1.1 A függvény fogalma

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1.1 A függvény fogalma"

Átírás

1 1.1 A üggvény ogalma Deiníció: Adott két (nem üres) halmaz H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést üggvénynek nevezzük. (A H halmaz a üggvény értelmezési tartománya, a K halmaz a üggvény képhalmaza.) Megjegyzés: A enti típusú hozzárendeléseket egyértelmű hozzárendeléseknek nevezzük. Példa: a) b) c) Ez a hozzárendelés üggvény, mert a H halmaz minden eleméhez hozzárendelte a K halmaz egy-egy elemét. d) e) Ez a hozzárendelés üggvény, mert a H halmaz minden eleméhez hozzárendelte a K halmaz egy-egy elemét. (Különböző elemekhez ugyanaz az elem is rendelhető.) Ez a hozzárendelés nem üggvény, mert a H halmaz egyik eleméhez két elemet is rendelt a K halmazból. (Egy elemhez csak egy elem rendelhető.) Ez a hozzárendelés üggvény, mert a H halmaz minden eleméhez hozzárendelte a K halmaz egy-egy elemét. (A két halmaz elemszáma megegyezhet.) Ez a hozzárendelés nem üggvény, mert a H halmaznak van olyan eleme, amelyhez nem rendeltünk elemet a K halmazból. (Minden elemhez kell rendelni.) Deiníció: A üggvény lehetséges változóinak halmazát a üggvény értelmezési tartományának nevezzük. (Jele: ÉT; D.) A üggvényértékek halmazát a üggvény értékkészletének nevezzük. (Jele: ÉK; R.) Megjegyzés: A enti a) példában H {a; b; c; d} halmaz a üggvény értelmezési tartománya, a K {A; B; C; D; E; F} halmaz a üggvény képhalmaza és az {A; B; D; F} halmaz a üggvény értékkészlete. A továbbiakban olyan üggvényekkel oglalkozunk, amelyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is a valós számok egy-egy részhalmaza. Deiníció: Azt az egyértelmű hozzárendelést, amelyekben a képhalmaz minden eleme ellép képelemként és a hozzárendelés különböző elemekhez különböző elemeket rendel, kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük. (Az ilyen hozzárendelés visszaelé is üggvény. Ilyet szemléltet az előző példa d) része.) 1

2 Függvények pontos megadásánál megadjuk: - az értelmezési tartományát; - a képhalmazát; - a hozzárendelési szabályát. 1. Függvények megadása Megjegyzés: A üggvények hozzárendelési szabálya több módon is megadható: - képlettel (ormulával); - utasítással; - táblázattal; - graikonnal vagy valamilyen ábrával. Példa: : RR, 1, vagy : RR, ( ) 1. Deiníció: Az üggvény által -hez rendelt -szel jelölt értéket az -hez tartozó üggvényértéknek, vagy helyettesítési értéknek nevezzük. Példa: a) Számítsuk ki az előző üggvény esetén az ( 3) b) Határozzuk meg az ( ) üggvény értelmezési tartományát! 1 Mivel 1 0, azaz 1, ezért a üggvény értelmezési tartománya: 3-hoz tartozó helyettesítési értéket! R\{-1; 1}. 1.3 A üggvények szemléltetése A üggvényeket általában síkbeli Descartes-éle (derékszögű) koordináta-rendszerben szemléltetjük. Az ábrázolt pontok összességét a üggvény görbéjének vagy képének, graikonjának nevezzük. Megjegyzés: Függvényeket szemléltethetünk még nyíldiagrammal vagy Venn-diagrammal. (Ilyen megadás látható az első példa ábráinál.)

3 . Függvények jellemzése Deiníció: Az üggvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartományának mindazon értékeit, amelyeknél ( ) 0. Megjegyzés: A üggvény ezeken a helyeken metszi vagy érinti az tengelyt. Példa: Az ( ) 4 ügvény zérushelyei leolvashatóak a graikonjáról: 1 0 és 4. Ha nem olvasható le közvetlenül, akkor az ( ) 0 egyenletet kell megoldani, pl. az 3 ( ) 1 üggvény zérushelye: / 3 0 / 3 3 / : 3 Deiníció: Az üggvénynek minimuma (ill. maimuma) van a változó 0 értékénél, ha az ott elvett 0 üggvényértékeknél a üggvény sehol sem vesz el kisebb (ill. nagyobb) értékéket. A szóban orgó értékeket (abszolút) szélsőértékeknek nevezzük. Példa: Az előző példában szereplő másodokú üggvény szélsőértékei: - minimum hely: ; - minimum érték: y 4 ; - maimum hely és érték: nincs. Deiníció: Az üggvénynek lokális minimuma (ill. lokális maimuma) van a változó 0 értékénél, ha 0 -nak van olyan környezete, hogy ebben 0 minimum (ill. maimum) lesz. 3

4 3 3 üggvényt! Példa: Vizsgáljuk szélsőérték szempontjából az A üggvénynek nincs (abszolút) szélsőértéke. Beszélhetünk azonban lokális szélsőértékekről az 1 (lokális maimum) és 1 (lokális minimum) helyeken. Deiníció: Az üggvényt alulról korlátosnak (ill. elülről korlátosnak) nevezzük, ha van olyan k (ill. (ill. ). Megjegyzés: K) valós szám, hogy k K - Egy üggvényt korlátosnak nevezzük, ha alulról és elülről is korlátos. - A korlátok nem eltétlenül szerepelnek a üggvényértékek között, azaz ha egy üggvény korlátos, még nem biztos, hogy szélsőértékei is vannak. Példa: Vizsgáljuk korlátosság szempontjából az 1 üggvényt! A üggvény alulról korlátos, de elülről nem. (Pontos) alsó korlátja a 0. (A deiníció szerint nyilvánvaló, hogy minden 0-nál kisebb szám is alsó korlát lesz.) 4

5 Deiníció: Ha az üggvény értelmezési tartományának egy intervallumában a változó bármely értékeinél a megelelő üggvényértékekre ennáll, hogy ( 1 ) ( ), akkor ott a üggvény monoton csökkenő, ha ) ( ), akkor ott a üggvény monoton növekvő. ( 1 1 Megjegyzés: Ha egyenlőséget nem engedünk meg, akkor szigorúan monoton csökkenő, illetve szigorúan monoton növekvő üggvényről beszélünk. Példa: Az ábrán látható ( ) üggvény menete: - monoton növekvő és monoton csökkenő (konstans) a (-; -] intervallumon; - szigorúan monoton növekvő a [-; ] intervallumon; - monoton növekvő és monoton csökkenő (konstans) a [; ) intervallumon. Ha azonban a (-; ) intervallumon vizsgáljuk, akkor a üggvény monoton növekvő. Deiníció: Az üggvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan p 0 szám, hogy a üggvény értelmezési tartományának minden elemére p is az értelmezési tartományhoz tartozik és ( ) ( p). A legkisebb ilyen p számot (ha létezik ilyen) a üggvény periódusának nevezzük. Példa: Az ( ) { } törtrész üggvény periodikus, periódusa p 1. Megjegyzés: Periodikus üggvény szemléletes jelentése: a üggvény graikonjának p hosszúságú szakasza ismétlődik. Nem minden periodikus üggvénynek van legkisebb pozitív periódusa. Pl. az ( ) c konstans üggvény periodikus, de nincs legkisebb pozitív periódusa. 5

6 Deiníció: Az üggvényt párosnak nevezzük, ha a üggvény értelmezési tartományának minden elemére - is az értelmezési tartományhoz tartozik és ( ) ( ). Deiníció: Az üggvényt páratlannak nevezzük, ha a üggvény értelmezési tartományának minden elemére - is az értelmezési tartományhoz tartozik és ( ) ( ). Megjegyzés: Páros üggvény képe az y tengelyre, páratlan üggvény képe az origóra szimmetrikus. Van olyan üggvény, amely egyszerre tekinthető párosnak és páratlannak is. Ilyen pl. az ( ) 0 konstans üggvény. g( ) Példa: a) Az ( ) és az üggvények paritása közvetlenül az ábráról leolvasható: az első üggvény páros, a második páratlan. 3 b) Ha nem olvasható le közvetlenül, akkor helyére --et írva vizsgáljuk az ( ) ( ) és az ( ) ( ) egyenlőségeket. Pl. az ( ) üggvény esetében: 1 ( ), azaz ( ) ( ), tehát a üggvény nem páros; 1 1 ( ) 1, azaz ( ) ( ), tehát a üggvény páratlan Nevezetesebb üggvénytípusok 3.1 Konstans üggvény Deiníció: Az : RR, c (c konstans) üggvényt konstansüggvénynek nevezzük. Megjegyzés: A konstans üggvény képe az tengellyel párhuzamos egyenes. Az ( ) 0 konstans üggvény zérushelye a valós számok halmaza, paritás szempontjából pedig tekinthető páros és páratlan üggvénynek is. 6

7 Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: nincs, - Szélsőérték: maimum és minimum hely: R, maimum és minimum érték: y c, - Korlátosság: korlátos üggvény, alsó és első korlátja: c, - Menete: monoton növekvő és monoton csökkenő (konstans), - Paritás: páros üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: periodikus, de nincs legkisebb pozitív periódusa, - Értékkészlete: y c. 3. Elsőokú üggvény Deiníció: Az : RR, ( ) a b ( a 0) üggvényt elsőokú üggvénynek nevezzük. (A legegyszerűbb elsőokú üggvény az ( ) üggvény.) Megjegyzés: Az elsőokú üggvény képe egyenes. Azokat az elsőokú üggvényeket, amelyeknél b=0, egyenes arányosságnak nevezzük. Képe az origón áthaladó egyenes. Mind a konstans, mind az elsőokú üggvényeket lineáris üggvényeknek nevezzük. 7

8 Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: b a, - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: nem korlátos üggvény, - Menete: szigorúan monoton növekvő, ha a 0, szigorúan monoton csökkenő, ha, - Paritás: se nem páros, se nem páratlan üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y R. a 0 Deiníció: Az : RR, ( ) a b c ( 3.3 Másodokú üggvény legegyszerűbb másodokú üggvény az a 0) üggvényt másodokú üggvénynek nevezzük. (A ( ) üggvény.) Megjegyzés: A másodokú üggvény képe parabola. Ábrázolás előtt célszerű teljes négyzetté alakítani. Pl. ( ) 4 1, vagy g( ) 4 5 3,5 1 1, Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: 0, - Szélsőérték: minimum hely: 0, minimum érték: y 0, maimuma nincs, - Korlátosság: első korlátja nincs, alsó korlátja: 0, - Menete: szigorúan monoton csökkenő (-; 0]-ban, szigorúan monoton növekvő [0; )-ban, - Paritás: páros üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y 0. 8

9 Megjegyzés: Az előzőek mintájára harmad-, negyed, magasabbokú üggvényeket is bevezethetnénk. Összeoglaló néven ezeket polinomüggvényeknek nevezzük. üggvényeket hatványüggvényeknek ne- A polinomüggvények közül az vezzük., 3,, Velük nem oglalkozunk, mindössze két példát említünk meg, az üggvényeket: n 3 és Abszolútérték üggvény Deiníció: Az : RR, ( ) üggvényt abszolútérték üggvénynek nevezzük. Megjegyzés: Az abszolútérték üggvény képe töröttvonal. A törés a belső üggvény előjelváltásánál lesz. A hozzárendelési szabálya intervallumonként is megadható:, ha 0, ( ), ha 0. 9

10 Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely:, - Szélsőérték: minimum hely:, minimum érték:, maimuma nincs, - Korlátosság: első korlátja nincs, alsó korlátja: 0, - Menete: szigorúan monoton csökkenő (-; 0]-ban, szigorúan monoton növekvő [0; )-ban, - Paritás: páros üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y y Négyzetgyök üggvény Deiníció: Az : R Jellemzése: ( ) üggvényt négyzetgyök üggvénynek nevezzük. 0 R, - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: 0, - Szélsőérték: minimum hely: 0, minimum érték: y 0, maimuma nincs, - Korlátosság: első korlátja nincs, alsó korlátja: 0, - Menete: szigorúan monoton növekvő [0; )-ban, - Paritás: se nem páros, se nem páratlan üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y

11 Megjegyzés: A négyzetgyök üggvény képe élparabola. Az : R egyenletű egyenesre vo- üggvények egymásnak inverzei. Képük az natkozóan egymásnak tükörképei. g( ) 0 R, y ( ) és a g: R 0 R, Megjegyzés: Az előzőek mintájára bevezethetjük az n-edik gyöküggvényeket is az hozzárendelési szabállyal. Ezek értelmezési tartománya páros gyökkitevő esetén a nemnegatív számok halmaza, páratlan gyökkitevő esetén a valós számok halmaza. n Ha az hatványüggvényt csak azon az intervallumon tekintjük, amelyen monoton növekedő, akkor ennek inverze az üggvény. n Velük nem oglalkozunk, mindössze két példát említünk meg, az 3 és 4 üggvényeket: n 3.6 Elsőokú törtüggvény d a b Deiníció: Az : R\ R, ) c c d ( c, ad bc nevezzük. (A legegyszerűbb elsőokú törtüggvény az 0 üggvényt elsőokú törtüggvénynek 1 ( ) üggvény.) 11

12 Megjegyzés: Az elsőokú törtüggvény képe hiperbola. Az elsőokú törtüggvények nevezőjében elsőokú kiejezés, számlálójában vagy elsőokú kiejezés, vagy konstans áll. Az 1 ( ) elsőokú törtüggvényt, illetve ennek c 0 konstansszorosát ordított arányosságnak nevezzük. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R\{0}, - Zérushely: nincs, - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: nem korlátos üggvény, - Menete: szigorúan monoton csökkenő (-; 0)-ban és (0; )-ban, - Paritás: páratlan üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y R\{0}. 3.6 Egészrész üggvény Deiníció: Az valós szám egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely kisebb, vagy egyenlő - nél. Jele: []. Deiníció: Az : RR, ( ) [ ] üggvényt egészrész üggvénynek nevezzük. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: [0; 1), - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: nem korlátos üggvény, - Menete: monoton növekvő, - Paritás: se nem páros, se nem páratlan üggvény, 1

13 helyeken olytonos (az egész szá- - Folytonosság: csak az egész számoktól különböző mokban jobbról olytonos), - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y Z. 0 Megjegyzés: Az egészrész üggvény képe egyik végpontjukat tartalmazó vízszintes egyenesszakaszokból áll, un. lépcsős elrendezésű. 3.7 Törtrész üggvény Deiníció: Az valós szám törtrésze az [] szám. Jele: {}. Deiníció: Az : RR, ( ) { } üggvényt törtrész üggvénynek nevezzük. Megjegyzés: A deinícióból következik, hogy valós számra: [ ] { }. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: Z, - Szélsőérték: minimum hely: Z, minimum érték: y 0, maimuma nincs, - Korlátosság: korlátos üggvény, alsó korlátja a 0, első korlátja az 1, a; a 1 -ban, ahol az, - Menete: szigorúan monoton növekvő 13

14 helyeken olytonos (az egész szá- - Paritás: se nem páros, se nem páratlan üggvény, - Folytonosság: csak az egész számoktól különböző mokban jobbról olytonos), - Periodikusság: periodikus, periódusa: 1, - Értékkészlete: y [0; 1) Szignum üggvény Deiníció: Az : RR, -1, ha 0, ( ) 0, ha 0, üggvényt szignum üggvénynek nevezzük. Jele: 1, ha 0. sgn. Megjegyzés: A szignum üggvény képe egy pontból és két élegyenesből áll, melyek végpontjai nem tartoznak a üggvény képéhez. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: 0, - Szélsőérték: minimum hely: (-; 0), minimum érték: y 1, maimum hely: (0; ), maimum érték: y 1, - Korlátosság: korlátos üggvény, alsó korlátja a -1, első korlátja az 1, - Menete: monoton növekvő, - Paritás: páratlan üggvény, - Folytonosság: az 0 0 pont kivételével az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y {-1; 0; 1}. 14

15 3.9 Sinusüggvény Megjegyzés: Trigonometrikus üggvények ábrázolásánál az változó valós szám, a szögeket az tengelyre radiánokban mérjük el. Deiníció: Az : RR, sin üggvényt sinusüggvénynek nevezzük. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: k, k Z, - Szélsőérték: minimum hely: k, minimum érték: y 1, maimum hely: k, maimum érték: y 1, - Korlátosság: korlátos üggvény, alsó korlátja a -1, első korlátja az 1, - Menete: 3 szigorúan monoton csökkenő k; k -ban, szigorúan monoton növekvő k; k -ban, - Paritás: páratlan üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: periodikus, periódusa:, y 1;1. - Értékkészlete: k Z, k Z, k Z, 3.10 Cosinusüggvény Deiníció: Az : RR, cos üggvényt cosinusüggvénynek nevezzük. 15

16 Megjegyzés: A sinusüggvény képéből a v ; 0 vektorral történő eltolással megkapjuk a cosinus- üggvény képét, azaz ennáll a következő összeüggés: sin cos, illetve cos sin. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: k, k Z, - Szélsőérték: minimum hely: k, minimum érték: y 1, maimum hely: k, maimum érték: y 1, - Korlátosság: korlátos üggvény, alsó korlátja a -1, első korlátja az 1, - Menete: szigorúan monoton csökkenő k ; k-ban, szigorúan monoton növekvő k; k-ban, - Paritás: páros üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: periodikus, periódusa:, y 1;1. - Értékkészlete: k Z, k Z, k Z, 3.11 Tangensüggvény Deiníció: Az : R\ k, k Z R, tg üggvényt tangensüggvénynek nevezzük. Megjegyzés: A tangensüggvény nem értelmezett a k, k Z értékeknél. 16

17 Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R\ k, k Z, - Zérushely:, - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: nem korlátos üggvény, - Menete: szigorúan monoton növekvő k; k -ban, - Paritás: páratlan üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: periodikus, periódusa:, - Értékkészlete: k y R. k Z, k Z, Deiníció: Az : R\ k Z 3.1 Cotangensüggvény k, R, ctg Megjegyzés: A cotangensüggvény nem értelmezett a Jellemzése: üggvényt cotangensüggvénynek nevezzük. k, k Z értékeknél. - Értelmezési tartomány: R\k, k Z, - Zérushely: k, k Z, - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: nem korlátos üggvény, - Menete: szigorúan monoton csökkenő k ; k-ban, k Z, - Paritás: páratlan üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: periodikus, periódusa:, - Értékkészlete: y R. 17

18 3.13 Eponenciális üggvény Deiníció: Az : R R, () = a (a > 0 és a 1) üggvényt a alapú eponenciális üggvénynek nevezzük. Megjegyzés: Ha a = 1, akkor az () = 1 üggvényt konstans üggvénynek tekintjük. Mivel a = ( 1 a ), ezért az a alapú eponenciális üggvény és az 1 alapú eponenciális a üggvény graikonja az y tengelyre vonatkozólag egymásnak tükörképei. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: nincs, - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: első korlátja nincs, alsó korlátja: 0, - Menete: szigorúan monoton növekvő, ha a 1, szigorúan monoton csökkenő, ha 0 a 1, 18

19 - Paritás: se nem páros, se nem páratlan, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete:. y Logaritmusüggvény Deiníció: Az : R + R, log Jellemzése: nevezzük. 1, ( a 0 és a 1) üggvényt a alapú logaritmusüggvénynek a - Értelmezési tartomány: R +, - Zérushely: - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: nem korlátos üggvény, - Menete: szigorúan monoton növekvő, ha a 1, szigorúan monoton csökkenő, ha, - Paritás: se nem páros, se nem páratlan, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y R. 0 a 1 a ( a 0 és a 1) a alapú eponenciális üggvény és a g: R + R, loga a és a 1) a alapú logaritmusüggvények egymásnak inverzei. Képük az y egyenletű egyenesre vonatkozóan egymás tükörképe. Megjegyzés: Az : RR +, ( 0 19

20 4. Függvénytranszormációk Függvénytranszormációkkal egy-egy üggvénytípus alapüggvényéből, a hozzárendelési szabály bizonyos megváltoztatásával ugyanolyan típusú üggvényeket állíthatunk elő. A változtatás kétéle módon történhet: - üggvényérték megváltoztatása, - változó megváltoztatása. Mindkét esetben a változtatás lehet: - konstans hozzáadása, - az előjel ellentetté változtatása, - pozitív konstanssal történő szorzás. Példa: Az ( ) üggvény (mint alapüggvény) néhány transzormációja: 1 változó transzormáció, érték transzormáció, 1 1 változó és érték transzormáció. 0

21 A üggvényérték transzormációi ( ) c A üggvény képe az y tengellyel párhuzamosan c egységgel eltolódik. A változó transzormációi ( c) A üggvény képe az tengellyel párhuzamosan c egységgel eltolódik. () A üggvény képe az tengelyre tükröződik. ( ) A üggvény képe az y tengelyre tükröződik. c () A üggvény képe az y tengellyel párhuzamosan nyúlik vagy zsugorodik c szeresére. ( c ) A üggvény képe az tengellyel párhuzamosan nyúlik vagy zsugorodik 1 c szeresére. Példa: Ábrázoljuk üggvénytranszormáció segítségével az ( ) 3 4 ( ) üggvényt! Az alapüggvény képe kétszeresére megnyúlik az y tengely mentén, tükröződik az tengelyre, 3 egységet balra, 4 egységet elelé tolódik. 1 Példa: Ábrázoljuk üggvénytranszormáció segítségével az ( ) 1 üggvényt! Ábrázolás előtt célszerű átalakítani a következő ormára: 1 1 ( ) 1. 1

22 ( ) Az alapüggvény képe kétszeresére megnyúlik az tengely mentén, egységet jobbra, egységet leelé tolódik. Példa: Ábrázoljuk üggvénytranszormáció segítségével az 4 Ábrázolás előtt célszerű átalakítani a következő ormára: 4. Az alapüggvény képe az y tengelyre, egységet jobbra, egységet leelé tolódik. 1 üggvényt! -szeresére zsugorodik az tengely mentén, tükröződik

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása . tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.

Részletesebben

Injektív függvények ( inverz függvény ).

Injektív függvények ( inverz függvény ). 04 október 6 3 Függvényábrázolások, Függvények kompozíciója ( összetett üggvény ), Bev Mat BME Injektív üggvények ( inverz üggvény ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : 3 y y 5

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak ábra: Ábra Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak III. modul: Egyváltozós valós üggvények 3. lecke: Függvénytani alapogalmak Tanulási célok: a üggvény ogalmához kapcsolódó kiejezések

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Függvények ábrázolása, jellemzése I.

Függvények ábrázolása, jellemzése I. Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés) Két nem üres A és B halmaz elemei közti kapcsolat (megfeleltetés, hozzárendelés, reláció), a két halmaz elemeiből képezhető rendezett elempároknak

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval :

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval : 0 október Függvényábrázolások, Összetett üggvény, Inverz üggvény Bev Mat BME ( Válogatás a eladatgyüjteményből ) ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : y y 5 ( tengely mentén eltolás

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat

Teljes függvényvizsgálat Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan elmélet, 9. osztály Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész:

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak I. modul: Dierenciálszámítás alkalmazásai lecke: Konveitás, elaszticitás Tanulási cél: A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Konvexitás, elaszticitás

Konvexitás, elaszticitás DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Csoportmódszer Függvények I. (rövidített változat) Kiss Károly

Csoportmódszer Függvények I. (rövidített változat) Kiss Károly Ismétlés Adott szempontok szerint tárgyak, élőlények, számok vagy fizikai mennyiségek halmazokba rendezhetők. A halmazok kapcsolatát pedig hozzárendelésnek (relációnak, leképezésnek) nevezzük. A hozzárendelés

Részletesebben

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19.

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19. Matematika 9 Tankönyv és feladatgyűjtemény Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < 2015. december 19. copyright: c Juhász László Ennek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja 2016/17 I. félév MATEMATIKA szóbeli vizsga 1 A szóbeli vizsga kötelező eleme a félév teljesítésének, tehát azok a diákok is vizsgáznak, akik a többi számonkérést teljesítették. A szóbeli vizsgán az alább

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI INBGM0101-17 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 2. gyakorlat Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz

Részletesebben

Tartalomjegyzék Feltétel nélküli szélsőérték számítás

Tartalomjegyzék Feltétel nélküli szélsőérték számítás Dr. Vincze Szilvia Példa Egy adott talajtípuson az átlagosnak megelelő időjárási viszonyok között a búza hozamát hektáronként a elhasznált nitrogén és oszor hatóanyag erősen beolyásolja. A hektáronként

Részletesebben

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak ábra: Ábra Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak VI. modul: Dierenciálszámítás. lecke: Dierenciálszámítás bevezetése Tanulási cél: A dierencia és dierenciálhányados ogalmának megismerése.

Részletesebben

Differenciálszámítás bevezetése

Differenciálszámítás bevezetése Dierenciálszámítás bevezetése Tanulási cél: A dierencia és dierenciálhányados ogalmának megismerése. Elemi derivált üggvények megadása. Érintő egyenletének értelmezése és elírása. Motivációs példa: Azt

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Függvények. Fogalom. Jelölés

Függvények. Fogalom. Jelölés Függvények Fogalom Ha egy A halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeljük egy B halmaz valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya,

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

] integrálása, parciális integrálás, résztörtekre bontás,

] integrálása, parciális integrálás, résztörtekre bontás, tematika szigorlat, analízis tételek Műszaki inormatika szak, esti tagozat. Komple számok Algebrai alak, trigonometrikus alak, eponenciális alak. Műveletek, áttérés az egyes alakok között.. Sorozatok Sorozat

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK x C: 2

FÜGGVÉNYEK x C: 2 FÜGGVÉNYEK 2005-2014 1. 2005/0511/2 Az ábrán egy [ 2; 2] intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: x x 2 2 B: x 2 2 x x

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [ Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Halmazelméleti alapfogalmak

Halmazelméleti alapfogalmak Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben