Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Átírás

1 Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre. Adja meg ennek az egyik alsó korlátját. (5 pont) Eponenciális üggvény a c a alakú üggvény, ahol c és a konstansok, emellett a > 0. Ha c > 0 és 0 < a <, akkor a üggvény szigorúan monoton csökkenő és alulról korlátos. Például legyen c = és a = 0. 5, akkor a üggvény ( ) = Ez minden -re pozitív, ezért alsó korlátja pl. a 0. E. Mi a deiníciója annak, hogy az üggvénynek a -ben a határértéke? Adjon példát olyan üggvényre, melyre ez igaz, emellett értelmezve van -ben és nem olytonos. (5 pont) A deiníció: ε > 0 számhoz δ > 0 úgy, hogy ha ( ) < δ, D és, akkor ( ) < ε., ha Példa: ( ) =. Ez a üggvény mindenütt -et vesz el, kivéve a helyet, 0, ha = ahol 0. A -beli határértéket nem beolyásolja a üggvény itteni értéke, ezért a határérték. Ez viszont nem egyezik meg a üggvény helyettesítési értékével, így a üggvény nem olytonos a helyen. Feladatok: F. Elemezze az ( ) = üggvényt (értelmezési tartomány, olytonosság, határérték az értelmezési tartomány végeinél és a szakadási pontokban, zérushely, y-tengelymetszet, monotonitás, lokális szélsőértékek vizsgálata, konveitás, inleiós pont, összeoglaló táblázat, valósághű graikon, értékkészlet). (5 pont) * Zh ponthatárok: es, as, es, 89-5-ös. Minimum: elméletből is, eladatokból is 5-5 pont.

2 Néhány pontban a üggvény értéke: () Nyers graikont készítünk: - - (Nagyon hasznos, ha a szakadási pont közelében kiértékeljük a üggvényt, mert itt az általában szabálytalanul viselkedik.) Értelmezési tartomány: Az osztás miatt 0, más eltétel nincs, ezért D = R \ {0}. Folytonosság, határérték a szakadási helyeken és az értelmezési tartomány határain: A üggvény olytonos az értelmezési tartomány minden pontjában. A 0-ban a üggvény nincs értelmezve, ez egy szakadási pont, kiszámítjuk itt a bal- és jobboldali határértéket: lim =, ui. mind -nek, mind -nek a baloldali határértéke 0-ban. 0 lim 0 = lim ( 0 ) =, ui. + és, ha 0. Az értelmezési tartomány végein, határértékét: lim = 0, lim 0, = ui. 0 és 0 + -ben és + -ben is ki kell számítanunk a üggvény és akkor is, ha +., ha Zérushely, y-tengelymetszet: A zérushely az 0 = egyenlet megoldása, azaz =. Az y-tengelymetszet az (0) lenne, azonban a üggvény nincs értelmezve a 0-ban, ezért nincs y-tengelymetszet se.

3 Monotonitás, lokális szélsőértékek keresése: Ehhez deriváljuk a üggvényt. Ezt megkönnyítendő, először is a törteket átírjuk hatványalakba: ( ) =. Ezt a tanult módon deriváljuk: ( ) = ( ) = +. Megkeressük ennek zérushelyeit, azaz megoldjuk a 0 = + egyenletet. Mindkét oldalt -mal beszorozva kapjuk, hogy =. Ezen a helyen és még esetleg a 0 szakadási pontban válthat előjelet a derivált, tehát a ]-, 0[, ]0, [ és ], + [ intervallumokon a derivált előjele biztosan ugyanaz. Behelyettesítéssel megállapítjuk az előjeleket: --et helyettesítve a derivált, ezért a ]-, 0[ intervallumon a derivált negatív, itt a üggvény szigorúan monoton csökken. Az helyen a derivált, ezért a ]0, [ intervallumon a derivált pozitív, itt a üggvény szigorúan monoton növő. A helyen a derivált 0.05, ezért a ], + [ intervallumon a derivált negatív, itt a üggvény szigorúan monoton csökkenő. Megállapítható mindebből az is, hogy = -ben a üggvénynek lokális maimuma van, a maimum értéke 0.5. Pozitív értékekre csak ez az egy lokális szélsőérték van, ezért itt van pozitív értékekre a üggvény legnagyobb értéke. Ugyanakkor negatív értékekre a üggvény mindenütt negatív (l. a képletét), ezért megállapítjuk, hogy a üggvénynek globális maimuma van = -ben, ez a maimum 0.5. ennél a üggvény sehol nem vesz el nagyobb értéket. Konveitás, inleiós pont: Kiszámítjuk a második deriváltat: ( ) = 6. Hol lesz ez 0? Az egyenlet: 0 = 6. Szorozzunk be -nel, kapjuk, hogy 0 = 6, amiből =. Itt lehet a üggvénynek inleiós pontja. Ezen a helyen és még esetleg a 0 szakadási pontban válthat előjelet a második derivált, tehát a ]-, 0[, ]0, [ és ], + [ intervallumokon a második derivált előjele biztosan ugyanaz. Ismét behelyettesítéssel állapítjuk meg az előjeleket, --ben a második derivált értéke 8, ezért a üggvény második deriváltja a ]-, 0[ intervallumon végig negatív, itt tehát a üggvény konkáv. A második derivált az -ben, ezért a ]0, [ intervallumon a második derivált végig negatív, itt a üggvény konkáv. A helyen a második derivált értéke , ezért a ], + [ intervallumon a második derivált végig pozitív, itt a üggvény konve. A második derivált előjelet váltott a -ban, ezért itt a üggvénynek inleiós pontja van. Összeoglaló táblázat: - ]-, 0[ 0 ]0, ] ], [ ], + [ () () () 0 Csökken konkáv Nő konkáv Globális maimum Csökken konkáv Inleiós pont Csökken konve 0

4 Finomított graikon: - - Értékkészlet: A üggvény és 0.5 között minden értéket elvesz, R = ]-, 0.5]. F. Számítsa ki a következő határértékeket: cos( ) a) lim 0 b) lim (5 pont) a) A 0-ban a számláló is, nevező is 0, ezért alkalmazható a l Hospital-szabály: cos( ) sin( ) lim = lim 0 0. Azonban a második határértéknél a 0-ban a számláló is, nevező is sin( ) cos( ) újra 0, ezért ismét alkalmazzuk a l Hospital-szabályt: lim = lim =. 0 0 b) Ha, akkor 0 0, így lim = =.

5 5 B verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk lineáris üggvényen? Adjon példát olyan lineáris üggvényre, melynek deriváltüggvénye az konstans üggvény. Igaz-e, hogy ez szigorúan monoton növő? Miért? (5 pont) Lineáris üggvények az ( ) = a + b alakú üggvények, ahol a és b rögzített számok. A lineáris üggvények graikonja egyenes, a a tengelymetszet, az y -tengelyen az = 0 mellett elvett érték, b pedig az egyenes meredeksége. Lineáris üggvény deriváltja ( ) = ( a + b ) = 0 + b = b mindig konstans. Például az ( ) = + lineáris üggvény deriváltüggvénye azonosan. Ez természetesen szigorúan monoton növő, hiszen a deriváltja pozitív. (Közvetlenül is látszik: ha <, akkor + < +.) E. Mi a deiníciója annak, hogy az an sorozat határértéke? (Azt a triviális választ nem ogadom el, miszerint ez azt jelenti, hogy a n határértéke 0!) Adjon példát olyan szigorúan monoton növő sorozatra, melyre ez igaz. (5 pont) Deiníció: ε > 0 számhoz n ε küszöbinde, hogy a n < ε, ha n > n ε. Példa: az a n =, n =,,,... sorozat szigorúan monoton nő és határértéke. n Feladatok: F. Elemezze az ( ) = üggvényt (értelmezési tartomány, olytonosság, határérték az értelmezési tartomány végeinél és a szakadási pontokban, zérushely, y-tengelymetszet, monotonitás, lokális szélsőértékek vizsgálata, konveitás, inleiós pont, összeoglaló táblázat, valósághű graikon, értékkészlet). (5 pont)

6 6 Néhány pontban a üggvény értéke: () Nincs értelmezve Nyers graikont készítünk: - - (Látható, hogy nagyon hasznos, ha a szakadási pont közelében kiértékeljük a üggvényt, mert itt az általában szabálytalanul viselkedik.) Értelmezési tartomány: Az osztás következében 0, más kikötés nincs, ezért D = R\{0}. Folytonosság: A üggvény olytonos az értelmezési tartomány minden pontjában. A 0-ban a üggvénynek szakadási helye van. Zérushely, y-tengelymetszet: A zérushelyek ha vannak az = 0 egyenlet megoldásai. Az -szel beszorozva és átrendezve kapjuk, hogy 5 5 =. Ebből = =, tehát egyetlen zérushely van, az. Az y- tengelymetszet az (0) lenne, azonban a üggvény nincs értelmezve a 0-ban, ezért nincs y- tengelymetszet. Monotonitás, lokális szélsőértékek keresése: Ehhez deriváljuk a üggvényt. Megszabadulunk a reciproktól, ( ) =, ( ) = +. Vizsgáljuk, hol lesz ez 0. Megoldjuk a + = 0 egyenletet. -tel beszorozva = 0 adódik, ezt átrendezve =. Ötödik gyököt vonva kapjuk az 5 eredményt: = 5 = A 0.76-nél kisebb -ekre a derivált negatív, mert ( ) pl. -et behelyettesítve ( ) + ( ) = + = + =. A ]-0.76, 0[ ( ) intervallumon a derivált pozitív, ui. 0.5-öt behelyettesítve ( 0.5) + ( 0.5) = = =

7 7 A ]0, + [ intervallumon is behelyettesítéssel állapítjuk meg a derivált előjelét, helyettesítsük be pl. az -et: + = + = 5, tehát itt a derivált pozitív. Összeoglalva, megállapíthatjuk, hogy a üggvény ]-, -0.76[ -en monoton csökken, ]-0.76, 0[-n monoton nő, ezért ben lokális minimuma van, melynek értéke ( 0.76) = ( 0.76) = A ]0, + [ intervallumon a üggvény végig monoton nő. Konveitás, inleiós pont: Kiszámítjuk a üggvény második deriváltját: ( ) = ( + ) =. Először inleiós pontot keresünk, ott a második derivált zéró, az egyenlet = 0. Beszorzunk -nal, kapjuk, hogy 5 = 0, ebből 5 =. Ötödik gyököt vonva kapjuk a 6 megoldást: = Megvizsgáljuk a második derivált előjelét az egyes 6 intervallumokon. A ]-, 0[ intervallumon nincs szakadás, a második derivált sehol sem 0, ezért előjelet nem vált. Helyettesítsük be a tesztértéket: ( ) = = ( ) =. A második derivált tehát pozitív a ]-, 0[ ( ) intervallumon, ezért itt a üggvény konve. A következő vizsgálandó intervallum a ]0, 0.70[, nézzük a 0.5-ös tesztértéket: = =. A ]0, 0.70[ intervallumon 0.5 tehát a második derivált végig negatív, ezért itt a üggvény konkáv. Végül a ]0.70, + [ intervallumot vizsgáljuk, behelyettesítjük mondjuk az -et: = 0. Ez pozitív, így a teljes ]0.70, + [ intervallumon a második derivált pozitív, azaz itt a üggvény konve. Vegyük észre, hogy a 0.70-ben a második derivált előjelet váltott negatívból pozitívba, így a 0.70-ben a üggvénynek inleiós pontja van. (Az, hogy a második derivált valahol 0, még nem eltétlenül jelenti, hogy ott a üggvénynek inleiós pontja van, azaz a második derivált előjelet is vált. Ellenpélda a g ( ) = üggvény.) Határérték a szakadási helyeken és az értelmezési tartomány határain: A 0-ban a üggvénynek szakadási helye van. Kiszámítjuk itt a baloldali és a jobboldali határértéket: lim = +, ui. balról. (Vö. a hiperbola graikonjával negatív -ek esetén.) 0 lim 0+ =, ui. + jobbról. (Vö. a hiperbola graikonjával pozitív -ekre.) Az értelmezési tartomány másik végein, ± -ben is ki kell számítanunk a üggvény határértékét: lim = +, érdemben az tag határozza meg a határértéket. + lim = +, itt is érdemben az tag határozza meg a határértéket.

8 8 Összeoglaló táblázat: ]-,-0.76[ ]-0.76,0[ 0 ]0,0.70[ 0.70 ]0.70,+ [ + () () () + csökken konve Finomított graikon: lokális minimum konve nő konve nincs értelmezve nő konkáv nő inleiós pont nő konve Értékkészlet: A üggvény pozitív oldali ágáról leolvasható, hogy minden értéket elvesz, ezért = R. R

9 9 F. Számítsa ki a következő üggvények deriváltját: + e cos + a) e b) ln (5 pont) 5 a) A üggvény három tag összegére bontható, ezeket külön kell deriválni. Az első tag összetett u üggvény, a belső üggvény u ( ) = +, a külső üggvény e. Az összetett üggvény + u u + deriválási szabálya szerint ( e ) = e u, most u ( ) =, így ( e ) = e. A második 5 5 tag deriváltja cos( ) = sin( ), a harmadiké ( ) = ( ) = 5 = 0. A üggvény + deriváltja tehát e + sin( ) + 0. b) Ez a üggvény két tag összegére bontható, a tagokat külön deriváljuk. Az első tag egy e ln e e hányados, a hányados deriválására tanult szabály szerint = ln. A második (ln ) tagból először is eltüntetjük a gyököt és a törtet: =. Ennek deriváltja. e ln e Behelyettesítve kapjuk a üggvény keresett deriváltját: +. (ln )