First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

Átírás

1 Valós függvények (3) (Derivált)

2 . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa. 2. Ha minden olyan D f -beli a-hoz, ahol f differenciálható, hozzárendeljük a differenciálhányados f (a) értékét, akkor egy új függvényt definiáltunk, ez az f derivált függvénye vagy deriváltja, amit f -vel jelölünk. 3. Ha az f függvény differenciálható a-ban, akkor folytonos is a-ban. 4. Egy függvény differenciálhatósága azt jelenti, hogy a függvény nem változik túl hirtelen, a függvény grafikonja sima. Először arra fogunk törekedni, hogy minél több függvény derivált függvényét meghatározzuk. A derivált függvény nagyon hatékony eszköz a fő cél, az eredeti függvény tulajdonságainak felderítésében.

3 5. Feladat Határozzuk meg az f(x) =, D x f = (, 0) (0, + ) függvény derivált függvényét. Megoldás: Először egy konkrét a 0 helyen számoljuk ki a differenciálhányados értékét. Legyen pl. a = 3. Ekkor f(x) f(a) x a x a = x 3 x 3 x 3 = x 3 3 x 3x x 3 = x 3 (x 3) 3x(x 3) = = x 3 3x = 3 = 2 9. De ez a számolás tetszőleges a 0 számra ugyanígy megismételhető: f(x) f(a) x a x a = x a x a x a = x a a x ax x a = x a (x a) ax(x a) = = x a ax = a 2, ami persze minden nullától különböző a-ra egy véges érték. Tehát f a D f minden pontjában differenciálható, f (x) = és D x 2 f = D f = (, 0) (0, + ). First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

4 6. Az elemi függvények deriváltjai az efv2.pdf fájlban megtalálhatók. Ezek az úgynevezett alapderiváltak. Minden általunk vizsgált függvény az elemi függvényekből épül fel a különböző függvényműveletek segítségével. Ezért van az elemi függvények olyan nagy jelentőségük. Ahhoz, hogy az elemi függvényekből felépülő bonyolult függvények deriváltjait el tudjuk készíteni szükségünk lesz arra, hogy mi a kapcsolat a függvényműveletek és a deriválás között, azaz hogyan kell összeget, szorzatot, törtet, stb. deriválni, ha a tagok, tényzők stb. deriváltjait ismerjük. Ezeket adják meg a deriválási szabályok. A továbbiakban az alapderiváltak és a deriválási szabályok biztos ismerete elengedhetetlen lesz!

5 7. Tegyük fel, hogy f és g differenciálható x-ben. Ekkor f + g, f g és f is differenciálható x-ben és g (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x), (2) (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x), (3) ( ) f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x), ha g(x) 0. (4) g(x) g 2 (x) A (3) és (2) deriválási szabályokból következik, hogy az előbbi feltételek mellett (f(x) g(x)) = f (x) g (x), (5) (c f(x)) = c f (x), ahol c R tetszőleges. (6) Ha f differenciálható x-ben és g differenciálható f(x)-ben, akkor a h = g f összetett függvény is differenciálható x-ben, és h (x) = (g(f(x))) = g (f(x)) f (x). (7) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

6 8. Feladat 2 Határozzuk meg az f(x) = 2 cos x 3 ln x függvény derivált függvényét. Megoldás: Az ilyen szövegezésű feladatokban csak a derivált függvény képletének a meghatározása a cél, a derivált függvény értelmezési tartományának meghatározásától eltekintünk. Ez egyébbként leggyakrabban a két formula - az eredeti függvény képlete, és a derivált függvény képlete - lehetséges legbővebb értelmezési tartományainak metszete. Az f függvény egy különbség, amit az (5) deriválási szabály szerint tagonként deriválhatunk: f (x) = (2 cos x) (3 ln x). A (6) deriválási szabály szerint deriváláskor a konstans szorzó kiemelhető, tehát f (x) = (2 cos x) (3 ln x) = 2(cos x) 3(ln x). Az utóbbi formulában csak alapderiváltak szerepelnek, amelyeket ismerünk. Így f (x) = 2 sin x 3 x.

7 9. Feladat 3 Határozzuk meg az f(x) = x arctg x függvény derivált függvényét. Megoldás: Ez a függvény egy szorzat függvény. A (3) deriválási szabály alapján f (x) = ( x) arctg x + x (arctg x). Deriváláskor a gyökvonást célszerű hatványozásként felfogni, azaz ( f (x) = x 2) arctg x + x (arctg x). Ebben a képletben már csak alapderiváltak szerepelnek, tehát f (x) = 2 x 2 arctg x + x + x 2 = = arctg x 2 x + x + x 2. Nagyon gyakran előfordul, ezért érdemes külön is megjegyezni, hogy ( x) = 2 x.

8 0. Feladat 4 Határozzuk meg az f(x) = lg x függvény derivált függvényét. tg x Megoldás: Mivel a függvény egy törtfüggvény, a (4) deriválási szabályt kell alkalmazni. f (x) = (lg x) tg x lg x (tg x) (tg x) 2 = tg x lg x x ln 0 cos 2 x. (tg x) 2 A legutolsó törtet persze lehetne egyszerűsíteni, pl. úgy, hogy eltüntetjük az emeletes törtet. Amikor csak a derivált függvény meghatározása a cél, nem fogjuk a lehetséges egyszerűsítéseket elvégezni.

9 . Feladat 5 Határozzuk meg a h(t) = cos(t 2 +3t ) függvény derivált függvényét. Megoldás: A függvények argumentumát nem csak x-el jelölhetjük, attól, hogy milyen szimbólumot használunk a deriválási szabályok persze nem függnek. Most egy összetett fügvénnyel van dolgunk, h = g f, ha f(t) = t 2 + 3t, és g(t) = cos t. Mivel a (7) deriválási szabály alapján f (t) = 2t + 3, g (t) = sin t, h (t) = (g(f(t))) = g (f(t)) f (t) = = sin(t 2 + 3t ) (2t + 3).

10 2. Feladat 6 Határozzuk meg az f(x) = x3 arctg (2x + ) függvény derivált + sh (2x) x függvényét. Megoldás: Természetesen az a leggyakoribb, hogy egy feladaton belül több deriválási szabályt is alkalmazni kell. f (x) = (x3 arctg(2x + )) [ x + sh(2x)] x 3 arctg(2x + ) ( x + sh(2x)) [ x + sh(2x)] = 2 = = [ (x 3 ) arctg(2x + ) + x 3 (arctg(2x + )) ] [ x + sh(2x)] x 3 arctg(2x + ) ( x + sh(2x)) [ x + sh(2x)] = 2 [ 3x 2 arctg(2x + ) + x 3 2 +(2x+) 2 ] [ x + sh(2x)] x 3 arctg(2x + ) [ x 2 + 2ch(2x) ] [ x + sh(2x)] 2.

11 3. Ha f folytonos az [a, b] zárt intervallumon és differenciálható az (a, b) nyílt intervallumon, továbbá f(a) = f(b), akkor van olyan c (a, b), hogy f (c) = 0. (Rolle tétel.) Ha f folytonos az [a, b] zárt intervallumon és differenciálható az (a, b) nyílt intervallumon, akkor van olyan c (a, b), hogy f (c) = f(b) f(a). b a (Lagrange középértéktétel.) Ha f és g folytonos az [a, b] zárt intervallumon és differenciálható az (a, b) nyílt intervallumon, g -nek nincs zérushelye (a, b)-ben, akkor van olyan c (a, b), hogy f (c). (Chauchy középértéktétel.) = f(b) f(a) g (c) g(b) g(a) 4. Ha az f függvény differenciálható a-ban és az f függvény is differenciálható a-ban, akkor f kétszer differenciálható a-ban. Ilyenkor f a (x) f (a) = f (a) véges határértéket az f a-beli másodrendű x a x a differenciálhányadosának hívjuk. f másodrendű derivált függvénye vagy második deriváltja az a függvény, amely azokra az x-ekre van értelmezve, ahol f kétszer differenciálható, és minden ilyen x-hez az f x-beli másodrendű differenciálhányadosát rendeli. Ezt a függvényt f jelöli.

12 5. Feladat 7 Határozzuk meg az f(x) = xe x függvény második deriváltját. Megoldás: f mindenütt deriválható és f is mindenütt deriválható és f (x) = e x + xe x. f (x) = (f (x)) = e x + e x + xe x = 2e x + xe x. 6. Legyen f differenciálható az a helyen. Ekkor f grafikonjához az (a, f(a)) koordinátájú pontban húzható érintő egyenes egyenlete a formulából határozható meg. A y f(a) x a = f (a) (8) g(x) = f (a)(x a) + f(a) (9) lineáris függvényt az f a-beli linarizáltjának hívjuk. Ennek legfontosabb tulajdonsága, hogy az érintési pont közelében nagyon jól közelíti f-et. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

13 7. Feladat 8 Írjuk fel az f(x) = x 2 x függvény a = -beli érintőjének egyenletét. 4 Megoldás: Az f függvény minden pozitív a-ra differenciálható. ) Kiszámoljuk a (8) formulában szereplő számokat. f(a) = f 6 2 = 7 6. f (x) = 2x 2 x, f (a) = f Ezután behelyettesíthetünk a (8) képletbe: y f(a) x a ( ) 4 = f (a), = ( 4 = 2. = y x 4 = 2, y = x 4 2 = x 2 + 8, y = x First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

14 8. Feladat 9 Alkalmas linearizáltat használva számoljuk ki közelítően ln(0.97) értékét. Megoldás: Mivel 0.97 közel van -hez, az f(x) = ln x függvény -beli linearizáltját fogjuk felhasználni a közelítő érték kiszámolására. f() = 0, f (x) = x, f () =. Az -beli linearizált tehát a (9) formula alapján g(x) = f ()(x ) + f() = x. Ennek helyettesítési értéke 0.97-ben g(0.97) = Ezt fogadjuk el ln(0.97) közelítésének: ln(0.97) Kalkulátorral számolva ln(0.97) , ami azt mutatja, hogy a közelítésünk elég jó volt.

15 9. Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban. Tegyük fel, hogy vagy f(x) = g(x) = 0, x p x p f(x) = ± és g(x) = ±, (0) x p x p ahol p lehet p, p+ vagy p is. Ha L R {, }, és f (x) x p g (x) f(x) = L, akkor x p g(x) = L. () A tétel p = ± esetén is érvényes, azzal a különbséggel, hogy ekkor g-nek és g -nek a megfelelő végtelen egy környezetében ne legyen gyöke. Ez a l Hospital szabály. Fontos, hogy a l Hospital szabályt csak 0 vagy ± típusú eszek 0 ± kiszámolására használjuk, különben hibás eredményt kapunk.

16 20. Feladat 0 ln(+x) Számítsuk ki a határértéket. x 0 sin x Megoldás: A esz 0 típusú, és teljesülnek a l Hospital szabály alkalmazhatóságának feltételei. A deriváltak hányadosának 0 esze (ln( + x)) x 0 (sin x) Tehát a l Hospital szabály alapján = x 0 +x cos x = = x 0 ( + x) cos x =. ln( + x) x 0 sin x =.

17 2. Feladat x ln x Számítsuk ki a határértéket. x + x+ln x Megoldás: A esz ± típusú, és teljesülnek a l Hospital szabály alkalmazhatóságának feltételei. A deriváltak hányadosának esze ± most x + (x ln x) (x + ln x) = x + tehát a l Hospital szabály alapján x + ln x + + x x ln x x + ln x = +. = +,

18 22. Feladat 2 e Számítsuk ki a x x határértéket. x 0 x 2 Megoldás: A esz 0 típusú, és teljesülnek a l Hospital szabály alkalmazhatóságának feltételei. Tekintjük a deriváltak hányadosának 0 eszét: (e x x) e x = x 0 (x 2 ) x 0 2x. Ez még mindig 0 típusú, és erre a eszre is teljesülnek a 0 l Hospital szabály alkalmazhatóságának feltételei, tehát azt alkalmazzuk a kiszámolására, azaz ismét vesszük a deriváltak hányadosának eszét: (e x ) x 0 (2x) e x = x 0 2 = 2. Így kétszer alkalmazva a l Hospital szabályt x 0 e x x x 2 = 2.

19 23. Feladat 3 Számítsuk ki a tgx ln x határértéket. x 0+ Megoldás: A esz 0 ± típusú. Hogy alkalmazhassuk a l Hospital szabályt, felírjuk a törtet szorzatként. Erre két lehetőség is van, és általában csak az egyik vezet eredményre. Sajnos nem lehet szigorú szabályt megfogalmazni arra, hogy melyik átírás vezet célhoz. Meg kell próbálni a deriválás szempontjából egyszerűbbnek tűnőt, de ha a deriváltak hányadosának a esze az eredetinél is komplikáltabb, akkor a másik átírás vezet célhoz. Tekintsük most a következő átírást: tgx ln x = x 0+ x 0+ ln x tgx ln x = x 0+ ctgx. Ez egy ± típusú esz, és teljesülnek a l Hospital szabály alkalmazhatóságának feltételei. ± (ln x) ( ) x 0+ (ctgx) = x sin x = ( sin x) = 0. x 0+ x 0+ x } {{ } sin 2 x } {{ } 0 Ezért x 0+ tgx ln x = 0. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

20 24. Feladat 4 ( ) Számítsuk ki a határértéket. x 0 x e x Megoldás: Az x és az e x azonos előjelű mennyiség minden x-re, itt tehát azonos előjelű végtelenek különbégéről van szó, akárhogy tart is az x nullába. Most azonban ezt a ± ( ± ) típusú különbséget könnyen átírhatjuk tört alakba: e = x x. Ez a esz x 0 x e x x 0 x(e x ) típusú, és teljesülnek rá a l Hospital szabály alkalmazhatóságának 0 0 feltételei. (e x x) x 0 (x(e x )) = x 0 e x e x + xe x. Ez még mindig 0 típusú, és teljesülnek rá a l Hospital szabály alkalmazhatóságának feltételei, tehát tekintjük a deriváltak hányadosának 0 eszét: (e x ) x 0 (e x + xe x ) = x 0 ) Ezért x 0 ( x e x = 2. e x e x + e x + xe x = 2.

21 25. Feladat 5 Számítsuk ki a (x x + ln(x2 + )) határértéket. Megoldás: A esz ± ± típusú, és mivel nem törtek különbségéről van szó, nem nyilvánvaló, hogy hogyan alakítsuk át úgy a különbséget, hogy a l Hospital szabály alkalmazható legyen. Ilyenkor általában az vezet célhoz, ha kiemeljük azt a tagot, amelyik a leggyorsabban tart a végtelenbe, ez a tag most az x. (Az ln(x 2 + ) nagy x-re lényegében 2 ln x, az ln x grafikonja egyre laposabb, egyre jobban elhajlik az x grafikonjától.) Ez alapján tekintsük az alábbi átírást: (x x + ln(x2 + )) = x x + ( ln(x2 + ) x Mivel tejlesülnek az alkalmazhatóság feltételei, kiszámoljuk a l Hospital ln(x szabály segítségével a 2 +) eszt. x + x (ln(x 2 + )) = x + (x) x + 2x x 2 + ) = 0, tehát (x x + ln(x2 + )) = x ln(x2 + ) = +. x + } {{ x } 0. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

22 26. Feladat 6 Számítsuk ki a (e x + x) x határértéket. x 0+ Megoldás: A esz + típusú. Az ilyen hatvány alakú eszeket úgy lehet kezelni, hogy először kiszámoljuk az eredeti hatvány természetes alapú logaritmusának a eszét. Ha az A, akkor az eredeti esz e A, ha az +, akkor az eredeti is annyi, végül, ha az, akkor az eredeti esz nulla. ( Most tehát ) tekintjük a ln (e x + x) x = x 0+ x 0+ x ln(ex ln(e + x) = x +x) eszt. x 0+ x Ez 0 típusú, és a l Hospital szabály alkalmazható. 0 x 0+ (ln(e x + x)) (x) = x 0+ e x + e x +x = 2. Az eredeti esz természetes alapú logaritmusa tehát 2, ezért az eredeti esz e 2, vagyis x 0+ (ex + x) x = e 2.