L'Hospital-szabály március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = = 0.

Átírás

1 L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk. A számláló hatáértéke: 3 ln 2 = ln3 2 = ln =. A nevez határértéke: = =. A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Teljesülnek a L'Hospitalszabály feltételei, amely azt mondja ki, hogy az eredeti tört határértéke megegyezik azon tört határértékével, melyet a számláló és a nevez deriválásával kapunk. Ez most a következ t jelenti: ln = ln Hajtsuk végre a deriválásokat. ln = ln = Ezután a határérték már behelyettesítéssel meghatározható = 6 = 3 3 A L'Hospital-szabály szerint ez megegyezik az eredeti tört határértékével, azaz 3 ln = 6. ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! Megoldás: Ismét a határérték típusának vizsgálatával kezdjük. A számláló határértéke: ln =.

2 A nevez határértéke: =. A határérték típusa tehát, azaz kritikus. A L Hospital-szabály nem csak a, hanem a típusú határértékek esetén is alkalmazható. Vegyük tehát a számláló és a nevez deriváltját, s az így keletkez új törtnek ugyanaz lesz a határértéke, mint az eredeti törtnek. típusú. Így az ere- ln = ln = = Ez a határérték nyilván -val egyenl, hiszen véges deti határérték is -val egyenl, azaz ln =. Megjegyzés: A megoldás elején azért fontos megvizsgálnunk a határérték típusát, mert ezzel ellen rizzük le, hogy teljesülnek-e a L'Hospitalszabály alkalmazásához a feltételek. Ha a feladatban nem kritikus tört típus, azaz vagy szerepel, akkor a szabály nem alkalmazható. 3. Feladat: Határozzuk meg a Megoldás: Vizsgáljuk a határérték típusát. határértéket! A számláló hatáértéke: = =. A nevez határértéke: 2 = 2 =. A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Alkalmazzuk a L'Hospitalszabályt = 2 = 2 Ennek a törtnek a határértéke már behelyettesítéssel meghatározható = = Ugyanez az eredeti tört határértéke is, azaz = 7 2. e 4. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! Megoldás: Természetesen a határérték típusát vizsgáljuk els ként. A számláló hatáértéke: e =. 2

3 A nevez határértéke: =. A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Teljesülnek a feltétetelek a szabály alkalmazásához. e e = e = 2 Miel tt vizsgálnánk ezen új tört határértékét, célszer átalakítani. e 2 = e 2 = 2 e Az átalakítás eredményeként elt nt a tört, és helyette szorzatot kaptunk. A megoldás elején láttuk, hogy a szorzat mindkét tényez je végtelenhez tart, így a szorzat is a végtelenhez tart, azaz 2 e =. A szabály szerint pedig ugyanezzel egyenl az eredeti határérték is, tehát e =. Ez azt jelenti, a függvénynek nincs határértéke a végtelenben. sin 7 5. Feladat: Határozzuk meg a 3 határértéket! Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló és a nevez határértékét. A számláló határértéke: sin 7 = sin7 =. A nevez határértéke: 3 = 3 =. A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Teljesülnek a L'Hospitalszabály feltétetelei. Figyeljünk azonban oda, és a számláló deriválásakor ne feledkezzünk el arról, hogy összetett függvény. Így a küls függvény deriváltját még szorozni kell a bels függvény deriváltjával. sin 7 3 = sin 7 cos = = cos 7 Ez a határérték már egyszer behelyettesítéssel meghatározható. 7 3 cos 7 = 7 3 cos7 = 7 3 Ezzel egyenl az eredeti határérték is, azaz sin 7 3 =

4 e 2 cosπ 6. Feladat: Határozzuk meg a Megoldás: Vizsgáljuk a határérték típusát. A számláló hatáértéke: 2 e 2 cosπ = e 2 2 cosπ 2 = e cos 2π = =. A nevez határértéke: = =. határértéket! A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Teljesülnek a szabály feltételei, de a feladat látszólag sokkal bonyolultabbnak t nik, mint az eddigiek. Olyan tört határértéke ugyanis a kérdés, melynek számlálójában egy szorzat szerepel. Ha közvetlenül alkalmazzuk a szabályt, akkor ezt a szorzatot kell deriválnunk, s a derivált elég bonyolult lesz. Vegyük azonban észre, hogy a szorzat második tényez je a határérték szempontjából nem problémás, hiszen cosπ = cosπ 2 =. 2 Célszer ezért a szabály alkalmazása el tt szorzattá bontani a függvényt, és a tényez ket külön vizsgálni. 2 e 2 cosπ e 2 2 = cosπ Mivel az els tényez határértékét már meghatároztuk, így csak a második tényez vel kell foglakoznunk. Ez a határérték nyilván típusú, így teljesülnek a szabály feltételei. e 2 e = e = 2 2 Ebbe már egyszer en behelyettesíthetünk. e 2 = e = 4 Ezután térjünk vissza a szorzathoz. e 2 cosπ = 4 Ezzel egyenl az eredeti határérték is. = 4 7. Feladat: Határozzuk meg a ch határértéket! Megoldás: Az eddigi feladatokban törteknek a határértéke volt a kérdés, de most egy különbséget kell vizsgálnunk. Határozzuk meg külön a két tag határértékét. ch = = 4

5 A határérték tehát típusú. Ez is kritikus, de a L'Hospitálszabály csak kritikus típusú törtek esetén alkalmazható. Így el ször át kell alakítanunk a kifejezést, hogy különbség helyett törtet kelljen vizsgálnunk. Mivel a ch függvényt az eponenciális függvényb l származtattuk, így várhatóan gyorsabban fog végtelenhez tartani, mint. Emeljük ki a különbségb l ezt a gyorsabban növekv tagot. ch = ch ch Immár egy szorzatot kell vizsgálnunk, aminek második tényez je egy különbség, amelyben az egyik tag tört. Azt várjuk, hogy ezen tört határértéke lesz, hiszen a gyorsabban végtelenhez tartó taggal osztjuk a lassabban végtelenhez tartót. Lássuk be, hogy ez valóban így van, s vizsgáljuk innent l csak ezt a törtet, amely nyilván típusú. Erre tehát teljesülnek a L'Hospital-szabály feltételei. ch = sh sh =, ezért ez a határérték valóban, hiszen típusa ch = Mivel véges. Ezután térjünk vissza a kiemeléssel átalakított határértékhez. ch ch Az els tényez végtelenhez tart, a második tényez je pedig egy különbség. Ezen különbségben a második tagról beláttuk, hogy -hoz tart, s ebb l következ en a második tényez határértéke. Ez a szorzat nem kritikus, hanem végtelent ad eredményül. Ugyanez jelekkel leírva a következ : ch ch = = Ugyanígy végtelenhez tart a feladatban szerepl különbség is, azaz: ch =. A végtelenben tehát nincs határértéke a függvénynek. 2. Összetett feladatok e. Feladat: Határozzuk meg a 3 határértéket! 2 Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, vizsgáljuk meg külön a számlálót és a nevez t. A számláló határértéke: e3 =. 5

6 A nevez határértéke: 2 =. A határérték tehát típusú, teljesülnek a L'Hospital-szabály feltételei. A számláló deriválásakor gyeljünk oda, mert összetett függvényr l van szó. e 3 e 3 2 = e = 2 Ha megvizsgáljuk a kapott új határérték típusát, ismét -t kapunk, azaz továbbra is kritikus. Ilyen esetben ismételten alkalmazhatjuk a szabályt. A számláló deriválásakor most se feledkezzünk meg a bels függvény deriváltjával történ szorzásról. 3 e 3 2 = 3 e 3 9 e 3 = 2 2 Mivel a számláló végtelenhez tart a nevez pedig egy pozitív konstans, így az egész tört is végtelenehez tart. Ez lesz az eredeti határérték is, azaz: e 3 2 =. Megjegyzés: Sok feladatban el fordul, hogy a L'Hospital-szabályt alkalmazva ismét kritikus határértéket kapunk. Ilyenkor ismételten alkalmazhatjuk a szabályt. sin 2. Feladat: Határozzuk meg a 2 cos 3 határértéket! Megoldás: Els ként határozzuk meg a határérték típusát. A számláló határértéke: sin 2 = sin 2 =. A nevez határértéke: cos 3 = cos3 =. A határérték tehát típusú, így alkalmazható a L'Hospital-szabály. Mind a számláló, mind a nevez deriválásánál gyeljünk, mert mindegyikben el fordul összetett függvény. sin 2 sin 2 cos 3 = 2 sin cos cos 3 = sin 3 3 = 2 sin cos = 3 sin 3 Vizsgáljuk meg az új határérték típusát. A számláló határértéke: 2 sin cos = 2 sin cos =. A nevez határértéke: 3 sin 3 = 3 sin3 =. 6

7 A határérték tehát ismét típusú. Alkalmazzuk ismételten a szabályt. A számlálóban most egy szorzatot kell deriválnunk, a nevez ben pedig összetett függvényt. 2 sin cos 3 sin 3 = 2 sin cos 3 sin 3 = 2cos cos + sin sin 2cos 2 sin 2 = 9 cos 3 9 cos 3 Ezután már behelyettesítéssel megkapjuk a a határértéket. 2cos 2 sin 2 = 2cos2 sin 2 = 2 9 cos 3 9 cos3 9 Ezzel egyezik meg az eredeti határérték is, azaz: sin 2 cos 3 = 2 9 Bár megoldottuk a feladatot, egy kicsit még foglalkozzunk vele. A L'Hospital-szabály els alkalmazása után ugyanis egy kicsit másképp is haladhattunk volna. Használjuk fel a középiskolából ismert 2 sin α cos α = sin 2α összefüggést. Ekkor a következ t kapjuk: 2 sin cos sin 2 = 3 sin 3 3 sin 3 Így a számlálóban nem szorzat áll, hanem összetett függvény, s a szabály másodszori alkalmazásakor egyszer bb a deriválás. sin 2 3 sin 3 = sin 2 2 cos 2 3 sin 3 = 9 cos 3 A határértéket ezután behelyettesítéssel kapjuk. 2 cos 2 9 cos 3 = 2 cos2 9 cos3 = 2 9 Természetesen ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az el bb. ln Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 5 sin Megoldás: Szokás szerint a határérték típusának vizsgálata az els lépés. A számláló határértéke: ln + 2 = ln + =. 5 A nevez határértéke: sin = sin =. A határérték tehát típusú, alkalmazható a szabály. A deriválások során vegyük gyelembe, hogy a számlálóban és a nevez ben is összetett függvény áll. 7

8 ln + 2 = 5 sin ln + 2 sin 5 = cos 5 2 Ha újra megvizsgáljuk a határérték típusát, akkor megint -t kapunk, mert a számlálóban a 2, a nevez ben pedig a 2 5 tart a -hoz. Nem célszer azonban ismételten alkalmazni a szabályt. 2 Vegyük észre, hogy a tört egyszer síthet -tel, ami igaziból a problémát okozza cos 5 = 5 2 cos 5 Az egyszer sítés után pedig meghatározható a határérték, mert már nem kritikus típusú a tört = cos 5 cos 5 = 2 5 Ez tehát az eredit hatérérték is, azaz ln + 2 = 5 sin 2 5. Megjegyzés: A feladat megoldásából látható, hogy nem szabad meggondolatlanul mindig a L'Hospital-szabályt alkalmazni a kritikus esetekben. Ha most nem egyszer sítünk, akkor igen csúnya függvényeket kell deriválnunk, és a deriválások után még bonyolultabb törtet kapunk. Ráadásul újra kritikus típusú hatérértéket kapnánk. Ebben a feladatban egyszer sítés nélkül, csak a szabály alkalmazásával nem kapható meg az eredmény, akárhányszor is használjuk. Ezért nagyon fontos, hogy a szabály alkalmazása után egyszer sítsünk, ha erre lehet ség van. Ha pedig nem tudunk egyszer síteni, akkor is hozzuk a függvényt minél egyszer bb alakra. 4. Feladat: Határozzuk meg a 2 ln határértéket! Megoldás: Most nem egy törtet kell vizsgálnunk, hanem egy szorzatot. Határozzuk meg külön az egyes tényez k határértékét. Az els tényez határértéke: 2 = +. 8

9 A második tényez határértéke: ln =. A határérték tehát ez el jelekt l eltekintve típusú, ami kritikus. Mivel a L'Hospital-szabály törtek esetén alkalmazható, ezért át kell alakítanunk a függvényt úgy, hogy szorzat helyett tört szerepeljen. Ezt úgy érhetjük el, ha szorzás helyett az egyik tényez reciprokával osztjuk a másik tényez t. Jelen esetben a következ t írhatjuk: 2 ln = ln. 2 Az így felírt határérték típusú, hiszen ha 2 =. Így tehát már alakalmazható a L'Hospital-szabály. 2 = +, akkor ln ln = = Az új határértéket nyilván célszer átalakítani, hogy ne szerepeljen emeletes tört, és egyszer síthetünk is. 2 = 3 = Ezután már csak be kell helyettesítenünk a határérték meghatározásához. 2 2 = 2 2 = Ezzel megkaptuk az eredeti határértéket is, azaz: 2 ln =. Megjegyzés: Ha egy típusú határértéket kell meghatároznunk, akkor a L'Hospital-szabályt úgy alkalmazhatjuk, hogy szorzás helyett, az egyik tényez reciprokával osztunk. Ilyenkor két lehet ségünk is van, hiszen az a b szorzat helyett a b és b a is írható. Általában elmondható, hogy az egyszer bb tényez nek célszer a reciprokát venni, mert a szabály alkalmazása során így lesznek egyszer bbek a deriválások. 5. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! sin Megoldás: Most egy különbség határértéke a kérdés, így vizsgáljuk meg el ször a két tag határértékét. = 9

10 sin = A határérték tehát típusú, ami kritikus. A L'Hospital-szabály alkalmazásához törtté kell alakítanunk. Mivel a különbségben két tört szerepel, így a legegyszer bb, ha közös nevez re hozzuk ket. sin = sin sin Ha most megvizsgáljuk a határérték típusát, akkor -t kapunk, hiszen sin = sin = sin = sin =. Teljesülnek tehát a L'Hospital szabály feltételei. sin sin = sin sin = cos = sin + cos Vizsgáljuk meg a kapott új határérték típusát. cos = cos = sin + cos = sin + cos = Látható, hogy ismét típusú a határérték. Újra alkalmazzuk a L'Hospitalszabályt. cos sin + cos = cos sin + cos = sin cos + cos + sin Ezt a határértéket pedig már behelyettesítéssel megkaphatjuk. sin 2 cos sin = 2 = sin 2 cos sin = Ezzel egyenl tehát az eredeti határérték is, azaz: sin =. 6. Feladat: Határozzuk meg a + határértéket! Megoldás: Most egy hatvány határértéke a kérdés, így a típus meghatározásához megvizsgáljuk az alap és a kitev határértékét. Az alap határértéke: =. +

11 A kitev határértéke: + = + = + =. A határérték tehát típusú, ami kritikus. Ahhoz, hogy alkalmazhassuk a L'Hospital-szabályt, törtet kellene kialakítanunk. Ehhez használjuk azt az átalakítást, ami már szerepelt az f g típusú függvények deriválásakor. Ekkor az alapot alakítottuk át az a log ab = b összefüggés felhasználásával. Jelen esetben az alapban álló -et célszer felírni e ln formában. Ha ezt felhasználjuk, akkor a határérték a következ módon írható: = e ln. + + Mivel ismételt hatványozás esetén a kitev k szorzódnak, ezt tovább alakíthatjuk. e ln + = + e ln Így azt értük el, hogy az alapban egy konstans áll. Ezért ha vesszük a hatvány határértékét, akkor az alapban álló konstanst kell hatványoznunk a kitev határértékére. Ez jelekkel leírva a következ : ln ln e + = e + Tehát elegend már csak a kitev határértékét vizsgálnunk. A kérdés innent l az alábbi: ln +. Ez már tört, így határozzuk meg a számláló és a nevez határértékét a típus megállapításához. ln = ln + = + = + = + A határérték tehát típusú, így alkalmazható a L'Hospital-szabály. ln + = ln + = + = + Ezt a határértéket már behelyettesítéssel megkapjuk. = = Ezzel megkaptuk a kitev határértékét. Ne feledjük, az eredeti határértéket + úgy kapjuk, ha az e számot felemeljük a kitev határértékére, azaz: + = e = e.

12 7. Feladat: Határozzuk meg a sin határértéket! Megoldás: Ebben a feladatban is egy hatvány határértéke a kérdés, így els ként vizsgáljuk meg külön az alap és a kitev határértékét. Az alap határértéke: sin = sin =. A kitev határértéke: =. Amint látható, egy típusú határérték a kérdés. Ez a típus is kritikus. Alakítsuk át megint az alapot úgy, mint az el z feladatban. Most a sin helyett e lnsin -et írhatunk. Ezt felhasználva a határérték az alábbi alakot ölti: e lnsin. sin = Mivel a kitev k ilyen esetben szorzódnak, így ez tovább alakítható. e lnsin = e lnsin Mivel az alap konstans, így a hatvány határértékét úgy kapjuk, hogy az alapban álló konstanst a kitev határértékére emeljük. lnsin e lnsin = e Az igazi kérdés innent l tehát a kitev határértéke, azaz: lnsin. Most egy szorzat határértékét kell meghatároznunk, így a típus vizsgálatához a tényez k határértéke szükséges. = + lnsin = lnsin + = ln+ = A határérték tehát el jelekt l eltekintve típusú, azaz kritikus. Akkor alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt, ha törtté alakítjuk. Szorzás helyett osszunk az egyik tényez reciprokával. Természetesen az els tényez, azaz az egyszer bb, így ennek célszer a reciprokát venni. lnsin lnsin = Mivel = +, ezért = =. Ebb l következ en a + határérték típusú, tehát alkalmazható a L'Hospital-szabály. lnsin lnsin = = sin cos 2 2

13 Ez így nagyon bonyolult alakban van, célszer megszabadulni az emeletes törtt l. sin cos 2 cos = sin 2 Vizsgáljuk meg a kapott új határérték típusát. 2 cos = 2 cos = sin = sin = Most típusunk van, ami szintén kritikus, így újra alkalmazhatjuk a szabályt. 2 cos 2 cos = sin sin = 2 cos 2 sin 2 cos + 2 sin = cos cos Ezt a határértéket már behelyettesítéssel megkaphatjuk. 2 cos + 2 sin = 2 cos + 2 sin = cos cos = Megkaptuk tehát a kitev határértékét. Az eredeti határértéket is megkapjuk, ha az e számot felemeljük erre, azaz: sin = e =. 3