ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
|
|
- Klára Feketené
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Unported Licenc feltételeinek megfelelően szabadon felhasználható. 1
2 1. Definiálja a metrikus teret! Legyen M. Az (M, ϱ) párt metrikus térnek nevezzük, ha ϱ: M M R és 1. ϱ(x, y) 0 ( x, y M), 2. ϱ(x, y) = 0 x = y, 3. ϱ(x, y) = ϱ(y, x) ( x, y M), 4. ϱ(x, y) ϱ(x, z) + ϱ(z, y) ( x, y, z M). Ahol ϱ a metrika, ϱ(x, y) az x és y távolsága. 2. Hogyan értelmeztük az (R n, ϱ 2 ) metrikus teret? (R n n, ϱ 2 ) metrikus tér, ahol ϱ 2 (x, y) := (x i y i ) 2. i=1 3. Fogalmazza meg a Cauchy-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenséget! a i, b i R i = 1,... n. Ekkor n a i b i n a 2 i n b 2 i. i=1 i=1 i=1 Egyenlőség b i = 0 i = 1,... n vagy λ R : a i = λb i i = 1,... n. 4. Irja le a normált tér definícióját! (X, ) normált tér, ha 1. X lineáris vektortér R felett, 2. : X R és i, x 0 ( x X), ii, x = 0 x = 0, iii, λx = λ x ( x X, λ R), iv, x + y x + y ( x, y X). 5. Definiálja R n -en a 2 (1 p + ) normát! 6. Hogyan értelmezzük az (R n, 2 ) normált térben egy pont környezetét? (R n, 2 ) normált tér, a R n, r > 0. K r (a) := {x R n : x a 2 < r} az a r-sugarú környezete vagy az a közepű r-sugarú nyílt gömb. 2
3 7. Mit jelent az, hogy egy (R n, 2 )-beli sorozat konvergens? (R n, 2 ) normált tér, (a k ): N R n vektorsorozat konvergens, ha α R n, ε > 0 k 0 N, k k 0 : a k α 2 < ε. Jelölés: α = lim a k. 8. Milyen ekvivalens állításokat ismer normált térbeli sorozat konvergenciájára? (R n, 2 ) normált tér, (a k ): N R n. Ekkor a következő tulajdonságok ekvivalensek: 1. (a k ) konvergens, 2. α R n, ε > 0 k 0 N, k k 0 : a k K ε (α), 3. α R n lim a k α 2 = Fogalmazza meg normált térbeli konvergens sorozatok alaptulajdonságait! (R n, 2 ) norrmált tér, (a k ): N R n. Ekkor 1. Ha (a k ) konvergens és lim a k = α, akkor i,! α, ii, (a k ) korlátos, iii, ν : N N indexsorozatra lim a ν(k) = α 2. ν 1, ν 2 : N N indexsorozat. Ha lim a ν1 (k) lim a ν2 (k), akkor (a k ) divergens. 10. Milyen műveleti tételeket ismer normált térbeli konvergens sorozatokra? (R n, 2 ) normált tér, (a k ), (b k ): N R n sorozatok konvergensek, α = lim a k, β = lim b k. Ekkor 1. (a k + b k ) is konvergens, és lim(a k + b k ) = α + β, 2. (λa k ) is konvergens, és lim(λa k ) = λα (λ R). 11. Hogyan jellemezhető R n -beli sorozat konvergenciája a koordinátasorozatokkal? Ekkor (a k ): N R n, a k = (a (1) k, a(2) k,..., a(n) k ) Rn. lim a k = α, k α = (α (1),..., α (n) ) R n lim a (i) k = α (i) ( i = 1,... n). k 12. Mit jelent az, hogy egy normált térbeli sorozat Cauchy-sorozat? (a k ): N R n Cauchy sorozat, ha ε > 0, k 0, k, l k 0 : a k a l < ε. 3
4 13. Milyen kapcsolat van normált térben a Cauchy-sorozatok és a konvergens sorozatok között? (a k ): N R n konvergens Cauchy sorozat. 14. Definiálja a torlódási pont fogalmát! A R n, a R n az A torlódási pontja, ha K(a) : K(a) \ {a} A. Jelölés: A a torlódási pontok halmaza. 15. Milyen ekvivalens állításokat ismer a torlódási pontról? a A K(a) : K(a) A végtelen halmaz a A (a k ): N A injektív sorozat: lim a k = a. 16. Definiálja a belső pont fogalmát! a R n belső pontja A R n -nek, ha K(a) A. 17. Mi a nyílt halmaz definíciója? A R n halmaz nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont. 18. Milyen állításokat ismer zárt halmaz jellemzésére? A R n zárt A A, A R n zárt (a k ): N A konvergens sorozatra lim a k = α A. 19. Fogalmazza meg a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt! Ha az (a k ): N R n korlátos sorozat, akkor kiválasztható egy (a k ) ν = (a νk ) konvergens részsorozat. 20. Definiálja a normált terek közötti leképezések határértékét! f R n R m (n, m 1), a D f. f-nek határértéke a-ban, ha A R m, ε > 0 δ > 0, x K δ (a) \ {a} D f : f(x) K ε (A) A R m, ε > 0, δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) A < ε. 21. Definiálja a normált terek közötti leképezések pontbeli folytonosságát! f R n R m folytonos az a D f pontban, ha ε > 0 δ > 0, x K δ (a) D f : f(x) K ε (f(a)) ε > 0 δ > 0, x D f, x a < δ : f(x) f(a) < ε. Jelölés: lim f = A, f C(a). a 22. Hogyan szól a folytonosságra vonatkozó átviteli elv? f R n R m, a D f. Ekkor f C(a) (x k ): N D f, lim x k = a : lim f(x k ) = f(a). 4
5 23. Mit tud a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény értékkészletéről? Ha f R n R m folytonos függvény és D f korlátos és zárt, akkor R f is korlátos és zárt. 24. Mondja ki a Weierstrass tételt! Ha f R n R folytonos függvény, D f korlátos és zárt, akkor max f és min f. 25. Mit tud a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény inverzéről? Ha f R n R m folytonos függvény, D f korlátos és zárt, f injektív, akkor f 1 folytonos. 26. Definiálja az egyenletes folytonosságot! f R n R m függvény egyenletesen folytonos, ha ε > 0 δ > 0, x, y D f, x y < δ : f(x) f(y) < ε. 27. Mondja ki a Heine-tételt! Ha f R n R m függvény folytonos, D f korlátos és zárt, akkkor f egyenletesen folytonos. 28. Mi a kontrakció definíciója? X R n, f : X X kontrakció, ha 0 q < 1 : f(x) f(y) q x y ( x, y X). 29. Fogalmazza meg a Banach-féle fixpont-tételt! X R n, f : X X kontrakció, X zárt. Ekkor i, f-nek! fixpontja, azaz! x X : f(x ) = x, ii, Ha x 0 X tetszőleges, x n+1 := f(x n ), akkor (x n ): N X konvergens és lim x n = x, iii, x n x qn 1 q x 1 x 0 (n N). 30. Mit jelent az, hogy egy L: R n R m leképezés lineáris? L: R n R m lineáris leképezés, ha Jelölés: α(r n, R m ). L(αx + βy) = αl(x) + βl(y) ( x, y R n α, β R). 31. Milyen normát értelmeztünk lineáris leképezésekre? L α(r n, R m ) operátornormája L := sup{ L(h) : h 1}. 5
6 32. Milyen egyenlőtlenséget ismer lineáris leképezések normájára? L(h) L h (h R n ). 33. Írja le az f R n R m függvény pontbeli (totális) deriválhatóságának a definícióját! f R n R m deriválható az a int D f pontban, ha Ekkor L = f (a). L α(r n, R m ) : lim h 0 f(a + h) f(a) L(h) h = Milyen ekvivalens átfogalmazást ismer a pontbeli deriválhatóságra a lineáris közelítéssel? f R n R m, a int D f. f D(a) L α(r n, R m ), ε: R n R m, lim 0 ε = 0 : f(a+h) f(a) = L(h)+ε(h) h 35. Milyen ekvivalens átfogalmazást ismer a pontbeli deriválhatóságra mátrixokkal? f R n R m, a int D f. f D(a) A R m n f(a + h) f(a) Ah : lim = 0 h 0 h A R m n, ε: R n R m, lim ε = 0 : f(a + h) f(a) = Ah + ε(h) h. 0 Ekkor f (a) = A. 36. Milyen kapcsolat van a pontbeli deriválhatóság és folytonosság között? f (R n, R m ), a int D f. Ekkor i, f D(a) f C(a), ii, f D(a) f C(a). 37. A deriválhatóság és a koordináta függvények deriválhatósága közötti kapcsolat. f R n R m, a int D f, f = f 1. f m koordináta függvény. Ekkor f 1(a) f D(a) f i D(a) (i = 1,..., m) és f (a) =.. f m(a) 6
7 38. Adja meg a kompozíció függvény deriváltját! g R n R m, a int D g, g D(a), f R m R k, f D(g(a)), R g D f. Ekkor f g D(a) és (f g) (a) = f (g(a)) g (a). 39. Adja meg az R n R típusú függvény parciális deriváltjainak a fogalmát! f R n R, a int D f. Legyen F (t) := f(a + t e i ), t K(a) R, (e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0)). Ekkor f-nek parciális deriváltja az i-edik változó szerint az a pontban, ha F D(a) (F R R). A parciális derivált = F (a). Jelölés: δ i f(a) = F (a). 40. Milyen tételt ismer a deriváltmátrix előállítására? f 1 f R n R m, a int D f, f D(a), f =., ahol f i R n R koordináta függvények. Ekkor f m δ 1 f 1 (a), δ 2 f 1 (a),..., δ n f 1 (a) f δ 1 f 2 (a), δ 2 f 2 (a),..., δ n f 2 (a) (a) =. Rm n δ 1 f m (a), δ 2 f m (a),..., δ n f m (a) 41. Milyen elégséges feltételt ismer a totális deriválhatóságra a parciális deriváltakkal? f R n R, a int D f. Ha K(a) D f, hogy i, δ i f(x) x K(a) (i = 1,..., n), ii, δ i f C(a) akkor f D(a). ( i = 1,..., n), 42. Definiálja az iránymenti deriváltat! f R n R, a int D f, e R n egységvektor, azaz e = 1. Legyen F (t) := f(a + t e), ahol t K(a) R. Az f e iránymenti deriváltja létezik az a pontban, ha F D(0) (F R R). F (0) az iránymenti derivált. Jelölés: δ e f(a). 43. Milyen képletet ismer az iránymenti derivált kiszámolására? f R n R, a int D f. Ekkor f D(a) δ e f(a) e egységvektor esetén, és δ e f(a) = f (a) e, 7
8 44. Mit jelent az, hogy egy függvény kétszer deriválható egy pontban? f R n R, a int D f. Ekkor f kétszer deriválható (f D 2 (a)), ha i, K(a) D f : f D(K(a)), ii, δ i f D(a) i = 1,..., n. 45. Mit jelent az, hogy egy függvény s + 1-szer deriválható egy pontban? f R n R, a int D f. Ekkor f (s + 1)-szer deriválható a-ban ha i, K(a), hogy f D (s) (K(a)), ii, Minden s-edrendű parciális derivált δ i1 δ i2... δ is f D(a). Jelölés: f D (s+1) (a). 46. Fogalmazza meg a Young-tételt! f R n R, f D 2 (a). Ekkor δ i δ j f(a) = δ j δ i f(a) (i, j = 1,..., n). 47. Adja meg a Taylor-polinom definícióját! f R n R, f D m (a). Az f m-edik Taylor-polinomja: m T m f(x) = T m f(a + h) = f(a) + k=1 i =k δ i f(a) h i. i! 48. Milyen képletet ismer az elsősfokú n változós Taylor-polinomra? T 1,a f(h) = f(a) + n δ j f(a) h j. j=1 49. Milyen képletet ismer a másodfokú n változós Taylor-polinomra? T 2,a f(h) = f(a) + n ( n δ j f(a) h j + δ kl f(a) h k h l + n ) δ ssf(a) h 2 2 s. j=1 k=1 l=1 k l s=1 50. Fogalmazza meg a Taylor-formulát a Lagrange-féle maradéktaggal f R n R, f D m+1 (K(a)). Ekkor h R n, a + h K(a), ν (0, 1) : m δ i f(a) f(a + h) = f(a) + h i + δ i f(a + νh) h i. k=1 i! i! i =k i =m+1 }{{} T mf(a+h) 51. Fogalmazza meg a Taylor-formulát a Peano-féle maradéktaggal! f R n R, f C m (a). Ekkor ε: R n R, lim 0 ε = 0 : f(a + h) = f(a) + m k=1 i =k δ i f(a) i! h i + ε(h) h m ( h K(a)). 8
9 52. Adja meg a kvadratikus alak definícóját! Legyen A R n n szimmetrikus. Ekkor Q(h) = A h, h = kvadratikus alaknak nevezzük. n n i=1 j=1 a i,j h j h i függvényt 53. Mit jelent az, hogy egy kvadratikus alak pozitív(negatív definit)? A R n n. Az A Q kvadratikus alakja pozitív (negatív) definit, ha Q(h) > 0 (Q(h) < 0) h R n \ {0}. 54. Mit jelent az, hogy egy kvadratikus alak pozitív (negatív) szemidefinit? A R n n. Az A Q kvadratikus alakja pozitív (negatív) szemidefinit, ha Q(h) 0 (Q(h) 0) h R n. 55. Milyen szükséges és elégséges feltételt ismer arra vonatkozóan, hogy egy kvadratikus alak pozitív definit legyen? (Sylvester-kritérium) Legyen a 1,1,..., a 1,n A =.. Rn n a n,1,..., a n,n a 1,1,..., a 1,i szimmetrikus, és legyen i := det... a i,1,..., a i,i Ekkor A pozitív definit i > 0 i = 1,..., n. 56. Milyen szükséges és elégseges feltételt ismer arra vonatkozóan, hogy egy kvadratikus alak negatív definit legyen? (Sylvester-kritérium) Legyen a 1,1,..., a 1,n A =.. Rn n a n,1,..., a n,n a 1,1,..., a 1,i szimmetrikus, és legyen i = det... a i,1,..., a i,i Ekkor A negatiív definit 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0, Milyen egyenlőtlenség biztosítja, hogy egy kvadratikus alak pozitív legyen? Q pozitív definit m > 0 : Q(h) m h 2 (h R n ). 58. Milyen egyenlőtlenség biztosítja, hogy egy kvadratikus alak negatív legyen? Q negatív definit M < 0 : Q(h) M h 2 (h R n ). 9
10 59. Fogalmazza meg az R n R típusú függvény lokális szélsőértékére vonatkozó elsőrendű szükséges feltételt! f R n R, a int D f, f D(a), f-nek lokális szélsőértéke van a-ban. Ekkor f (a) = Fogalmazza meg az R n R típusú függvény lokális szélsőértékére vonatkozó másodrendű elégséges feltételt! f R n R, f C 2 (a). Ha f (a) = 0 és f (a) pozitív (negatív) definit, akkor f-nek lokális minimuma (maximuma) a-ban. 61. Fogalmazza meg az R n R típusú függvény lokális szélsőértékére vonatkozó másodrendű szükséges feltételt! f R n R, f C 2 (a). Ha f-nek lokális minimuma (maximuma) van a-ban, akkor f (a) = 0 és f (a) pozitív (negatív) szemidefinit. 62. Fogalmazza meg a paraméteres integrál tételét! Legyen U R n nyílt, I = [a, b] R zárt, és f : U I R (f R n+1 R) folytonos. Ekkor i, ϕ folytonos U-n. ii, Ha δ i f, és folytonos U-n, akkor δ i ϕ és folytonos U-n a és δ i ϕ(x) = (x U). 63. Mi az alsó közelítő összeg definíciója? f : I R korlátos, I korlátos és zárt intervallum. Ekkor s(f, τ) := J τ inf J f µ(j) az alsó közelítő összeg, ahol τ F(I) és µ(i) = (b 1 a 1 )... (b n a n ). b a δ i f(x, t)dt 64. Mi a felső közelítő összeg definíciója? f : I R korlátos, I korlátos és zárt intervallum. Ekkor S(f, τ) := J τ sup f µ(j) J a felső közelítő összeg, ahol τ F(I) és µ(i) = (b 1 a 1 )... (b n a n ). 65. Milyen viszony van az alsó és felső közelítő összegek között? τ, σ F(I), akkor s(f, τ) S(f, σ). 66. Mi a Darboux-féle alsó integrál definíciója? I f := sup s(f, τ) az alsó Darboux-féle integrál. τ F(I) 10
11 67. Mi a Darboux-féle felső integrál definíciója? I f := inf S(f, τ) az felső Darboux-féle integrál. τ F(I) 68. Mikor nevez egy függvényt (Riemann)-integrálhatónak? f : I R korlátos függvény integrálható (f R(I)), ha I f = I f. Jele: I f = f. I 69. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények összegével kapcsolatban tanult tétel? f, g : I R korlátos, f, g R(I). Ekkor f + g R(I) és f + g = f + g. I I I 70. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények szorzatával kapcsolatban tanult tétel? f, g : I R korlátos, f, g R(I). Ekkor fg R(I). 71. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények hányadosával kapcsolatban tanult tétel? f, g : I R korlátos, f, g R(I). Ekkor ha g(x) m > 0 x I-re, akkor f g R(I). 72. Mi a kapcsolat a folytonosság és a Riemann-integrálhatóság között? 73. Mit ért azon, hogy a Riemann-integrál az integrandusban monoton? 74. Mi az integrálszámítás középértéktétele? 75. Fogalmazza meg a szukcesszív integrálásról szóló tételt! 76. Mi a normáltartomány definíciója? [a, b] R korlátos és zárt, ϕ, ψ : [a, b] R folytonos, ϕ(x) ψ(x) x [a, b]-re. A H = {(x, y): a x b, ϕ(x) y ψ(x)} halmazt normáltartománynak nevezzük. 77. A normáltartományon való integrálás szabálya.) H R 2 normáltartomány, f : H R folytonos. Ekkor H b ( ψ(x) ) f = f(x, y)dy dx. a ϕ(x) 11
12 78. Mondja ki az integráltranszformációról tanult tételt! U, V R n korlátos halmazok, U nyílt, ϕ: U V folytonosan differenciálható bijekció, és det ϕ 0 U-n. f : V R folytonos. Ekkor V f = (f ϕ) det ϕ. U 12
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
RészletesebbenKalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenMolnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0
Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenAnalízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor
Analízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor Bodrogné Réffy Júlia, Horváth Róbert 2018/19. II. félévtől Tantárgykód: BMETE90AX20 Félév: 2018/19. tavasz Nyelv: magyar
RészletesebbenTöbbváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév
Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 214/215 tavaszi félév Kurzus adatai: Tárgy előadója: Gyakorlatvezető: Kurzus neve: Kurzus típusa: Kurzus kódja: Bessenyei
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenEGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2007/8 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2007/8 tanév, II. félév 1 / 186 Félévközi
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar 2014. február 16. Losonczi László, Pap Gyula (DE, KTK) Gazdasági matematika II. 2014. február
RészletesebbenFraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
RészletesebbenAlkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/10 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/10 tanév, II. félév 1 / 187 Félévközi
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,
RészletesebbenRekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő
RészletesebbenKiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenItô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék
Itô-formula A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája Medvegyev Péter Matematika tanszék 2008 Medvegyev (Corvinus Egyetem) Itô-formula 2008 1 / 39 Az Itô-formula Theorem Ha F kétszer folytonosan
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenFolytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor
Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 22. Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA
ANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA matematikatanár szakosok részére (2006/2007) Az els négy félév anyaga 1. Halmazokkal és függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 2. A valós számok 3. Valós számsorozat határértéke
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenDifferenciálszámítás normált terekben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenMatematikai analízis 1. Szász Róbert
Matematikai analízis Szász Róbert . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0,
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenANALÍZIS TANÁROKNAK II.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar CSÖRGŐ ISTVÁN ANALÍZIS TANÁROKNAK II. az Informatika Minor Szak hallgatói számára nappali és levelező tagozat Budapest, 2008. november A jegyzet az ELTE IK
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenFourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.
Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180 Félévközi
RészletesebbenVizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42
Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenIntegr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.
Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges
Részletesebben1. Számsorozatok és számsorok
1. Számsorozatok és számsorok 1.1. Számsorozatok A számsorozatok egyszer függvények, amelyek hasznos épít kövei lesznek a kés bbi fogalmaknak. 1.1 Deníció. Az a : IN IR típusú függvényeket (valós) számsorozatoknak
RészletesebbenKurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
Részletesebben