = f 6y = f = 6 Itt det f = 9 < azaz f indefinit vagyis nem szélsőértékhely; az f mátrix viszont pozitív definit vagyis szigorú lokális minimum e y e y

4 b A parciális deriváltak: fx y = xy + = y fx y = x + = A y fenti egyenletrendszer megoldásai: x = y = ± azaz az f x y = egyenletet kielégítő pontok: x y = illetve y + f y x y = x y x y x + y f = 4 4 f = Itt det f = 8 > és 4 > azaz f pozitív definit vagyis szigorú lokális minimum; det f = 8 < azaz f indefinit vagyis nem szélsőértékhely c A parciális deriváltak: fx y = 4x 4y = fx y = 4y 4x = Az első egyenletből y = x ezt a második egyenletbe helyettesítve = 4x 9 4x = 4xx 8 x = x = vagy x = Tehát az f x y = egyenlet megoldásai: x y = illetve Mivel x f 4 x y = 4 y ezért f = 4 f 4 = 4 f 4 = 4 4 Itt det f = 6 < azaz f indefinit vagyis nem szélsőértékhely; det f = 8 > és > azaz f pozitív definit vagyis szigorú lokális minimum; f = f így a pontban is szigorú lokális minimum van d A parciális deriváltak: fx y = 4x x = fx y = 4y 4y = A fenti egyenleteket átalakítva xx = = x = x = vagy x = 4yy = = y = y = vagy y = Tehát az egyenletrendszer megoldásai: x y = A második derivált x f x y = y 4 amiből következik hogy f = negatív definit 4 f = f = indefinit 8 f = f 4 = indefinit 4 f = f = f = f = 4 8 pozitív definit Tehát a függvénynek a pontban szigorú lokális maximuma van az pontokban szigorú lokális minimuma van a maradék pontokban pedig nincs szélsőértéke

5 e A parciális deriváltak: fx y = 8x x = = x = x = vagy x = fx y = 4y 4y = = y = y = vagy y = Tehát az egyenletrendszer megoldásai: x y = Mivel f x y = 4x y 4 ebből következően f = negatív definit 4 f = f = indefinit 8 f = f 4 = indefinit 4 f = f = f = f 4 = 8 pozitív definit Tehát a függvénynek a pontban szigorú lokális maximuma van az pontokban szigorú lokális minimuma van a maradék pontokban pedig nincs szélsőértéke f A parciális deriváltak: fx y = x y = fx y = y x = Az egyenletrendszer megoldása: x = y vagyis az f x y = egyenletnek az x x típusú pontok tesznek eleget A második derivált: f x y = = f x x Azonban itt det f x x = azaz a mátrix most csak szemidefinit így nem alkalmazható az eddigi módszer Azonban tetszőleges x x pontra fx x = x y = fx y vagyis az x x pont lokális sőt globális minimum de nem szigorú minimum 5 Számítsa ki az alábbi többdimenziós integrálokat! x a dx dy ahol D = [ ] [ ]; D + y b sin y dx dy ahol D = [ ] [ ]; D c x + y dx dy ahol D = [ ] [ ]; D d cos x cos y cos z dx dy dz ahol D = [ π/] [ π/] [ π/]; D e cosx + z dx dy dz ahol D = [ π/] [ π/] [ π/] D Megoldás a x dx dy = + y + y x dx dy = [ x + y ] dy = 7 dy + y = 7 [arctgy] = 7π

6 b sin y dx dy = sin y dx dy = sin y dy = mert közepű intervallumon páratlan függvény integrálja zérus c [ ] x + y x + y x dy dx = dx = + x dx = x + x + [ x dx = + x/ + ] x = + + = d π/ π/ π/ = π D π/ e cos x cos y cos z dx dy dz = cosx + y dx dy dz = π sin + z sin z π/ π/ π/ dz = π π/ cos z π/ cos y cosx + y dx dy dz = [ π cos + z π/ π/ cos x dx dy dz = cos x dx = π/ π/ ] π/ + cos z = π z= [ sinx + z ] π/ x= dy dz cos π+cos π +cos π cos = 6 Számítsa ki N x f értékét ha a fx y = N x := {x y R : x [ ] y x }; b fx y = xy N x := {x y R : x x y x}; c fx y = y N x := {x y R : x [ ] y x } Megoldás a x ] f = dy dx = [y] x dx = x dx = [x x = N x b x [ ] y f = xy x dy dx = x dx = x 4 x 7 dx = [ ] x 5 N x x x 5 x8 = 8 4 c N x f = x y dy dx = [ ] x y/ dx = x dx = [ x 4 7 Számítsa ki az fx y = xy függvény integrálját az y = x és az y = x + görbék grafikonjai által határolt tartományon Megoldás A megadott parabola és egyenes az x = és x = pontban metszik egymást ezért a normáltartomány most az N x := {x y R : x [ ] x y x + } halmaz lesz N x f = x+ x xy dy dx = = [ y x ] x+ x x x+ x dx = y dy dx x 5 + x + x dx = 4 ] = 8 ] [ x6 6 + x4 4 + x = 7 8