Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26"

Átírás

1 Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26

2 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26

3 Miért van szükség közelítő módszerekre? mert a pontos formula nehézkes: x 2 x 8 = 0, x = 1± 33 2 Rekurzív sorozatok p.2/26

4 Miért van szükség közelítő módszerekre? mert a pontos formula nehézkes: x 2 x 8 = 0, x = 1± 33 2 mert a pontos formulát nem ismerjük: x 3 x 8 = 0, x = 3 ( ) ( ) Rekurzív sorozatok p.2/26

5 Miért van szükség közelítő módszerekre? mert a pontos formula nehézkes: x 2 x 8 = 0, x = 1± 33 2 mert a pontos formulát nem ismerjük: x 3 x 8 = 0, x = 3 ( ) ( ) mert nincs pontos formula: x 5 x 8 = 0, x =? Rekurzív sorozatok p.2/26

6 Miért van szükség közelítő módszerekre? mert a pontos formula nehézkes: x 2 x 8 = 0, x = 1± 33 2 mert a pontos formulát nem ismerjük: x 3 x 8 = 0, x = 3 ( ) ( ) mert nincs pontos formula: x 5 x 8 = 0, x =? Egy meglévő közelítésből csinálunk egy jobbat = rekurzió Rekurzív sorozatok p.2/26

7 A 2 közelítése Legyen x 1 := 3 2. Nyilván x 1 = 3 2 > 2, ezért 2 x 1 = 4 3 < 2. Rekurzív sorozatok p.3/26

8 A 2 közelítése Legyen x 1 := 3 2. Nyilván x 1 = 3 2 > 2, ezért 2 x 1 = 4 3 < 2. x 2 := 1 2 (x x 1 ) = Rekurzív sorozatok p.3/26

9 A 2 közelítése Legyen x 1 := 3 2. Nyilván x 1 = 3 2 > 2, ezért 2 x 1 = 4 3 < 2. x 2 := 1 2 (x x 1 ) = x 3 := 1 2 (x x 2 ) = Rekurzív sorozatok p.3/26

10 A 2 közelítése Legyen x 1 := 3 2. Nyilván x 1 = 3 2 > 2, ezért 2 x 1 = 4 3 < 2. x 2 := 1 2 (x x 1 ) = x 3 := 1 2 (x x 2 ) = x 2 3 = 2, Rekurzív sorozatok p.3/26

11 A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) Rekurzív sorozatok p.4/26

12 A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 Rekurzív sorozatok p.4/26

13 A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 x 3 := 2, Rekurzív sorozatok p.4/26

14 A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 x 3 := 2, x 4 := 2, Rekurzív sorozatok p.4/26

15 A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 x 3 := 2, x 4 := 2, x 5 := 2, Rekurzív sorozatok p.4/26

16 A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 x 3 := 2, x 4 := 2, x 5 := 2, x 6 := 2, (16 pontos jegy) Rekurzív sorozatok p.4/26

17 Newton gyökvonó módszere Legyen x 1, c > 0 és +1 := 1 2 ( + c ). Ekkor az ( ) sorozat konvergens és c. +1 := 1 2 ( + c ) mértani közepek) c = c (számtani és Rekurzív sorozatok p.5/26

18 Newton gyökvonó módszere Legyen x 1, c > 0 és +1 := 1 2 ( + c ). Ekkor az ( ) sorozat konvergens és c. +1 := 1 2 ( + c ) mértani közepek) c ( + c ) x 2 n + c 2x 2 n c x 2 n = c (számtani és Rekurzív sorozatok p.5/26

19 Newton gyökvonó módszere Legyen x 1, c > 0 és +1 := 1 2 ( + c ). Ekkor az ( ) sorozat konvergens és c. +1 := 1 2 ( + c ) mértani közepek) c = c (számtani és ( + c ) x 2 n + c 2x 2 n c x 2 n monoton és korlátos = konvergens, l. Rekurzív sorozatok p.5/26

20 Newton gyökvonó módszere Legyen x 1, c > 0 és +1 := 1 2 ( + c ). Ekkor az ( ) sorozat konvergens és c. +1 := 1 2 ( + c ) mértani közepek) c = c (számtani és ( + c ) x 2 n + c 2x 2 n c x 2 n monoton és korlátos = konvergens, l. +1 = 1 2 ( + c ) = l = 1 2 (l + c l ) = c = l2. Rekurzív sorozatok p.5/26

21 Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b Rekurzív sorozatok p.6/26

22 Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b c c c, c =: ε n c c = ε n Rekurzív sorozatok p.6/26

23 Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b c c c, c =: ε n c c = ε n b = c, a = Rekurzív sorozatok p.6/26

24 Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b c c c, c =: ε n c c = ε n b = c, a = ε n+1 := +1 c = a+b 2 ab (a b)2 8b K ε 2 n (2ε n ) 2 8 c xn Rekurzív sorozatok p.6/26

25 Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b c c c, c =: ε n c c = ε n b = c, a = ε n+1 := +1 c = a+b 2 ab (a b)2 8b K ε 2 n (2ε n ) 2 8 c xn ε n+1 K ε 2 n = a pontos tizedesjegyek száma (nagyjából) megkétszereződik Rekurzív sorozatok p.6/26

26 A π közelítése Az 1 sugarú körbe és a kör köré írható szabályos n-szögek kerülete k n és K n. α = 2π n, k n = 2n sin α 2, K n = 2n tg α 2 k n 2π, K n 2π Rekurzív sorozatok p.7/26

27 A π közelítése k n = 2n sin π n, K n = 2n tg π n k 2n = 4n sin π 2n, K 2n = 4n tg π 2n Rekurzív sorozatok p.8/26

28 A π közelítése k n = 2n sin π n, K n = 2n tg π n k 2n = 4n sin π 2n, K 2n = 4n tg π 2n sin 2β = 2 sin β cos β, 1 sin 2β + 1 tg 2β = 1 tg β, k 2n K 2n = cos π 2n Rekurzív sorozatok p.8/26

29 A π közelítése k n = 2n sin π n, K n = 2n tg π n k 2n = 4n sin π 2n, K 2n = 4n tg π 2n sin 2β = 2 sin β cos β, 1 sin 2β + 1 tg 2β = 1 tg β, k 2n K 2n = cos π 2n 2 K 2n = 1 k n + 1 K n, k 2n = k n K 2n (harmonikus, ill. mértani közép) Rekurzív sorozatok p.8/26

30 A π közelítése 2 K 2n = 1 k n + 1 K n, k 2n = k n K 2n (harmonikus, ill. mértani közép) A közepeket ismerve: k n k 2n K 2n K n k 3 k 6 k 12 K 12 K 6 K 3 Rekurzív sorozatok p.9/26

31 A π közelítése 2 K 2n = 1 k n + 1 K n, k 2n = k n K 2n (harmonikus, ill. mértani közép) A közepeket ismerve: k n k 2n K 2n K n k 3 k 6 k 12 K 12 K 6 K 3 A (k 3 2 n) sorozat növő és felülről korlátos, a (K 3 2 n) sorozat csökkenő és alulról korlátos = konvergensek Rekurzív sorozatok p.9/26

32 A π közelítése 2 K 2n = 1 k n + 1 K n, k 2n = k n K 2n (harmonikus, ill. mértani közép) A közepeket ismerve: k n k 2n K 2n K n k 3 k 6 k 12 K 12 K 6 K 3 A (k 3 2 n) sorozat növő és felülről korlátos, a (K 3 2 n) sorozat csökkenő és alulról korlátos = konvergensek K 2n k 2n 1 4 K n k n = a hiba lépésenként negyedére csökken Rekurzív sorozatok p.9/26

33 Arkhimédesz eredménye n k n = K n = 3 5, , , , , , , , , , , , π 6, Rekurzív sorozatok p.10/26

34 Egy általános módszer Egy függvény zérushelyét keressük Az pontban az érintő egyenlete y = f ( )(x ) + f( ) Rekurzív sorozatok p.11/26

35 A Newton Raphson rekurzió Az pontban az érintő egyenlete y = f ( )(x ) + f( ) A rekurzió: +1 = f() f ( ) Rekurzív sorozatok p.12/26

36 A Newton Raphson rekurzió Az pontban az érintő egyenlete y = f ( )(x ) + f( ) A rekurzió: +1 = f() f ( ) f(x) := x 2 c +1 = x2 n c 2 +1 = 1 2 ( + c ) Rekurzív sorozatok p.12/26

37 A Newton Raphson rekurzió Az pontban az érintő egyenlete y = f ( )(x ) + f( ) A rekurzió: +1 = f() f ( ) f(x) := x 2 c +1 = x2 n c 2 +1 = 1 2 ( + c ) Ha f(x) := x 3 c +1 = x3 n c 3x 2 n +1 = 1 3 (2 + c x (köbgyökvonás) n) 2 Rekurzív sorozatok p.12/26

38 Az általános tétel Legyen f kétszer differenciálható [a, b]-n, f(a) < 0 < f(b), és f (x) > 0, f (x) 0 (x [a, b]). Ekkor az x 0 := b, +1 = f() f ( ) sorozat a függvény egyetlen zérushelyéhez konvergál. Bizonyítás-vázlat: f folytonos és szigorúan növő pontosan 1 zérushelye ( =: c) van. Rekurzív sorozatok p.13/26

39 Az általános tétel Legyen f kétszer differenciálható [a, b]-n, f(a) < 0 < f(b), és f (x) > 0, f (x) 0 (x [a, b]). Ekkor az x 0 := b, +1 = f() f ( ) sorozat a függvény egyetlen zérushelyéhez konvergál. Bizonyítás-vázlat: f folytonos és szigorúan növő pontosan 1 zérushelye ( =: c) van. A definícióból +1. f konvex a c, közötti húrnál az -beli érintő meredekebb c +1. Rekurzív sorozatok p.13/26

40 Az általános tétel Legyen f kétszer differenciálható [a, b]-n, f(a) < 0 < f(b), és f (x) > 0, f (x) 0 (x [a, b]). Ekkor az x 0 := b, +1 = f() f ( ) sorozat a függvény egyetlen zérushelyéhez konvergál. Bizonyítás-vázlat: f folytonos és szigorúan növő pontosan 1 zérushelye ( =: c) van. A definícióból +1. f konvex a c, közötti húrnál az -beli érintő meredekebb c +1. A sorozat csökkenő és alulról korlátos l, l = l f(l) f (l) f(l) = 0. Rekurzív sorozatok p.13/26

41 Az általános tétel Legyen f kétszer differenciálható [a, b]-n, f(a) < 0 < f(b), és f (x) > 0, f (x) 0 (x [a, b]). Ekkor az x 0 := b, +1 = f() f ( ) sorozat a függvény egyetlen zérushelyéhez konvergál. Bizonyítás-vázlat: f folytonos és szigorúan növő pontosan 1 zérushelye ( =: c) van. A definícióból +1. f konvex a c, közötti húrnál az -beli érintő meredekebb c +1. A sorozat csökkenő és alulról korlátos l, l = l f(l) f (l) f(l) = 0. ha f csökkenő és/vagy konkáv hasonló Rekurzív sorozatok p.13/26

42 Egy példa cos x = x 3 = +1 := + cos x 3 n sin +3x 2 n x 0 = 0,5... x 1 = 1,1... x 2 = 0,9... x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0, x 6 = 0, Rekurzív sorozatok p.14/26

43 Még egy példa x 3 x + 1 = 0 = +1 := x3 n +1 3x 2 n 1 x 0 = 1 x 1 = 1,5 x 2 = 1, x 3 = 1, x 4 = 1, x 5 = 1, x 6 = 1, Rekurzív sorozatok p.15/26

44 Ellenpéldák Az e x 2x = 0 egyenletre a sorozat 0, 1, 0, 1,...?? (Persze ennek az egyenletnek nincs megoldása.) Rekurzív sorozatok p.16/26

45 Ellenpéldák Az e x 2x = 0 egyenletre a sorozat 0, 1, 0, 1,...?? (Persze ennek az egyenletnek nincs megoldása.) A módszer általában nem működik jól, ha a függvénynek többszörös zérushelye vagy inflexiós pontja van. Rekurzív sorozatok p.16/26

46 Ellenpéldák Az e x 2x = 0 egyenletre a sorozat 0, 1, 0, 1,...?? (Persze ennek az egyenletnek nincs megoldása.) A módszer általában nem működik jól, ha a függvénynek többszörös zérushelye vagy inflexiós pontja van. animáció: garrett/qy/newton.html Rekurzív sorozatok p.16/26

47 Milyen gyors a módszer? Tegyük fel az eddigiek mellé, hogy 0 < m < f (x) < M, 0 f (x) L (x [a, b]). Bizonyítás-vázlat: Taylor kifejtés: f(x) = f( )+f ( )(x )+ 1 2 f (d)(x ) 2 ( < d < x) Rekurzív sorozatok p.17/26

48 Milyen gyors a módszer? Tegyük fel az eddigiek mellé, hogy 0 < m < f (x) < M, 0 f (x) L (x [a, b]). Bizonyítás-vázlat: Taylor kifejtés: f(x) = f( )+f ( )(x )+ 1 2 f (d)(x ) 2 ( < d < x) x = c 0 = f(c) = f( ) + f ( )(c ) f (d)(c ) 2 Rekurzív sorozatok p.17/26

49 Milyen gyors a módszer? Tegyük fel az eddigiek mellé, hogy 0 < m < f (x) < M, 0 f (x) L (x [a, b]). Bizonyítás-vázlat: Taylor kifejtés: f(x) = f( )+f ( )(x )+ 1 2 f (d)(x ) 2 ( < d < x) x = c 0 = f(c) = f( ) + f ( )(c ) f (d)(c ) 2 +1 c = 1 2 f (d) f ( ) (c ) 2 Rekurzív sorozatok p.17/26

50 Milyen gyors a módszer? Tegyük fel az eddigiek mellé, hogy 0 < m < f (x) < M, 0 f (x) L (x [a, b]). Bizonyítás-vázlat: Taylor kifejtés: f(x) = f( )+f ( )(x )+ 1 2 f (d)(x ) 2 ( < d < x) x = c 0 = f(c) = f( ) + f ( )(c ) f (d)(c ) 2 +1 c = 1 2 f (d) f ( ) (c ) 2 ε n+1 := +1 c 1 2 L m (c ) 2 K ε 2 n Rekurzív sorozatok p.17/26

51 A buta számítógép Négyzetgyök, π, harmadfokú egyenlet... Mi van, ha osztani sem tudunk? Rekurzív sorozatok p.18/26

52 A buta számítógép Négyzetgyök, π, harmadfokú egyenlet... Mi van, ha osztani sem tudunk? az 1 a szám az 1 x a = 0 egyenlet megoldása Rekurzív sorozatok p.18/26

53 A buta számítógép Négyzetgyök, π, harmadfokú egyenlet... Mi van, ha osztani sem tudunk? az 1 a szám az 1 x a = 0 egyenlet megoldása +1 = f() f ( ) = 2 a x 2 n Rekurzív sorozatok p.18/26

54 A buta számítógép Négyzetgyök, π, harmadfokú egyenlet... Mi van, ha osztani sem tudunk? az 1 a szám az 1 x a = 0 egyenlet megoldása +1 = f() f ( ) = 2 a x 2 n a = 3, x 0 := 0,5 x 1 = 0,25 x 2 = 0,3125 x 3 = 0, x 4 = 0, Rekurzív sorozatok p.18/26

55 Egy másik érdekesség cos 0 = 1, cos 1 = , cos 0, = 0, cos 0, = 0, := cos konvergens sorozat, l, l = cos l Rekurzív sorozatok p.19/26

56 Egy másik érdekesség cos 0 = 1, cos 1 = , cos 0, = 0, cos 0, = 0, := cos konvergens sorozat, l, l = cos l Rekurzív sorozatok p.19/26

57 A módszer +1 := f( ) Függőlegesen a függvénygörbére, vízszintesen a negyedfelezőre Rekurzív sorozatok p.20/26

58 A módszer Ha a függvény meredek, sorozatunk nem konvergens Rekurzív sorozatok p.21/26

59 A fixpont-iteráció Legyen az f : [a, b] [a, b] függvény olyan, hogy f(x) f(y) q x y, ahol 0 < q < 1. Ekkor az x 0 [a, b], +1 := f( ) sorozat konvergens, l, ahol l = f(l). a függvény összehúzó (kontraktív); l fixpont Rekurzív sorozatok p.22/26

60 A bizonyítás vázlata legfeljebb egy fixpont lehet; a függvény folytonos; ha ( ) konvergens, határértéke csak a fixpont lehet Rekurzív sorozatok p.23/26

61 A bizonyítás vázlata legfeljebb egy fixpont lehet; a függvény folytonos; ha ( ) konvergens, határértéke csak a fixpont lehet +1 = f( ) f( 1 ) = q 1 = q = = q n x 1 x 0 Rekurzív sorozatok p.23/26

62 A bizonyítás vázlata legfeljebb egy fixpont lehet; a függvény folytonos; ha ( ) konvergens, határértéke csak a fixpont lehet +1 = f( ) f( 1 ) = q 1 = q = = q n x 1 x 0 +p +p +p 1 + +p 1 +p p x 1 x 0 (q n+p 1 + q n+p q n ) = x 1 x 0 q n 1 q p 1 q 0 Rekurzív sorozatok p.23/26

63 A bizonyítás vázlata legfeljebb egy fixpont lehet; a függvény folytonos; ha ( ) konvergens, határértéke csak a fixpont lehet +1 = f( ) f( 1 ) = q 1 = q = = q n x 1 x 0 +p +p +p 1 + +p 1 +p p x 1 x 0 (q n+p 1 + q n+p q n ) = x 1 x 0 q n 1 q p 1 q 0 Ha n elég nagy, +p tetszőlegesen kicsi lesz ( ) konvergens (Cauchy-kritérium) Rekurzív sorozatok p.23/26

64 Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 Rekurzív sorozatok p.24/26

65 Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 tudjuk: f(x + h) f(x) + f (x) h Rekurzív sorozatok p.24/26

66 Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 tudjuk: f(x + h) f(x) + f (x) h +1 = f( ) l + ε n+1 = f(l + ε n ) Rekurzív sorozatok p.24/26

67 Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 tudjuk: f(x + h) f(x) + f (x) h +1 = f( ) l + ε n+1 = f(l + ε n ) l + ε n+1 = f(l) + f (l) ε n Rekurzív sorozatok p.24/26

68 Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 tudjuk: f(x + h) f(x) + f (x) h +1 = f( ) l + ε n+1 = f(l + ε n ) l + ε n+1 = f(l) + f (l) ε n ε n+1 = f (l) ε n ( f (l) < 1, mert f lapos) Rekurzív sorozatok p.24/26

69 Egyenletek megoldása x 2 x 2 = 0 megoldása: x = x + 2 működik a módszer x = x 2 2 nem működik a módszer Animáció: math/courses/na/nc/fixedpointiteration.html Rekurzív sorozatok p.25/26

70 Köszönöm a figyelmet! Rekurzív sorozatok p.26/26

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0 Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

A végtelen a matematikában Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet.

A végtelen a matematikában Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet. A végtelen a matematikában Radnóti Gimnázium 203. 04. 23. Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj 2 Pólya György: Ha a tudomány

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106

Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106 Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 17.

FELVÉTELI VIZSGA, július 17. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén

Részletesebben

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja! Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

SZTE TTIK Bolyai Intézet

SZTE TTIK Bolyai Intézet Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12. Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor

Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 22. Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

A Newton-Raphson iteráció kezdeti értéktől való érzékenysége

A Newton-Raphson iteráció kezdeti értéktől való érzékenysége Szénási Eszter SZTE TTIK Matematika BSc, Numerikus matematika projekt 2015. november 30. A Newton-Raphson iteráció kezdeti értéktől való érzékenysége Medencék (attraktorok) színezése 2 Newton_project-szenasi.nb

Részletesebben

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása 5 Tartalomjegyzék Bevezetés.......................................................... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán........... 11 B) Egyváltozós függvényegyenletek megoldása....................

Részletesebben

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben

Részletesebben

Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán

Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás

Részletesebben

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

Kalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK

Kalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,

Részletesebben