minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

Átírás

1 Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. f(x) f(x 0 ) esetén minimumhelyről és minimumértékről beszélünk. x 0 -at f helyi minimumhelyének (maximumhelyének) mondjuk, ha van x 0 -nak olyan G környezete, hogy minden x G D esetén f(x) f(x 0 ) (illetve f(x) f(x 0 )). A f függvényt monoton növekedőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha bármely x 1 < x 2, x 1, x 2 D esetén f(x 1 ) f(x 2 ) (f(x 1 ) f(x 2 )). Szigorú monotonitásról beszélünk, ha az utóbbi egyenlőtlenségekben a szigorú egyenlőtlenség jele (<) áll.

2 Határérték Definíció. Tekintsük az f: D R R függvény értelmezési tartományának egy x 0 torlódási pontját. Az f függvény x 0 - beli határértékének nevezünk egy a számot, ha bármely x 0 -hoz konvergáló x n D, x n x 0 sorozat esetében az f(x n ) sorozat konvergál a-hoz. Álĺıtás. Legyen x 0 az f: D R R függvény értelmezési tartományának egy x 0 torlódási pontja. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy f x 0 -beli határértéke a legyen, az, hogy a-nak bármely nyílt G(a, ε) környezetéhez létezzen x 0 -nak olyan nyílt G(x 0, δ) környezete, hogy ha x G(x 0, δ) D, x x 0, akkor f(x) G(a, ε).

3 Bizonyítás. A mondott feltétel elégséges: Legyen x n D, x n x 0 olyan sorozat, hogy lim x n n = x 0. Azt kell belátnunk, hogy f(x n ) a. Tekintsük a-nak egy tetszőleges G(a, ε) nyílt környezetét, a feltétel miatt van olyan δ > 0 sugarú környezete x 0 -nak, hogy ha x G(x 0, δ) D, x x 0. akkor f(x) G(a, ε). x n x 0 miatt ezen δ > 0-hoz van olyan n 0 N, hogy bármely n > n 0 -ra x n G(x 0, δ). Ekkor f(x n ) G(a, ε) minden n > n 0 esetén, azaz f(x n ) a. A feltétel szükséges: Indirekt módon bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan ε > 0 sugarú G(a, ε) nyílt környezete a-nak, melyhez x 0 -nak egyetlen G(x 0, δ) nyílt környezete sem jó. Ekkor bármely n N esetén van olyan x n G(x 0, n 1 ) D, (x n x 0 ), hogy f(x n ) G(a, ε). Ez azt jelenti, hogy bár x n x 0, de f(x n ) nem konvergál a-hoz. Ez ellentmond annak, hogy f x 0 - beli határértéke a.

4 Határérték és műveletek Álĺıtás. Legyen lim f(x) = a és x x0 lim g(x) = b. Ekkor x x0 lim x x0 (f(x) + g(x)) = a + b lim x x0 (f(x) g(x)) = a b ha g(x) 0 és b 0, akkor f(x) lim x x0 g(x) = a b. ha f(x) g(x) minden x D-re, akkor lim x x0 f(x) lim x x0 g(x)

5 ha lim f(x) = x x0 x D-re, akkor lim g(x) = a és f(x) h(x) g(x) minden x x0 lim h(x) = a. x x0 Bizonyítás. Az összeg esetében, tekintsünk egy tetszőleges x n D, x n x 0, x 0 -hoz konvergáló sorozatot: x n x 0. Ilyenkor az f(x n ) sorozat konvergál a-hoz, a g(x n ) sorozat konvergál b- hez, ezért a sorozatok konvergenciájának megfelelő tulajdonsága miatt f(x n ) + g(x n ) konvergál a + b-hez. A többi álĺıtás is ezen séma alapján igazolható. Álĺıtás. Legyenek adottak az f: D 1 R R és g: D 2 R R függvények úgy, hogy f(d 1 ) D 2. Ha lim f(x) = a, a f(d x x0 1 ), és lim x a g(x) = b, akkor lim g(f(x)) = b. x x0

6 Bizonyítás. x n x 0 = f(x n ) a = g(f(x n )) b.

7 Folytonosság Definíció. Az f: D R R függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának x 0 torlódási pontjában, ha lim f(x) = f(x x x 0 ). 0 A definíciót közvetlenül, megadhattuk volna: a határtérték fogalma nélkül is f folytonos x 0 D-ben, ha bármely x n D, x n x 0 esetén f(x n ) f(x 0 ).

8 Ha ugyanis x 0 nem torlódási pontja D-nek, akkor f(x n ) f(x 0 ) mindig teljesül, hiszen ilyenkor x n x 0 csak úgy lehet, ha x n = x 0 minden n-re legfeljebb véges sok kivételével.

9 Környezetek segítségével a folytonosság így fogalmazható meg: f: D R R pontosan akkor folytonos x 0 -ban, ha f(x 0 ) bármely nyílt G(f(x 0 ), ε) környezetéhez van x 0 -nak olyan G(x 0, δ) nyílt környezete, hogy minden x G(x 0, δ)-ra f(x) G(f(x 0 ), ε). Az abszolút érték jelével ezt gyakran formálisan így fejezik ki: ε > 0 δ > 0 : x D : x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε. A folytonosság fogalma ugyanígy definiálható akár komplex változós, akár komplex értékű függvények esetében is.

10 Folytonosság és műveletek A határérték és a műveletek kapcsolatát kifejező álĺıtások következményeként azonnal adódik, hogy ha f és g folytonos x 0 -ban, akkor f +g is folytonos x 0 -ban. ha f és g folytonos x 0 -ban, akkor f g is folytonos x 0 -ban. ha f és g folytonos x 0 -ban, g(x 0 ) 0, akkor f g x 0 -ban. is folytonos ha f folytonos x 0 -ban és g folytonos f(x 0 )-ban, akkor a g f összetett függvény is folytonos x 0 -ban.

11 Egy f függvényt folytonosnak mondunk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Álĺıtás. Ha f: [a, b] R függvény folytonos, akkor korlátos is, és felveszi abszolút maximumát és minimumát. Bizonyítás. Indirekten tegyük fel, hogy f nem korlátos, pl. felülről nem korlátos. Akkor minden n N-hez van olyan x n [a, b], hogy f(x n ) > n. Világos, hogy lim n f(x n ). Mivel {x n n N} R korlátos végtelen halmaz, ezért Bolzano-Weierstraß tétele miatt van torlódási pontja, legyen ez x 0. Mivel [a, b] zárt, x 0 [a, b]. Az x n sorozatból kiválasztható olyan részsorozat, amely x 0 -hoz konvergál, jelölje ezt x k = x nk, k N. Ilyenkor tehát x k x 0, de f( x k ). Ez ellentmond f x 0 -beli folytonosságának.

12 A függvényértékek {f(x) x [a, b]} halmaza tehát korlátos, tekintsük pontos alsó, illetve pontos felső korlátját, K 1 és K 2. Belátjuk, hogy létezik x 1 [a, b] (és x 2 [a, b]), hogy f(x 1 ) = K 1 (és f(x 2 ) = K 2 ). Mivel K 1 pontos alsó korlát, bármely n N esetén van olyan x n [a, b], hogy K 1 f(x n ) < K n. x n-ből ismét kiválasztható egy x k x 0 [a, b] konvergens részsorozat. Ekkor viszont f( x k ) K 1 és f( x k ) f(x 0 ) is teljesül, ezért K 1 = f(x 0 ). Álĺıtás. Ha f: D R R függvény folytonos x 0 -ban és f(x 0 ) 0, akkor a függvény jeltartó x 0 -ban, azaz van x 0 -nak olyan G(x 0, δ) nyílt környezete, hogy az e környezetből választott x-ekre f(x) állandó előjelű.

13 Álĺıtás. Ha f: [a, b] R folytonos függvény és f(a) < f(b), akkor bármely y 0 -hoz, melyre f(a) y 0 f(b), van olyan x 0 [a, b], hogy f(x 0 ) = y 0. Bizonyítás. Feltehetjük, hogy f(a) < y 0 < f(b). Legyen A = {x [a, b] f(x ) < y 0 }. A felülről korlátos, nem üres, ezért van pontos felső korlátja: x 0 = sup A. Ha f(x 0 ) > y 0, akkor f(x) y 0 jeltartó tulajdonsága miatt x 0 egy környezetében is f(x) y 0 > 0 teljesülne, de ekkor x 0 nem lehet felső korlát, csak ha x 0 = a. De ekkor f(a) > y 0 következne, ami ellentmondás. Ha f(x 0 ) < y 0 lenne, akkor f(x) < y 0 teljesülne szinén x 0 egy környezetében, s így nem lehet x 0 felső korlát, csak ha x 0 = b. De ekkor f(b) < y 0 következne, ami lehetetlen. Tehát csak f(x 0 ) = y 0 lehetséges.

14 Álĺıtás. Ha f: [a, b] [c, d] folytonos bijektív függvény, akkor szigorúan monoton és az inverz f 1 : [c, d] [a, b] függvény is folytonos.

15 Elemi függvények folytonossága Elemi függvénynek nevezzük a konstans 1, az x, az exponenciális a x, (a > 0), a sin x függvényekből a műveletekkel (összeadás, kivonás, szorzás, osztás), az inverzképzéssel és az összetett függvény képzésével adódó függvényeket. Mindezek a lépések folytonos függvényekből kiindulva folytonos függvényt eredményeznek. 1, x, a x, sin x folytonosságát belátva kapjuk majd, hogy az elemi függvények mind folytonosak, speciálisan pl. az összes polinomfüggvény, a logaritmusfüggvény, a gyökvonás függvénye, a trigonometrikus függvény és inverzeik, stb. mind folytonosak.

16 Álĺıtás. a) f: R R, x c függvény folytonos (c konstans) b) f: R R, x x függvény folytonos c) f: R R, x a x függvény folytonos (a > 0 konstans) d) f: R R, x sin x függvény folytonos Bizonyítás. c)-hez előbb belátjuk azt, hogy ha a > 0, b n 0, akkor a b n 1. Ugyanis, ha speciálisan b n = 1, a > 1, akkor n an 1 = 1 + h n, h n 0 felbontással ( a = an) 1 n = (1 + hn ) n 1 + n h n

17 teljesül a Bernoulli egyenlőtlenség miatt. Ebből a 1 n h n következik, amiből h n 0, an 1 1 adódik. 0 < a < 1 esetében 1 a -ra alkalmazva a most bizonyítottat, azonnal adódik az a1 n 1 konvergencia. Tetszőleges b n > 0, b n 0 sorozat esetében feltehetjük, hogy b n < 1. Ekkor minden n N-hez van olyan k n N, hogy 1 k n + 1 b n < 1 k n Könnyen látható, hogy b n 0 miatt k n. Az egyenlőtlenségből a > 1 miatt akn+1 1 a bn < akn 1

18 A baloldalon és a jobboldalon szereplő sorozatok részsorozatai az an 1 sorozatnak, ezért 1-hez konvergálnak, s így a közrefogott a b n sorozat is. Vegyes előjelű b n sorozat esetében bontsuk fel egy pozítív tagú c n és egy negatív tagú d n részsorozatra az eredetit. A pozitív tagúra, illetve negatív tagú ( 1)-szeresére alkalmazva a most bizonyítottat: a c n 1 és a d 1 n 1. A másodikból a d 1, n s reciprokát véve a d n 1. E szerint a b n mindkét részsorozata 1-hez tart, ezért a b n 1. Az a x függvény x 0 -beli folytonosságának bizonyításához tekintsünk egy x n x 0 sorozatot. Ilyenkor x n x 0 0, ezért a x n x 0 1. Tetszőlegesen választott ε > 0-hoz van olyan n 0 N, hogy a x n x 0 1 < ε a x, ha n > n 0. Ilyen n-ekre 0 a xn a x 0 = a x 0 a x n x 0 1 < a x 0 ε a x 0 = ε

19 teljesül, ami a x n a x 0 konvergenciát jelenti.

20 c) A sin x függvény x 0 -beli folytonosságának igazolásához az ε δ-s bizonyítási módot alkalmazzuk. Ismert trigonometriai képletet alkalmazva, a geometriailag nyilvánvaló sin x < x egyenlőtlenség miatt sin x sin x 0 = 2 sin x x 0 2 cos x + x 0 2 x x 0. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges ε > 0-hoz a δ = ε választás jó: ha x x 0 < δ = ε, akkor sin x sin x 0 < ε.

21 Néhány függvény határértéke 1. lim x 0 (1 + x) 1 x = e. 2. lim x 0 a x 1 x = ln a. 3. lim x 0 sin x x = 1.

22 A határérték fogalom kiterjesztése A végtelen, mint határérték Definíció. Az f: D R R függvény értelmezési tartományának x 0 torlódási pontjában a határértéke végtelen, ha bármely x n x 0, x n D, x n x 0 sorozat esetén f(x n ). Jele: lim f(x) = x x0. Itt is megadható a környezetekkel történő definíció analógiája: f x 0 -beli határértéke végtelen, ha bármely K R számhoz van olyan G(x 0, δ) nyílt környezete x 0 -nak, hogy minden ebből vett, de x 0 -tól különböző x-re f(x) > K.

23 Hasonlatosan értelmezhető a mínusz végtelenhez való tartás is. E kibővített értelmű határértékről is egyszerű tulajdonságok fogalmazhatók meg. Pl.: ha lim f(x) = és lim g(x) =, x x0 x x0 akkor lim (f(x) + g(x)) = x x0 és lim (f(x) g(x)) = x x0 ha lim x x0 f(x) = és lim x x0 g(x) > 0, akkor lim x x0 (f(x) g(x)) =.

24 Például lim x 0 1 x 2 =

25 Végtelenben vett határérték Definíció. Legyen adott az olyan f: D R R függvény, melynek értelmezési tartománya felülről nem korlátos. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a végtelenben az a szám, ha bármely x n D, x n sorozat esetén f(x n ) a. Jele: lim f(x) = a. Alulról nem korlátos értelmezési x tartomány esetében értelmezhetjük a mínusz végtelenben a függvény határértékét: lim x f(x) = a, ha bármely x n D, x n esetén f(x n ) a. E definíciókat környezetek segítségével is megadhattuk volna, pl.: lim f(x) = a, ha ε > 0 K R, hogy x D, x > K-ra x f(x) a < ε.

26 A függvény határértéke a végtelenben (vagy a mínusz végtelenben) lehet akár végtelen, akár mínusz végtelen is: pl. lim f(x) = akkor teljesül, ha minden x x n esetén f(x n ). Példa: 1 lim x x = 0, lim x log 2 x =.

27 Bal-, és jobboldali határértékek Definíció. Legyen D = [a, b], s a < x 0 < b. Az f: D R függvény x 0 -beli jobboldali határértéke végtelen, ha bármely x n D, x n > x 0, x n x 0 sorozat esetén f(x n ). A jobboldali határérték jele: lim f(x), a baloldalié: lim x x 0 +0 f(x). x x 0 0 Az f: D R R függvény balról folytonos x 0 -ban, ha bármely ε > 0-hoz van olyan δ > 0, hogy ha x (x 0 δ, x 0 ), akkor f(x) f(x 0 ) < ε. Példa: lim x x =,

28 lim tg x =, x π/2 0 az f(x) = [x] egész-rész függvény 1-ben jobbról folytonos, de balról nem. Megjegyzés. Ha az f függvénynek x 0 -ban létezik baloldali és jobboldali (véges) határértéke, de ott nem folytonos, akkor x 0 -at elsőfajú szakadási pontnak nevezzük. Ha ott jobboldali és balodali határértékük megegyezik, akkor megszüntethető sin x szakadásnak mondjuk. Pl. 0-ban megszüntethető x szakadással rendelkezik. Az egyéb nem folytonossági helyeket másodfajú szakadási helynek mondjuk, pl. 1 x 0-ban. 0-ban, vagy sin 1 x