1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log
|
|
|
- Attila Veres
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f (x) = x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + 2, 0, 1, p 3 I 2 Keressuk az alabbi fuggvenyek zerushelyeit! a) f (x) = 4 x 2 x+log 2(3) + 2 B I 2x b) f (x) = log 2 1+x I 3 Hol vesz fel pozitv erteket? a) f (x) = 2 + x x 2 B I b) f (x) = 3p x 2 p 1 2 I c) f (x) = 2 x 2 1 I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
2 2. Ertelmezesi tartomany, ertekkeszlet 4 Hol ertelmezhet}ok a kovetkez}o fuggvenyek, es mi az ertekkeszletuk? a) f 2 R! R x 7! 1 p 4 x 2 B I b) f 2 R! R x 7! p sin(2x) I c) f 2 R! R x 7! lg x 2 3x+2 x+1 B I d) f 2 R! R x 7! x p x 2 2 I 5 Mely fuggvenyek parosak, illetve paratlanok? a) f 2 R! R f (x) = 2 2x + 4 x B I b) f 2 R! R f (x) = lg 1+x 1 x I 6 Mely fuggvenyek periodikusak? a) f (x) = sin 2 (2x) B I b) f (x) = sin(2x 2 ) I c) f (x) = x int(x) B I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
3 3. M}uveletek fuggvenyekkel 7 Adjuk meg az f + g f g f g g f fuggvenyeket! a) f (x) = x 2 5x + 4 es g(x) = x 1 B I b) f (x) = p x 3 1 es g(x) = p 6 x 2 I c) f (x) = jx 1j es g(x) = j x 1j I 8 Vazoljuk az alabbi fuggvenyek H halmazra lesz}uktesenek grakonjat! a) f (x) = sin(x) H = π π 2 ; 2 I b) f (x) = cos(x) H = [0; π] I π π c) f (x) = tg(x) H =] 2 ; 2 [ I d) f (x) = ctg(x) H =]0; π[ I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
4 4. Inverz fuggveny 9 Adjuk meg az f fuggveny inverzet, ha letezik! a) f (x) = 1 + p x 2 B I b) f (x) = 2x 1+x 2 I c) f (x) = 2 1+x x I d) f (x) = ln(x 2 1) x 2] ; 2[ I 10 Adjuk meg az f fuggveny olyan lesz}ukteset, ha szukseges, amely invertalhato! Abrazoljuk a fuggvenyt es inverzet! a) f (x) = 2x x 2 I b) f (x) = 1 I 1+x 2 c) f (x) = p 1 x 2 I d) f (x) = 3 2 p x 2 e) f (x) = 3 2+ p x 2 I I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
5 5. Osszetett fuggveny 11 Adjuk meg az f g g f f f g g fuggvenyeket! a) f (x) = x 2 es g(x) = x 1 B I b) f (x) = p x es g(x) = x I c) f (x) = p x es g(x) = sin(x) I 1 x 2 12 Adjuk meg az f g fuggvenyt! a) f (x) = exp 4x 2 1 x 2 [ 1; 3] es g(x) = 1 2x x 2 [0; 2] I b) f (x) = 1 x 2 x 2 [0; 1] es g(x) = tg j] π 2 ; π 2 [ (x) I c) f (x) = cos(x) es g(x) = arcsin(x) I d) f (x) = sin(x) es g(x) = arccos(x) I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
6 1.a) Utmutatas Hasznaljuk a Horner elrendezest: 3x 3 2x 2 + x 15 = ((3 x 2) x + 1) x 15 x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
7 2.a) Utmutatas Vegyuk eszre: 4 x = (2 x ) 2 2 x+log 2(3) = 3 (2 x ) x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
8 3.a) Utmutatas Negatv f}oegyutthatoju masodfoku fuggveny menete! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
9 4.a) Utmutatas A D f ertelmezesi tartomanyhoz keressuk azokat az x 2 R szamokat, ahol a nevez}o nem 0, es a gyok alatti kifejezes nem negatv! Az R f ertekkeszlethez keressuk azokat az y 2 R szamokat, melyekre van megoldasa az f (x) = y x 2 D f egyenletnek! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
10 4.c) Utmutatas Vizsgaljuk a x 2 3x + 2 x + 1 tort el}ojelet! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
11 5.a) Utmutatas Ellen}orzzuk Vizsgaljuk teljesuleset! x 2 D f ) x 2 D f f ( x) = f (x) x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
12 6.a) Utmutatas Keressunk olyan p 2 R + szamot, amivel x 2 D f ) x + p 2 D f es f (x + p) = f (x) x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
13 6.c) Utmutatas Az egeszresz fuggvenyre int j[n,n+1[ (x) = n n 2 Z x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
14 7.a) Utmutatas Vizsgaljuk, hol ertelmezhet}o a fuggvenyek ossszege: D f \ D g szorzata: D f \ D g f g hanyadosa: D f \ D g r fx 2 D g j g(x) = 0g x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
15 9.a) Utmutatas Ellen}orzzuk, hogy teljesul-e: x 1, x 2 2 D f : f (x 1 ) = f (x 2 ) ) x 1 = x 2 (*) y 2 R f eseten keressuk x 2 D f, amivel teljesul. f (x) = y (**) Megjegyzes: A (*) feltetel ekvivalens azzal, hogy minden y 2 R f eseten pontosan egy megoldasa van a (**) egyenletnek. x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
16 11.a) Utmutatas Az f g fuggvenyhez keressuk D f g = fx 2 D g j g(x) 2 D f g! adjuk meg f g(x) = f (g (x))! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
17 1.a) Megoldas f (5) = ((3 5 2) 5 + 1) 5 15 = 315 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
18 1.a) Megoldas f (5) = ((3 5 2) 5 + 1) 5 15 = 315 f (10) = ((3 10 2) ) = 2795 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
19 1.a) Megoldas f (5) = ((3 5 2) 5 + 1) 5 15 = 315 f (10) = ((3 10 2) ) = 2795 f ( 5) = ((3 ( 10) 2) ( 10) + 1) ( 10) 15 = 3225 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
20 1.b) Megoldas sin 1 2π = sin π 2 1 = 1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
21 1.b) Megoldas sin 1 2π = sin π 2 1 = 1 sin 1 4π = sin π p 4 = 2 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
22 1.b) Megoldas sin 1 2π 1 4π sin sin 1 3 2π = sin π 2 1 = 1 = sin π p 4 = 2 2 2π3 = sin = p 3 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
23 1.b) Megoldas sin 1 2π 1 4π sin sin sin 1 3 2π π = sin π 2 1 = 1 = sin π p 4 = 2 2 2π3 = sin = sin 10π 3 = = p 3 2 p 3 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
24 1.c) Megoldas arcsin( 1) = π 2 mert sin( π 2 ) = 1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
25 1.c) Megoldas arcsin( 1) = π 2 mert sin( π 2 ) = 1 arcsin( 1 2 ) = π 6 mert sin( π 6 ) = 1 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
26 1.c) Megoldas arcsin( 1) = π 2 mert sin( π 2 ) = 1 arcsin( 1 2 ) = π 6 mert sin( π 6 ) = 1 2 arcsin(0) = 0 mert sin(0) = 0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
27 1.c) Megoldas arcsin( 1) = π 2 mert sin( π 2 ) = 1 arcsin( 1 2 ) = π 6 mert sin( π 6 ) = 1 2 arcsin(0) = 0 mert sin(0) = 0 arctg(1) = π 4 mert tg π 4 = 1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
28 1.c) Megoldas arcsin( 1) = π 2 mert sin( π 2 ) = 1 arcsin( 1 2 ) = π 6 mert sin( π 6 ) = 1 2 arcsin(0) = 0 mert sin(0) = 0 arctg(1) = π 4 mert tg π 4 = 1 arctg( p 3) = π 3 mert tg π 3 = p 3 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
29 2.a) Megoldas 0 = (2 x ) 2 3 (2 x ) + 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
30 2.a) Megoldas 0 = (2 x ) 2 3 (2 x ) + 2 (2 x ) 1,2 = 3 p % 2 x = 2! x = 1 & 2 x = 1! x = 0 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
31 2.b) Megoldas 2x 0 = log x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
32 2.b) Megoldas 2x 0 = log x 2 0 = 2x 1 + x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
33 2.b) Megoldas 2x 0 = log x 2 0 = 2x 1 + x 1 + x = 2x! x = 1 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
34 3.a) Megoldas 0 < 2 + x x 2 () 1 < x < 2 vagy x 2] 1; 2[ x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
35 3.b) Megoldas 0 < 3p x < 3p x < x 2 1! x 2] ; 3[[]3; + [ x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
36 3.c) Megoldas 0 < 2 p x 2 1 < 2 x 2 1 < 4! x 2] p x 2 1 x 2 1 p 3; p 3[r] 1; 1[=] p 3; 1] [ [1; p 3[ x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
37 4.a) Megoldas p 4 x 2 6= 0, x 6= 2 es 4 x 2 0, 2 x 2 Tehat D f =] 2; 2[. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
38 4.a) Megoldas p 4 x 2 6= 0, x 6= 2 es 4 x 2 0, 2 x 2 Tehat D f =] 2; 2[. 1 p 4 x 2 = y x 2] 2; 2[ Ha y 0, nincs megoldas, ha pedig y > 0, 4 x 2 = 1 y 2 ) x2 = 4 1 y 2. q Itt y 2 < 4 esetben nincs megoldas, es 2 y eseten x 12 = megoldas, mert x 12 2] 2; 2[. 4 1 y 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
39 4.a) Megoldas p 4 x 2 6= 0, x 6= 2 es 4 x 2 0, 2 x 2 Tehat D f =] 2; 2[. 1 p 4 x 2 = y x 2] 2; 2[ Ha y 0, nincs megoldas, ha pedig y > 0, 4 x 2 = 1 y 2 ) x2 = 4 1 y 2. q Itt y 2 < 4 esetben nincs megoldas, es 2 y eseten x 12 = megoldas, mert x 12 2] 2; 2[. Tehat R f = [2; + [. 4 1 y 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
40 4.b) Megoldas sin(2x) 0, k 2π 2x k 2π + π k π x k π + π 2 k 2 Z k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
41 4.b) Megoldas sin(2x) 0, k 2π 2x k 2π + π k π x k π + π 2 k 2 Z k 2 Z Tehat D f = [ k2z [k π; k π + π 2 ]. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
42 4.b) Megoldas sin(2x) 0, k 2π 2x k 2π + π k π x k π + π 2 k 2 Z k 2 Z Tehat D f = [ k2z [k π; k π + π 2 ]. q sin(2x) = y x 2 D f Ha y < 0, nincs megoldas, ha pedig y 0, sin(2x) = y 2 egyenletnek mindg van megoldasa, pl. x = 1 2 arcsin(y 2 ) 2 [0; π 4 ] 2 D f. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
43 4.b) Megoldas sin(2x) 0, k 2π 2x k 2π + π k π x k π + π 2 k 2 Z k 2 Z Tehat D f = [ k2z [k π; k π + π 2 ]. q sin(2x) = y x 2 D f Ha y < 0, nincs megoldas, ha pedig y 0, sin(2x) = y 2 egyenletnek mindg van megoldasa, pl. x = 1 2 arcsin(y 2 ) 2 [0; π 4 ] 2 D f. Tehat R f = R + 0. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
44 4.c) Megoldas x 2 3x + 2 > 0, x < 1 vagy 2 < x es x + 1 > 0, x > 1 vagy x 2 3x + 2 < 0, 1 < x < 2 es x + 1 < 0, x < 1 Tehat D f =] 1; 1[[]2; + [. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
45 4.c) Megoldas x 2 3x + 2 > 0, x < 1 vagy 2 < x es x + 1 > 0, x > 1 vagy x 2 3x + 2 < 0, 1 < x < 2 es x + 1 < 0, x < 1 Tehat D f =] 1; 1[[]2; + [. x 2 3x + 2 lg = y x 2 D x + 1 f x 2 3x + 2 x + 1 = 10 y, x 2 ( y ) x y = 0 Ez utobbi egyenletnek akkor van gyoke, ha diszkriminansa: 0 ( y ) 2 4 (2 10 y ) = 10 2y y 8 0, vagyis p p y, lg 33 5 y. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
46 4.c) Megoldas x 2 3x + 2 > 0, x < 1 vagy 2 < x es x + 1 > 0, x > 1 vagy x 2 3x + 2 < 0, 1 < x < 2 es x + 1 < 0, x < 1 Tehat D f =] 1; 1[[]2; + [. x 2 3x + 2 lg = y x 2 D x + 1 f x 2 3x + 2 x + 1 = 10 y, x 2 ( y ) x y = 0 Ez utobbi egyenletnek akkor van gyoke, ha diszkriminansa: 0 ( y ) 2 4 (2 10 y ) = 10 2y y 8 0, vagyis p p y, lg 33 5 y. p Tehat R f = [ lg 33 5 ; + [. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
47 4.d) Megoldas x 2 2 0, x p 2 vagy p p Tehat D f =] ; 2[[] 2; + [. p 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
48 4.d) Megoldas x 2 2 0, x p 2 vagy p p Tehat D f =] ; 2[[] 2; + [. p x x 2 2 = y x 2 D f p 2 x Ha y = 0 ) x = p 2 2 D f, ha y > 0 csak x 2] p 2; + [ intervallumban lehet megoldas, gy az x 2 x 2 2 = y 2 x 2] p 2; + [ z 2 2z y 2 = 0 z = x 2 egyenlet megoldhatosagat kell vizsgalni y 2 midg teljesul, es z 1 = 2+2p 1+y 2 2 > 2 ) x = p z 1 2] p 2; + [. Hasonloan kapunk a p ] ; 2[ intervallumban megoldast y < 0 esetben. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
49 4.d) Megoldas x 2 2 0, x p 2 vagy p p Tehat D f =] ; 2[[] 2; + [. p x x 2 2 = y x 2 D f p 2 x Ha y = 0 ) x = p 2 2 D f, ha y > 0 csak x 2] p 2; + [ intervallumban lehet megoldas, gy az x 2 x 2 2 = y 2 x 2] p 2; + [ z 2 2z y 2 = 0 z = x 2 egyenlet megoldhatosagat kell vizsgalni y 2 midg teljesul, es z 1 = 2+2p 1+y 2 2 > 2 ) x = p z 1 2] p 2; + [. Hasonloan kapunk a p ] ; 2[ intervallumban megoldast y < 0 esetben. Tehat R f = R. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
50 5.a) Megoldas D f = R Tehat f paros fuggveny. f ( x) = 2 2( x) + 4 ( x) = 4 x + 4 x = f (x) x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
51 5.b) Megoldas D f =] 1; 1[ f ( 1 + ( x) 1 x x) = lg = lg = lg 1 ( x) 1 + x 1 + x = lg = f (x) 1 x! 1 + x 1 = 1 x Tehat f paratlan fuggveny. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
52 6.a) Megoldas x 2 D f = R ) f x + π = sin 2 2 x + π = 2 2 = [sin(2x) cos(π) + cos(2x) sin(π)] 2 = = sin 2 (2x) = f (x) Tehat f periodikus π 2 periodussal. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
53 6.b) Megoldas x 2 D f = R ) f (x + p) = sin 2 (x + p) 2 = sin 2x 2 + 4px + 2p 2 = sin 2x 2 ami csak ugy lehet, ha minden x 2 R megoldasa valamely n 2 Z eseten a 2x 2 + 4px + 2p 2 = 2x 2 + 2nπ vagy 2x 2 + 4px + 2p 2 = π 2x 2 + 2nπ egyenletek valamelyikenek. Ezek megoldasainak halmaza azonban megszamlalhato halmaz, ezert f nem lehet periodikus. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
54 6.c) Megoldas D f = R, es ha x 2 [n; n + 1[ az n egesz szam eseten f (x + 1) = (x + 1) int j[n+1,n+2[ (x + 1) = x + 1 (n + 1) = x n f (x) = x int j[n,n+1[ (x) = x n Tehat f periodikus 1 periodussal. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
55 7.a) Megoldas D f = D g = R h(x) = f (x) + g(x) = x 2 4x + 3 x 2 R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
56 7.a) Megoldas D f = D g = R h(x) = f (x) + g(x) = x 2 4x + 3 x 2 R h(x) = f (x) g(x) = x 3 6x 2 + 9x 4 x 2 R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
57 7.a) Megoldas D f = D g = R h(x) = f (x) + g(x) = x 2 4x + 3 x 2 R h(x) = f (x) g(x) = x 3 6x 2 + 9x 4 x 2 R h(x) = f (x) g(x) = x2 5x+4 x 1 x 2 R r f1g Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
58 7.a) Megoldas D f = D g = R h(x) = f (x) + g(x) = x 2 4x + 3 x 2 R h(x) = f (x) g(x) = x 3 6x 2 + 9x 4 x 2 R h(x) = f (x) g(x) = x2 5x+4 x 1 x 2 R r f1g h(x) = g(x) f (x) = x 1 x 2 5x+4 = 1 x 4 x 2 R r f1, 4g x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
59 7.b) Megoldas D f = [3; + [ D g =] ; 6] D f \ D g = [3; 6] h(x) = f (x) + g(x) = p x 3 + p 6 x 3 x 2 [3; 6] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
60 7.b) Megoldas D f = [3; + [ D g =] ; 6] D f \ D g = [3; 6] h(x) = f (x) + g(x) = p x 3 + p 6 x 3 x 2 [3; 6] h(x) = f (x) g(x) = = p (x 3) (6 x) 2 p p x 3 6 x + 2 x 2 [3; 6] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
61 7.b) Megoldas D f = [3; + [ D g =] ; 6] D f \ D g = [3; 6] h(x) = f (x) + g(x) = p x 3 + p 6 x 3 x 2 [3; 6] h(x) = f (x) g(x) = = p (x 3) (6 x) 2 p p x 3 6 x + 2 x 2 [3; 6] h(x) = f (x) g(x) = p x 3 1 p 6 x 2 x 2 [3; 6] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
62 7.b) Megoldas D f = [3; + [ D g =] ; 6] D f \ D g = [3; 6] h(x) = f (x) + g(x) = p x 3 + p 6 x 3 x 2 [3; 6] h(x) = f (x) g(x) = = p (x 3) (6 x) 2 p p x 3 6 x + 2 x 2 [3; 6] h(x) = f (x) g(x) = p x 3 1 p 6 x 2 x 2 [3; 6] h(x) = g(x) f (x) = p 6 x 2 p x 3 1 x 2 [3; 4[[]4; 6] x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
63 7.c) Megoldas D f = D g = R 8 < h(x) = f (x) + g(x) = : 2x ha x < 1 2 ha 1 x 1 2x ha 1 < x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
64 7.c) Megoldas D f = D g = R 8 < h(x) = f (x) + g(x) = : 2x ha x < 1 2 ha 1 x 1 2x ha 1 < x h(x) = f (x) g(x) = x 2 1 x 2 R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
65 7.c) Megoldas D f = D g = R 8 < h(x) = f (x) + g(x) = : 2x ha x < 1 2 ha 1 x 1 2x ha 1 < x h(x) = f (x) g(x) = x 2 1 x 2 R h(x) = f (x) g(x) = jx 1j j x 1j x 2 R r f 1g Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
66 7.c) Megoldas D f = D g = R 8 < h(x) = f (x) + g(x) = : 2x ha x < 1 2 ha 1 x 1 2x ha 1 < x h(x) = f (x) g(x) = x 2 1 x 2 R h(x) = f (x) h(x) = g(x) g(x) = jx 1j j x 1j f (x) = j x 1j jx 1j x 2 R r f x 2 R r f1g 1g x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
67 8.a) Megoldas x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
68 8.b) Megoldas x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
69 Megoldas x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
70 8.d) Megoldas x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
71 9.a) Megoldas D f = [2; + [ x 1, x 2 2 : 1 + p x 1 2 = 1 + p x 1 2 ) x 1 = x 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
72 9.a) Megoldas D f = [2; + [ x 1, x 2 2 : 1 + p x 1 2 = 1 + p x 1 2 ) x 1 = x p x 2 = y x 2 p x 2 = y 1 Ha y < 1, nincs megoldas, ha y 1 x = (y 1) D f Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
73 9.a) Megoldas D f = [2; + [ x 1, x 2 2 : 1 + p x 1 2 = 1 + p x 1 2 ) x 1 = x p x 2 = y x 2 p x 2 = y 1 Ha y < 1, nincs megoldas, ha y 1 x = (y 1) D f Tehat R f = [1; + [, es f 1 : [1; + [! [2; + [ y 7! (y 1) vagy f 1 (x) = (x 1) x 2 [1; + [ x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
74 9.b) Megoldas D f = R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
75 9.b) Megoldas D f = R 2x 1 + x 2 = y yx 2 2x + y = 0 ha y 6= 0, D = 4(1 y 2 ) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
76 9.b) Megoldas D f = R 2x 1 + x 2 = y yx 2 2x + y = 0 ha y 6= 0, D = 4(1 y 2 ) Ha y 6= 0, es (1 y 2 ) > 0, akkor x 12 = 1p 1 y 2 y 2 D f, tehat ket megoldas van ahol f (x 1 ) = f (x 2 ), ezert f nem invertalhato. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
77 9.c) Megoldas D f = R r f 1g x 1, x 2 6= 1 : 2 x 1 1+x 1 = 2 x 2 1+x 2 ) x 1 = x 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
78 9.c) Megoldas D f = R r f 1g x 1, x 2 6= 1 : 2 x 1 1+x 1 = 2 x 2 1+x 2 ) x 1 = x 2 2 x 1 + x = y x 6= 1 2 y = x(y 1) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
79 9.c) Megoldas D f = R r f 1g x 1, x 2 6= 1 : 2 x 1 1+x 1 = 2 x 2 1+x 2 ) x 1 = x 2 Ha y = 1, akkor nincs megoldas; 2 x 1 + x = y x 6= 1 2 y = x(y 1) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
80 9.c) Megoldas D f = R r f 1g x 1, x 2 6= 1 : 2 x 1 1+x 1 = 2 x 2 1+x 2 ) x 1 = x 2 Ha y = 1, akkor nincs megoldas; Ha y 6= 1, akkor x = 2 y 6= 1; y 1 2 x 1 + x = y x 6= 1 2 y = x(y 1) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
81 9.c) Megoldas D f = R r f 1g x 1, x 2 6= 1 : 2 x 1 1+x 1 = 2 x 2 1+x 2 ) x 1 = x 2 Ha y = 1, akkor nincs megoldas; Ha y 6= 1, akkor x = 2 y 6= 1; Tehat R f = R r f1g, es y 1 2 x 1 + x = y x 6= 1 2 y = x(y 1) f 1 : R r f1g! R r f 1g y 7! 2 y y 1 vagy f 1 (x) = 2 x x 1 x 6= 1 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
82 9.d) Megoldas D f =] ; 2] x 1, x 2 2 : ln(x 2 1 1) = ln(x 2 2 1) ) jx 1 j = jx 2 j ) x 1 = x 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
83 9.d) Megoldas D f =] ; 2] x 1, x 2 2 : ln(x 2 1 1) = ln(x 2 2 1) ) jx 1 j = jx 2 j ) x 1 = x 2 ln(x 2 1) = y x 2 x 2 1 = e y x 1 = p e y x 2 = p e y ha y 0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
84 9.d) Megoldas D f =] ; 2] x 1, x 2 2 : ln(x 2 1 1) = ln(x 2 2 1) ) jx 1 j = jx 2 j ) x 1 = x 2 ln(x 2 1) = y x 2 x 2 Tehat R f = [0; + [, es 1 = e y x 1 = p e y x 2 = p e y ha y 0 vagy f f 1 : R + 0! R y 7! p e y (x) = p e x + 1 x 2 R + 0 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
85 a) Megoldas D f = R, 2x x 2 = y! x 2 2x + y = 0 D = 4(1 y) Ha y = 1, akkor x = 1, ha y < 1, akkor a ket megoldas x 12 = 1 p 1 y? 1. 1 Tehat f j]1;+ [ (x) = 1 + p 1 x /x < 1/ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58 x
86 b) Megoldas D f = R, 1 = y! yx 1+x 2 = 1 y 2 q Ha 0 < y 1 akkor a ket megoldas x 12 = 1 y y? 0. Tehat q 1 f jr + (x) = 1 x x x 2]0; 1] x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
87 10.c) Megoldas p D f = [ 1; 1], 1 x 2 = y 1 x 1 Ha y < 0 akkor nincs megoldas, ha 0 y 1, akkor x 2 = 1 y 2! x 12 = p 1 y 2 Tehat f j[0;1] (x) = p 1 x 2 x 2 [0; 1] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58 x
88 10.d) Megoldas D f = [2; 6[[[6; + [, f 1 (x) = 2 3 x x 2] ; 0[[[ 3 2 ; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58 x
89 10.e) Megoldas D f = [2; + [, f 1 (x) = 2 3 x x 2]0; 3 2 ] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58 x
90 11.a) Megoldas D f = D g = R x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R f (g (x)) = f (x 1) = (x 1) 2 = x 2 2x + 1 f g : R! R f g(x) = x 2 2x + 1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
91 11.a) Megoldas D f = D g = R x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R f (g (x)) = f (x 1) = (x 1) 2 = x 2 2x + 1 f g : R! R f g(x) = x 2 2x + 1 x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R g (f (x)) = g x 2 = x 2 1 g f : R! R g f (x) = x 2 1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
92 11.a) Megoldas D f = D g = R x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R f (g (x)) = f (x 1) = (x 1) 2 = x 2 2x + 1 f g : R! R f g(x) = x 2 2x + 1 x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R g (f (x)) = g x 2 = x 2 1 g f : R! R g f (x) = x 2 1 x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R f (f (x)) = f x 2 = x 4 f f : R! R f f (x) = x 4 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
93 11.a) Megoldas D f = D g = R x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R f (g (x)) = f (x 1) = (x 1) 2 = x 2 2x + 1 f g : R! R f g(x) = x 2 2x + 1 x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R g (f (x)) = g x 2 = x 2 1 g f : R! R g f (x) = x 2 1 x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R f (f (x)) = f x 2 = x 4 f f : R! R f f (x) = x 4 x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R g (g (x)) = g (x 1) = x 2 g g : R! R g g(x) = x 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
94 11.b) Megoldas D f = R 0 + D g = R x 2 R es g(x) = x () x 1 f (g (x)) = f x = p x f g : [ 1; + [! R f g(x) = p x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58 x
95 11.b) Megoldas D f = R 0 + D g = R x 2 R es g(x) = x () x 1 f (g (x)) = f x = p x f g : [ 1; + [! R f g(x) = p x x 2 R + 0 es f (x) 2 R, x 2 R + 0 g (f (x)) = g p x = p x g f : R! R g f (x) = p x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58 x
96 11.b) Megoldas D f = R 0 + D g = R x 2 R es g(x) = x () x 1 f (g (x)) = f x = p x f g : [ 1; + [! R f g(x) = p x x 2 R + 0 es f (x) 2 R, x 2 R + 0 g (f (x)) = g p x = p x g f : R! R g f (x) = p x x 2 R + 0 es f (x) 2 R + 0, x 2 R+ 0 f (f (x)) = f p x = 4 p x f f : R! R f f (x) = 4p x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58 x
97 11.b) Megoldas D f = R 0 + D g = R x 2 R es g(x) = x () x 1 f (g (x)) = f x = p x f g : [ 1; + [! R f g(x) = p x x 2 R + 0 es f (x) 2 R, x 2 R + 0 g (f (x)) = g p x = p x g f : R! R g f (x) = p x x 2 R + 0 es f (x) 2 R + 0, x 2 R+ 0 f (f (x)) = f p x = 4 p x f f : R! R f f (x) = 4p x x 2 R es g(x) 2 R, x 2 R g (g (x)) = g x = x = x 9 + 3x 6 + 3x g g : R! R g g(x) = x 9 + 3x 6 + 3x x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
98 11.c) Megoldas D f =] 1; 1[ D g = R x 2 R es 1 < sin(x) < 1 () x 6= n π n 2 Z f g : Rr fn π j n 2 Zg! R f g(x) = sin(x) jcos(x)j Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
99 11.c) Megoldas D f =] 1; 1[ D g = R x 2 R es 1 < sin(x) < 1 () x 6= n π n 2 Z f g : Rr fn π j n 2 Zg! R f g(x) = sin(x) jcos(x)j x g f :] 1; 1[! R g f (x) = sin p 1 x 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
100 11.c) Megoldas D f =] 1; 1[ D g = R x 2 R es 1 < sin(x) < 1 () x 6= n π n 2 Z f g : Rr fn π j n 2 Zg! R f g(x) = sin(x) jcos(x)j x g f :] 1; 1[! R g f (x) = sin p 1 x 2 x 2] 1; 1[ es x p 1 x 2 2] 1; 1[, x 2] 1 2 ; 1 2 [ f f :] 1 2 ; 1 2 [! R f f (x) = x p 1 2x 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
101 11.c) Megoldas D f =] 1; 1[ D g = R x 2 R es 1 < sin(x) < 1 () x 6= n π n 2 Z f g : Rr fn π j n 2 Zg! R f g(x) = sin(x) jcos(x)j x g f :] 1; 1[! R g f (x) = sin p 1 x 2 x 2] 1; 1[ es x p 1 x 2 2] 1; 1[, x 2] 1 2 ; 1 2 [ f f :] 1 2 ; 1 2 [! R f f (x) = x p 1 2x 2 g g : R! R g g(x) = sin (sin(x)) x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
102 12.a) Megoldas D f = [ 1; 3] D g = [0; 2] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
103 12.a) Megoldas D f = [ 1; 3] D g = [0; 2] x 2 [0; 2] es 1 1 2x 3 () x 2 [0; 1] f g : [0; 1]! R f g(x) = exp 16x 2 16x + 3 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
104 12.b) Megoldas D f = [0; 1] D g =] π 2 ; π 2 [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
105 12.b) Megoldas D f = [0; 1] D g =] π 2 ; π 2 [ x 2] π 2 ; π 2 [ es 0 tg(x) 1 () x 2 [0; π 4 ] f g : [0; π 4 ]! R f g(x) = 1 tg2 (x) x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
106 12.c) Megoldas D f = R D g = [ 1; 1] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
107 12.c) Megoldas D f = R D g = [ 1; 1] x 2 [ 1; 1] akkor arcsin(x) = y 2 [ π 2 ; π 2 ] 2 R, es sin(y) = x, 0 cos(y) = p 1 x 2 f g : [ 1; 1]! R f g(x) = p 1 x 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
108 12.d) Megoldas D f = R D g = [ 1; 1] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
109 12.d) Megoldas D f = R D g = [ 1; 1] x 2 [ 1; 1] akkor arccos(x) = y 2 [0; π] R, es cos(y) = x, 0 sin(y) = p 1 x 2 f g : [ 1; 1]! R f g(x) = p 1 x 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
110 10.c) Megjegyzes Vegyuk eszre, hogy 1 1 f = f j[0;1] j[0;1] illeteve f = f j[ 1;0] j[ 1;0] x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
111 10.d-e) Megjegyzes Vegyuk eszre, hogy a 10. d), e) feladat inverz fuggvenyeinek keplete (hozzarendelesi utastasa) azonos, de ertelmezesi tartomanyaik kulonboznek! x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek oktober / 58
1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [
![[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [](/thumbs/94/119230405.jpg "[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [")
Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda
Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett
Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus
Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Egyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
Többváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1
EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Analízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)
Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)
Dierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
Analízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a
Analízis példatár v0.2 A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a letölthető példatárak közt. Országh Tamás Budapest, 2005-2010 1 Mottó: Ki kéne vágni minden
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
![1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!](/thumbs/54/33263341.jpg "1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!")
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
![Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.](/thumbs/102/154127337.jpg "Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.")
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
Matematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész:
Matematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék
RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
Függvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(
FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja
Függvénytani alapfogalmak
Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:
6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
Fourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
Függvények alkalmazása feladatokban. nemethj
Dr. Németh József Függvények alkalmazása feladatokban http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj . Oldjuk meg a következő egyenletet: x 6 + 6 x x 5x 6. Megoldás. Vizsgáljuk az ÉT.-t! A bal oldalon x 6 0 x 6
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
Abszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai
. Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Matematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer
Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért
Matematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
0, különben. 9. Függvények
9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós
1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!
Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
Feladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!
A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői
Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz
Halmazok 1. Feladat. Adott négy halmaz: az alaphalmaz, melynek részhalmazai az A, a B és a C halmaz: U {1, 2,,..., 20}, az A elemei a páros számok, a B elemei a hárommal oszthatók, a C halmaz elemei pedig
Beregszászi István Programozási példatár
Beregszászi István Programozási példatár 2 1. fejezet 1. laboratóriumi munka 1.1. Matematikai kifejezések Írja fel algoritmikus nyelven a megadott kifejezést megfelelő típusú változók segítségével! Figyeljen
Érettségi feladatok: Függvények 1/9
Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett
FELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
2. Függvények. I. Feladatok
. Függvények I. Feladatok 1. Az y = x 1 + x + 1 függvény grafikonja és az y = c egyenletű egyenes által közrezárt síkidom területe 30. Mekkora a c állandó értéke?. Hány zérushelye van az a paramétertől
Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus
Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam
01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek
Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4
Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!
2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
Egyenletek, egyenlőtlenségek XV.
Egyenletek, egyenlőtlenségek XV. Trigonometrikus (nem alap) egyenletek Amennyien az egyenlet nem alapegyenlet, akkor arra törekszünk, hogy a szögfüggvények közötti összefüggések alkalmazásával egyféle
Függvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Hatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont
Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:
b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,
Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy
Szögfüggvények értékei megoldás
Szögfüggvények értékei megoldás 1. Számítsd ki az alábbi szögfüggvények értékeit! (a) cos 585 (f) cos ( 00 ) (k) sin ( 50 ) (p) sin (u) cos 11 (b) cos 00 (g) cos 90 (l) sin 510 (q) sin 8 (v) cos 9 (c)
f(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási