Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Átírás

1 Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Az F :], b[ R függvényt z f függvény primitív függvényének vgy htároztln integráljánk nevezzük, h z F függvény differenciálhtó z ], b[ intervllumon és F (x) = f (x) teljesül minden x ], b[ esetén. Az F függvényre z f vgy z f (x)dx jelölést hsználjuk. 2. Ismertesse htároztln integrál lineritásár vontkozó állítást. Válsz. Legyenek f, g :], b[ R olyn függvények, melyekre létezik f és g, legyenek továbbá α, β R tetszőleges konstnsok. Ekkor létezik α f + β g is, és létezik olyn C R, hogy α f (x) + β g(x)dx = α 3. Ismertesse prciális integrálás tételét htároztln integrálr. f (x)dx + β g(x)dx + C. Válsz. H z f, g :], b[ R függvények differenciálhtók ], b[-n, és létezik f g, kkor létezik f g is, és létezik olyn C R konstns, hogy f (x) g (x)dx = f (x) g(x) f (x) g(x)dx + C. (x ], b[) 4. Ismertesse helyettesítéses integrálás tételét htároztln integrálr. Válsz. H f :], b[ R, g :]c, d[ ], b[ olyn függvények, melyek esetén létezik g :]c, d[ R és létezik f is, kkor létezik ( f g) g is, és vn olyn C R, hogy (( f (g(x)) g (x)dx = ) ) f g (x) + C = f (t)dt + C. t=g(x) (x ]c, d[) 5. Legyen α R. Mennyivel egyenlő x α dx? Válsz. x α 1 dx = α+1 xα+1 + C h α 1, ln x + C h α = 1, 6. Mennyivel egyenlő e x dx? 1

2 Válsz. e x dx = e x + C e x dx = e x 7. Mennyivel egyenlő cos(x)dx? Válsz. cos(x) dx = sin(x) + C 8. Mennyivel egyenlő sin(x)dx? Válsz. sin(x) dx = cos(x) + C 9. Mennyivel egyenlő cosh(x)dx? Válsz. cosh(x) dx = sinh(x) + C 10. Mennyivel egyenlő sinh(x)dx? Válsz. sinh(x) dx = cosh(x) + C 11. Foglmzz meg Drboux-tételt. Válsz. Legyen f : [, b] R korlátos függvény. Ekkor bármely ε > 0 esetén vn olyn δ > 0 úgy, hogy h P olyn felosztás z [, b] intervllumnk, melyre P < δ, kkor Σ( f, P) I( f ) < ε és σ( f, P) I( f ) < ε 12. Foglmzz meg z Oszcillációs kritériumot. Válsz. Legyen f : [, b] R korlátos függvény. Az f függvény kkor, és cskis kkor Riemnn-integrálhtó, h bármely ε > 0 esetén vn olyn P felosztás z [, b] intervllumnk, melyre O( f, P) < ε 2

3 13. Ismertesse Riemnn-integrál lineritásár vontkozó tételt. Válsz. Legyenek f, g: [, b] R Riemnn-integrálhtó függvények, λ R. Ekkor z f + g függvény is Riemnn-integrálhtó és b λ f függvény is Riemnn-integrálhtó és ( f + g)(x)dx = b f (x)dx + b g(x)dx; b (λ f )(x)dx = λ b f (x)dx; 14. Ismertesse Riemnn-integrál monotonitásár vontkozó tételt. Válsz. Legyenek f, g: [, b] R Riemnn-integrálhtó függvények. H minden x [, b] esetén f (x) g(x) teljesül, kkor b f (x)dx b g(x)dx. 15. Ismertesse Riemnn-integrál intervllum dditivitásáról szóló tételt. Válsz. Legyen f : [, b] R Riemnn-integrálhtó függvény. H c ], b[, kkor z f függvény Riemnnintegrálhtó z [, c] és [c, b] intervllumok mindegyikén és b f (x)dx = c f (x)dx + b c f (x)dx. 16. Foglmzz meg Riemnn-integrálr vontkozó középértéktételt. Válsz. Legyenek f, g: [, b] R Riemnn-integrálhtó függvények. Tegyük fel továbbá, hogy z f függvény folytonos, g függvény pedig nemnegtív. Ekkor vn olyn ξ ], b[, melyre b f (x)g(x)dx = f (ξ) b g(x)dx 17. Legyen f : [, b] R egy Riemnn-integrálhtó függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény felsőhtárfüggvénye (integrálfüggvénye)? Válsz. Legyen f : [, b] R egy Riemnn-integrálhtó függvény. Ekkor z F(x) = x f (t)dt (x [, b]) módon megdott F : [, b] R függvényt z f függvény felsőhtárfüggvényének vgy integrálfüggvényének hívjuk. 18. Ismertesse Newton Leibniz-formulát. Válsz. Legyen f : [, b] R egy folytonos függvény és jelölje F : [, b] R z f függvény egy primitív függvényét. Ekkor b f (x)dx = [F(x)] b = F(b) F(). 3

4 19. Ismertesse Riemnn-integrálr vontkozó prciális integrálás tételét. Válsz. Ekkor Legyenek f, g: [, b] R olyn differenciálhtó függvények, melyek deriváltji Riemnn-integrálhtók. b f (x)g (x)dx = [ f (x)g(x) ] b b f (x)g(x)dx. 20. Legyen D R n egy nemüres hlmz. Mit értünk zon, hogy z x 0 D pont belső pontj D-nek? Válsz. Legyen D R n egy nemüres hlmz. Azt mondjuk, hogy z x 0 D pont belső pontj D-nek, h vn olyn r > 0, hogy G(x 0, r) D 21. Mit értünk zon, hogy K R n hlmz korlátos? Válsz. Azt mondjuk, hogy K R n hlmz korlátos, h vn olyn r > 0 és olyn x 0 R n, hogy K G(x 0, r) 22. Foglmzz meg Heine Borel-tételt. Válsz. A D R n hlmz pontosn kkor kompkt, h korlátos és zárt. 23. Legyen k N. Mit értünk zon, hogy z R k térbeli (x n ) n N sorozt Cuchy-sorozt? Válsz. Legyen k N. Azt mondjuk, hogy z (x n ) n N R k -beli sorozt Cuchy-sorozt, h tetszőleges ε > 0 szám esetén vn olyn N > 0 szám, hogy h n, m N, n, m > N, kkor 24. Ismertesse Cuchy-féle konvergencikritériumot. x n x m < ε. Válsz. Egy R k -beli sorozt kkor és cskis kkor konvergens, h Cuchy-sorozt. 25. Legyenek n, m N, D R n nemüres hlmz, f : D R m függvény. Mit értünk zon, hogy z f függvény folytonos z x 0 D pontbn? Válsz. Legyenek n, m N, D R n nemüres hlmz, f : D R m függvény. Azt mondjuk, hogy z f függvény folytonos z x 0 D pontbn, h bármely ε > 0 esetén létezik olyn δ > 0, hogy h x D olyn, hogy x x 0 R n < δ, kkor f (x) f (x 0 ) R m < ε. H z f függvény D hlmz minden pontjábn folytonos, kkor zt mondjuk, hogy z f függvény folytonos D hlmzon. 26. Foglmzz meg z Átviteli elvet. Válsz. Legyenek n, m N, D R n nemüres hlmz, f : D R m. Az f függvény kkor és cskis kkor folytonos z x 0 D pontbn, h tetszőleges (x n ) n N D hlmzbeli elemekből álló, x 0 -hoz konvergáló sorozt esetén z ( f (x n )) n N sorozt f (x 0 )-hoz konvergál. 27. Legyenek n, m N, D R n, f : D R m, x 0 D és α R m. Mit jelent z, hogy z f függvénynek z x 0 pontbn htárértéke α? Válsz. Legyenek n, m N, D R n, f : D R m, x 0 D és α R m. Azt mondjuk, hogy z f függvénynek z x 0 pontbn htárértéke α, h tetszőleges ε > 0 esetén létezik olyn δ > 0, hogy h x D és x x 0 R n < δ, kkor f (x) α R m < ε. Erre lim x x0 f (x) = α jelölést lklmzzuk. 4

5 28. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f : D R m függvény. Mit jelent z, hogy z f függvény Fréchet-differenciálhtó z x 0 D pontbn? Válsz. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f : D R m függvény. Azt mondjuk, hogy z f függvény Fréchet-differenciálhtó z x 0 D pontbn, h létezik egy olyn A L(R n, R m ) lineáris leképezés, hogy f (x) f (x 0 ) A(x x 0 ) lim R m x x 0 x x 0 R n Ebben z esetben z A lineáris leképezést z f függvény x 0 pontbeli differeciálhánydosánk nevezzük és rá z f (x 0 ) jelölést hsználjuk. 29. Ismertesse differenciálhtóság és folytonosság kpcsoltáról szóló tételt. Válsz. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f : D R m függvény. H z f függvény Fréchetdifferenciálhtó z x 0 D pontbn, kkor f folytonos z x 0 D pontbn. 30. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, x 0 D f : D R m függvény és v R n. Mit jelent z, hogy z f függvény z x 0 pontbn v irány mentén differenciálhtó? Válsz. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, x 0 D f : D R m függvény és v R n. H létezik f (x 0 + tv) f (x 0 ) lim t 0 t htárérték, kkor zt mondjuk, hogy z f függvény z x 0 pontbn v irány mentén differenciálhtó. Ebben z esetben fenti htárértékre D v f (x 0 ) jelölést lklmzzuk. 31. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f : D R m függvény. Mit jelent z, hogy z f függvény z x 0 D pontbn z i-edik változój szerint prciálisn differenciálhtó? Válsz. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f : D R m függvény. Legyen továbbá minden i = 1,..., n esetén e i = (0,..., 0, 1, i 0,..., 0). H létezik D ei f (x 0 ) iránymenti derivált, kkor zt mondjuk, hogy z f függvény z x 0 pontbn z i-edik változój szerint prciálisn differenciálhtó z x 0 D pontbn. Ebben z esetben D ei f (x 0 ) jelölés helyett áltlábn f (x 0 ) x i jelölést hsználjuk. 32. Foglmzz meg z összetett függvény differenciálási szbályát. Válsz. Legyenek n, m, k N, D R n nemüres, nyílt hlmz, x 0 D, f : D R m és g: f (D) R k függvények. H z f függvény differenciálhtó z x 0 D pontbn, g függvény pedig z f (x 0 ) f (D) pontbn, kkor g f függvény differenciálhtó z x 0 pontbn és 33. Ismertesse Schwrz Young-tételt. (g f ) (x 0 ) = g ( f (x 0 )) f (x 0 ). Válsz. Legyen D R 2 nyílt hlmz, f : D R pedig egy függvény, melyre D minden pontjábn léteznek f x, 2 f y x és f y prciális deriváltk. H 2 f y x D hlmz x 0 pontjábn folytonos, kkor létezik 2 f x y (x 0), és = 0 2 f y x (x 0) = 2 f x y (x 0). 5

6 34. Legyen D R n egy hlmz, x 0 D hlmz egy belső pontj, f : D R pedig egy x 0 -bn prciálisn differenciálhtó függvény. Mit jelent z, hogy z x 0 pont z f függvénynek stcionárius pontj: Válsz. Legyen D R n egy hlmz, x 0 D hlmz egy belső pontj, f : D R pedig egy x 0 -bn prciálisn differenciálhtó függvény. H z x 0 pontbn z f függvény összes prciális deriváltj null, kkor z x 0 pontot z f függvény stcionárius pontjánk nevezzük. 35. Ismertesse differenciálhtó függvények lokális szélsőértékhelyeire vontkozó szükséges feltételt. Válsz. Legyen D R n egy hlmz, x 0 D hlmz egy belső pontj, f : D R pedig egy x 0 -bn prciálisn differenciálhtó függvény. H z f függvénynek z x 0 pontbn lokális szélsőértéke vn, kkor f (x 0 ) = Mit értünk n-dimenziós tégl ltt? Válsz. Legyen n N, ekkor Q = [ 1, b 1 ] [ n, b n ] R n hlmzt n dimenziós téglánk nevezzük. 37. Foglmzz meg Fubini-tételt. Válsz. Legyenek n, m N és A R n és B R m téglák, vlmint Q = A B. H f : Q R Riemnn-integrálhtó függvény, és z x f (x, y) függvény minden rögzített B-beli y mellett, vlmint z y f (x, y) függvény minden rögzített A-beli x mellett Riemnn-integrálhtó, kkor [ ] [ ] f (x, y)d(x, y) = f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. Q 38. Legyen H R n korlátos hlmz. Mit jelent z, hogy ez hlmz Jordn-mérhető? B A A B Válsz. Legyen H R n korlátos hlmz. H z f (x) = 1 ( x R n ) függvény Riemnn-integrálhtó H hlmzon, kkor zt mondjuk, hogy H hlmz Jordn-mérhető, és ebben z esetben µ J (H) = 1dx mennyiséget H hlmz Jordn-mértékének nevezzük. 39. Foglmzz meg Jordn-mérhetőség kritériumát. Válsz. Legyen H R n korlátos hlmz. Ekkor H hlmz pontosn kkor Jordn-mérhető, h µ J ( H) = Mit értünk zon, hogy egy hlmz egyszerű trtomány? Válsz. Legyen K R n 1 kompkt, Jordn-mérhető hlmz, Φ, Ψ: K R pedig olyn folytonos függvények, hogy Φ(x) Ψ(x) teljesül minden x K esetén. Ekkor S = { (x, y) R n x K és Φ(x) y Ψ(x) } H hlmzt egyszerű trtománynk nevezzük. 6