GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

Átírás

1 GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z A hlmznk) ill. b / A (b nem eleme z A hlmznk). Egy hlmz kkor dott, h minden objektumról el tudjuk dönteni, hogy eleme hlmznk vgy nem z. Hlmzok megdási módji: felsorolás pl. A = {2, 3, 5, 7, } (z els 5 prímszámból álló hlmz), ismert hlmz dott tuljdonságú elemeinek megdás pl. A = { n N : n páros } hol N természetes számok hlmz, melyet ismertnek tekintünk. Definíciók. Azt hlmzt melynek egyetlen eleme sincs üres hlmznk nevezzük és -tel jelöljük. Az A és B hlmzokt egyenl nek nevezzük, h elemei ugynzok. Ezt A = B-vel jelöljük, tgdását A B jelöli. Azt mondjuk, hogy z A hlmz részhlmz B hlmznk, h A minden eleme eleme B-nek. Jelölése: A B. Ezt úgy is írhtjuk, hogy B A, ezt úgy olvssuk, hogy B trtlmzz z A hlmzt. Az A hlmz vlódi részhlmz B hlmznk, h A B és A B. Megjegyzések. Denícióinkt, állításinkt egyszer bben foglmzhtjuk meg mtemtiki logik jeleinek hsználtávl. Ítélet (állítás) ltt olyn kijelentést értünk melyr l egyértelm en eldönthet, hogy igz (i) vgy hmis (h). Állításokból újbb állításokt kphtunk z 5 logiki m velet (negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekivivlenci) segítségével. Legyenek P, Q állítások. A logiki m veletek deníciói: P (nem P, vgy P tgdás) kkor és cskis kkor igz, h P hmis. P Q (P és Q) kkor és cskis kkor igz h P és Q is igz. P Q (P vgy Q) kkor és cskis kkor igz h P és Q leglább egyike igz. P = Q (P-b l következik Q)kkor és cskis kkor igz h P hmis vgy h Q igz. P Q (P ekvivlens Q-vl) kkor és cskis kkor igz h P és Q vgy mindketten igzk vgy mindketten hmisk. P = Q esetén zt mondjuk, hogy P elegend Q teljesüléséhez, vgy Q szükséges P teljesüléséhez. Beláthtó, hogy (P = Q) ( Q = P ) P Q esetén zt mondjuk, hogy P szükséges és elegend Q teljesüléséhez. Hsználjuk még logiki kvntorokt: univerzális kvntor: x = minden x-re egzisztenciális kvntor: x = létezik x

2 2 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. E jelölések segítségével pl. A = B ( x)((x A = x B) (x B = x A)), A B ( x)(x A = x B). M veletek hlmzokkl. Célszer vizsgált hlmzokt egy X lphlmz részhlmzink tekinteni. Definíciók. A B := { x X : x A vgy x B } z A és B hlmzok uniój vgy egyesítése A B := { x X : x A és x B } z A és B hlmzok metszete vgy közös része A \ B := { x X : x A és x / B } z A és B hlmzok különbsége A := X \ A z A hlmz komplementere,, \ binér (kétváltozós) m veletek, komplementerképzés unér (egyváltozós) m velet. Az A és B hlmzokt diszjunktnk nevezzük, h metszetük üres. Állítás. Tetsz leges A, B, C X hlmzokr teljesülnek z lábbi tuljdonságok. A B = B A, A (B C) = (A B) C, A B = B A, A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), A A = A, A A = A, A B = A B, A B = A B. A felsorolt tuljdonságok nevei rendre (zz felsorolás sorrendjében) z unió ill. metszetképzésre vontkozó kommuttivitás, sszocitivitás, disztributivitás, idempotenci, és de Morgn féle zonosságok. A hlmzm veletek zonossági z un. Venn digrmmokkl szemléltethet k. Definíciók. Hlmzrendszer (vgy hlmzcslád) ltt olyn (nemüres) hlmzt értünk, melynek elemi hlmzok. H I egy (nemüres) hlmz és minden i I elemhez meg vn dv egy A i vel jelölt hlmz, kkor z A = { A i : i I } hlmzrendszert I-vel indexelt hlmzrendszernek nevezzük, I neve indexhlmz. Egy R hlmzrendszer unióját és metszetét R := { x : A R úgy hogy x A }, R := { x : A R mellett x A } deniálj. H R = A = { A i : i I } egy I hlmzzl indexelt hlmzrendszer, kkor z unióját és metszetét -vel szokás jelölni. i I, i I

3 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 3.2 Relációk Definíció. Az A és B hlmzok Descrtes szorztán (vgy direkt szorztán) e hlmzok elemeib l képezett összes (, b) rendezett párok hlmzát értjük, hol A, b B. Jelölésére z A B szimbólumot hsználjuk. Azz A B = { (, b) : A, b B }. Rendezett párok egyenl ségére megköveteljük zt, hogy (, b) = (c, d) kkor és cskis kkor h = c, b = d. Hsználjuk z A A = A 2 jelölést is. Megjegyezzük, hogy A B áltlábn nem egyenl B A-vl. Definíció. Az A és B hlmzok Descrtes szorztánk egy R A B részhlmzát z A és B hlmzok közötti (binér) relációnk nevezzük. H (, b) R kkor zt mondjuk, hogy z elem R relációbn vn b-vel. Ezt szokás R b-rel is jelölni. A = B esetén z A és B közötti relációt A-n értelmezett relációnk mondjuk. Az lábbikbn legfontosbb relációtípusokt tárgyljuk meg. Definíció. Az A hlmzon értelmezett R A A relációt ekvivlenci relációnk nevezzük, h R reexív, zz ( A) R szimmetrikus, zz (, b A) R b = b R trnzitív, zz (, b, c A) R b b R c = R c. Péld. Legyen A z els éves debreceni közgzdászhllgtók hlmz, és R b kkor és cskis kkor teljesüljön h z és b hllgtók ugynbbn hónpbn születtek. Ekkor R egy ekvivlenci reláció. Az összes hllgtók 2 osztályb sorolhtók (születési hónp szerint), bármely két osztályt véve zok vgy zonosk, vgy diszjunktk. Áltlábn is igz, hogy h R egy ekvivlenci reláció z A-n kkor z egymássl relációbn álló elemeket egy osztályb sorolv z A hlmz egy osztályozását kpjuk (zz A felbontását páronként diszjunkt hlmzok uniójr), és fordítv, A minden osztályozás megd egy ekvivlenci relációt, melynek osztályi éppen kiindulásként vett osztályok. Definíció. Az A hlmzon értelmezett R A A relációt féligrendezésnek nevezzük, h R reexív, zz ( A) R ntiszimmetrikus, zz (, b A) R b b R = = b trnzitív, zz (, b, c A) R b b R c = R c. Az A hlmzon értelmezett R A A relációt rendezésnek nevezzük, h R féligrendezés, és (, b A) R b b R. Példák. Egy X hlmz összes részhlmzin trtlmzási reláció féligrendezés. H A = R vlós számok hlmz, kkor rendezés. Definíciók. Tekintsük vlós számok R hlmzát rendezéssel és legyen A R. Az A hlmzt felülr l korlátosnk nevezzük, h vn olyn k R szám, hogy ( A) k. A k számot A (egy) fels korlátjánk nevezzük. Az A hlmzt lulról korlátosnk nevezzük, h vn olyn k R szám, hogy ( A) k. A k számot A (egy) lsó korlátjánk nevezzük. Az A hlmzt korlátosnk nevezzük, h lulról és felülr l is korlátos.

4 4 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Az s R számot z A hlmz pontos fels korlátjánk (vgy suprémumánk) nevezzük, h s z A fels korlátj A bármely s fels korlátjár s s. Jelölés s = sup A. Az i R számot z A hlmz pontos lsó korlátjánk (vgy inmumánk) nevezzük, h i z A lsó korlátj A bármely i lsó korlátjár i i. Jelölés i = inf A. Péld. Legyen A = {, 2, 3,... } természetes számok reciprokink hlmz. Akkor A korlátos és sup A =, inf A = 0. Definíció. Az A és B hlmzok között értelmezett F A B relációt z A hlmzon deniált függvénynek nevezzük, h minden A elemhez pontosn egy olyn b B elem létezik, melyre F b teljesül. Ilyenkor b = F () jelölést hsználjuk, függvény jelölésére pedig F : A B-t hsználjuk. D F = A z F függvény értelmezési trtomány (domin of F). R F := { F () : A } z F függvény értékkészlete (rnge of F). Definíciók. Az F : A B függvényt injektívnek (vgy kölcsönösen egyértelm nek, invertálhtónk) nevezzük, h (, b A) b = F () F (b), vgy, mi ugynz (, b A)F () = F (b) = = b. Az F : A B függvényt szürjektívnek (vgy B-re képez nek) nevezzük, h R F = B. Az F : A B függvényt bijektívnek (vgy kölcsönösen egyértelm en B-re képez nek) nevezzük, h injektív és szürjektív. Definíció. H F : A B injektív, kkor z F : R F A inverz függvényét z lábbi módon értelmezzük: tetsz leges b R F -hez létezik egyetlen egy A úgy, hogy b = F (), ekkor legyen F (b) :=. Röviden, F (b) = h F () = b. Azonnl láthtó, hogy F ( F (b) ) = F () = b h b R F, F (F ()) = h A. H F bijektív, kkor itt R F = B. 2. A VALÓS SZÁMOK 2. A vlós számok ximómrendszere Az R hlmzt vlós számok hlmzánk nevezzük, h teljesíti z lábbi 3 xiómcsoport xiómáit..testxiómák R-ben két m velet vn értelmezve, z

5 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 5 R R (x, y) x + y összedás R R (x, y) x y szorzás melyek teljesítik z lábbi xiómákt (melyeket testxiómáknk nevezünk). A szorzás jelét z lábbi xiómákbn kiírjuk, de továbbikbn nem, kivéve, h elhgyás félrértéshez vezetne. Az összedás xiómái: ( x, y R) x + y = y + x, ( x, y, z R) x + (y + z) = (x + y) + z, ( 0 R)( x R) x + 0 = x, ( x R)( x R) x + ( x) = 0 A szorzás xiómái: ( x, y R) x y = y x, ( x, y, z R) x (y z) = (x y) z, ( R, 0)( x R) x = x, ( x R, x 0)( x R) x x = Ezek z xiómák rendre z összedás ill. szorzás kommuttivitását, sszocitivitását, 0 ill. létezését, és z dditív ill. multipliktív inverz létezését fejezik ki. Megköveteljük szorzás disztributivitását z összedásr nézve, zz ( x, y, z R) x (y + z) = x y + x z. 2. Rendezési xiómák R-en értelmezve vn egy ( R R) (olvsd kisebb vgy egyenl ) rendezési reláció (mely korábbn tárgylt) négy xiómát teljesíti, továbbá ( x, y, z R) (x y) = x + z y + z, ( x, y R) (0 x 0 y) = 0 x y. E tuljdonságokt z összedás és szorzás monotonitásánk nevezzük. H 0 x de 0 x(x R) kkor ezt 0 < x -szel (vgy x > 0-vl) jelöljük, és x -et pozitívnk mondjuk. x R-et negtívnk mondjuk, h x pozitív. 3. Teljességi xióm R ( rendezésre nézve) teljes, zz R bármely nemüres felülr l korlátos részhlmzánk vn pontos fels korlátj. Összefogllv, vlós számok R hlmz tehát egy teljes rendezett test. Megmutthtó, hogy létezik ilyen hlmz, és ez bizonyos értelemben egyértelm. A vlós számokt számegyenesen modellezhetjük. A testxiómákt felhsználv igzolhtó, hogy bármely x, y, z R esetén h x + y = x + z, kkor y = z; h xy = xz, x 0, kkor y = z; h x + y = x, kkor y = 0; h xy = x, x 0, kkor y = ; h x + y = 0, kkor y = x; h xy =, x 0, kkor y = x ; ( x) = x; h x 0, kkor ( x ) = x, továbbá 0x = 0; x 0, y 0 xy 0; ( x)y = (xy) = x( y); ( x)( y) = xy.

6 6 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. A rendezési és testxiómákt (rendezett test xiómáit) felhsználv igzolhtó, hogy bármely x, y, z R esetén h x 0, y z, h x 0, y z, x 0 kkor és cskis kkor, h x 0, kkor xy yz, kkor xy yz, h x 0, kkor x 2 > 0, speciálisn > 0, h 0 < x y, kkor 0 < y x, és x 2 y 2. A bizonyítássl gykorlton fogllkozunk mjd. 2. R nevezetes részhlmzi, bszolút érték, távolság Definíciók. Az N = {, 2, 3, 4... } hlmzt természetes számok hlmzánk nevezzük. Végiggondolv zt, hogy 2 = +, 3 = 2 +, 4 = 3 +,... dódik, hogy N R-nek z legsz kebb részhlmz, melyre teljesül, z, hogy N, h n N kkor n + N. Az, hogy N legsz kebb ilyen hlmz zt jelenti, hogy h egy M N-re is teljesülnek z teljesíti z M, és n M = n + M tuljdonságok, kkor M = N. A Z = {0, ±, ±2, ±3,... } hlmzt z egész számok hlmzánk nevezzük. A Q = { pq : p, q Z, q 0 } hlmzt rcionális számok hlmzánk nevezzük. Definíciók. Legyen < b (, b R). Az ], b[ := { x R : < x < b } [, b] := { x R : x b } ], b] := { x R : < x b } [, b[ := { x R : x < b } számhlmzokt rendre (véges) nyílt, zárt, blról nyílt jobbról zárt, blról zárt jobbról nyílt intervllumoknk nevezzük. [, ] := { x R : x } = {} elfjult (egyetlen pontból álló) zárt intervllum. Legyen, b R. Az ], [ := { x R : < x } [, [ := { x R : x } ], b] := { x R : x b } ], b[ := { x R : x < b } ], [ := R számhlmzokt (végtelen) nyílt, blról zárt jobbról nyílt stb. intervllumoknk nevezzük. Definíció. Az { x h x 0 x := x h x < 0 számot z x vlós szám bszolút értékének nevezzük. Állítás. [z bszolút érték tuljdonsági] Bármely x, y R esetén (x R) x 0 és x = 0 x = 0, xy = x y, x + y x + y.

7 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 7 Az els tuljdonság nyilvánvló, többiek pl. esetszétválsztássl bizonyíthtók. További tuljdonságok: x y x y (x, y R), x x és hsonlón x < < x <. Definíció. Az x, y R számok távolságát d(x, y) := x y deniálj. Állítás. [ távolság tuljdonsági] Bármely x, y, z R esetén d(x, y) 0 és d(x, y) = 0 x = y, nemnegtivitás d(x, y) = d(y, x), szimmetri d(x, y) d(x, z) + d(z, y) háromszög egyenl tlenség. E tuljdonságok egyszer en következnek z bszolút érték tuljdonságiból. 2.2 A teljességi xióm néhány következménye Tétel. Az R bármely nemüres lulról korlátos részhlmzánk vn pontos lsó korlátj. A bizonyításhoz legyen A R egy nemüres lulról korlátos hlmz, k lsó korláttl, és tekintsük B := { : A } hlmzt, kkor ( ) ( A = k )-ból következik, hogy k így B felülr l korlátos k fels korláttl, és fordítv. A teljességi xióm mitt létezik β := sup B. Könny belátni, hogy α := β = inf A z A-nk pontos lsó korlátj: ti. z el z ek lpján lsó korlát, és h α z A hlmz egy lsó korlátj, kkor α B-nek egy fels korlátj, így β α mib l α = β α. Tétel. A természetes számok hlmz felülr l nem korlátos. A bizonyításhoz tegyük fel, hogy N felülr l korlátos,így létezik z α := sup N szám, melyre ( n)(n N = n α). Mivel α < α így α nem lehet N fels korlátj, ezért vn olyn n 0 N melyre α < n 0 zz α < n 0 +. Mivel n 0 + N így α nem fels korlátj N-nek, mi ellentmondás. Indirekt bizonyítást végeztünk: feltételeztük, hogy tétel állítás nem igz (ez z indirekt feltevés). Helyes következtetésekkel ellentmondást kptunk, ennek csk z lehet z ok, hogy indirekt feltevésünk nem igz, így nnk tgdás, zz tétel állítás igz. Következmény.[ vlós számok Archimedesi tuljdonság] Bármely x > 0 és y R számokhoz létezik olyn n N melyre y < nx. Ugynis y x nem fels korlátj N-nek, így vn olyn n N, hogy n > y x mib l nx > y. Tétel. [Cntor féle metszettétel] H [ n, b n ] (n N) zárt egymásb sktulyázott intervllumok sorozt, zz kkor [, b ] [ 2, b 2 ] [ 2, b 2 ]... n= [ n, b n ]. Röviden: zárt intervllumok egymásb sktulyázott soroztánk metszete nemüres.

8 8 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. A bizonyításhoz el ször jegyezzük meg, hogy n b n (n N) mivel [ n, b n ] intervllum, z egymásb sktulyázás pedig zt jelenti, hogy n n+ és b n+ b n E feltételekb l zonnl kpjuk, hogy bármely m, n N esetén n b m. (n N). Legyen A := { n : n N }, B := { b m : m N } kkor A felülr l korlátos (bármely b m (m N) fels korlátj, B pedig lulról korlátos (bármely n (n N) lsó korlátj. Így léteznek z α := sup A, β := inf B pontos korlátok. α deníciój mitt n α b m Ebb l láthtó, hogy α is lsó korlátj B-nek, ezért továbbá β deníciój mitt β b m Ezeket z egyenl tlenségeket összevetve kpjuk, hogy mi zt jelenti, hogy α β, (m, n N). (m N). n α β b n (n N) [α, β] mint állítottuk. Definíció. Az x R szám egész kitev s htványit továbbá [ n, b n ] n= x := x, x n+ := x n x (n N) x 0 :=, x n := (x 0, n N) xn -nel értelmezzük. A következ tétel szintén teljességi xióm segítségével igzolhtó ( bizonyítás megtlálhtó pl. W. Rudin, A mtemtiki nlízis lpji c. könyvében, M szki Könyvkidó, 975). Tétel. [n-edik gyök létezése] Bármely x 0 nemnegtív vlós számhoz és n N természetes számhoz pontosn egy olyn y 0 nemnegtív vlós szám létezik, melyre y n = x. Definíció. Az el z tétel állításábn szerepl y 0 számot z x 0 szám n-edik gyökének nevezzük, és n x vgy x n-nel jelöljük. H n páros, x 0 kkor n x z egyetlen olyn nempozitív szám melynek n-edik htvány x így ekkor y n = x y = n x y = n x. H n pártln, kkor negtív számokr is kiterjesztjük z n-edik gyök denícióját: n x := n x h x < 0. Ezek után lehet pozitív számok rcionális kitev s htványát értelmezni, z x r := q x p hol x > 0, r = pq, p Z, q N képlettel.

9 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 9 Igzolhtó hogy ez deníció korrekt (x r független r el állításától) és hogy htványozás szokásos tuljdonsági (rcionális kitev k esetén) teljes lnek. 2.3 Topológikus foglmk, Bolzno-Weierstrss tétel Definíció. Egy R pont ε > 0 sugrú (nyílt) környezetén K(, ε) := { x R : d(x, ) < ε } hlmzt értjük. Világos, hogy K(, ε) éppen z pontr nézve szimmetrikus 2ε hosszúságú ] ε, + ε[ nyílt intervllum. Definíciók. Legyen A R. Az R pontot z A hlmz bels pontjánk nevezzük, h -nk vn olyn környezete mely (teljesen) A-bn vn, zz ( ε > 0)K(, ε) A. Az R pontot z A hlmz izolált pontjánk nevezzük, h A és -nk vn olyn környezete melyben nincs más A-beli pont, zz A (( ε > 0)(K(, ε) \ {}) A = ). Az R pontot z A hlmz torlódási pontjánk nevezzük, h bármely környezetében vn -tól különböz A-beli pont, zz ( ε > 0) (K(, ε) \ {}) A ). Az R pontot z A hlmz htárpontjánk nevezzük, h bármely környezetében vn A-beli pont, és nem A-beli pont, zz ( ε > 0) ( K(, ε) A K(, ε) A ). A bels pont és z izolált pont mindig pontj hlmznk, torlódási és htárpont lehet hlmzpont, vgy nem hlmzpont. Definíciók. A R összes bels pontjink hlmzát A belsejének nevezzük és A -rel jelöljük. A R összes htárpontjink hlmzát A htáránk nevezzük és A-rel jelöljük. Definíciók. Az A R hlmzt nyíltnk nevezzük, h minden pontj bels pont. Az A R hlmzt zártnk nevezzük, h komplementere nyílt. Péld. Legyen A := { : n N }. Htározzuk meg A bels, izolált, torlódási és htárpontjink n hlmzát. Továbbá htározzunk meg A belsejét, htárát, döntsük el, hogy nyílt vgy zárt hlmz-e! Megoldás. A-nk nincs bels pontj, minden pontj izolált, egyetlen torlódási pontj 0, egyetlen htárpontj 0, A =, A = {0}, z A hlmz sem nem nyílt, sem nem zárt. Állítás. Egy A R hlmz kkor és cskis kkor zárt, h trtlmzz összes torlódási pontját. Bizonyítás ld. gykorlt. Tétel. [Bolzno-Weierstrss tétel] Bármely korlátos végtelen számhlmznk vn torlódási pontj. Egy hlmzt végesnek mondunk, h üres, vgy h elemeinek szám egy természetes szám. Egy hlmzt végtelennek mondunk, h nem véges. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy A R korlátos végtelen hlmz, kkor vn olyn [, b ] zárt intervllum, hogy A [, b ].

10 0 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Felezzük meg [, b ]-t és válsszuk ki zt zárt [ 2, b 2 ]-vel jelölt felét, mely végtelen sok A-beli elemet trtlmz. Ezután felezzük meg [ 2, b 2 ]-t és válsszuk ki zt zárt [ 3, b 3 ]-ml jelölt felét, mely végtelen sok A-beli elemet trtlmz, és így tovább. Az így kpott [ n, b n ] (n N) intervllumsorozt egymásb sktulyázott, ezért Cntor tétele mitt [ n, b n ]. n= Mivel z [ n, b n ] intervllum hossz b 2 tetsz leges kicsi, h n elég ngy, ezért z intervllumok metszete csk egyetlen pontot trtlmzht, legyen ez n z pont. Azt állítjuk, hogy torlódási pontj A-nk. Ugynis véve egy tetsz leges ε > 0 számot [ n, b n ] K(, ε) h n elég ngy. Ugynis válsszuk n-et olyn ngyr, hogy b n n < ε legyen, kkor [ n, b n ] mitt z [ n, b n ] intervllum minden pontjánk -tól vló távolság < ε így z intervllum pontji K(, ε)-bn vnnk. Mivel minden intervllumbn végtelen sok A-beli pont vn így K(, ε) trtlmz -tól különböz A-beli pontot. 3. SOROZATOK 3. Soroztok korlátosság, monotonitás, konvergenciáj Definíció. Egy f : N R függvényt (vlós szám)soroztnk nevezünk. H A egy dott hlmz és f : N A, kkor f-et A-beli (érték ) soroztnk nevezzük. Jelöléseink: f(n) = n sorozt n-edik eleme, f = ( n ) sorozt mg, { n : n N } sorozt értékkészlete. Sorozt megdás: képlettel pl. n = n (n N), rekurzív módon pl. =, és n+ = 2 + n szbállyl pl. n = n-edik prímszám. Definíciók. Az ( n ) soroztot felülr l korlátosnk lulról korlátosnk Azz Az ( n ) soroztot nevezzünk, hogy felülr l korlátosnk lulról korlátosnk (n N), nevezzük, h k R k R ( n N) n k ( n N) n k. nevezzük, h értékészlete felülr l korlátos lulról korlátos. szám, melyet sorozt egy fels korlátjánk fels korlátjánk Az ( n ) soroztot korlátosnk nevezzük, h lulról és felülr l is korlátos. Könny belátni, hogy egy n sorozt kkor és cskis kkor korlátos, h vn olyn K R hogy n K minden n N-re. Az ( n ) soroztot monoton növekv nek monoton csökken nek nevezzük, h ( n N) n+ n. ( n N) n+ n Az ( n ) soroztot szigorún monoton növekv nek szigorún monoton csökken nek nevezzük, h ( n N) n+ > n. ( n N) n+ < n

11 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Egy soroztot (szigorún) monotonnk mondunk, h (szigorún) monoton növekv vgy csökken. Péld. Legyen n := n (n N). Ez sorozt lulról korlátos (pl. k = 0 lsó korlát), és felülr l is korlátos (pl. k = fels korlát), így korlátos. Soroztunk szigorún monoton csökken. Az is igz, hogy n növekedésével n egyre közelebb kerül 0-hoz (jóllehet soh sem éri el 0-t). Pontosbbn, 0 kármilyen kis környezetét vesszük, zon belül vn soroztnk véges sok kivételével minden eleme. Definíciók. Az ( n ) soroztot konvergensnek nevezzük, h vn olyn R szám, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyn N(ε) R szám, hogy n < ε h n > N(ε). A számot sorozt htárértékének (limeszének) nevezzük és z n (n ) jelölést hsználjuk. N(ε) z ε-hoz trtozó küszöbszám. Az ( n ) soroztot divergensnek nevezzük, h nem konvergens. vgy lim n n = Állítás. [ konvergenci környezetes átfoglmzás] Az ( n ) sorozt konvergens és htárértéke kkor és cskis kkor, h z pont bármely környezetén kívül soroztnk csk véges sok eleme vn. Bizonyítás. H n (n ), kkor minden ε > esetén vn olyn N(ε), hogy n < ε h n > N(ε), mi úgy is írhtó, hogy ε < n < + ε, zz n K(, ε) h n > N(ε). De ez zt jelenti, hogy K(, ε) környezeten belül vnnk z N(ε)-nél ngyobb index elemek, míg kívül csk z N(ε)-nél nem ngyobb index ek lehetnek, melyek szám éges. Fordítv, h minden ε > 0 esetén K(, ε) környezeten kívül csk véges sok elem vn, pl. p drb k, k2,..., kp elemek, kkor N(ε) := mx{k, k 2,..., k p } válsztássl n < ε h n > N(ε), zz soroztunk konvergens és htárértéke. Következmény. H egy soroztbn véges sok elemet tesz legesen megváltozttunk, soroztból véges sok elemet elhgyunk, sorozthoz véges sok elemet hozzáveszünk, kkor sem sorozt konvergenciáj és htárértéke (divergenciáj) nem változik. Állítás. [ htárérték egyértelm sége] Konvergens soroztnk pontosn egy htárértéke vn. Indirekt bizonyítás. H z n (n ) soroztnk két htárértéke voln,, b( < b) kkor ε = b 3 válsztássl denícióból ellentmondásr jutunk. Példák. n = (n N) konvergens és htárértéke null. n n = ( ) n (n N) divergens. Tétel. [konvergenci és korlátosság kpcsolt] Konvergens sorozt korlátos. Vn olyn korlátos sorozt mely divergens (nem konvergens). Bizonyítás. ε = -gyel kpjuk, hogy n < h n > N(). Világos, hogy k := mx{ +, és K(, ) környezeten kívüli elemek }

12 2 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. sorozt fels korlátj, míg k := min{, és K(, ) környezeten kívüli elemek } sorozt lsó korlátj. n = ( ) n (n N) korlátos de nem konverges. Tétel. [konvergenci és monotonitás kpcsolt] Monoton növekv és felülr l csökken és lulról korlátos sorozt konvergens. Bizonyítás. Tegyük fel pl. hogy ( n ) növekv felülr l korlátos, és legyen := sup{ n : n N }. Véve egy ε > 0 számot ε nem fels korlátj soroztnk, így vn olyn n 0 N index, hogy n0 > ε. Legyen N(ε) := n 0, kkor n > N(ε) = n 0 esetén és ezt kellett bizonyítni. ε < n0 n < + ε zz n < ε 3.2 M veletek, rendezés és konvergenci kpcsolt ( ) Definíciók. H ( n ), (b n ) soroztok c R, kkor z n ( n + b n ),, ( n b n ),, (c n ), ( n ) soroztokt b n rendre z ( n ), (b n ) soroztok összegének, szorztánk, hánydosánk, z ( n ) c-szeresének, bszolút értékének nevezzük. A hánydos deníciójábn fel kell tennünk, hogy b n 0. Tétel. [konvergenci és m veletek kpcsolt] Konvergens soroztok összege, szorzt, hánydos (h értelmezve vn), konstnsszoros, bszolút értéke is konvergens, és e soroztok htárértékeinek összegéhez, szorztához, hánydosához, konstnsszorosához, bszolút értékéhez konvergál, zz h n, b n b (n ) kkor n + b n n b n n + b (n ), b (n ), b n b (n ), h b n, b 0, c n c (n ), n (n ). Bizonyítás. Itt csk z els állítást igzoljuk. Tetsz leges ε > 0 mellett mib l n < ε 2 h n > N ( ε 2), és b n b < ε 2 h n > N 2 ( ε 2), ( n + b n ) ( + b) < n + b n b < ε 2 + ε 2 = ε h n > N(ε) := mx { N ( ε 2 ) ( ε )}, N 2 és ezt kellett igzolni. Tétel. [konvergenci és rendezés kpcsolt] () Konvergens sorozt jeltrtó, zz h n 0 (n ), kkor vn olyn n 0 R, hogy sg n = sg h n > n 0. (2) A konvergenci meg rzi monotonitást, zz h n b n (n N) és n, b n b (n )), kkor b. (3) Érvényes rend rtétel, zz h n, b n (n ) és n x n b n (n N), kkor (x n ) is konvergens és x n, (n ).

13 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 3 Az els állításbn sg signum (el jel) függvényt jelöli, melynek deníciój sg x := h x > 0 0 h x = 0. h x < 0 Bizonyítás. Az els állítás igzolásához legyen ε = /2, kkor n < /2 h n > n 0 := N( /2). Innen /2 < n < + /2 h n > n 0 mib l > 0 ill. < 0 esetszétválsztássl dódik állításunk. A második állítást indirekt úton igzoljuk. H > b voln, kkor b > 0 így jeltrtóság mitt n b n > 0 voln elég ngy n-re, mi ellentmondás. A rend rtétel igzolás. Az n x n b n (n N) feltételb l n kivonásávl kpjuk, hogy 0 x n n b n n vgy x n n b n n < ε h n > N(ε) mi éppen zt jelenti, hogy x n n 0 (n ) mib l x n = (x n n ) + n ) + = h n. 3.3 B vített vlós számok, végtelenhez trtó soroztok Definíció. Az R b := R {+ } { } hlmzt b vített vlós számok hlmzánk nevezzük (+ helyett gykrn csupán -t írunk). M veletek R b -ben: bármely x R-re legyen Nincsennek értelmezve z lábbik: x + (± ) = (± ) + x = ± (± ) + (± ) = ± x(± ) = (± )x = ± h x > 0 x(± ) = (± )x = h x < 0 (± )(± ) = + (± )( ) = x ± = 0. (± ) + ( ), 0(± ), (± )0, ± ±, x 0. Rendezés: minden x R esetén, ( korábbi rendezés megtrtás mellett) < x < +. Megjegyzés. R b nem test! A htárérték foglmánk kiterjesztése. Az n = ( ) n, n = ( ) n, n = n, n = n 2 (n N) vlmennyien divergens soroztok, de közülük z els kett másképpen viselkedik, mint z utolsó kett : zok ngy n esetén -hez ill. -hez közelednek.

14 4 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Definíció. Azt mondjuk, hogy z ( n ) soroztnk htárértéke + bármely K R számhoz vn olyn N(K) R, hogy n > K h n > N(K). n < K + (vgy sorozt trt -hez) h Jelölése (z els esetben) n + (n ) vgy lim n =. n H n ( ) kkor sorozt divergens, de vn htárértéke. H + környezetein ]K, + [ intervllumokt, környezetein ], K[ intervllumokt értjük,hol K R tetsz leges, kkor egyszer belátni, hogy érvényes z lábbi Állítás. Egy sorozt htárértéke + (vgy ) kkor és cskis kkor, h + (vgy ) bármely környezetén kívül soroztnk csk véges sok eleme vn. Példák. Az n = n (n N) sorozt htárértéke +. Az n = n 2 (n N) sorozt htárértéke. Definíció. H A R felülr l nem korlátos kkor sup A :=. H A R lulról nem korlátos kkor inf A :=. Ezzel kiegészítéssel minden A R hlmznk vn supremum és inmum, de lehet hogy ezek végtelenek zz inf A sup A +. Továbbá minden monoton soroztnk vn htárértéke (R b -ben): növekv nem korlátos sorozt trt + -hez, csökken nem korlátos sorozt trt -hez. A htárérték és m veletek kpcsolt is kiterjeszthet, z lábbi tétellel. Tétel. H n, b n b (n ) hol most, b R b, c R, kkor n + b n + b (n ), h + b értelmezve vn, n b n b (n ), h b értelmezve vn, n b n b (n ), h b n 0, és értelmezve vn, b c n c (n ), h c értelmezve vn, továbbá h n kkor n 0 (n ). 3.4 Nevezetes htárértékek Tétel. () (2) n n + h > 0, h = 0, (n ) 0 h < 0. 0 h <, h =, + h >, (n ) divergens h.

15 (3) H > 0, kkor GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 5 n (n ). (4) H <, k R, kkor (5) n n (n ). (6) H R kkor (7) n n! + (n ). n k n 0 n n! (n ). 0 (n ). ( (8) Az n = + n) n (n N) sorozt szigorún monoton növekv és felülr l korlátos, n < 3, így konvergens. Htárértéke egy nevezetes szám, mit e-vel jelölünk, közelit értéke e = 2, 7... (9) H 0 c n 0, kkor ( + c n ) cn e (n ).

16 6 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Bizonyítások. () H = 0, kkor z állítás nyilvánvló, mert n 0 = minden n N-re. H > 0, kkor tetsz leges (pozitív) K-t véve n > K pontosn kkor, h n > K / így deníció lpján n +. H < 0, kkor n = n = 0, mivel most > 0. + (2) A Bernoulli egyenl tlenség szerint ( + x) n + nx, h n N, x és itt egyenl ség kkor, és cskis kkor teljesül, h n = vgy x = 0. H > kkor = + h, hol h > 0, így n = ( + h) n + nh, n +. Legyen most <. H = 0, kkor n = 0 n = 0 0. Így feltehetjük, hogy 0 < <, ezért n = ( ) n + = 0, mib l n 0. H =, kkor n =. H =, kkor n = ( ) n divergens. H <, kkor 2n = ( 2 ) n + mivel 2 >, és 2n = (2 ) n, így soroztunk divergens. (3) H, kkor b n := n 0, Bernoulli egyenl tlenség lpján kpjuk, hogy = ( + b n ) n + nb n, mib l 0 b n n. n Innen rend rtétellel dódik, hogy b n 0,. H 0 < <, kkor, z el z ek mitt n, n. (4) H k < 0, kkor sorozt els és második tényez je is zérushoz trt, így sorozt is. H k = 0 kkor 2. Állítás mitt n 0 n = n 0. H k > 0, kkor legyen k 0 egy k-nál ngyobb egész, és tegyük fel, hogy n > k 0. Vn olyn h > 0, hogy = + h, és 0 n k n nk0 A jobboldli kifejezést növelhetjük n n... n h k = (k 0 + )! 0+ (k 0 + )! n(n )... (n k 0) ( + h) n < n ( k0 n ). h k 0 + k 0 + h k0+ ( ) ( n... k 0 ) n (n k0 ) 0, mivel jobboldli szorzt második tényez jének nevez jében z els k 0 db. tényez -hez trt, míg z utolsó + -hez. Ezért rend rtétel mitt n k n 0, és z bszolút érték elhgyásávl kpott sorozt is nullához trt. (5) Legyen ε > 0 dott, lklmzzuk z el z állítást = + ε, k = -nél, kkor n ( + ε) n 0, mib l n ( + ε) n <, h n > N() = N (ε). Innen átrendezéssel, mjd gyökvonássl kpjuk, hogy zz n < ( + ε) n, ε < n n < + ε n n < ε h n > N (ε)

17 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 7 bizonyítv állításunkt. (6) Legyen n 0 egy -nél ngyobb természetes szám, n > n 0, kkor 0 n n! = n = n! n n 0!(n 0 + )(n 0 + 2)... n n n 0!(n 0 + ) n n0 = (n 0 + ) n0 n 0! ( ) n. n 0 + A jobboldli sorozt 0-hoz trt, mivel zárójeles tört bszolút értéke kisebb mint, így rend rtétel mitt n n! 0 es n n! 0. (7) A soroztunk szigorún monoton növekv, mert z egyenl tlenség ekvivlens z < (n + )n n! n n! < n+ (n + )! = n + n +... n + 2 n egyenl tlenséggel, mi igz, mert jobboldlon lev szorzt minden tényez je -nél ngyobb. Másrészt soroztunk nem korlátos felülr l, ugynis h z voln, kkor n n! K, n! K n, Kn n! következne, mi nem lehet, mert Kn 0 6. Állítás szerint. n! (8) A monotonitás igzolás: h n > kkor n n = ( + n ) n ( + ) n = n ( n + n ( n n ) n ) n = n n ( n + n ( n n ) n ) n = n n = n ( ) n n n 2 > n ( ) n n n 2 = n ( ) =, n n hol Bernoulli egyenl tlenség szigorú változtát hsználtuk. A korlátosság igzolás: binomiális tételt hsználv kpjuk, hogy n = ( + n) n = n k=0 ( n k ) n k. ( n 2 Az l (l = 0,..., k ) egyenl tlenséget hsználv z el z összeg áltlános tgját felülr l n megbecsüljük: ( n k ) n(n )... (n k + ) = nk n k = n! Ezt felhsználv kpjuk, hogy k! = 2... k = 2 k. n 2 ( ) ( 2 ) (... k ) n n n k! n n = + (/2)n /2 = + 2 ( /2 n ) < 3. (9) Nem bizonyítjuk. ) n

18 8 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 4. SOROK 4. Definíció, konvergenci, divergenci, összeg Definíció. Egy ( n ) (szám)sorozt elemeit z összedás jelével összekpcsolv kpott vgy n= összeget (szám)sornk (vgy numerikus sornk) nevezzük. n sor n-edik (vgy áltlános) tgj, s n := n = n (röviden n ) n k (n N) pedig sor n-edik részletösszege. A n sort konvergensnek nevezzük, h részletösszegeinek (s n ) sorozt konvergens, lim s n = s n htárértéket sor összegének nevezzük és zt irjuk, hogy n := lim n= n= k= k n= n = s, zz k n. A n sort divergensnek nevezzük, h nem konvergens. Megjegyzések.. Az összegezés kezd dhet n = 0-vl is. Kissé zvró, hogy sort és (konvergens sor esetén) z összegét is ugynzzl szimbólumml jelöltük. Ezt elkerülend sorokr inkább n (ill. h z összegzés n = 0-vl kezd dik n ) jelölést hsználjuk, sor összegét pedig inkább n -nel jelöljük mjd. 0 n= 2. H egy sorbn véges sok tgot megváltozttunk, sorból véges sok tgot elhgyunk, vgy véges sok tgot sorhoz hozzáveszünk, kkor sor konvergenciáj/divergenciáj nem változik, z összege viszont változht! Ez bból következik, hogy h z eredeti sor részletösszegeinek sorozt (s n ), kkor fenti változttások után kpott sor (S n ) részletösszegeire S n = s n + A h n > n 0 teljesül, vlmilyen A R és n 0 N mellett, hol A z új (megváltozttott) tgok és régiek különbsége. Innen láthtó, hogy (s n ) és (S n ) vgy mindketten konvergensek vgy divergensek, konvergenci esetén viszont lim S n = lim s n + A n n zz z összegek eltérése A. Divergens sornk természetesen nincs összege (bár, h s n ( ) kkor szokás zt mondni, hogy sor összege ( ). Példák.. Geometrii sor. A q n = + q + q sort, hol 0, R, q R geometrii sornk nevezzük. sor els tgj, q sor hánydos, vgy kvociense. Vizsgáljuk meg e sor konvergenciáját. A részletösszegek sorozt s n = + q + + q n (n N)

19 mit q-vl megszorozv GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 9 s n q = q + + q n + q n, így kivonássl s n s n q = q n vgy s n ( q) = ( q n ), mib l ( q és q = eseteket szétválsztv kpjuk, hogy s n = Figyelembevéve (q n ) sorozt viselkedését kpjuk, hogy s n ( q n ), h q, q n, h q =., h q <, q divergens, h q >, vgy q, divergens, h q =. Ezzel igzolást nyert következ Állítás. [geometrii sor konvergenciáj] A q n = + q + q , ( 0,, q R) geometii sor kkor és cskis kkor konvergens, h q < és kkor sor összege s = els tg = q kvociens. 2. Hrmónikus sor. A n = sort hrmónikus sornk nevezzük. 3 Állítás. [hrmónikus sor divergenciáj] A hrmónikus sor divergens. Bizonyítás. Vegyük észre, hogy sor s 2 n lkú részletösszegeire s 2 = + 2 = 3 2 s 2 2 = s 2 + ( 3 + ) 4 > = 4 2 s 2 3 = s ( ) 8 > = 5 2 s 2 4 = s ( ) 6 > = 6 2 áll fenn, és indukcióvl könnyen igzolhtó, hogy s 2 n > n (n = 2, 3,... ) így s 2 n (n ) mib l (s n ) szigorú monoton növekedése mitt s n (n ), igzolv állításunkt. Tétel. [sor konvergenciájánk szükséges feltétele] Konvergens sor áltlános tgj nullához konvergál. Azz, h n sor konvergens, kkor lim n = 0. n Így, h ( n ) divergens, vgy h ( n ) konvergens, de htárértéke nem 0, kkor n sor divergens. Bizonyítás. Világos, hogy n = s n s n így konvergens sor esetén s n s, s n s mitt n s s = 0 mint állítottuk. H n 0 kkor n sor lehet konvergens is és divergens is, utóbbir péld hrmónikus sor. A továbbikbn sorokt tgjik el jele szerint osztályozzuk, és vizsgáljuk.

20 20 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Definíciók. Egy sort lternáló sornk nevezzünk, h tgjink el jele váltkozik (pozitív tgot negtív tg követ vgy fordítv). Egy sort pozitív (negtív) tgú sornk nevezzünk, h tgji pozitívok (negtívok). Tetsz leges el jel tgok esetén sor tgjink z bszolút értékeib l lkotott sort vizsgáljuk. Alternáló sorokr vontkozik Leibniz tétele. [elegend feltétel lternáló sorok konvergenciájár] A ( ) n+ n ( n 0, n N) lternáló sor konvergens, h ( n ) monoton csökken en trt nullához, és ekkor sor s összegére, és részletösszegeinek (s n ) soroztár érvényes z s s n n+ (n N) becslés. Bizonyítás. ( n ) monoton csökkenése mitt s 2n+ = s 2n + ( ) 2n+ 2n + ( ) 2n+2 2n+ = s 2n + ( 2n + 2n+ ) s 2n s 2n+2 = s 2n + ( ) 2n+2 2n+ + ( ) 2n+3 2n+2 = s 2n + ( 2n+ 2n+2 ) s 2n s 2n = s 2n + ( ) 2n+ 2n = s 2n 2n s 2n zz (s 2n ) monoton csökken, (s 2n ) monoton növekv, és s 2n s 2n, mib l egy [s 2, s ] [s 4, s 3 ] [s 6, s 5 ]... intervllumsktulyázást kpunk, hol z intervllumok (Cntor tétele szerint nemüres) metszete csk egy pontból állht, mert z intervllumok s 2n s 2n = ( ) 2n+ 2n = 2n 0 (n ) hossz nullához trt. Legyen s fenti intervllumok egyetlen közös pontj, kkor s 2n s, s 2n s (n ) ezért s n s (n ) igzolv konvergenciár vontkozó állítást. A becslés igzolás: s s n = ( ) n+2 n+ + ( ) n+3 n+2 + ( ) n+4 n+3 + ( ) n+5 n+4 + ( ) n+6 n+5... = ( n+ n+2 ) + ( n+3 n+4 ) + ( n+5 n+6 ) +... = ( n+ n+2 ) + ( n+3 n+4 ) + ( n+5 n+6 ) +... = n+ [( n+2 n+3 ) + ( n+4 n+5 ) +... ] n+. Itt második sorbn z bszolút érték elhgyhtó, mivel tgok összege nemnegtív, z utolsó sorbn lev egyenl tlenség pedig zért igz, mert szögletes zárójelben lev összeg nemnegtív. Péld. A ( ) n+ n = sor konvergens, mert n = n 0 (n ) (csökken en). Érdekes megjegyezni, hogy e sor összege ln Pozitív tgú sorok A n sort kkor neveztük pozitív tgúnk, h n > 0 (n N) teljesül. Ilyen sorok részletösszegeire s n+ = s n + n+ > s n (n N), zz részletösszegek sorozt monoton növekv, ezért (s n ) kkor és cskis kkor konvergens h felülr l korlátos. Ezért pozitív tgú sor kkor és cskis kkor konvergens h részletösszegeinek sorozt felülr l korlátos. Ez megállpítás z lpj konvergencikritériumok (vgy konvergencitesztek) bizonyításánk. Tétel. [mjoráns- minoráns teszt] H 0 < n b n (k N) és

21 h GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 2 bn sor konvergens, kkor n sor is konvergens, n sor divergens, kkor b n sor is divergens. Megjegyzés. Azt mondjuk, hogy b n sor mjorálj n sort (vgy mi ugynz, n sor minorálj b n sort) h n b n (n N). Bizonyítás. Jelölje (s n ()) n sor részletösszegeinek soroztát, (s n (b)) pedig b n sor részletösszegeinek soroztát, kkor s n () s n (b) (n N). Az els esetben b n sor konvergens, így (s n (b)) felülr l korlátos, részletösszegekre vontkozo el bbi egyenl tlenség mitt (s n ()) is felülr l korlátos, ezért n sor konvergens. A második esetben n sor divergens, így (s n ()) felülr l nem korlátos, részletösszegekre vontkozo egyenl tlenség mitt (s n (b)) sem korlátos felülr l, ezért b n sor divergens. Tétel. [hánydos vgy D'Alembert teszt] Legyen n pozitív tgú sor. H n+ n h n+ n q < (n N) kkor n sor konvergens, (n N) kkor n sor divergens. Ezt tételt egy másik lkbn (limeszes lk) is kimondjuk. Legyen n pozitív tgú sor és tegyük fel, hogy lim k n+ n = L (L R b ). (i) H L < kkor n sor konvergens, (ii) h L > kkor n sor divergens, (iii) h L = kkor n sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Bizonyítás. H z els feltétel teljesül, kkor z 2 q, 3 2 q, 4 3 q,..., n n q egyenl ltlenségeket összeszorozv kpjuk, hogy n q n, mib l n q n (n N). Ez zt jelenti, hogy n sort q n konvergens (mert 0 q < mitt q < ) geometrii sor mjorálj, így mjoráns teszt lpján n sor konvergens. H második feltétel teljesül, kkor n+ n mitt konvergenci szükséges feltétele, z n 0 (n ) feltétel nem teljesül, sor divergens. A limeszes lk bizonyítás. H (i) teljesül kkor legyen r = L > 0. Az L htárérték r sugrú környezete 2 -nél kisebb értékeket trtlmz, e környezetén kívül z ( ) n+ soroztnk csk véges sok eleme vn, így n n+ n q (:= L + r < ) h n n 0

22 22 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. vlmely n 0 mellett, így (2) véges sok index kivételével teljesül, 4. szksz 2. megjegyzése lpján következik állításunk. (ii) mellett hsonló gondoltmenettel kpjuk, hogy (22) véges sok index kivételével teljesül, mib l következik, hogy ( n ) nem trtht 0-hoz, sor divergens. (iii) Végül, hrmónikus sornál L = és e sor divergens, sor konvergens, és e sornál szintén L =. n2 Utóbbi sor konvergenciáj pl. bból következik, hogy n (n ) n ( = + ) ( ) ( n ) = 2 n n < 2 így részletösszegek sorozt korlátos, sor konvergens. Tétel. [gyök vgy Cuchy teszt] Tegyük fel, hogy n 0 (n N). H n n q < (n N) kkor n sor konvergens, h n n (n N) kkor n sor divergens. Ezt tételt is kimondjuk limeszes lkbn. Legyen n 0 (n N), és tegyük fel, hogy lim n n = L (L R b ). n (j) H L < kkor n sor konvergens, (jj) h L > kkor n sor divergens, (jjj) h L = kkor n sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Bizonyítás. H tétel els feltétele teljesül, kkor z n q n, (n N) mi zt jelenti, hogy n sort q n konvergens geometrii sor mjorálj, így mjoráns teszt lpján n sor konvergens. H tétel második feltétele feltétele teljesül, kkor n mitt konvergenci szükséges feltétele, z n 0 (n ) feltétel, nem teljesül, sor divergens. A limeszes lk bizonyítás. H (j) teljesül kkor legyen r = L > 0. Az L htárérték r sugrú környezete 2 -nél kisebb értékeket trtlmz, e környezetén ívül z ( n n ) soroztnk csk véges sok eleme vn, így n n q (:= L + r < ) h n n 0 vlmely n 0 mellett, így (23) véges sok index kivételével teljesül, 4. szksz 2. megjegyzése lpján dódik állításunk. (jj) mellett hsonló gondoltmenettel kpjuk, hogy (24) véges sok index kivételével teljesül, mib l következik, hogy ( n ) nem trtht 0-hoz, sor divergens. (jjj) Végül, hrmónikus sornál L = és e sor divergens, sor konvergens, és e sornál szintén L =. n2 Igzolhtó, hogy gyök teszt er sebb, mint hánydos teszt (zz, h hánydos teszt eldönti konvergenciát/divergenciát kkor ugynezt teszi gyök teszt is), hánydos teszt lklmzás viszont áltlábn egyszer bb.

23 Példák.. A 2n n! GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 23 sor konvergens, mert hánydos teszt limeszes lkját lklmzv n+ n = 2n+ (n + )! n! 2 n = 2 n + 0 = L <. 2. A hol p R (hiperhrmonikus) sor divergens, h p 0, mert ekkor z áltlános tg nem trt 0-hoz. np p > 0 mellett mind hánydos, mind gyök teszt limeszes lkj L = -et d, segítségükkel konvergenci nem dönthet el. A Cuchy-féle kondenzációs teszt segítségével (ld. pl Ljkó jegyzet) kphtjuk, hogy A (p R) sor kkor és cskis kkor konvergens, h p >. np Ugyncsk ezzel teszttel dódik, hogy A 2 n(ln n) (p R) sor kkor és cskis kkor konvergens, h p >. p kezdenünk, mivel ln = Abszolút konvergenci, m veletek sorokkl Itt z összegezést n = 2-nél kell Definíciók. A n sort bszolút konvergensnek nevezzük, h n sor konvergens. A n sort feltételesen konvergensnek nevezzük, h sor konvergens de nem bszolút konvergens. Igzolhtó, hogy bszolút konvergens sor konvergens, fordított állítás viszont nem igz, mint ezt sor muttj. Utóbbi sor feltételesen konvergens. ( ) n+ n Az bszolút konvergenci eldöntésere lklmzhtók z el z szkszbn tárgylt tesztek. H n 0 (n N) és lim n n+ n lim n < kkor n sor bszolút konvergens, h n+ n kkor n sor divergens. n H lim n < kkor n sor bszolút konvergens, h n n kkor n sor divergens. n h lim n Legyen n egy dott sor és ϕ : N N egy bijektív leképezése N-nek önmgár, kkor ϕ(n) sort n sor (ϕ) bijekcióhoz trtozó) átrendezésének nevezzük. Például sor egy átrendezése sor, hol két pozitív tgot egy negtív tg követ.

24 24 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Az bszolút konvergens sorok fontos tuljdonság, z, hogy bármely átrendezésük is konvergens, és z átrendezett sor összege megegyezik z eredeti sor összegével. Feltételesen konvergens sorokr ez nem igz, s t, feltételesen konvergens sornk vn olyn átrendezése, mely divergens, vgy melynek összege egy tetsz legesen el írt szám. Könny belátni, hogy konvergens sor tetsz legesen zárójelezhet, és zárójelezett sor összege egyenl z eredeti sor összegével. Továbbá ( soroztokr vontkozó m veleti tuljdonságok mitt) konvergens sorok összegsor ( tgok összedásávl keletkez sor) és konvergens sor számszoros is konvergens és összegük kiinduló sorok összege és számszoros, zz, h n, b n konvergensek, c R kkor ( n + b n ), (c n ) is konvergensek és ( n + b n ) = n + b n, n= n= n= (c n ) = c n. A sorok szorzás lényegesen komplikáltbb. Definíció. A n és b n sorok Cuchy-féle szorztsor c n sor, melynek tgji n= c n := 0 b n + b n + + n b 0 = n= n k b n k. Tétel. Abszolút konvergens sorok Cuchy-féle szorztsor is bszolút konvergens, és összege tényez sorok összegének szorzt. k=0 4.4 Függvénysorok, htványsorok Definíciók. H egy sor tgji (zonos hlmzon értelmezett) függvények, kkor sort függvénysornk nevezzük. Legyenek f n : D R R (n N) vlós számok D részhlmzán értelmezett függvények. A f n (x) függvénysor konvergencihlmzát/divergencihlmzát zon x D pontok lkotják melyekre sor konvergens/divergens. A konvergencihlmz pontjibn értelmezhet sor összegfüggvénye (mint részletösszegek htárértéke). Definíció. A n (x ) n lkú függvénysort htványsornk nevezzük. n z n-edik együtthtó, pedig 0 sorfejtés középpontj. Vizsgáljuk meg n (x ) n htványsor bszolút konvergenciáját gyökteszttel. H n n (x ) n = x n n 0 (n ) x L < htványsor bszolút konvergens, > htványsor divergens, hol feltételeztük, hogy z ( n n ) soroztnk létezik z L htárértéke, 0 L.. L = 0 esetén x L = 0(<,) így htványsor minden x R mellett bszolút ( konvergens < L < esetén x L < (> ) kkor és cskis kkor, h x < L > L), ezért x < L esetén sor bszolút konvergens, míg x > L mellett sor divergens.

25 GAZDASÁGI MATEMATIKA I L = esetén x L = > h x, így ekkor sor divergens, míg x = esetén sor nyilván konvergens (ugynis nulldik tg kivételével z összes tg null). Definíció. Az r := L = n n lim n ( ) 0 :=, := 0 b vített vlós számot n (x ) n htványsor konvergencisugránk nevezzük. 0 Az el bbiek lpján állíthtjuk: H x < r, kkor htványsorunk bszolút konvergens, h x > r, kkor htványsorunk divergens. Péld. A geometrii sor esetén + x + x 2 + = h x < x konvergencisugár r =. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5. Függvény htárértéke Egy D R hlmz torlódási pontjink hlmzát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D ( D hlmz torlódási pontj). Azt mondjuk, hogy f-nek vn (véges) htárértéke z x 0 pontbn, h vn olyn R szám, hogy minden ε > 0-hoz vn olyn δ(ε) > 0, hogy f(x) < ε h 0 < x x 0 < δ(ε) és x D teljesül. Az R számot z f függvény x 0 pontbeli htárértékének nevezzük, és jelölésére z lim f(x) =, x x 0 vgy f(x) (x x 0 )-t hsználjuk. Állítás. A htárérték, h létezik, kkor egyértelm. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f-nek létezik véges htárértéke x 0 -bn, de nem egyértelm. Akkor vn két olyn szám, R, hogy minden ε > 0-hoz vnnk olyn δ(ε), δ (ε) > 0 számok, melyekre f(x) < ε h 0 < x x 0 < δ (ε) és x D f(x) < ε h 0 < x x 0 < δ (ε) és x D. Ebb l 0 = f(x) + f(x) < 2ε h 0 < x x 0 < min{δ(ε), δ (ε)} és x D. Mivel itt ε > 0 tetsz legesen kicsi, így = 0, =, mi ellentmondás, bizonyítv állításunkt. Megjegyzés. Htárérték létezhet z x 0 pontbn kkor is, h függvény nincs értelmezve pontbn de torlódási pontj nnk (egy hlmz torlódási pontj ui. nem feltétlenül pontj hlmznk). Éppen emitt lényeges denícióbn 0 < x x 0 feltétel, ez biztosítj zt, hogy x x 0. Tétel. [átviteli elv] Legyen f : D R R és x 0 D. f(x) = kkor és cskis kkor, h bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozt esetén lim x x 0 f(x n ) (n ).

26 26 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Másképpen megfoglmzv: z f függvény értelmezési trtományánk egy x 0 torlódási pontjábn kkor és cskis kkor lesz f htárértéke z szám, h z értelmezési trtományból bármely x 0 -hoz konvergáló (x n ) soroztot véve, melynek elemei x 0 -tól különböz ek, függvényértékek (f(x n )) sorozt hoz konvergál. Bizonyítás. H lim x x 0 f(x) =, és x 0 x n x 0 (n ), kkor δ(ε) > 0-hoz vn olyn N (δ(ε)) > 0, hogy x n x 0 < δ(ε) h n > N (δ(ε)), így f(x n ) < ε h n > N (δ(ε)), mi zt jelenti, hogy f(x n ) (n. Indirekt bizonyítást hsználunk. Tegyük fel, hogy bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozt esetén f(x n ) (n ), de lim f(x) = x x 0 nem teljesül. Ez utóbbi zt jelenti, hogy (ε > 0) (δ(ε) > 0) (x D) [(0 < x x 0 < δ(ε)) ( f(x) < ε)]. Ennek tgdás zt jelenti, hogy Innen δ(ε ) = n-t véve (ε > 0) (δ(ε ) > 0) (x D) [(0 < x x 0 < δ(ε )) ( f(x) ε )]. [( (x n D) 0 < x n x 0 < ) ] ( f(x n ) ε ) n de kkor x 0 x n x 0 (n ) és f(x n ) (n ), mi ellentmondás. Megjegyezzük, hogy P Q implikáció ekvivlens ( P ) Q-vl, így tgdás (P Q) = (( P ) Q) = P ( Q) lesz (itt tgdás m veletének logiki jele). Példák. ld. el dás. Átfoglmzás. f(x) < ε f(x) K(, ε) 0 < x x 0 < δ(ε) x D x (K(x 0, δ) \ {x 0 }) D hol K(, ε) z pont ε sugrú környezetét jelöli. Ennek segítségével deníció átfoglmzhtó: lim f(x) =, x x 0 h pont bármely K(, ε) környezetéhez vn x 0 -nk olyn K(x 0, δ) környezete, hogy h x (K(x 0, δ) \ {x 0 }) D, kkor f(x) K(, ε). Ez z átfoglmzás lehet séget d htárérték deníciójánk kiterjesztésére. Azt mondjuk, hogy + + torlódási pontj D R-nek, h bármely környezetében vn D-beli pont (mi nyilvánvlón mindig különböz + -t l).. A deníció kiterjeszthet rr z esetre, mikor x 0, R b. Például, z x 0 =, = esetben htárérték deníciój: legyen x 0 = torlódási pontj D-nek, kkor lim f(x) = zt jelenti, hogy hogy x bármely környezetéhez vn -nek olyn környezete, hogy h x-et ezen utóbbi környezet és D közös részéb l vesszük, kkor f(x) benne lesz el bbi környezetében. Vgy, mi ugynz, bármely K < 0 számhoz vn olyn δ(k) > 0 szám, hogy f(x) < K h x > δ(k), és x D.

27 GAZDASÁGI MATEMATIKA I Jobb- és bloldli htárérték (csk x 0 R-ben). Tegyük fel, x 0 D [x 0, + [ hlmz torlódási pontj. H D [x 0, + [ hlmzr lesz kített függvény D ], x 0 ] D ], x 0 ] htárértéke z x 0 pontbn z szám, kkor zt mondjuk, hogy jobboldli f bloldli htárértéke, és ezt lim f(x) = x x 0+0 lim x x 0 0 f(x) = -vl jelöljük. Másképpen foglmzv, legyen x 0 D [x 0, + [ hlmz torlódási pontj. Akkor mondjuk, hogy z f : D D ], x 0 ] R R függvénynek z szám jobboldli bloldli htárértéke z x 0 pontbn, h minden ε > 0-hoz vn olyn δ(ε) > 0, hogy 0 < x x f(x) < ε h 0 < δ(ε) és δ(ε) < x x 0 < 0 x D teljesül. Definíció. Legyenek f, g : D R R, kkor e függvények (pontonkénti) összegét, f c R-szeresét, szorztukt, hánydosukt z (f + g)(x) : = f(x) + g(x) (x D) (cf)(x) : = cf(x) (x D) (fg)(x) : = f(x)g(x) (x D) (f/g)(x) : = f(x)/g(x) (x D, g(x) 0) képletekkel értelmezzük. Tétel. [htárérték, monotonitás és m veletek] Legyenek f, g : D R R, x 0 D, és tegyük fel, hogy Akkor bármely c R mellett lim f(x) =, lim g(x) = b. x x 0 x x 0 lim (f + g)(x) x x 0 = + b, lim (cf)(x) x x 0 = c, lim (fg)(x) x x 0 = b, lim (f/g)(x) x x 0 = /b, h b 0. H f(x) g(x) (x D, x x 0 ), kkor b. H f(x) h(x) g(x) (x D, x x 0 ), és = b, kkor lim h(x) =. x x 0 Bizonyítás. Az átviteli elv lpján soroztok htárértékének tuljdonságiból következik. A tétel kkor is igz, h, b R b, x 0 R b, de ekkor meg kell követelnünk, hogy jobboldli kifejezések ( + b, c, b, /b) értelmezve legyenek. Definíció. A h(x) := g (f(x)) (x D) függvényt, hol f : D R R, g : f(d) R, z f és g függvényekb l összetett függvénynek nevezzük, f bels, g küls függvény. h jelölésére hsználjuk h = g f-t is (itt f(d) = { f(x) : x D } z f függvény értékkészlete). Tétel. [összetett függvény htárértéke] Legyen f : D R R, g : f(d) R, és h(x) := g (f(x)) (x D). H x 0 D, lim f(x) =, / f (D \ {x 0 }), x x 0 és lim g(x) = b y kkor lim h(x) = b. x x 0

28 28 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Bizonyítás. Legyen x 0 x n x 0 (n ) kkor y n := f(x n ) (n ) és y n f (D \ {x 0 }) ezért y n, így h(x n ) = g(y n ) b (n.) 5.2 Függvény folytonosság Definíció. Az f : D R R függvényt értelmezési trtományánk x 0 D pontjábn folytonosnk nevezzük, h bármely ε > 0-hoz vn olyn δ(ε) > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < ε h x x 0 < δ(ε) és x D teljesül. H x 0 D D kkor f folytonos x 0 -bn kkor, és cskis kkor, h lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 H x 0 D, de x 0 / D, kkor x 0 D izolált pontj, izolált pontokbn f deníció lpján mindig folytonos. Tétel. [átviteli elv függvény folytonosságár] Az f : D R R függvény folytonos z x 0 D pontbn kkor és cskis kkor, h bármely (x n ) : N D, x n x 0 (n ) sorozt esetén f(x n ) f(x 0 ) (n ). Környezetes átfoglmzás. Az f : D R R függvény folytonos z x 0 D pontbn kkor és cskis kkor, h f(x 0 ) bármely K(f(x 0 ), ε) környezetéhez vn x 0 -nk olyn K(x 0, δ) környezete, hogy h x K(x 0, δ), kkor f(x) K(f(x 0 ), ε). Tétel. [folytonosság es m veletek] H f, g : D R R folytonosk z x 0 D pontbn, kkor f + g, cf, fg, f/g (h g(x 0 ) 0) is folytonosk x 0 -bn. Továbbá, h(x) = g (f(x)) (x D) összetett függvény (hol f : D R R, g : f(d) R) folytonos x 0 -bn, h f folytonos x 0 -bn és g folytonos z y 0 := f(x 0 ) pontbn. 5.3 Folytonos függvények globális tuljdonsági Definíciók. Az f : D R R függvényt lulról felülr l korlátosnk nevezzük, h értékkészlete lulról felülr l korlátos. Az f : D R R függvényt monoton növekv nek csökken nek nevezzük D n, h bármely x < x 2, x, x 2 D esetén f(x ) f(x 2 ) f(x ) f(x 2 ) teljesül. Az f : D R R függvényt szigorún monoton növekv nek csökken nek nevezzük D n, h bármely x < x 2, x, x 2 D esetén f(x ) < f(x 2 ) f(x ) > f(x 2 ) teljesül. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek lokális (helyi) mximum minimum z x 0 D pontbn, h vn olyn ε > 0 hogy f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f(x) teljesül minden x K(x 0, ε) D esetén.

29 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 29 Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek szigorú lokális (helyi) mximum minimum z x 0 D pontbn, h vn olyn ε > 0 hogy f(x 0 ) > f(x) teljesül minden f(x 0 ) < f(x) x K(x 0, ε) D, x x 0 esetén. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek globális (bszolút) mximum minimum vn z x 0 D pontbn, h f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f(x) teljesül minden x D esetén. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek szigorú globális (bszolút) mximum minimum vn z x 0 D pontbn, h f(x 0 ) > f(x) f(x 0 ) < f(x) teljesül minden x D, x x 0 esetén. Állítás. Folytonos függvény jeltrtó, zz h f : D R R folytonos z x 0 D pontbn, és f(x 0 ) 0 kkor vn olyn δ > 0 hogy sg f(x) = sg f(x 0 ) h x K(x 0, δ) D, hol sg szignum (el jel) függvényt jelöli. Bizonyítás. A folytonosság mitt ε := f(x 0 ) /2-höz vn olyn δ > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < f(x 0 ) /2 h x x 0 < δ(ε) és x D. Legyen pl. f(x 0 ) > 0, kkor z el z egyenl tlenséget részletesen kiírv kpjuk, hogy f(x 0 )/2 < f(x) f(x 0 ) < f(x 0 )/2, vgy f(x 0 )/2 < f(x) (< 3f(x 0 )/2), h x G(x 0, δ) D, mi muttj állításunk helyességét. Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvény folytonos z A D hlmzon, h f z A hlmz minden pontjábn folytonos. Tétel. [folytonos függvény korlátosság] Korlátos zárt intervllumon folytonos függvény korlátos. Azz h f : [, b] R folytonos [, b]-n, kkor vnnk olyn k, K R melyekre k f(x) K minden x [, b] mellett. Bizonyítás. Tegyük fel állításunkkl ellentétben, hogy pl. f nem korlátos felülr l. Akkor minden n N-hez vn olyn x n [, b], hogy f(x n ) > n. Tekintsük z A := { x n : n N } hlmzt. H A véges hlmz, kkor vn olyn x k0 eleme A-nk, hogy x n = x k0 véges sok n index kivételével, zz, x n = x k0 h n > n 0. H A végtelen hlmz, kkor Bolzno-Weierstrss tétel lpján A-nk vn (leglább egy) x 0 torlódási pontj. x n [, b] és [, b] zártság mitt x 0 [, b]. Vegyünk z x 0 pont K(x 0, ) környezetéb l egy x 0 -tól különböz A-beli x n pontot. Ezután z x 0 pont K(x 0, d ) környezetéb l, hol d = x n x 0, válsszunk egy olyn x 0 -tól különböz x n2 A pontot melyre n 2 > n legyen (ilyen biztosn vn, mert z x 0 pont bármely környezete végtelen sok A-beli pontot trtlmz, egyébként x 0 nem lehetne A torlódási pontj). Az x n3 pontot K(x 0, d 2 ) környezetb l válsztjuk, hol d 2 = x n2 x 0, úgy, hogy x n3 x 0, és n 3 > n 2 legyen. Hsonlón

30 30 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. folyttv, egy olyn x nk A (k N) soroztot kpunk mely x 0 -hoz konvergál. (Az x nk (k N) soroztot z x n (n N) sorozt részsoroztánk nevezzük). Mivel véges A esetén x nk := x k (k N), x 0 := x k0 -t véve ugynez helyzet, így mondhtjuk, hogy z x n (n N) soroztból mind véges, mind végtelen A esetén kiválszthtó egy x 0 [, b]-hez konvergáló részsorozt. Mivel feltevésünk szerint f(x nk ) > n k (k N) így k -vel f x 0 -beli folytonosság mitt kpjuk, hogy f(x 0 ), mi ellentmondás, bizonyítv állításunkt. Tétel. [mximum, minimum létezése] Korlátos zárt intervllumon folytonos függvény felveszi függvényértékek szuprémumát és inmumát függvényértékként. Azz h f : [, b] R folytonos [, b]-n, és m := inf{ f(x) : x [, b] }, M := sup{ f(x) : x [, b] } kkor vnnk olyn x m, x M [, b] melyekre f(x m ) = m, f(x M ) = M. Azt is mondhtjuk, hogy korlátos zárt intervllumon folytonos függvénynek vn mximum és minimum ezen z intervllumon. Bizonyítás. Azt muttjuk meg, hogy vn olyn x M [, b] melyre f(x M ) = M, másik állítás igzolás hsonló. Tetsz leges n N esetén M n nem fels korlátj függvényértékeknek, igy vn olyn x n [, b], hogy M n < f(x n) M (n N). Az el z tétel bizonyításához hsonlón, kiválszthtó z x n (n N) soroztból egy olyn x nk (k N) részsorozt, mely vlmely x M [, b] elemhez konvergál. De kkor M n k < f(x nk ) M (k N), mib l k -vel folytonosság mitt M f(x M ) M dódik, zz f(x M ) = M. Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvény egyenletesen folytonos D D hlmzon, h bármely ε > 0-hoz vn olyn (csk ε-tól függ ) δ(ε) > 0 melyre f(x) f(y) < ε h x y < δ(ε) és x, y D teljesül. H f csupán folytonos D -en kkor bármely ε > 0-hoz és bármely y D -hez vn olyn (y-tól is függ ) δ(ε, y) > 0 melyre f(x) f(y) < ε h x y < δ(ε, y) és x D teljesül. Tétel. [Cntor tétele] Korlátos zárt intervllumon folytonos függvény ott egyenletesen folytonos. Nem bizonyítjuk. Tétel. [közbens értékek tétele] Egy intervllumon folytonos függvény felvesz bármely két függvényérték közötti értéket is függvényértékként. Azz, h f : I R folytonos z I intervllumon, és f(α) y 0 f(β)

31 vlmely α, β I-re, kkor vn olyn x 0 z α, β között, melyre GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 3 f(x 0 ) = y 0. Ebb l következik, hogy egy intervllumon folytonos függvény értékkészlete is egy intervllum. Bizonyítás. Feltehet, hogy f(α) < y 0 < f(β). A htározottság mitt tegyük fel, hogy α < β és legyen A = { x [α, β] : f(x) < y 0 }. A felülr l korlátos, nemüres hlmz, így vn pontos fels korlátj: sup A = x 0 [α, β]. Megmuttjuk, hogy f(x 0 ) = y 0. H f(x 0 ) > y 0 voln, kkor z x f(x) y 0 függvény x 0 -beli jeltrtóság mitt x 0 egy [α, β]-b es környezetében is f(x) > y 0 voln, de kkor x 0 csk ugy lehetne fels korlátj A-nk, h x 0 = α, mib l f(α) = f(x 0 ) > y 0 dódik, mi ellentmond feltételezésünknek. H f(x 0 ) < y 0 voln, kkor z x f(x) y 0 függvény x 0 -beli jeltrtóság mitt x 0 egy [α, β]-b es környezetében is f(x) < y 0 voln, de kkor x 0 csk ugy lehetne fels korlátj A-nk, h x 0 = β, mib l f(β) = f(x 0 ) < y 0 dódik, mi ismét ellentmond feltételezésünknek. Így csk f(x 0 ) = y 0 lehet, bizonyítv állításunkt. Tétel. [inverz függvény folytonosság] Egy intervllumon folytonos, szigorún monoton függvény injektív, és inverze is folytonos, és szigorún monoton (ugynolyn értelemben mint z eredeti függvény). Azz h f : I R folytonos, szigorún monoton z I intervllumon kkor f injektív, és z f : J I (létez ) inverz függvény folytonos J-n, és ugynolyn értelemben monoton, mint f (hol J := f(i) = { f(x) : x I } z f függvény értékkészlete). Nem bizonyítjuk. Szigorú monotonitás helyett injektivitást feltéve is folytonos z inverz függvény. Tétel. [inverz függvény folytonosság] Egy intervllumon folytonos és injektív függvény inverze is folytonos. Azz h f : I R folytonos és injektív z I intervllumon és J := f(i) = { f(x) : x I } z f függvény értékkészlete, kkor z f : J I inverz függvény folytonos J-n. Nem bizonyítjuk. 5.4 Az elemi függvények folytonosság Az exponenciális és trigonometrikus függvények középiskolábn tnult denícióját elfogdv további fontos függvényeket deniálunk. Definíciók. ln x := z e x függvény inverze, ln :]0, [ R, x := e x ln (x R) hol > 0, log x := z x függvény inverze, hol 0 <, log :]0, [ R. A trigonometrikus függvények inverzeit z lábbi módon deniáljuk.

32 32 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Definíciók. rcsin x := sin [ π 2, π 2 ] x függvény inverze, rcsin : [, ] [ π 2, ] π 2, rccos x := cos [0,π] x függvény inverze, rccos : [, ] [0, π], rctn x := tn ] π 2, π 2 [ x függvény inverze, rctn : R ] π 2, π 2 [, rcctg x := ctg ]0,π[ x függvény inverze, rcctg : R ]0, π[ Definíció. Az f(x) = c (x R), (hol c R tetsz leges konstns), f(x) = x (x R), f(x) = e x (x R), f(x) = ln x (x > 0), f(x) = sin x (x R), f(x) = rcsin x (x [, ]) függvényeket, és ezekb l 4 lpm velet (összedás, kivonás, szorzás, osztás), összetett függvény képzése, lesz kítés egy intervllumr operációk véges sokszori lklmzásávl keletkez függvényeket elemi függvényeknek nevezzük. Tétel. A f(x) = x α := e α ln x (x > 0) áltlános htványfüggvény, trigonometrikus függvények és inverzeik, polinomok, rcionális törtfüggvények (zz polinomok hánydosi) elemi függvények. Bizonyítás. Ezen függvények ismert zonosságok felhsználásávl kifejezhet k deníció els részében felsorolt 6 elemi függvény segítségével 4 lpm velet és összetett függvény képzése áltl. Tétel. Az elemi függvények folytonosk. Bizonyítás. Elég z f(x) = c, x, e x, sin x függvények folytonosságát igzolni (ezekb l z inverz függvény folytonoss ágár vontkozó tétel mitt következik z f(x) = ln x, rcsin x folytnosság, mjd folytonosság és m veletek kpcsolt mitt tétel. f(x) = c, f(x) = x folytonosság deníció lpján nyilvánvló. A sin függvény folytonosság sin x sin x 0 = 2 sin x x 0 2 cos x + x 0 2 x x 0 < ε h x x 0 < δ(ε) = ε mitt következik. Az exponenciális függvény folytonosságt nehezebb igzolni, itt nem bizonyitjuk. Tétel. 5.5 Nevezetes függvényhtárértékek lim ( + x) e x sin x x = e, lim =, lim x 0 x 0 x x 0 x =. Bizonyítás. Az els állítás soroztok htárértékére vontkozó lim ( + x n) xn = e h 0 x n 0 (n ) n egyenl ségb l következik. A másodikt úgy igzolhtjuk, hogy y = e x trnszformációvl y 0 h x 0, így lim x 0 e x x y = lim y 0 ln(y + ) = lim y 0 ln( + y) y Az utolsó igzolásához felhsználjuk geometrii meggondolásból dódó sin x < x < tg x h 0 < x < π 2 = ln e =.

33 egyenl tlenséget. Ebb l sin x-szel vló osztássl < x sin x < cos x, és x 0-vl rend rtétel lpján dódik állításunk. GAZDASÁGI MATEMATIKA I DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6. Differenciálhtóság, differenciálási szbályok Definíció. Az f : I R (I R egy nem elfjult intervllum) függvényt dierenciálhtónk nevezzük z x 0 I pontbn, h létezik f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 (véges) htárérték. E htárértéket z f függvény x 0 pontbeli dierenciálhánydosánk vgy deriváltjánk nevezzük, és df ll, vgy f (x 0 )-lel jelöljük. dx (x 0)- A derivált jelentése. Az f(x) f(x0) x x 0 hánydost z f függvény [x 0, x] intervllumon vett dierencihánydosánk nevezzük. Ez függvény változásánk átlgsebességét dj, f (x 0 ) pedig z x 0 pontbeli sebességet. Speciálisn, h x =id, f(x)= út, kkor f (x 0 ) z x 0 id pontbn z f áltl leírt mozgás pillntnyi sebessége. A derivált geometrii jelentése. Az f(x) f(x 0) x x 0 dierencihánydos z f gráfjánk (x 0, f(x 0 )) és (x, f(x)) pontjit összeköt szel jének z iránytngense, míg f (x 0 ) z f gráfjához z (x 0, f(x 0 )) pontbn húzott érint iránytngense. Megjegyzések. H x 0 z I intervllum vlemelyik végpontj, kkor fenti deníció egyoldli deriváltt d. A dierenciálhtóság pontbeli tuljdonság. Az f(x) = x (x R) függvény z x 0 = 0 pont kivételével mindenütt dierenciálhtó, de x 0 = 0-bn nem dierenciálhtó. Minden olyn x I pontbn hol f dierenciálhtó, értelmezhetjük z f (x) derivált függvényt. Állítás. H f dierenciálhtó egy pontbn, kkor ott folytonos is. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f dierenciálhtó z x 0 pontbn, kkor f(x) f(x 0 ) = f(x) f(x 0) (x x 0 ) f (x 0 ) 0 = 0 h x x 0, x x 0 f(x) = f(x 0 ), x x 0 zz f folytonos x 0 -bn. Tétel. [dierenciálási szbályok] Tegyük fel, hogy f, g : I R dierenciálhtók x 0 -bn, c R kkor így lim f + g is dierenciálhtó x 0 -bn és (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), cf is dierenciálhtó x 0 -bn és (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ), fg is dierenciálhtó x 0 -bn és (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ), h g(x 0 ) 0 kkor f g is dierenciálhtó x 0 -bn és ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g g 2. (x 0 )

34 34 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Bizonyítás. A htárérték tuljdonságit gyelembevéve kpjuk, hogy (f + g)(x) (f + g)(x 0 ) x x 0 = f(x) f(x 0) x x 0 + g(x) g(x 0) x x 0 f (x 0 ) + g (x 0 ), h x x 0 (cf)(x) (cf)(x 0 ) x x 0 = c f(x) f(x 0) x x 0 cf (x 0 ), h x x 0 (fg)(x) (fg)(x 0 ) x x 0 = f(x)g(x) f(x 0)g(x 0 ) x x 0 = f(x)g(x) f(x 0)g(x) + f(x 0 )g(x) f(x 0 )g(x 0 ) x x 0 ( ) ( ) f f (x) (x 0 ) g g = x x 0 = f(x) f(x 0) x x 0 g(x) + f(x 0 ) g(x) g(x 0) x x 0 f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ), h x x 0 f(x) g(x) f(x 0) g(x 0 ) = x x 0 f(x)g(x 0 ) f(x 0 )g(x) g(x)g(x 0 ) x x 0 f(x)g(x 0 ) f(x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g(x) = g(x)g(x 0 ) x x 0 ( f(x) f(x0 ) = g(x 0 ) f(x 0 ) g(x) g(x ) 0) g(x)g(x 0 ) x x 0 x x 0 f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g 2, h x x 0 (x 0 ) bizonyítv tételünket. Tétel. [dierenciálhtóság és lineáris pproximálhtóság] Az f : I R függvény kkor és cskis kkor dierenciálhtó z x 0 I pontbn, h vn olyn A konstns, hogy f(x) f(x () 0 ) A(x x 0 ) lim = 0. x x 0 x x 0 H (8) teljesül, kkor A = f (x 0 ). Bizonyítás. H f dierenciálhtó x 0 -bn, úgy A = f (x 0 )-ll kpjuk, hogy, f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) lim = lim x x 0 x x 0 x x 0 zz (8) teljesül. Fordítv, h (8) teljesül, kkor ( f(x) f(x0 ) x x 0 f (x 0 ) ) = f (x 0 ) f (x 0 ) = 0, f(x) f(x 0 ) x x 0 = f(x) f(x 0) A(x x 0 ) + A(x x 0 ) x x 0 = f(x) f(x 0) A(x x 0 ) x x 0 A 0 + A = A, így f dierenciálhtó x 0 -bn, és f (x 0 ) = A, mint állítottuk. Megjegyzés. H (8)-ben limesz jel utáni törtfüggvényt ε(x)-szel jelöljük, kkor, (2) f(x) f(x 0 ) = A(x x 0 ) + ε(x)(x x 0 ) és lim ε(x) = 0. x x 0 Ezért z el z tétel megfoglmzhtó z lábbi módon is. Az f : I R függvény kkor és cskis kkor dierenciálhtó z x 0 I pontbn, h vn olyn A konstns, és ε : I R függvény, hogy (9) teljesül. Továbbá, h (9) teljesül, kkor A = f (x 0 ).

35 (9) lpján GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 35 f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) zz, z f függvény f(x) f(x 0 ) növekménye z A(x x 0 ) lineáris függvénnyel pproximálhtó (közelíthet ), közelítés ε(x)(x x 0 ) hibáj kicsi, mivel ε(x) nullához trt, h x trt x 0 -hoz. Tétel. [összetett függvény dierenciálhtóság] Legyen f : I R, J := f(i) z f értékészlete, g : J R és h = g f. H f dierenciálhtó x 0 I-ben, g dierenciálhtó y 0 := f(x 0 ) J-ben, kkor h összetett függvény dierenciálhtó x 0 -bn, és h (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). Bizonyítás. (9) felhsználásávl, feltételeink mitt mib l y = f(x)-szel f(x) f(x 0 ) = (A + ε(x))(x x 0 ), hol A = f (x 0 ), lim x x 0 ε(x) = 0, g(y) g(y 0 ) = (B + η(y))(y y 0 ), hol B = g (y 0 ), lim y y 0 η(y) = 0, h(x) h(x 0 ) = g(f(x)) g(f(x 0 )) = g(y) g(y 0 ) = (B + η(y))(y y 0 ) = (B + η(y))(a + ε(x))(x x 0 ) = BA(x x 0 ) + (Bε(x) + Aη(y) + η(y)ε(x))(x x 0 ). Megmuttjuk, hogy Bε(x) + Aη(y) + η(y)ε(x) 0 (x x 0 ). Mivel x x 0 esetén y = f(x) y 0 = f(x 0 ) így η(y) = η(f(x)) 0, ezért z el bbi háromtgú összeg minden tgj nullához trt. Ebb l következik, hogy h dierenciálhtó x 0 -bn és h (x 0 ) = BA = g (f(x 0 ))f (x 0 ) igzolv állításunkt. Tétel. [inverz függvény dierenciálhtóság] Tegyük fel, hogy f : I R invertálhtó, folytonos I-n, dierenciálhtó x 0 I-ben, és f (x 0 ) 0. Akkor z f : f(i) I inverz függvény dierenciálhtó y 0 := f(x 0 )-bn, és ( f ) (y0 ) = f (f (y 0 )). Bizonyítás. Legyen y n f(i), y 0 y n y 0 (n ), kkor f folytonosság mitt x n = f (y n ) f (y 0 ) = x 0 nd x n x 0 (z invertálhtóság mitt). Ezért f (y n ) f (y 0 ) x n x 0 = y n y 0 f(x n ) f(x 0 ) = f(x n ) f(x 0 ) x n x 0 ) f (x 0 ) = f (f (y 0 )). 6.2 Az elemi függvények deriváltji A legfontosbb elemi függvények deriváltjit htározzuk meg z lábbi tételben.

36 36 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Tétel. [z elemi függvények deriváltji] (c) = 0 (x R, c R tetsz leges konstns), (e x ) = e x (x R), (sin x) = cos x (x R), (cos x) = sin x (x R), (ln x) = x (x > 0), (tg x) = cos 2 x (ctg x) = sin 2 x (x R, x π + kπ, k Z), 2 (x R, x kπ, k Z), ( x ) = c ln (x R, 0 < ), (x α ) = αx α (x > 0, h α R; x R, h α N), (log x) = x ln (rcsin x) = x 2 (x > 0, 0 < ), ( x < ), (rccos x) = x 2 ( x < ), (rctg x) = + x 2 (x R), (rcctg x) = + x 2 (x R), Bizonyítás. Az els három állítást derivált deníciój lpján igzoljuk, felhsználv nevezetes htárértékeket. H x x 0 kkor c c x x 0 = 0 0, sin x sin x 2 sin x x 0 cos x + x 0 0 = 2 2 = x x 0 x x 0 e x e x0 x x 0 = e x0 ex x0 x x 0 e x0 = e x0, sin x x 0 2 x x 0 2 Az összetett függvény dierenciálási szbályát lklmzv kpjuk, hogy (cos x) = Mivel ln z exponenciális függvény inverze, így cos x + x 0 2 ( ( π )) ( π ) sin 2 x = cos 2 x ( ) = sin x. (ln x) = e ln x = x. cos x 0.

37 Tört ill. összetett függvény dierenciálási szbályát hsználv (tg x) = (ctg x) = GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 37 ( ) sin x = cos x cos x cos x ( sin x) sin x cos 2 x = cos 2 x, ( cos x ) ( sin x) sin x cos x cos x = sin x sin 2 = x sin 2 x, ( x ) = ( e x ln ) = e x ln ln = x ln, (x α ) = ( e α ln x) = e α ln x α x = xα α x = αxα, (log x) = ( ) ln x = ln x ln = x ln. A trigonometrikus függvények inverzeinek deriváltjir vontkozó állítások közül csk z els t igzoljuk, többi hsonlón bizonyíthtó. Mivel így rcsin = sin (rcsin x) = [ π 2, π 2 ] ( ), [ π 2, π 2 ]-re lesz kített sin függvény inverze sin (rcsin x) = cos(rcsin x) = =, sin 2 (rcsin x) x 2 hol felhsználtuk zt, hogy x < mellett π 2 < rcsin x < π, ezért cos(rcsin x) > 0, négyzetgyöknek 2 pozitív értékét kellett vennünk. Megjegyezzük, hogy rcsin, rccos értelmezési trtomány x de ezen intervllum, végpontjibn e függvények nem dierenciálhtók (deriváltjuk (+ vgy lesz). Tétel. [z elemi függvények dierenciálhtóság] Az elemi függvények értelmezési trtományuk bels pontjibn dierenciálhtók. Bizonyítás. Állításunk következik z el z tételböl, és z összetett függvény dierenciálhtósági tételéb l. 6.3 Középértéktételek és lklmzásik Tétel. [lokális széls érték szükséges feltétele] H f : I R dierenciálhtó z x 0 I (I jelöli I bels pontjink hlmzát, vgy belsejét) bels pontbn, és f-nek x 0 -bn lokális széls értéke vn, kkor f (x 0 ) = 0. Bizonyítás. H pl. x 0 -bn lokális mximum vn kkor f(x 0 ) f(x), feltéve, hogy x elég közel vn x 0 -hoz, így f(x) f(x 0 ) 0, h x > x 0, mib l x x 0 htárátmenettel f (x 0 ) 0, x x 0 és hsonlón f(x) f(x 0 ) 0, h x < x 0, mib l x x 0 htárátmenettel f (x 0 ) 0, x x 0 így f (x 0 ) = 0. Lényeges, hogy x 0 z I intervllum bels pontj!

38 38 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Tétel. [Cuchy-féle középértéktétel] Legyenek f, g : [, b] R folytonosk [, b]-n, dierenciálhtók ], b[-n, kkor vn olyn ξ ], b[ melyre vgy, h g (x) 0 (x ], b[) kkor Bizonyítás. Legyen (f(b) f()) g (ξ) = (g(b) g()) f (ξ), f (ξ) f(b) f() g = (ξ) g(b) g(). h(x) := (f(b) f()) g(x) (g(b) g()) f(x) (x [, b]), kkor h függvény folytonos [, b]-n, dierenciálhtó ], b[-n, és h() = h(b). Azt kell igzolnunk, hogy vlmely ξ ], b[-re h (ξ) = 0. H h konstns z [, b]-n, kkor ξ-nek ], b[ bármely pontját válszthtjuk. H h nem konstns z [, b]-n, kkor h-nk vn h() = h(b)-nél ngyobb, vgy kisebb függvényértéke, például vn olyn x melyre h(x) > h(). Mivel folytonos függvény felveszi függvényértékek suprémumát, így vn olyn ξ, hogy h(ξ) = sup h(x). x [,b] ξ, ξ b mitt ξ bels pontj [, b]-nek, z el z tétel lpján h (ξ) = 0. A tétel geometrii jelentése: létezik olyn ξ ], b[, hogy z x = g(t), y = f(t) (t [, b]) prméteres lkbn megdott görbe (g(), f()) és (g(b), f(b)) végpontjit összeköt szel párhuzmos görbe (g(ξ), f(ξ)) pontbeli érint jével. Tétel. [Lgrnge-féle középértéktétel] Legyen f : [, b] R folytonos [, b]-n, dierenciálhtó ], b[-n, kkor vn olyn ξ ], b[ melyre f (ξ) = f(b) f(). b Bizonyítás. Az el z tétel speciális esete g(x) = x válsztássl. A tétel geometrii jelentése: létezik olyn ξ ], b[, hogy z f gráfjánk, (, f()) és (b, f(b)) végpontjit összeköt szel párhuzmos gráf (ξ, f(ξ)) pontbeli érint jével. Tétel. [Rolle-féle középértéktétel] Legyen f : [, b] R folytonos [, b]-n, dierenciálhtó ], b[-n, f() = f(b), kkor vn olyn ξ ], b[ melyre f (ξ) = f(b) f() b = 0. Bizonyítás. Az el z tétel speciális esete. A monotonitás és deriváltk kpcsoltát írj le következ

39 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 39 Tétel. [monotonitás és deriváltk] Legyen f : I R dierenciálhtó I-n, kkor f monoton növekv I-n, kkor és cskis kkor, h f (x) 0 (x I), f monoton csökken I-n, f konstns I-n, f szigorún monoton növekv I-n, f szigorún monoton csökken I-n, kkor és cskis kkor, h f (x) 0 (x I), kkor és cskis kkor, h f (x) = 0 (x I), h f (x) > 0 (x I), h f (x) < 0 (x I). Bizonyítás. Csk z els állítást bizonyítjuk, többi bizonyítás hsonló. H f monoton növekv, úgy x, x 0 I mellett x > x 0 esetén f(x) f(x 0) x x 0 0, x < x 0 esetén f(x) f(x 0) x x 0 0, így x x 0 htárátmenettel f (x 0 ) 0 (x 0 I). Fordítv, h f (x) 0 (x I) kkor tetsz leges x, y I, x < y esetén Lgrnge-féle középértéktétel lpján f(y) f(x) = f (ξ)(y x) 0 így f monoton növekv. Tétel. [L'Hospitl szbály] Legyenek f, g :], b[ R dierenciálhtók ], b[-n, (hol most, b R b ) és g (x) 0 (x ], b[). H f (3) (x) lim x +0 g (x) = A véges vgy végtelen htárérték létezik, és (4) lim f(x) = x +0 kkor lim g(x) = 0 vgy lim g(x) = + ( ), x +0 x +0 f(x) lim x +0 g(x) = A. Megjegyzés. A tétel kkor is érvényes, h x + 0 helyett mindenütt x b 0-t, illetve x c-t írunk hol c z ], b[ egy bels pontj. Bizonyítás. Csk bbn speciális esetben bizonyítunk mikor, A R, és lim f(x) = x +0 teljesül. El ször kiterjesztjük f, g-t z [, b[ intervllumr, z lim g(x) = 0 x +0 f() = g() := 0 deníciók áltl. Ezzel f, g folytonosk [, b[-n. Az [, x] ( < x < b)-re Rolle tételt lklmzv, g(x) = g(x) g() = g (ξ)(x ) 0,

40 40 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. így g(x) 0, (x ], b[). A Cuchy-féle középértéktételt z [, x] intervllumon lklmzv kpjuk, hogy f(x) f(x) f() = g(x) g(x) g() = f (ξ) g (ξ) A h x + 0, ugynis, ekkor < ξ < x mitt, ξ + 0 is teljesül. 6.4 Mgsbbren deriváltk, konvexitás Definíció. Tegyük fel, hogy z f : I R függvény els deriváltj létezik z x 0 I pontnk egy (leglább egyoldli) környezetében, kkor f második deriváltját -szel, vgy f (x 0 ) = lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 f (x 0 ) := (f ) (x 0 ) -ll deniáljuk, és hsonlón, z f függvény (n + )-edik deriváltj f (n+) (x 0 ) := ( f (n)) (x0 ). Ahhoz, hogy f (n+) (x 0 ) létezhessen f (n) -nek x 0 egy (leglább egyoldli) környezetében léteznie kell. Néhány függvény mgsbbrend deriváltjit egyszer en kiszámolhtjuk: f(x) = e x esetén f (n) (x) = e x, h g(x) = sin x kkor g (x) = cos x, g (x) = sin x, g (x) = cos x, g IV (x) = sin x, z n-edik deriváltr g (n) (x) = sin ( x + n π 2 ). Ugynkkor összetett függvények mgsbbrend deriváltji áltlábn ngyon komplikáltk. Definíció. Az f : I R függvényt konvexnek nevezzük z I intervllumon, h (5) f(λx + ( λ)x 2 ) λf(x ) + ( λ)f(x 2 ) (x, x 2 I, λ [0, ]) teljesül. f-et konkávnk nevezzük I-n, h f konvex I-n. Az (22) konvexitási egyenl tlenség geometrii jelentése: x < x 2 mellett λx + ( λ)x 2 pont z [x, x 2 ] intervllumot λ : λ ránybn osztj ketté, (22) bloldl éppen f értéke ebben pontbn. Az (x, f(x )), (x 2, f(x 2 )) pontokon átmen egyenes (szel ) egyenlete: y f(x ) = f(x 2) f(x ) x 2 x (x x ). Könny ellen rizni, hogy ennek értéke λx + ( λ)x 2 pontbn éppen (22) jobboldl. Így (22) geometrii jelentése: z f gráfjánk bármely szel je metszési pontok közötti szkszon gráf felett vn. Indukcióvl könnyen igzolhtó következ Tétel. [Jensen egyenl tlenség] f : I R kkor és cskis kkor konvex z I intervllumon, h teljesül Jensen egyenl tlenség, hol x,..., x n I, λ,..., λ n 0, megfordítás teljesül. f(λ x + λ 2 x λ n x n ) λ f(x ) + λ 2 f(x 2 ) + + λ n f(x n ), n λ k k= =. f konkáv kkor és cskis kkor, h z el bbi egyenl tlenség

41 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 4 Tétel. [konvex/konkáv függvények jellemzése] (i) Legyen f : I R dierenciálhtó I-n, kkor f konvex I-n, kkor és cskis kkor, h f (x) monoton növekv I-n, f konkáv I-n, kkor és cskis kkor, h f (x) monoton csökken I-n. (ii) Legyen f : I R kétszer dierenciálhtó I-n, kkor f konvex I-n, kkor és cskis kkor, h f (x) 0 (x I), f konkáv I-n, kkor és cskis kkor, h f (x) 0 (x I). Bizonyítás. Elég z (i) állítást igzolni konvex függvény esetére. H f konvex I-n kkor x < x 2 -t feltételezve, x = λx + ( λ)x 2 -b l így z (22) átírhtó λ = x 2 x x 2 x, λ = x x x 2 x (6) f(x) (x 2 x)f(x ) + (x x )f(x 2 ) x 2 x lkb. A jobboldli tört számlálóját átlkítv (23) egy másik átlkításávl f(x) (x x ) (f(x 2 ) f(x )) + (x 2 x + x x )f(x ) x 2 x, f(x) (x x ) f(x 2) f(x ) x 2 x + f(x ), f(x) f(x ) f(x 2) f(x ) x x x 2 x f (x ) f(x 2) f(x ) x 2 x., mib l x x + 0-vl f(x) (x 2 x) (f(x ) f(x 2 )) + (x x + x 2 x)f(x 2 ) x 2 x, f(x) (x 2 x) f(x ) f(x 2 ) x 2 x + f(x 2 ), f(x) f(x 2 ) x 2 x f(x 2 ) f(x ) x 2 x f(x 2 ) f(x ) x 2 x f (x 2 ). A kpott egyenl tlenségeket összevetve f(x ) f(x 2 ), ( )-gyel szorozv x 2 x f(x 2) f(x), mib l x x 2 0-vl x 2 x f (x ) f(x 2) f(x ) x 2 x f (x 2 ),

42 42 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. mi muttj, hogy f monoton növekv. Fordítv, h f monoton növekv, kkor Lgrnge tételét z [x, x], [x, x 2 ] intervllumokon lklmzv, léteznek olyn ξ ]x, x[, ξ 2 ]x, x 2 [, melyekre f növekedése és ξ < ξ 2 mitt mib l átrendezéssel f(x) x x + f(x) f(x ) x x f(x) x 2 x f(x ) + f(x 2) x x x 2 x = f (ξ ) f (ξ 2 ) = f(x 2) f(x), x 2 x ezt (x x )(x 2 x)-szel szorozv f(x)(x 2 x + x x ) f(x )(x 2 x) + f(x 2 )(x x ), vgy f(x) (x 2 x)f(x ) + (x x )f(x 2 ), x 2 x mib l λ = x 2 x x 2 x -gyel éppen f konvexitását kpjuk. A Jensen egyenl tlenség és z el z tétel segítségével können megkphtjuk számtni és mértni közép közötti egyenl tlenséget. Mivel (ln x) = /x, (ln x) = (/x) = /x 2 < 0 (x > 0), így z ln függvény konkáv ]0, [ intervllumon. A Jensen egyenl tlenség szerint vgy mib l logritmus elhgyás után ln(λ x + λ 2 x λ n x n ) λ ln x + λ 2 ln x λ n ln x n, ( n ) ln λ k x k k= λ k = nel, hol p,..., p n > 0 (súlyok) zt kpjuk, hogy n p k x k ( n n k= p k k= k= x p k k p k ( n n λ k ln x k = ln k= n (k =,..., n) p j j= ) n k= k= x λ k k ) p k (x k > 0, p k > 0, k =,..., n) súlyozott számtni és mértni közép közötti egyenl tlenség. Definíció. Legyen f : I R és x 0 I bels pontj I-nek. x 0 -t z f függvény inexiós helyénk, (x 0, f(x 0 ))- t inexiós pontjánk nevezzük, h x 0 z I intervllum konvex és konkáv szkszit válsztj el, zz, h vn olyn δ > 0, hogy f konvex ]x 0 δ, x 0 [-n, konkáv ]x 0, x δ[-n, vgy f konkáv ]x 0 δ, x 0 [-n, konvex ]x 0, x δ[-n. Az el z tétel lpján érvényes z lábbi Tétel. [inexiós pontok megkeresése] Legyen f : I R kétszer dierenciálhtó I-n. (i) H x 0 I pont inexiós helye f-nek, kkor f (x 0 ) = 0. (ii) H f (x 0 ) = 0 és f el jelet vált x 0 -bn, kkor x 0 inexiós helye f-nek.

43 GAZDASÁGI MATEMATIKA I Tylor tétele Tétel. [Tylor tétele] Tegyük fel, hogy f : [, b] R, n N {0}, f (0) := f, és f (n) folytonos [, b]-n, f (n) dierenciálhtó ], b[-n, kkor bármely x, x 0 [, b]-hoz vn olyn ξ z x és x 0 között (szigorún közöttük, h x x 0 ), hogy ( f(x) = Megjegyzés. A f(x 0 ) + f (x 0 )! (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! T n (x) := f(x 0 ) + f (x 0 )! (x x 0 ) f (n) ) (x 0 ) (x x 0 ) n + f (n+) (ξ) n! (n + )! (x x 0) n+. (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! polinomot z f függvény n-edfokú Tylor polinomjánk (x 0 = 0 esetén Mc Lurin polinomjánk) nevezzük z x 0 pont körül, míg z R n (x) := f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0) n+ Tylor formul n-edik mrdéktgj Lgrnge-féle lkbn. R n (x) zt muttj meg, hogy f(x)-et T n (x) Tylor polinom milyen hibávl közelíti. Bizonyítás. Legyen F (x) := f(x) n k=0 G(x) := (x x 0 ) n+, kkor G (m) (x) 0, h x x 0, m = 0,,..., n +, továbbá F (m) (x 0 ) = G (m) (x 0 ) f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k = f(x) T n (x), k! (m = 0,,..., n), F (n+) (x) = f (n+) (x), G (n+) (x) = (n + )!. A htározottság mitt tegyük fel, hogy x > x 0. A Cuchy-féle középértéktétel lpján vn olyn ξ melyre x 0 < ξ < x és F (x) G(x) = F (x) F (x 0) G(x) G(x 0 ) = F (ξ ) G (ξ ). Most Cuchy-féle középértéktételt F, G -re lklmzv, vn olyn ξ 2 melyre x 0 < ξ 2 < ξ és F (ξ ) G (ξ ) = F (ξ ) F (x 0 ) G (ξ ) G (x 0 ) = F (ξ 2 ) G (ξ 2 ). Hsonlón folyttv, kpjuk, hogy x 0 < ξ n+ < ξ n < < ξ és F (x) G(x) = F (ξ ) G (ξ ) = F (ξ 2 ) G (ξ 2 ) = = F (n) (ξ n ) G (n) (ξ n ) Innen ξ = ξ n+ válsztássl = F (n) (ξ n ) F (n) (x 0 ) G (n) (ξ n ) G (n) (x 0 ) = F (n+) (ξ n+ ) G (n+) (ξ n+ ) = f (n+) (ξ n+ ). (n + )! F (x) = f (n+) (ξ) (n + )! G(x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0) n+

44 44 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. igzolv állításunkt. x < x 0 -nál bizonyítás hsonló, x = x 0 -nál pedig tétel állítás nyilvánvló. Példák Tylor polinomr. f(x) = e x, x 0 = 0 mellett hol Mivel ξ < x zt kpjuk, hogy bármely x R mellett e x = + x + x2 2! + + xn n! + R n(x) R n (x) = e ξ (n + )! xn+. 0 R n (x) x n+ (n + )! e x 0, h n, ) e x = lim ( + x + x2 n 2! + + xn = n! Ezt sort z exponenciális függvény Mc Lurin soránk, vgy x 0 = 0 körüli Tylor soránk nevezzük. Lehetne z e x -et ezzel sorösszeggel is deniálni. Hsonlón f(x) = sin x, x 0 = 0 mellett hol Mivel zt kpjuk, hogy bármely x R mellett n=0 x n n!. sin x = x x3 3! + x5 x2n+ + ( )n 5! (2n + )! + R 2n+(x) (x R) R 2n+ (x) = sin ( ξ + (2n + 2) π 2 (2n + 2)! ) x 2n+2 0 R 2n+ (x) x 2n+2 (2n + 2)! 0 h n ) sin x = lim (x x3 n 3! + x5 x2n+ + ( )n 5! (2n + )! = ( ) n x2n+ (2n + )!. Ezt sort sin függvény Mc Lurin soránk, vgy x 0 = 0 körüli Tylor soránk nevezzük. Lokális széls érték megkeresése 6.6 Széls értékszámítás Már igzoltuk lokális széls érték lábbi szükséges feltételét. H f : I R dierenciálhtó z x 0 I bels pontbn, és ott lokális széls értéke vn, kkor f (x 0 ) = 0. Definíció. Azokt z x 0 pontokt, melyekre f (x 0 ) = 0 teljesül, z f függvény stcionárius pontjink nevezzük. E pontokbn z érint párhuzmos z x tengellyel. Stcionárius pontbn lehet lokális széls érték, de nem biztos, hogy vn. Milyen x 0 I pontokbn lehet egy f : I R függvénynek lokális széls értéke? n=0

45 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 45 x 0 I bels pont, hol f (x 0 ) = 0, x 0 z I intervllum vlmely végpontj (h z I-hez trtozik), x 0 z I-nek olyn pontj hol f nem dierenciálhtó. Az el bb megfoglmzott szükséges feltételb l könnyen kphtunk elegend feltételt lokális széls értékre. Tétel. [els rend elegend feltétel széls értékre] Tegyük fel hogy f : I R dierenciálhtó z x 0 I bels pont egy környezetében, és x 0 stcionárius pontj f-nek (zz f (x 0 ) = 0). H vn olyn r > 0, hogy f (x) 0, h x ]x 0 r, x 0 [ I, és f (x) 0, h x ]x 0, x 0 + r[ I, kkor f-nek lokális mximum vn x 0 -bn. H vn olyn r > 0, hogy f (x) 0, h x ]x 0 r, x 0 [ I, és f (x) 0, h x ]x 0, x 0 + r[ I, kkor f-nek lokális minimum vn x 0 -bn. H vn olyn r > 0, hogy f (x) > 0, h x ]x 0 r, x 0 + r[ I, x x 0, vgy f (x) < 0, h x ]x 0 r, x 0 + r[ I, x x 0, kkor f-nek nincs lokális széls értéke x 0 -bn, x 0 inexiós helye f-nek. Tétel. [ széls érték n-edrend elegend feltétele] Tegyük fel, hogy f : I R n-szer folytonosn dierenciálhtó z x 0 I bels pont egy környezetében (zz f (n) folytonos e környezetben) és f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n ) (x 0 ) = 0, de f (n) (x 0 ) 0. H n páros, kkor f-nek szigorú lokális széls értéke vn x 0 -bn, mximum, h f (n) (x 0 ) < 0, minimum, h f (n) (x 0 ) > 0. H n pártln, kkor f-nek nincs széls értéke x 0 -bn. Bizonyítás. A Tylor formul szerint f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )! (x x 0 ) + + f (n ) (x 0 ) (n )! (x x 0 ) n + f (n) (ξ) n! (x x 0 ) n = f (n) (ξ) (x x 0 ) n. n! H n páros, és f (n) (x 0 ) < 0, kkor f n folytonosság mitt f (n) (x) < 0 h x K(x 0, δ) vlmely δ > 0 mellett, így f (n) (ξ) < 0, mib l Tylor formul mitt f(x) f(x 0 ) < 0, h x K(x 0, δ). H f (n) (x 0 ) > 0, kkor f n folytonosság mitt f (n) (x) > 0 h x K(x 0, δ) vlmely δ > 0 mellett, így f (n) (ξ) > 0, és f(x) f(x 0 ) > 0, h x K(x 0, δ). H n pártln, kkor (x x 0 ) n el jelet vált x 0 -nál, így f(x) f(x 0 ) is el jelet vált x 0 -nál, ezért f-nek nem lehet széls értéke x 0 -bn. Globális széls érték megkeresése H f : I R folytonos z I korlátos és zárt intervllumon, kkor, mint zt 5.3-bn bebizonyítottuk, f-nek vn (globális) mximum és minimum I-n. Ez bbn z esetben is igz, mikor f egy korlátos és zárt hlmzon vn értelmezve és ott folytonos ( bizonyítás hsonló z 5.3-bn leírthoz). H I nem korlátos, vgy korlátos, de nem zárt kkor el fordulht, hogy f-nek nincs széls értéke I-n. Például z f(x) = (x ]0, ]) folytonos függvénynek nincs se lokális, se globális mximum. x Hsonlón z f(x) = x 3 (x R) folytonos függvénynek nincs se lokális, se globális mximum, minimum. Tegyük fel most, hogy f : I R (elég sokszor) dierenciálhtó korlátos és zárt I intervllumon. Akkor f-nek vn globális mximum és minimum, melyet következ képpen keresünk meg:

46 46 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Megkeressük f lokális széls értékeit I bels pontjibn. Kiszámítjuk f értékét I végpontjibn. A lokális széls értékek és végpontokbn felvett értékek közül legngyobb dj globális mximum értékét, legkisebb dj globális minimum értékét. 7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7. Definíció és lpintegrálok Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F dierenciálhtó I-n, F (x) = f(x) (x I). Péld. H f(x) = sin x kkor F (x) = cos x + c (x R). Állítás. H F f függvény primitív függvénye I-n, kkor G(x) = F (x) + c (x I, c R konstns) is primitív függvénye f-nek, és fordítv, f minden primitív függvénye F (x) + c lkú. Bizonyítás. G primitív függvény mert G (x) = F (x) + c = F (x) = f(x). Fordítv, h F, G f függvény primitív függvényei, kkor (G(x) F (x)) = f(x) f(x) = 0 (x I) mib l G(x) F (x) = c =konstns, h x I. Definíció. Egy f függvény összes primitív függvényeinek hlmzát f htároztln integráljánk nevezzük, és f(x) dx-szel, vgy f -fel jelöljük. Azz f(x) dx = { F (x) + c : c R, F f egy primitív függvénye }, mit egyszer en úgy írunk, hogy f(x) dx = F (x) + c (c R). A legfontosbb elemi függvények dierenciálási szbályiból kpjuk z lpintegrálokt:

47 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 47 e x dx = e x + c (x R) x dx = x + c (x R, > 0) ln x α dx = xα+ + c (x > 0, α R) α + dx = ln x + c (x > 0 vgy x < 0) x x n dx = xn+ + c (x R, n = 0,,... ) n + sin x dx = cos x + c (x R) cos x dx = sin x + c (x R) cos 2 x dx = tg x + c (kπ π 2 < x < kπ + π 2, k Z) sin 2 dx = ctg x + c (kπ < x < (k + )π, k Z) x dx = rcsin x + c ( x < ) x 2 dx = rctg x + c (x R) + x2 Bizonyítás. Például z utolsó képlet igzolás: (rctg x + c) = + x 2, többi hsonlón, dierenciálássl igzolhtó. 7.2 Integrálási szbályok H f, g-nek vn primitív függvénye, kkor f + g, cf (c R)-nek is vn, és (f + g) = f + g (cf) = c Ez következik bból, hogy összeg tgonként dierenciálhtó, és konstns kiemelhet dierenciálás jele elé. f.

48 48 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. A szorzt dierenciálási szbályából kpjuk prciális integrálás szbályát: h f, g dierenciálhtók és fg -nek vn primitív függvénye, kkor f g-nek is vn primitív függvénye, és ugynis ( fg f g = fg fg fg ) = f g + fg fg = f g. Az összetett függvény dierenciálási szbályából kpjuk helyettesítéses integrálás szbályát: h f-nek vn primitív függvénye I-n, g : J I dierenciálhtó J intervllumon, kkor (f g) g -nek is vn primitív függvénye J-n és vgy ( (f g) g = ) f g f (g(x)) g (x) dx = f(u)du u=g(x). Ugynis, h f(u)du = F (u), kkor jobboldli függvény deriváltj ( f(u)du u=g(x) ) = (F (g(x))) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x), és ezt kellett igzolni. A szbály másik lkj: h f : I R, g : J I dierenciálhtó J intervllumon, g (x) 0 (x J) és (f g) g -nek vn primitív függvénye, kkor f-nek is vn primitív függvénye I-n és vgy f = ((f g) g ) g f(x) dx = f(g(u))g (u) du u=g (x). Ugynis, h f(g(u))g (u) du = F (u), kkor jobboldli függvény deriváltj z inverz függvény dierenciálási szbály lpján ( f(g(u))g (u) du u=g (x) ) = ( F ( g (x) )) = F ( g (x) ) ( g (x) ) és ezt kellett igzolni. f(x) = x α válsztássl kpjuk, hogy g α g g g = f(x)g ( g (x) ) g (g (x)) = f(x), = gα+ + c (α ) α + = ln g + c

49 Utóbbi képlet felhsználásávl kpjuk, hogy tg x dx = (cos x) GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 49 cos x ctg x dx = (sin x) sin x dx = ln cos x + c dx = ln sin x + c Egy másik fontos speciális eset lineáris helyettesítés: h f primitív függvénye F, 0, b R kkor f(x + b) dx = f(u) du u=x+b = F (x + b) + c. Ennek felhsználásávl (vgy dierenciálássl) lehet igzolni következ képleteket, melyek kiegészítik z lpintegrálok tábláztát: 2 x dx = rcsin x + c ( x < ) 2 hol > 0 konstns. x2 ± 2 dx = ln x + x2 ± 2 + c (x R vgy x > ) 2 + x 2 dx = rctg x + c (x R) x 2 2 dx = 2 ln x x + + c ( x < vgy x > ) 7.3 Elemien integrálhtó függvények osztályi Definíció. Egy függvényt elemien integrálhtónk nevezünk, h primitív függvénye elemi. Nem minden elemi függvény ilyen: például ismeretes, hogy e (x2) dx, nem elemi függvények.. Prciálisn integrálhtó függvények H P (x) = n x n + n x n + + x + 0 sin(x 2 ) dx, x sin x dx ( 0,,..., n R) polinom, kkor P (x)e x prciálisn integrálhtó f (x) = e x, g(x) = P (x) válsztássl P (x) sin x prciálisn integrálhtó f (x) = sin x, g(x) = P (x) válsztássl P (x) cos x prciálisn integrálhtó f (x) = cos x, g(x) = P (x) válsztássl P (x) ln x prciálisn integrálhtó f (x) = P (x), g(x) = ln x válsztássl P (x) rcsin x prciálisn integrálhtó f (x) = P (x), g(x) = rcsin x válsztássl P (x)rctg x prciálisn integrálhtó f (x) = P (x), g(x) = rctg x válsztássl.

50 50 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Hsonlón prciálisn integráljuk z e x sin x, e x cos x, sin n x, cos n x függvényeket. Az integrálás eredménye elemi függvény. Péld. ln x dx = ln x dx mib l f (x) =, g(x) = ln x válsztássl f(x) = x, g (x) = x így ln x dx = x ln x x dx = x ln x x + c. x 2. Rcionális törtfüggvények integrálás. A két polinom hánydosként el állíthtó függvényeket rcionális törtfüggvényeknek nevezzük. Ezek mindig elemien integrálhtók. Az integrálás lépései: ) H számláló fokszám ngyobb vgy egyenl nevez fokszámánál, kkor osztás után tört egy polinom és egy olyn rcionális tört összege lesz, hol számláló fokszám kisebb nevez fokszámánál. Mivel egy polinomot könnyen integrálhtunk, így feltehetjük, hogy f(x) = P (x) Q(x) hol P, Q polinomok, és P fokszám kisebb mint Q fokszám. b) A nevez t szorzttá lkítjuk, ezáltl Q nevez (x ) k és (x 2 + px + q) l lkú tényez k szorztként írhtó fel, hol másodfokú kifejezés diszkrimináns p 2 4q < 0, k, l N. c) f-et prciális törtek összegére bontjuk fel: nevez (x ) k fktoránk megfelel prciális törtek: A x + A 2 (x ) A k (x ) k hol A,..., A k lklms konstnsok. Az (x 2 + px + q) l fktornk megfelel prciális törtek: B x + C x 2 + px + q + B 2x + C 2 (x 2 + px + q) B lx + C l (x 2 + px + q) l hol B, C,... B l, C l lklms konstnsok. Az A i, (i =,..., k), B j, C j (j =,..., l) konstnsokt z együtthtók összehsonlításávl, vgy lklms értékek helyettesítésével kpott lineáris egyenletrendszerb l htározzuk meg. d) Integráljuk prciális törteket: A i (x ) i dx = A második típusú prciális törtek integrálás: Bx + C x 2 + px + q = B 2 A i + c h i ( i)(x ) i (2x + p) x 2 + px + q + A i ln x + c h i = ( x + p 2 C Bp 2 ) 2 + ( q p2 4 ) 2

51 felbontás lpján GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 5 Bx + C x 2 + px + q = B C Bp 2 ln(x2 + px + q) + 2 q p2 4 rctg x + p 2 + c. q p2 4 (k > ) szerepel kkor el ször számlálóból leválsztjuk lineáris tgot (e tg H nevez ben (x 2 + px + q) k integrálását z g k g -re vontkozó képlet lpján végezzük el), mjd k tól függ I k = (x 2 + px + q) k dx integrált egy (prciális integrálássl kpott) rekurziós képlet segítségével htározzuk meg. 8. HATÁROZOTT INTEGRÁL 8. Az integrál definíciój és lptuljdonsági Definíció. Legyen [, b] R egy zárt intervllum. A P = { x i : = x 0 < x < < x n = b } (n N) ponthlmzt z [, b] intervllum egy felosztásánk nevezzük. x i z i-edik osztópont, [x i, x i ] z i-edik intervllum, x i x i z i-edik intervllum hossz, P = mx (x i x i ) i n számot P felosztás nomságánk nevezzük. Definíció. Legyen f : [, b] R egy korlátos függvény, P z [, b] egy felosztás, t i [x i, x i ] (i =,..., n) közbens értékek. Az s(f, P, t) = n f(t i )(x i x i ) i= összeget z f függvény P felosztáshoz és t = (t,..., t n ) közbens érték rendszerhez trtozó integrálközelít összegének nevezzük. s(f, P, t) geometrii jelentése : felosztás és közbens értékek áltl meghtározott tégllpok területének (el jeles) összege, mi nnál jobbn közelíti görbe ltti (el jeles) területet minél nombb felosztás. Definíció. [ Riemnn integrálhtóság és Riemnn integrál deníciój] Az f : [, b] R korlátos függvényt Riemnn integrálhtónk nevezzük [, b]-n, h vn olyn I R szám, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyn δ(ε), hogy (7) s(f, P, t) I < ε h P < δ(ε) bármely t = (t,..., t n ) közbens érték rendszer mellett teljesül. Az I számot z f függvény [, b]-n vett Riemnn integráljánk nevezzük és b f(x) dx vgy b f-fel jelöljük. Az [, b]-n Riemnn integrálhtó függvények osztályát R[, b]-vel fogjuk jelölni. (24)-tel egy (új típusú) htárértéket deniáltunk, így z integrál denícióját egyszer en I = b f(x) dx := lim s(f, P, t) hol s(f, P, t) = n f(t i )(x i x i ) P 0 i=

52 52 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. lkbn is írhtjuk (hol természetesen meg kell mondni, hogy f, P, t i, t mit jelentenek). Az b f(x) dx geometrii jelentése: z x =, x = b, y = 0 egyenesek és z y = f(x) függvény gráfj áltl meghtározott síkidom el jeles területe (z x tengely ltti részt z integrál negtív el jellel számolj). Péld. Legyen f(x) = c=konstns h x [, b]. Ekkor bármely P felosztás esetén n n s(f, P, t) = c(x i x i ) = c (x i x i ) = c(b ) i= i= így b c dx = c(b ). Tétel. [z integrál lptuljdonsági] H f, g : [, b] R, f, g R[, b], kkor bármely c R és bármely < d < b mellett f + g R[, b] és b (f + g) = b b f + g, cf R[, b] és b (cf) b = c f, f R[, d], f R[d, b] és b f = d b f + d f, h f(x) g(x) (x [, b]) kkor b f b g, h m = inf f(x), M = x [,b] b sup f(x) kkor m(b ) f M(b ). x [,b] A fenti tuljdonságokt rendre, z integrál (függvény szerinti) dditivitásánk, homogenitásánk, (intervllum szerinti) dditivitásánk, monotonitásánk nevezzük, z utolsó állítás z integrálszámítás középértéktétele melyet egy másik lkbn is megfoglmzunk.

53 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 53 Bizonyítás. H f, g : [, b] R, f, g R[, b], P z [, b] egy felosztás, t i [x i, x i ], t = (t,..., t n ) kkor könny ellen rizni, hogy z integrálközelít összegekre érvényesek z s(f + g, P, t) = s(f, P, t) + s(g, P, t) s(cf, P, t) = cs(f, P, t) h c R s(f, P, t) = s(f [,d], P [,d], t [,d] ) + s(f [d,b], P [d,b], t [d,b] ) h < d < b, d P osztópontj s(f, P, t) s(g, P, t) h f(x) g(x) (x [, b]) m(b ) s(f, P, t) M(b ) h m = inf x [,b] f(x), M = sup f(x) x [,b] tuljdonságok, hol f [,d], P [,d], t [,d] z f függvény, P felosztás, t közbens értékrendszer lesz kítése z [, d] intervllumr. E tuljdonságokból P 0 htárátmenettel dódik tétel állítás. Tétel. [z integrálszámítás középértéktétele] Legyen f : [, b] R Riemnn integrálhtó [, b]-n, kkor hol m = m(b ) H f folytonos [, b]-n kkor vn olyn ξ [, b] melyre b f M(b ), inf f(x), M = sup f(x). x [,b] x [,b] (8) f(ξ) = b f(x) dx. b Bizonyítás. Csk folytonos függvényekre vontkozó állítást kell igzolni. Mivel m b f(x) dx M b és folytonos függvény felvesz minden (közbens ) értéket [m, M]-ben így vn ξ [, b] melyre (25) teljesül. Az integrálhtóság nlitikus kritérium Tétel. [Lebesgue-féle integrálhtósági kritérium] Az f : [, b] R korlátos függvény kkor és cskis kkor Riemnn integrálhtó [, b]-n, h f egy Lebesgue szerint nullmérték hlmztól eltekintve folytonos. Definíció. Egy E R hlmzt kkor nevezünk Lebesgue szerint nullmérték nek, h bármely ε > 0-hoz vn olyn ] n, b n [ (n N) intervllumsorozt mely lefedi E-t és melynek összhosszúság kisebb mint ε zz E n= ] n, b n [ és (b n n ) < ε. n= Bizonyítás. Ld. pl. Sz keflvi, Vlós függvények és függvénysorok, Tnkönyvkidó, Bp., 977. Állítás.Minden E megszámlálhtó hlmz (Lebesgue szerint) nullmérték.

54 54 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Bizonyítás. Ugynis, h E = { x i R : i =,..., n } véges hlmz, kkor mindegyik x i pontot egy ε/n-nél kisebb hosszúságú nyílt intervllumml lefedve z intervllumok uniój lefedi E-t és összhossz kisebb mint ε. H E = { x i R : i = N } megszámlálhtón végtelen hlmz, kkor minden i N mellett z x i pontot egy ε/2 n -nél kisebb hosszúságú nyílt intervllumml lefedve z intervllumok uniój lefedi E-t és összhossz kisebb mint ε ε 2 n = 2 = ε. 2 i= Így Lebesgue tételéb l következik, hogy egy pontsorozt kivételével folytonos függvény integrálhtó. Lebesgue tételével könny igzolni, hogy h f, g R[, b] kkor fg, f 2, f R[, b] és h vn olyn k > 0 hogy g(x) k h x [, b] kkor f/g R[, b] is teljesül. Továbbá fennáll (9) egyenl tlenség. Ennek igzolás: egyenl tlenséget integrálv b f(x) dx = b f(x) dx b f(x) dx f(x) f(x) f(x) b ( f(x) dx mib l z bszolút érték tuljdonsági mitt (9) következik. Definíció. Legyen f R[, b], kkor b f(x) dx b f(x) dx 8.3 Az integrál kiszámítás, Newton-Leibniz formul T (x) = x f(t) dt (x [, b]) függvényt f területmér függvényének nevezzük. Tétel. [ területmér függvény tuljdonsági] H f R[, b], és T z f területmér függvénye,kkor () T folytonos [, b]-n, (b) h f folytonos x 0 [, b]-ben, kkor T dierenciálhtó x 0 -bn, és T (x 0 ) = f(x 0 ). Bizonyítás. () El ször kiegészítjük z integrál denícióját. Legyen f(x) dx := 0, b b f(x) dx := f(x) dx h < b. Tegyük fel, hogy f(x) M (x I) hol I = [, b] (vgy b < esetén) I = [b, ], kkor érvényes z egyenl tlenség. b f(x) dx M b

55 Az egyszer ség kedvéért tegyük fel, hogy x > x 0 kkor T (x) T (x 0 ) = x f(t) dt GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 55 x0 hol f(x) M (x [, b]), s ez éppen f folytonosságát jelenti. (b) Ismét legyen x > x 0 kkor T (x) T (x 0 ) f(x 0 ) x x 0 = x x 0 x f(t) dt = f(t) dt M x x 0 < ε h x x 0 < δ(ε) = ε/m x 0 x x 0 f(t) dt x x 0 f(x 0 ) dt = x 0 x x 0 x (f(t) f(x 0 )) dt x 0 x f(t) f(x 0 ) dt < ε(x x 0 ) = ε x x 0 x 0 x x 0 h x x 0 < δ(ε), mivel z x 0 -beli folytonosság mitt f(t) f(x 0 ) < ε h t [x 0, x] és x x 0 < δ(ε). Így T (x) T (x 0 ) f(x 0 ) h x x 0, mib l T (x 0 ) = f(x 0 ). x x 0 A bizonyítás x < x 0 esetén hsonló. Következmény. Minden folytonos függvénynek vn primitív függvénye, ti. területmér függvénye. Tétel. [Newton-Leibniz formul] Tegyük fel, hogy f : [, b] R folytonos [, b]-n, és F : [, b] R f egy primitív függvénye [, b]-n, kkor b f(x) dx = F (b) F () = [F (x)] b. Bizonyítás. Láttuk, hogy T (x) = x f(t) dt f primitív függvénye, így F felírhtó F (x) = T (x)+c lkbn, hol c R lklms konstns. Mivel f() = T () + c = c, így b f(x) dx = T (b) = F (b) c = F (b) F (). Megjegyzés. A Newton-Leibniz formul kkor is érvényes, h f R[, b], F : [, b] R folytonos [, b]-n, és F (x) = f(x) (x ], b[). Péld. + x 2 dx = [rctg x] 0 = rctg rctg 0 = π/4. 0 Tétel. [prciális integrálás htározott integrálr] H f, g : [, b] R folytonosn dierenciálhtók [, b]-n, kkor b hol [f(x)g(x)] b = f(b)g(b) f()g(). b f (x)g(x) dx = [f(x)g(x)] b f(x)g (x) dx x

56 56 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. x x f (t)g(t) dt f(x)g(x) + f()g() + Bizonyítás. Legyen F (x) = f(t)g (t) dt (x [, b]), kkor F (x) = 0 (x [, b]), F () = 0 így F (x) = 0 (x [, b]) speciálisn F (b) = F () = 0 és ez éppen bizonyítndó állítás. Tétel. [helyettesítéses integrálás htározott integrálr] H g : [, b] [c, d] folytonosn dierenciálhtók [, b]-n, f : [c, d] R folytonos [c, d]-n, kkor x b f (g(x)) g (x) dx = g(x) f (g(t)) g (t) dt g(b) g() f(u) du. Bizonyítás. Legyen F (x) = f(u) du (x [, b]), kkor F (x) = 0 (x [, b]), F () = 0 g() így F (x) = 0 (x [, b]) speciálisn F (b) = F () = 0 és ez éppen bizonyítndó állítás. 8.4 Improprius integrál A Riemnn integrált korlátos (zárt) intervllumon értelmezett korlátos függvényekre deniáltuk. Most kiterjesztjük deníciót végtelen (nem korlátos) intervllumok és nem korlátos függvények esetére is.. Integrál végtelen intervllumokon. Definíciók. Legyen f :], b] R, b R és tegyük fel, hogy minden t < b mellett f R[t, b], kkor b f(x) dx := b lim f(x) dx t t feltéve, hogy jobboldli htárérték véges. Ekkor zt mondjuk, hogy z f(x) dx improprius integrál konvergens, ellenkez esetben (mikor jobboldli htárérték nem létezik, vgy létezik de végtelen) divergens. Legyen f : [, [ R, R és tegyük fel, hogy minden < t mellett f R[, t], kkor f(x) dx := lim t t f(x) dx feltéve, hogy jobboldli htárérték véges. Ekkor zt mondjuk, hogy z f(x) dx improprius integrál konvergens, ellenkez esetben (mikor jobboldli htárérték nem létezik, vgy létezik de végtelen) divergens. Végül, h f :], [ R, és minden s < t, s, t R mellett f R[s, t], kkor tetsz leges c R mellett f(x) dx : = c = lim f(x) dx + f(x) dx c s s c f(x) dx + lim t t c b f(x) dx

57 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 57 feltéve, hogy mindkét jobboldli htárérték véges. Ekkor zt mondjuk, hogy z f(x) dx improprius integrál konvergens, ellenkez esetben (mikor jobboldli htárértékek közül leglább z egyik nem létezik, vgy létezik de végtelen) divergens. 2. Nem korlátos függvények integrálás. Definíciók. Legyen f : [, b] R,, b R és tegyük fel, hogy f nem korlátos [, b]-n, de minden < t < b mellett f R[t, b], (így f korlátos [t, b]-n!), kkor b f(x) dx := b lim f(x) dx t +0 t feltéve, hogy jobboldli htárérték véges. Ekkor zt mondjuk, hogy z b f(x) dx improprius integrál konvergens, ellenkez esetben (mikor jobboldli htárérték nem létezik, vgy létezik de végtelen) divergens. Legyen f : [, b] R,, b R és tegyük fel, hogy f nem korlátos [, b]-n, de minden < t < b mellett f R[, t], (így f korlátos [, t]-n!), kkor b f(x) dx := lim t t b 0 f(x) dx feltéve, hogy jobboldli htárérték véges. Ekkor zt mondjuk, hogy z b f(x) dx improprius integrál konvergens, ellenkez esetben (mikor jobboldli htárérték nem létezik, vgy létezik de végtelen) divergens. Végül, h f : [, b] R,, b R, és f nem korlátos [, b]-n, de vn olyn c, < c < b hogy minden < s < c < t < b mellett f R[, s], f R[t, b] (így f korlátos [, s]-n és [t, b]-n, zz f c pont egy környezetében nem korlátos!), kkor b f(x) dx : = c = lim f(x) dx + s s c 0 b c f(x) dx f(x) dx + lim b t c+0 t f(x) dx feltéve, hogy mindkét jobboldli htárérték véges. Ekkor zt mondjuk, hogy z b f(x) dx improprius integrál konvergens, ellenkez esetben (mikor jobboldli htárértékek közül leglább z egyik nem létezik, vgy létezik de végtelen) divergens. Megjegyzések.. A Riemnn integrál deníciój segítségével könnyen beláthtó, hogy Riemnn integrál (beleértve z improprius integrált is) értéke nem változik, h függvény értékét véges sok pontbn megváltozttjuk. Ezért nem korlátos függvények (improprius) integráljánk pl. z (els ) deníciójábn (mikor f z végpont egy környezetében nem korlátos) mindegy, hogy kiinduló f függvény z pontbn deniálv vn vgy sem, mert utóbbi esetben f()-t tetsz legesen értelmezve z integrál nem változik. Mi mindhárom deníció esetében feltételeztük, hogy f értelmezve vn bbn pontbn, melynek környezetében f nem korlátos.

58 58 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Improprius integrálr példként tekintsük z 0 dx x p integrált, hol p > 0 dott konstns. Az f(x) = függvény p > 0 esetén ugyn nincs értelmezve z x = 0 pontbn, de z el z megjegyzés lpján xp e függvény értelmezési trtományát kiterjeszthetjük z x = 0 pontr is, és ott tetsz legesen, pl. z f(0) = 0 denícióvl értelmezve, z (improprius) integrál (konvergenciáj), értéke nem változik. Mivel függvényünk nem korlátos x = 0 egy környezetében, így 0 dx dx x p = lim t 0+0 x p = t = [ ] x p+ lim t 0+0 p + t h p lim t 0+0 [ln x] t h p = ( ) lim t 0+0 p t p p h p lim (ln ln t) h p = t 0+0 = p h p < + h p. A fenti improprius integrál ezért kkor és cskis kkor konvergens, h 0 < p < és ekkor z integrál értéke p. p 0 esetén z integrndust x p lkb írv láthtjuk, hogy z folytonos [0, ]-en, így, ekkor integrálunk közönséges (nem improprius!) Riemnn integrál, értéke ugynz mint el bb: p 2. A deniciókbn tárgylt két eset egy improprius integrálbn is felléphet. Pl.. z improprius integrált z felbontást hsználv z dx (x + 3) x = segítségével számolhtjuk ki. Mivel dx (x + 3) x dx (x + 3) x = lim t +0 2 t dx (x + 3) x + lim t t 2 dx (x + 3) x = ( x = t helyettesítéssel, x = t 2 +, dx = 2t dt) = 2t dt (t 2 + 4)t = 2 dt t = rctg t 2 = rctg x + C, 2

59 így dx (x + 3) x GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 59 ( = lim t +0 rctg 2 rctg ) ( t + lim 2 2 t rctg t rctg ) = ( rctg 2 rctg ) ( π rctg ) = π Kett s integrál Definíciók. Legyen D = [, b] [c, d] egy tégllp, és P x = { x i : = x 0 < x < < x m = b }, P y = { y j : c = y 0 < y < < y n = d } z [, b], [c, d] intervllumok felosztási, kkor P = P x P y = { (x i, y j ) : i = 0,,..., m; j = 0,,..., n } pontrendszert D egy felosztásánk nevezzük, D ij = [x i, x i ] [y j, y j ] (i = 0,,..., m; j = 0,,..., n) felosztás tégllpji P = mx i m, j n (x i x i ) 2 + (y j y j ) 2 felosztás nomság ( D ij tégllpok átlói hosszánk mximum). Legyen f : D R korlátos függvény D tégllpon, P D egy felosztás, (s i, t j ) D ij közbens pontok, közbens pontok rendszere/vektor. Az v = ((s, t ), (s.t 2 ),..., (s m, t n )) s(f, P, v) = m i= j= n f(s i, t j )m(d ij ) összeget, hol m(d ij ) = (x i x i )(y j y j ) D ij tégllp területe (mértéke), z f függvény P felosztáshoz és v közbens pontrendszerhez trtozó integrálközelít összegének nevezzük. s(f, P, v) geometrii jelentése : felosztás és közbens értékek áltl meghtározott hsábok térfogtánk (el jeles) összege, mi nnál jobbn közelíti z f áltl meghtározott felület ltti (el jeles) térfogtot, minél nombb felosztás. Definíció. [kett s Riemnn integrál deníciój] Az f : D R korlátos függvényt Riemnn integrálhtónk nevezzük D tégllpon, h vn olyn I R szám, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyn δ(ε), hogy (0) s(f, P, v) I < ε h P < δ(ε) bármely v = ((s, t ), (s.t 2 ),..., (s m, t n )) közbens pontrendszer mellett teljesül. Az I számot z f függvény D-n vett Riemnn integráljánk nevezzük és f(x, y) dxdy vgy f-fel jelöljük. D D

60 60 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Azt is írhtjuk, hogy I = D f(x, y) dxdy := lim s(f, P, v) hol P 0 és limesz jelentése (0)-zel vn deniálv. s(f, P, v) = m i= j= n f(s i, t j )(x i x i )(y j y j ) A kett s integrál tuljdonsági, hsonlók z egyváltozós integrál tuljdonságihoz, integrálhtó függvények összege, konstnsszoros is integrálhtó, és z összeg integrálj tgok integráljinek összege, konstns szorzó kiemelhet z integráljel elé. Tétel. [kett s integrál kiszámítás] Legyen f : D R folytonos D = [, b] [c, d] tégllpon, kkor f integrálhtó D-n és vgy D D f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy = b d c d c b s f(x, y) dy dx f(x, y) dx dy. Amint tételb l leolvshtó, kett s integrál kiszámítás ismételt (iterált) integrálássl történik, sorrend (z hogy el ször x szerint másodszor y szerint integrálunk, vgy fordítv) nem számít. H D nem tégllp, hnem pl. D = { (x, y) : x b, ϕ (x) y ϕ 2 (x) } (rjzoljon ábrát!) áltl megdott (un. els fjú normáltrtomány, melyet z x =, x = b egyenesek és z y = ϕ (x), y = ϕ 2 (x) (x [, b] görbék htárolnk, hol ϕ, ϕ 2 : [, b] R dott folytonos függvények, úgy, hogy ϕ (x) ϕ 2 (x) h x [, b]), kkor, válsszuk c, d-t úgy, hogy D [, b] [c, d] teljesüljön. Legyen ekkor z integrál deníciój: f (x, y) := D f(x, y) h (x, y) D 0 h (x, y) [, b] [c, d] \ D f(x, y) dxdy := [,b] [c,d] f (x, y) dxdy. Felhsználv kiszámításr vontkozó tételt f folytonosságát feltételezve kpjuk, hogy Mivel d c D f (x, y) dy = f(x, y) dxdy = ϕ (x) c b f (x, y) dy + d c ϕ 2 (x) ϕ (x) f (x, y) dy dx. f (x, y) dy + d ϕ 2(x) f (x, y) dy és jobboldli els és hrmdik integrál integrndus zérus, második integrál integrndus f, ezért d c f (x, y) dy = ϕ 2(x) ϕ (x) f(x, y) dy

61 és végül Hsonón, h z integrációs trtomány D GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 6 f(x, y) dxdy = b ϕ 2 (x) ϕ (x) f(x, y) dy dx. D = { (x, y) : c y d, ψ (y) x ψ 2 (y) } (rjzoljon ábrát!) áltl megdott (un. másodfjú normáltrtomány, melyet z y = c, y = d egyenesek és z x = ψ (y), x = ψ 2 (y) (y [c, d] görbék htárolnk, hol ψ, ψ 2 : [c, d] R dott folytonos függvények, úgy, hogy ψ (y) ψ 2 (y) h y [c, d]), kkor, f folytonosságát feltételezve, z integrált képlet segítségével számolhtjuk ki. Példák.. Legyen D = [0, ] [2, 5] kkor D (x 2 y + 3x) dxdy = D f(x, y) dxdy = = ( 2x 2 d c ψ 2(y) ψ (y) (x 2 y + 3x) dy dx = 2 f(x, y) dx dy 0 [ x 2 y 2 2 ] y=5 + 3xy dx y=2 ) [ ] 2x 3 + 9x dx = + 9x2 = = 8. Számítsuk ki most ugynezt z integrált fordított sorrendben vló integrálássl! D (x 2 y + 3x) dxdy = (x 2 y + 3x) dx dy = 5 2 [ x 3 ] x= y 3 + 3x2 dy 2 x=0 2. Legyen most (rjzoljon ábrát!) és f(x, y) = x 2 y 3, kkor (x 2 y 3 ) dxdy = D = 5 2 ( y ) [ y 2 dy = y ] 5 = = 8. D = { (x, y) : 0 x, x 2 y x } = 0 0 x (x 2 y 3 ) dy dx = x 2 ( x 4 4 x0 4 0 [ x 2 y 4 4 ] y= x y=x 2 dx ) [ ] x 5 dx = 20 x = =

62 62 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Hsonlón deniálhtjuk egy f : D R függvény hárms integrálját D = [, b] [c, d] [e, g] tégltesten, D f(x, y, z) dxdydz := lim m n P 0 i= j= k= p f(s i, t j, u k )m(d ijk ) htárértékkel, hol m(d ijk ) felosztás D ijk tégltestének térfogt, (s i, t j, u k ) D ijk közbens pontok. A hármsintegrál tuljdonsági, kiszámítás hsonlók kett s integráléhoz. 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9. Metrik és topológi R k -bn Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k vl jelöljük vlós számokból lkotott k-tgú x = (x, x 2,..., x k ) soroztok hlmzát, zz R k R 2 R= k := R { x = (x, x 2,..., x k ) : x i R (i =, 2,..., k) }. Az x = (x, x 2,..., x k ) soroztokt tér pontjink mondjuk, z x, x 2,..., x k számok z x = (x, x 2,..., x k ) pont koordinátái. R -et természetes módon zonosíthtjuk R-rel. R 2 = R R-et egy koordinátrendszer bevezetése után egy síkr lehet bijektíven leképezni, ezért R 2 -et euklideszi síknk nevezhetjük. Hsonlón, koordinátrendszer réven zonosíthtjuk R 3 -t közönséges térrel. R k pontjit vektoroként is felfoghtjuk, úgy, hogy koordinátrendszer felvétele után z egyes pontoknk kezd pontból hozzájuk vezet helyzetvektorukt feleltetjük meg. Ezek szbd vektorok, ömgukkl párhuzmosn eltolhtók. M veletek R k -bn: Definíció. Az x = (x, x 2,..., x k ), y = (y, y 2,..., y k ) R k vektorok összegét és z x R k vektor λ R sklárrl vló szorztát x + y : = (x + y, x 2 + y 2,..., x k + y k ) λx : = (λx, λx 2,..., λx k ) -vl deniáljuk. Könny ellen rizni, hogy e m veletek teljesítik z lábbi tuljdonságokt: Bármely x, y, z R k mellett, 0 = (0, 0,..., 0) zérusvektorrl és x = ( )x vektorrl teljesül, hogy x + (y + z) = (x + y) + z, x + y = y + x, x + 0 = x, x + ( x) = 0. (z összedás el bbi 4 tuljdonságát Abel-csoport xiómáknk mondjuk). Bármely x, y R k, λ, µ, R esetén, λ(x + y) = λx + λy, (λ + µ)x = λx + µx, (λµ)x = λ(µx) x = x. (ezek tuljdonságok sklárrl vló szorzás xiómái).

63 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 63 Az összedás és sklárrl vló szorzás xiómái együttesen lkotják lineáris tér, vgy vektortér xiómákt. Definíció. Az x = (x, x 2,..., x k ), y = (y, y 2,..., y k ) R k vektorok skláris vgy bels szorztát x, y := x y + x 2 y x k y k -vl deniáljuk. Könny ellen rizni, hogy skláris szorzt teljesíti z lábbi tuljdonságokt. Bármely x, y, z R k és bármely λ R esetén x + y, z = x, z + y, z, λx, y = λ x, y, x, y = y, x, x, x 0 és x, x = 0 kkor és cskis kkor, h x = 0. Ez 4 tuljdonság lkotj skláris szorzás xiómáit. Állítás [Cuchy-Schwrz egyenl tlenség] Bármely két x, y R k vektor esetén érvényes Cuchy-Schwrz egyenl tlenség: x, y x, x y, y. Bizonyítás. A bels szorzt utolsó tuljdonság mitt mib l szorzás elvégzése után x + λy, x + λy 0 x, x + λ y, x + λ x, y + λ 2 y, y 0. Jelölje Q(λ) bloldlon lev λ-ben másodfokú polinomot, kkor Q(λ) = x, x + λ y, x + λ x, y + λ 2 y, y 0. H y, y = 0, kkor z utolsó tuljdonság mitt y = 0, így egyenl tlenségünk teljesül, mert mindkét oldán zérus áll. H y, y = 0, kkor Q(λ) 0 mitt Q diszkrimináns kisebb vgy egyenl mint null, mib l 4 x, y 2 4 x, x y, y 0 s ebb l átrendezéssel dódik bizonyítndó egyenl tlenség. Definíció. Az x = x, x számot z x = (x, x 2,..., x k ) R k vektor hosszánk (vgy normájánk ill. bszolút értékének) nevezzük. A norm segítségével Cuchy-Schwrz egyenl tlenséget x, y x y (x, y R k ) lkb írhtjuk át. A Cuchy-Schwrz egyenl tlenség felhsználásávl könnyen igzolhtjuk norm tuljdonságit: bármely x, y R k és bármely λ R esetén λx x + y x 0 és x = 0 kkor és cskis kkor, h x = 0 = λ x x + y. Definíció. Az x, y R k pontok távolságát d(x, y) = x y

64 64 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. -nl deniáljuk. Definíció. Egy R k pont ε > 0 sugrú (nyílt) környezetén K(, ε) := { x R k : d(x, ) = x < ε } hlmzt értjük. k = esetén K(, ε) z pontr nézve szimmetrikus 2ε hosszúságú ] ε, + ε[ nyílt intervllum. k = 2 esetén K(, ε) z = (, 2 ) pont körüli ε sugrú nyílt körlp. k = 3 esetén K(, ε) z = (, 2, 3 ) pont körüli ε sugrú nyílt gömb. Környezetek segítségével értelmezhetjük R k -bn bels, htár, izolált, torlódási pont foglmát, továbbá nyílt és zárt hlmzokt ( deníció szó szerint ugynz, de benne pont, környezet jelentése áltlánosbb). Soroztok R k -bn. Definíció. Egy : N R k függvényt R k -beli soroztnk nevezünk. Jelölések (n) = n = ( n,, n,2,..., n,k ) (n N), = ( n ). Definíció. Az ( n ) (R k -beli) soroztot konvergensnek nevezzük, h vn olyn b R k, hogy bármely ε > 0- hoz létezik olyn N(ε) R szám, hogy n b < ε h n > N(ε). b-t sorozt htárértékének (limeszének) nevezzük és z n b (n ) vgy lim n = b n jelölést hsználjuk. N(ε)-t z ε-hoz trtozó küszöbszámnk nevezzük. Egy R k -beli soroztot divergensnek nevezünk, h nem konvergens. Állítás [R k -beli sorozt koordinátánként konvergens] n = ( n,, n,2,..., n,k ) b = (b, b 2,..., b k ) (n ) kkor és cskis kkor, h n,i b i (n ) minden i =, 2,..., k mellett. Ez zt jelenti, hogy egy vektorsorozt kkor és cskis kkor konvergens, h sorozt minden koordinátáj konvergens és htárértéke htárvektor megfelel koordinátáj. Bizonyítás. Mivel minden j =, 2,..., k mellett n,j b j n b = k ( n,i b i ) 2 k mx n,j b j, j k i= Ebb l láthtó, hogy n b < ε kkor n,j b j < ε minden j =, 2,..., k mellett. Fordítv, h n,j b j < ε minden j =, 2,..., k mellett kkor mx n,j b j < ε így n b = k ε j k igzolv állításunkt. Péld. n = ( n, + ) n 2 (0, ) h n.

65 GAZDASÁGI MATEMATIKA I Többváltozós függvények htárértéke és folytonosság Egy D R k hlmz torlódási pontjink hlmzát D -vel jelöljük. Definíció. Legyen f : D R k R és legyen x 0 D ( D hlmz torlódási pontj). Azt mondjuk, hogy f-nek vn (véges) htárértéke z x 0 pontbn, h vn olyn R szám, hogy minden ɛ > 0-hoz vn olyn δ(ɛ) > 0, hogy f(x) < ɛ h 0 < x x 0 < δ(ɛ) és x D teljesül. Az R számot z f függvény x 0 pontbeli htárértékének nevezzük, és jelölésére z = f(x) ( h x x 0 )-t hsználjuk. lim f(x) x x 0 vgy A htárérték, h létezik, kkor egyértelm. Átviteli elv, m veletek, egyenl tlenségek és htárérték kpcsolt most is érvényes. A htárérték foglm R b -re hsonlón kiterjeszthet, mint egy változónál. Definíció. Az f : D R k R függvényt értelmezési trtományánk x 0 D pontjábn folytonosnk nevezzük, h bármely ɛ > 0-hoz vn olyn δ(ɛ) > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < ɛ h x x 0 < δ(ɛ) és x D teljesül. Itt is érvényes z átviteli elv: z f : D R k R függvény z x 0 D pontbn kkor és cskis kkor folytonos, h bármely (x n ) : N D z x 0 -hoz konvergáló sorozt esetén f(x n ) f(x 0 ) h n. Folytonos függvények tuljdonsági ugynzok mint z egyváltozós esetben. 9.3 Többváltozós függvények differenciálhtóság Definíció. Az f : D R k R függvényt z x 0 D bels pontbn (totálisn) dierenciálhtónk nevezzük, h vn olyn A R k vektor melyre f(x) f(x 0 ) A, x x 0 lim = 0. x x 0 x x 0 Az f (x 0 ):=A vektort z f függvény x 0 pontbeli deriváltjánk nevezzük. Geometrii jelentés: függvény f(x) f(x 0 ) növekményét z A, x x 0 lineáris függvény jól közelíti (mivel deníció szerint z f(x) f(x 0 ) A, x x 0 különbség olyn kicsi hogy még x x 0 -vl elosztv is nullához trt, h x x 0 ), függvény áltl meghtározott felületnek z x 0 pontbn vn érint síkj, ez éppen z x k+ = f(x 0 ) + A, x x 0 hipersík z R k+ térben. Definíció. Az f : D R k R függvényt z x 0 D bels pontbn z e (hol e egy R k -beli egységvektor) irány mentén dierenciálhtónk nevezzük, h létezik lim t 0 f(x 0 + te) f(x 0 ) t

66 66 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. (véges) htárérték. E htárértéket D e f(x 0 )-ll jelöljük, és z f függvény e iránymenti deriváltjánk nevezzük z x 0 pontbn. D e f(x 0 ) jelentése: z f függvény változási sebessége z e irányábn. H speciálisn e = u i = (0,..., 0,, 0,..., 0) z i-edik tengely irányáb muttó egységvektor (z u i vektor i-edik koordinátáj, többi 0) kkor D ui f(x 0 ) iránymenti deriváltt z f függvény i-edik változój szerinti prciális deriváltjánk nevezzük z x 0 pontbn. Jelölésére z i f(x 0 ) szimbólumot hsználjuk. Egyéb jelölések: xi f(x 0 ), f x i (x 0 ), f xi (x 0 ) Definíció. Az f : D R k R függvényt z x 0 D bels pontbn prciálisn dierenciálhtónk nevezzük, h i f(x 0 ) minden i =,..., n-re létezik. Mivel (x i = x 0,i + t jelöléssel) D ui f(x 0 ) = lim t 0 f(x 0,,..., x 0,i + t,..., x 0,k ) f(x 0,,..., x 0,i,..., x 0,k ) t = lim x i x 0,i f(x 0,,..., x i,..., x 0,k ) f(x 0,,..., x 0,i,..., x 0,k ) x i x 0,i így i f(x 0 )-t úgy számítjuk ki, hogy z i-edik változó szerint dierenciálunk, miközben többi változót konstnsnk tekintjük. Péld prciális deriváltk kiszámításár, és foglmk felírásár két változó esetén(ld. el dás) TÉTEL [iránymenti derivált kiszámítás] H f : D R n R z x 0 D bels pontbn (totálisn) dierenciálhtó, kkor bármely e = (e,..., e k ) R k, e = e e2 k = irány mentén is dierenciálhtó x 0 -bn, és z iránymenti deriváltjár áll fenn, hol A = f (x 0 ). D e f(x 0 ) = A, e = A e + + A k e k Speciálisn, h e = u i = (0,...,,..., 0) (hol z z i-edik helyen áll), kkor D ui f(x 0 ) = i f(x 0 ) = A i így D e f(x 0 ) = f(x 0 )e + + k f(x 0 )e k. Ez zt jelenti, hogy (totális) dierenciálhtóság prciális dierenciálhtóság. Az is következik, hogy f (x 0 ) = A = ( f(x 0 ),..., k f(x 0 )) zz z f (x 0 (totális) derivált (vektor) koordinátái prciális deriváltk. Bizonyítás. A dierenciálhtóság ε(x) := f(x) f(x 0 ) A, x x 0 jelöléssel f(x) f(x 0 ) = A, x x 0 + ε(x)

67 és dierenciálhtóság deníciój mitt lim x tox 0 f(x 0 + te) f(x 0 ) t h t 0 bizonyítv állításunkt. GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 67 ε(x) x x 0 = A, te + ε(x 0 + te) t = 0. Innen = A, e + t t ε(x 0 + te) A, e x 0 + te x 0 TÉTEL [(totális) dierenciálhtóság folytonosság] H f : D R k R z x 0 D bels pontbn (totálisn) dierenciálhtó, kkor f folytonos x 0 -bn. Bizonyítás. Az el z bizonyításbn hsznált ε(x) segítségével kpjuk, hogy f(x) f(x 0 ) = A, x x 0 + ε(x) x x 0 x x 0 0 h x x 0, mivel ekkor jobboldli összeg mindkét tgj nullához trt. Megjegyzés. f prciális dierenciálhtóságából f folytonosság. Ellenpéld { 0 h x f(x, x 2 ) = x 2 0 h x x 2 = 0 hol f(0, 0) = 2 f(0, 0) = 0, de f nem folytonos (0, 0)-bn. A prciális deriváltk folytonosság viszont grntálj (totális) dierenciálhtóságot, így folytonosságot is. TÉTEL [prc. deriv. folytonosság (totális) dierenciálhtóság ] H z f : D R k R függvénynek z x 0 D bels pont egy környezetében folytonos prciális deriváltji vnnk (ekkor zt úgy mondjuk, hogy függvény folytonosn prciálisn dierenciálhto e környezetben) kkor f z x 0 pontbnbn (totális) dierenciálhtó, (így folytonos is). Bizonyítás. Az egyszer ség kedvéért csk két változó esetén bizonyítunk. f(x, x 2 ) f(x 0,, x 0,2 ) = [f(x, x 2 ) f(x, x 0,2 )] + [f(x, x 0,2 ) f(x 0,, x 0,2 )]. A szögletes zárójelben lev különbségekre z egyváltozós Lgrnge-féle középértéktételt hsználv kpjuk, hogy f(x, x 2 ) f(x 0,, x 0,2 ) = 2 f(x, ξ 2 )(x 2 x 0,2 ) + f(ξ, x 0,2 )(x x 0, ) hol ξ z x és x 0 közötti érték, ξ 2 pedig x 2 és x 0,2 között vn. A prciális deriváltk x 0 = (x 0,, x 0,2 ) pontbeli folytonosság mitt f(ξ, x 0,2 ) = f(x 0,, x 0,2 ) + ε, 2 f(x, ξ 2 ) = 2 f(x 0,, x 0,2 ) + ε 2 hol ε i 0 (i =, 2) h (x, x 2 ) (x 0,, x 0,2 ). Így f(x, x 2 ) f(x 0,, x 0,2 ) = f(x 0,, x 0,2 )(x x 0, ) + 2 f(x 0,, x 0,2 )(x 2 x 0,2 ) + ε hol ε = ε (x x 0, ) + ε 2 (x 2 x 0,2 ). Állít±unk bizonyítv lesz, h megmuttjuk, hogy () Mivel ε (x x 0, ) 2 + (x 2 x 0,2 ) 2 0 h (x, x 2 ) (x 0,, x 0,2 ). ε (x x 0, ) 2 + (x 2 x 0,2 ) = ε x x 0, 2 (x x 0, ) 2 + (x 2 x 0,2 ) + ε x 2 x 0,2 2 2 (x x 0, ) 2 + (x 2 x 0,2 ) 2 ε i 0 és ε i -k utáni törtek bszolút értéke, így vlóbn fennáll (8).

68 68 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. TÉTEL [láncszbály: összetett függvény dierenciálhtóság] H g i : D R k R (i =, 2,..., l) függvények dierenciálhtók z x 0 D bels pontbn, és f : E R l R dierenciálhtó z y 0 = g(x 0 ) E bels pontbn, hol g(x) := (g (x), g 2 (x),..., g l (x)) (x D), kkor h(x) := f(g(x)) összetett függvény (mely x 0 D egy környezetében biztosn értelmezve vn) dierenciálhtó x 0 D-ben és i h(x 0 ) = Utóbbi képletet nevezzük láncszbálynk. Bizonyítás.- l j f(g(x 0 )) i g j (x 0 ) j= (i =, 2,..., k). 9.4 Mgsbbrend prciális deriváltk Tegyük fel, hogy z f : D R k R függvénynek z x 0 D bels pont egy környezetében létezik pl. z i-edik változó szerinti i f prciális derivált. H ez prciálisn dierenciálhtó pl. z j-edik változó szerint, úgy e deriválást elvégezve kpjuk j i f(x 0 ) := j ( i f(x 0 )) második prciális deriváltját f-nek z x 0 pontbn z i-edik és j-edik váltzozók szerint (ebben sorrendben). Hsonlón h j i f(x) drivált létezik x 0 egy környezetében és ez prciálisn dierenciálhtó pl. l-edik változó szerint, úgy e deriválást elvégezve kpjuk l i j f(x 0 ) := l ( i j f(x 0 )) hrmdik prciális deriváltt. Hsonlón értelmezhetjük negyed- és mgsbbrend prciális deriváltkt is. Egyéb jelölések mgsbbrend deriváltkr: xj xi f(x 0 ) 2 f x j x i (x 0 ), f xi x j (x 0 ) Péld. Számítsuk ki z f(x, y) = x 2 + y 2 e xy ((x, y) R 2 ) függvény összes els és másodrend prciális deriváltját, és hsonlítsuk össze 2 f(x, y) és 2 f(x, y) vegyes deriváltkt. TÉTEL [Young tétel: vegyes prciális deriváltk függetlensége deriválás sorrendjét l] H z f : D R k R függvénynek z x 0 D bels pont egy környezetében z összes m 2-edik prciális deriváltji léteznek és folytonosk z x 0 pontbn, kkor függvény m-edik prciális deriváltji z x 0 pontbn dierenciálás sorrendjét l függetlenek. 9.5 Többváltozós függvények széls értéke Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : D R k R függvénynek lokális (helyi) mximum (minimum) vn z x 0 D pontbn, h vn olyn ε > 0 hogy esetén. f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x K(x 0, ε) D

69 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 69 Azt mondjuk, hogy z f : D R k R függvénynek szigorú lokális (helyi) mximum (minimum) vn z x 0 D pontbn, h vn olyn ε > 0 hogy f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x K(x 0, ε) D, x x 0 esetén. Azt mondjuk, hogy z f : D R k R függvénynek globális (vgy bszolút) mximum (minimum) vn z x 0 D pontbn, h f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D esetén. Azt mondjuk, hogy z f : D R k R függvénynek szigorú globális (vgy bszolút) mximum (minimum) vn z x 0 D pontbn, h f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x D, x x 0 esetén. TÉTEL [ széls érték létezésének elegend feltétele] Korlátos zárt hlmzon folytonos függvény felveszi függvényértékek inmumát és supremumát függvényértékként, mi zt jelenti, hogy függvénynek vn minimum és mximum (z illet korlátos zárt hlmzon). TÉTEL [ széls érték els rend szükséges feltétele] H f : D R k R f ggvénynek z x 0 D bels pontbn lokális széls értéke vn, és léteznek f els prciális deriváltji x 0 -bn, kkor (2) f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0. Az (9) feltételnek elegettev x 0 pontokt z f függvény stcionárius pontjink nevezzük. Bizonyítás. Legyen ϕ i (t) := f(x 0,,..., x 0,i + t,..., x 0,k ) (i =,..., k) hol x 0 = (x 0,,..., x 0,k ) és t elég kicsi. Feltevésünk szerint ϕ i (t = 0-bn dierenciálhtó) függvényeknek lokális széls értéke vn t = 0 bn, így 0 = ϕ i(0) = i f(x 0 ) (i =,..., k) igzolv áll ításunkt. TÉTEL [ széls érték másodrend elegend feltétele] Tegyük fel, hogy z f : D R k R összes második prciális deriváltji folytonosk z x 0 D bels pont egy környezetében, továbbá (3) f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0, zz x 0 stcionárius pontj f-nek. I. H (4) Q(h) = Q(h,..., h k ) := k j= i= k j i f(x 0 )h i h j kvdrtikus függvény pozitív denit, zz Q(h) > 0 minden h R k, h 0 esetén, kkor f-nek szigorú lokális minimum vn x 0 -bn, II. h Q kvdrtikus függvény negtív denit, zz Q(h) < 0 minden h R k, h 0 esetén, kkor f-nek szigorú lokális mximum vn x 0 -bn, III. h Q kvdrtikus függvény indenit, zz Q(h) felvesz pozitív és negtív értéket is, kkor f-nek nincs széls értéke x 0 -bn. Bizonyítás.-

70 70 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. hol Két változó esetén egyszer ellen rizni egy kvdrtikus függvény pozitív vgy negtív denitségét. Ekkor Q(h, h 2 ) = Ah 2 + 2Bh h 2 + Ch 2 2 A = f(x 0 ), B = 2 f(x 0 ), C = 2 2 f(x 0 ). Itt már felhsználtuk zt, hogy feltételeink mellett vegyes második prciális deriváltk z x 0 pontbn egyenl k. Tegyük fel, hogy Q pozitív denit, kkor A < 0 nem lehet, mert pl. h 2 = 0-t véve Q(h, 0) = Ah 2 < 0 voln minden h 0 mellett. A = 0 sem lehet, mert kkor C = 0 esetén Q(h, h 2 ) = 2Bh h 2 nyilvánvlón felvesz pozitív és negtív értékeket is h B 0, míg B = 0 esetén Q zonosn zérus. H h C < 0, kkor Q(h, h 2 ) = 2Bh h 2 + Ch 2 2 negtív értékeket is felvesz h = 0, h 2 0 mellett. Végül, h C > 0 voln kkor Q(h, h 2 ) = 2Bh h 2 + Ch 2 2 = C [ ( h 2 + B ) 2 C h ( B C ) 2 h 2 átlkítást hsználv látjuk, hogy Q(h, h 2 ) 0 csk B = 0 esetén teljesül, ekkor viszont Q(h, h 2 ) = Ch 2 2 null lenne tetsz leges h és h 2 = 0 mellett mi ellentmond pozitív denitségnek. Így A > 0 és muttj, hogy Q(h, h 2 ) = A [ ( h + B ) 2 ( ) ] C A h 2 + A B2 A 2 h 2 2 C A B2 A 2 > 0, vgy AC B2 > 0 pozitív denitség szükséges és elegend feltétele. Ezzel igzoltuk zt, hogy ] Q(h, h 2 ) kvdrtikus függvény kkor és cskis kkor pozitív denit, h (5) := f(x 0 ) > 0, 2 := f(x 0 ) 2 f(x 0 ) 2 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) > 0. Hsonlón bizonyíthtjuk zt, hogy Q(h, h 2 ) kkor és cskis kkor negtív denit, h (6) < 0, 2 > 0. Az el z ek lpján könny belátni, hogy (7) 2 < 0 egyenl tlenség elegend Q indenítségéhez. Péld. f(x, y) = x 3 + y 3 3xy (x, y) R 2 lokális széls értékeinek meghtározás.

71 GAZDASÁGI MATEMATIKA I Feltételes széls érték Definíció. Legyenek f : D R k+m R, h i : D R k+m R i =,..., m dott függvények. Azt mondjuk, hogy z f függvénynek z x 0 D pontbn h (x) = 0, h 2 (x) = 0,..., h m (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes mximum (minimum) vn, h vn olyn ε > 0 hogy mellett, melyre f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D K(x 0, ε) h (x) = = h m (x) = 0. TÉTEL [ feltételes széls érték szükséges feltétele] Tegyük fel, hogy z f, h i : D R k+m R (i =,..., m), z f függvénynek z x 0 D bels pontbn h (x) = 0, h 2 (x) = 0,..., h m (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes széls értéke vn, továbbá z f és h i (i =,..., m) prciális deriváltji folytonosk x 0 egy környezetében és ( j h i (x 0 )) (j =,..., k + m, i =,..., m) mátrixnk vn nemzérus m-edrend ldetermináns. Akkor vnnk olyn λ,... λ m R vlós számok, hogy z függvényre F (x) := f(x) + λ h (x) + + λ m h m (x) (x D) F (x 0 ) = = k+m F (x 0 ) = 0. A λ,... λ m számokt Lgrnge-féle multiplikátoroknk nevezzük, z F függvényt feltételes széls érték problém Lgrnge-féle függvényének nevezzük. A feltételes széls érték problém megoldás úgy történik, hogy F (x 0 ) = 0, 2 F (x 0 ) = 0,..., k+m F (x 0 ) = 0, h (x) = 0, h 2 (x) = 0,..., h m (x) = 0 k + 2m db. egyenletb l álló rendszert megoldjuk z x,..., x k+m, λ,... λ m ismeretlenekre, kpott x,..., x k+m megoldások dják feltételes széls érték lehetséges helyeit. Megjegyzés. Vn másodrend elegend feltétel is feltételes széls értékre, de zt nem tnuljuk. Péld. Htározz meg z f(x, y) = x + 2y ((x, y) R 2 ) feltételes széls értékeit h(x, y) = x 2 + y 2 = 0 körvonl feltétel mellett. Megjegyzés. Érdemes feldtot geometriilg is szemléltetni, bból leolvshtó z hogy minimum vgy mximum vn-e kiszámolt pontokbn.

72 72 GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. DETERMINÁNSOK. Mátrix foglm, m veletek mátrixokkl Bevezetés. A közgzdságtnbn gykorik z olyn rendszerek melyek jellemzéséhez több dt szükséges. Például egy k vállltból álló csoport minden vállltánk eredményességét n dttl jellemezzük (ilyen dtok lehetnek: z i-edik válllt dolgozóink létszám, összbértömege, éves forglm, éves nyeresége, épületeinek, termelési eszközeinek érték, ezek éves mortizációj, stb.) Itt k n szám jellemzi vállltcsoport eredményességét, és z dtok jelentésére vló tekintettel ezeket egy tégllp lkú elrendezésben írjuk fel, és szokásos módon zárójelbe tesszük, zz 2... j... n j... 2n.. k k2... kj... kn i i2... ij... in. Az i -edik vállltok jellemz dtok: i, i2,..., ij,..., in táblázt i. sorábn szerepelnek, míg j. oszlop j, 2j,..., ij,..., kj számi z egyes vállltok j-edik jellemz dtát dják. Definíció. H k n drb (vlós) számot, z ij (i =, 2,..., k; j =, 2,..., n) számokt, k sorbn és n oszlopbn helyezünk el (és zárójelbe teszünk) z lábbi módon: 2... n n... k k2... kn kkor egy k n típusú (vlós) mátrixot deniáltunk. Az összes k n típusú mátrixok hlmzát M k n -nel jelöljük. A típus megdásánál mindig sorok szám z els dt! Az el bbi mátrixot A-vl jelölve, mondhtjuk, hogy ij z A mátrix i-edik soránk j-edik eleme, vgy z A mátrix (i, j)-edik eleme. Gykrn hsználjuk z A = ( ij ) tömör jelölést, h ez nem okoz félreértést. Az s i = ( i, i2,... in ) (i =, 2,..., k) vektort z A mátrix i-edik sorvektoránk nevezzük, (e vektor koordinátái állnk mátrix i-edik sorábn), z o j = j 2j. kj (j =, 2,..., n)

73 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 73 vektort z A mátrix j-edik oszlopvektoránk nevezzük (e vektor koordinátái állnk mátrix j-edik oszlopábn). Speciális mátrixok: () Négyzetes vgy kvdrtikus n-edrend mátrix, h n sor és n oszlop vn (zz sorok és oszlopok szám egyenl : k = n. Egy n-edrend kvdrtikus mátrix digonális (f átlój) z, 22,..., nn elemekb l áll, mellékátlój pedig z n, n 2,..., n elemekb l áll. (2) n-edrend egységmátrix olyn n-edrend kvdrtikus mátrix, melynek f átlójábn csup áll, zon kívül pedig csup 0 áll. Jelölése E. (3) k n típusú zérusmátrix olyn k n típusú mátrix, melynek minden eleme 0. Jelölése O. (4) Oszlopmátrix (ill. sormátrix) olyn mátrix melynek csk egyetlen oszlop (ill. sor) vn. Definíció. Az A = ( ij ) M k n mátrix trnszponáltján z A = ( ji ) M n k mátrixot, értjük ( mátrix sorit és oszlopit megcserélve kpjuk mátrix trnszponáltját). Definíció. Legyenek A = ( ij ), B = (b ij ) M k n zonos típusú mátrixok, és legyen λ R, kkor z A + B és λa mátrixokt A + B := ( ij + b ij ), λa := (λ ij ) -vel deniáljuk. Tétel. [z összedás, számml vló szorzás és trnszponálás tuljdonsági] Az összes k n típusú vlós mátrixok M k n hlmz k n dimenziós vlós vektortér fenti m veletekre nézve. Továbbá bármely A, B M k n, λ R mellett (A + B) = A + B, (λa) = λa. Bizonyítás. A megfelel tuljdonságok ellen rzése. Két mátrix szorzt csk kkor értelmezett, h z els tényez (mátrixnk) nnyi oszlop vn, mint hány sor vn második tényez (mátrixnk). Definíció. Az A = ( ij ) M k n és B = (b ij ) M n m mátrixok C = AB szorztán zt C = (c ij ) M k m mátrixot értjük melyre c ij := n is b sj = i b j + i2 b 2j + + in b nj s= (i =, 2,..., k; j =, 2,..., m). Ezt szorzást röviden "sor-oszlop kombinációnk" mondjuk, mert szorztmátrix c ij eleme, éppen z A mátrix (els tényez ) i-edik sorvektoránk és B mátrix (második tényez ) j-edik oszlopvektoránk bels szorzt (mindkét vektor n dimenziós). Tétel. [mátrixok szorzásánk tuljdonsági] Mátrixok szorzásár teljesülnek z A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC (AB) = B A zonosságok, hol A, B, C tetsz leges mátrixok, melyekre felírt m veleteknek vn értelme. Bizonyítás. A megfelel szorztmátrixok megfelel elemeinek kiszámolás.

74 74 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Megjegyezzük, hogy mátrixszorzás nem kommuttív, zz áltlábn AB BA, továbbá kvdrtikus mátrixokr AE = EA = A, AO = OA = O. Definíció. Egy A kvdrtikus mátrixot invertálhtónk nevezünk, h vn olyn B (kvdrtikus) mátrix melyre AB = BA = E teljesül. Ezt B mátrixot A inverzének nevezzük és A -gyel jelöljük. H A invertálhtó, kkor csk egy inverze vn. Ugynis, h B is A inverze voln, kkor AB = B A = E B = BE = B(AB ) = (BA)B = EB = B zz B = B..2 Determináns foglm, tuljdonági Definíció. Az N n = {, 2,..., n} számok egy elrendezését (vlmely sorrendben vló felírását) ezen elemek egy permutációjánk nevezzük. Két permutációt kkor tekintünk különböz nek, h zok leglább egy elem elhelyezésében különböznek. N n összes permutációink hlmzát S n -nel jelöljük. Péld. N 3 összes permutációink S 3 hlmz z (, 2, 3); (, 3, 2); (2,, 3); (2, 3, ); (3,, 2); (3, 2, ) permutációkból áll. Indukcióvl könnyen igzolhtó, hogy S n -nek n! eleme vn. Definíció. Legyen (, 2,..., i,..., j,..., n ) z, 2, 3,..., n elemek egy permutációj. Azt mondjuk, hogy e permutációbn z i és j pár inverzióbn áll, h i < j és i > j. Az inverzióbn álló párok szám z (n, n,..., 2, ) permutációbn lesz mximális, és kkor számuk (n ) + (n 2) + + = n(n ). 2 Aszerint, hogy z inverzióbn álló párok szám páros vgy pártln, szokás páros vgy pártln permutációról beszélni. Igzolhtó, hogy S n -ben ugynnnyi páros és pártln permutációk szám. H egy permutációbn két elemet felcserélünk, kkor permutáció párosság megváltozik. Definíció. Legyen A = ( ij ) egy n-edrend kvdrtikus mátrix. Az A mátrix determinánsán z A := α S n ( ) I(α) α 2α2... nαn számot értjük, hol z összegezés kiterjed z, 2,..., n számok összes α = (α, α 2,..., α n ) permutációjár, és I(α) z α permutáció inverzióink számát (z inverzióbn álló párok számát) jelöli. H mátrix elemeivel vn megdv, kkor determinánsánál nem tesszük ki mátrixot jelöl zárójelet, hnem z elemeket csupán két függ leges vonl közé tesszük. H egy n-edrend A mátrix z o, o 2,..., o n oszlopvektorivl vn dv, kkor determinánsát szokásos -nel is jelölni. A = o, o 2,..., o n

75 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 75 Megjegyzés. Egy négyzetes mátrix determinánsát következ képpen számoljuk ki. Kiválsztunk mátrix minden sorából egy-egy elemet úgy, hogy ezek z elemek mind különböz oszlopbn legyenek. Ezeket z elemeket összeszorozzuk. H kpott elemeket úgy rkjuk sorb, hogy hogy sorokt jelöl indexek természetes sorrendben álljnk, kkor z oszlopindexek z, 2,..., n számok egy α = (α, α 2,..., α n ) permutációjávl dhtók meg. H ez permutáció páros kkor z el bbi szorztot változtlnul hgyjuk, h pártln, kkor még -gyel megszorozzuk. Az ilyen módon kpott szorztokt z oszlopindexek összes permutációjár elkészítjük, mjd kpott n! drb szorztot összedjuk. A determináns fenti deníciój teljesen elemi, de igen bonyolult, mi gátolj z egyszer kiszámíthtóságot. Másod és hrmdrend determinánsok kiszámításár vnnk egyszer (és könnyen megjegyezhet képletek: = f átlóbn lév elemek szorztából kivonjuk mellékátlóbn lév elemek szorztát = Ez Srrus szbály, melyet úgy lehet megjegyezni, hogy determináns els két oszlopát determináns jobboldl hoz hozzáírv képzeljük, mjd mellékátlóbn és vele párhuzmosn t le jobbr lév két másik átlóbn lév elemeket összeszorozzuk, e szorztokt összedjuk, mjd mellékátlóbn és vele párhuzmosn t le jobbr lév két másik átló elemeit összeszorozzuk, e szorztokt kivonjuk z el z összegb l. Tétel. [ determináns lptuljdonsági] () H egy determináns sorit és oszlopit felcseréljük, kkor determináns értéke nem változik (vgy egy négyzetes mátrixnk és trnszponáltjánk determináns megegyezik). (2) H egy determináns vlmely soránk minden eleme trtlmz egy c fktort, kkor ez kiemelhet determináns jele elé. (3) H egy determináns két sorát felcseréljük kkor determináns el jelet vált. (4) H egy determináns két sor megegyezik, kkor determináns értéke null. (5) A determináns értéke nem változik, h egy soránk elemeihez egy másik sor megfelel elemeinek c- szeresét hozzádjuk. (6) H egy determináns vlmely soránk minden eleme két tg összegére bomlik, kkor determináns felirhtó két olyn determináns összegeként melyeknek megfelel sorukbn éppen z egyes összedndók állnk. (7) H egy determináns egy sorábn csup 0 áll, kkor determináns értéke null. (8) H egy determináns f átlójábn minden elem és determináns többi eleme 0, kkor determináns értéke. Bizonyítás. () Azt kell megmuttni, hogy α S n ( ) I(α) α 2α2... nαn = β S n ( ) I(β) β β βn n. Ez zért igz, mert z els összeg minden tgjához hozzárendelhet második összegnek pontosn egy tgj, és z el jelek is egyeznek. (2) H z i-edik sort szorozzuk c-vel kkor így állításunk igz. α S n ( ) I(α) α... (c iαi )... nαn = c α S n ( ) I(α) α... iαi... nαn.

76 76 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. (3) H pl. z i-edik és j > i-edik sort cseréljük fel, kkor zt kell belátni, hogy α S n ( ) I(α) α... iαi... jαj... nαn = α S n ( ) I(α ) α... jαj... iαi... nαn hol α = (α,..., α j,..., α i,..., α n ). Mindkét összegben szorztok tényez i megegyeznek csupán z elöjelek különböznek, mivel z α permutációt úgy kpjuk α-ból, hogy z i-edik és j-edik elemeket megcseréljük. Ezért I(α ) = I(α)+pártln szám, igzolv állításunkt. (4) A két egyez sor cseréje nem változttj meg determinánst, így z el z állítás mitt A = A mib l A = 0. (5) H z i-edik sorhoz j-edik sor c-szeresét djuk (i < j), kkor z igy kpott determináns értéke ( ) I(α) α... ( iαi + c jαj )... jαj... nαn = α S n +c α S n ( ) I(α) α... jαj... jαj... nαn = α S n α S n ( ) I(α) α... iαi... jαj... nαn ( ) I(α) α... iαi... jαj... nαn mert c utáni összeg null (lévén egy olyn determináns értéke melynek két sor megegyezik). (6) H z i-edik sor elemei ij + ij (j =,..., n) kkor α S n ( ) I(α) α... ( iαi + iα i )... nαn = + α S n α S n ( ) I(α) α... iα i... nαn ( ) I(α) α... iαi... nαn mint állítottuk. (7), (8) nyilvánvlók deníció lpján. Tétel. [ determinánsok szorzástétele] (Kvdrtikus) mátrixok szorztánk determináns tényez mátrixok determinánsink szorzt, zz h A, B (zonos rend ) kvdrtikus mátrixok, kkor AB = A B. Bizonyítás. Ld. pl. Kozm jegyzet. Következmény. Egy (kvdrtikus) mátrix kkor és cskis kkor invertálhtó, h determináns nem null. Ugynis, h A invertálhtó kkor A A = E, vgy szorzástétel mitt A A = így A = 0. A fordított állít±t kés bb igzoljuk, z inverz mátrix el állításávl. Az is könnyen igzolhtó, hogy egy (kvdrtikus) mátrix determináns pontosn kkor null, h oszlopvektori (vgy sorvektori) lineárisn függ ek. Így egy (kvdrtikus) mátrix invertálhtóságánk egy újbb szükséges és elegend feltétele z, hogy mátrix oszlopvektori (vgy sorvektori) lineárisn függetlenek legyenek. Definíció. Egy n-edrend kvdrtikus A = ( ij ) mátrixból, hgyjuk el z ij elem sorát és oszlopát (zz z i-edik sort és j-edik oszlopot), visszmrdó n -edrend kvdrtikus mátrix determinánsát ( ) i+j -vel megszorozv, kpott számot z A mátrix ij eleméhez trtozó djungált ldeterminánsnk nevezzük, és A ij -vel jelöljük. Az djungált ldetermináns tehát egy részmátrix determináns, vgy nnk negtívj, ttól függ en, hogy mi z elhgyott sor és oszlop indexe. Az el jel megállpításár skktábl szbály szolgál: helyezzük el mátrixunkt egy képzeletbeli n n-es skktáblán, de mez ket színezés helyett + és jelekkel látjuk el, úgy, hogy bl fels srokbn + jel vn. H egy mez ben + jel vn kkor ( ) i+j =, h jel vn, kkor ( ) i+j =.

77 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 77 Tétel.[kifejtési tétel] Legyen A egy n-edrend kvdrtikus mátrix, kkor ez sor szerinti kifejtés, továbbá n ij A i j = j= n ij A ij = i= { A h i = i 0 h i i { A h j = j 0 h j j ez z oszlop szerinti kifejtés. Bizonyítás. Ld. pl. Kozm jegyzet. Mgyrázt. Pl. z els sor szerinti kifejtés zt jelenti, hogy determináns értékét úgy számoljuk ki, hogy els sorvektor (, 2,..., n ) és ennek koordinátáihoz trtozó djungált ldeterminánsokból álló (A, A 2,..., A n ) vektorok bels szorztát vesszük. H pl. z els sorvektor és egy másik sorvektorhoz trtozó djungált ldeterminánsok vektoránk bels szorztát vesszük, kkor nullát kpunk. Ugynez helyzet oszlopvektorok esetén is. Tétel. [z inverz mátrix el állítás] Legyen A egy n-edrend invertálhtó mátrix (zz legyen A = 0, kkor z A = (b ij ) inverz mátrix elemei b ij = A ji A (i, j =, 2,..., n) lkúk (zz A inverze z A djungált ldeterminánsiból lkotott mátrix trnszponáltjánk -szoros). A Bizonyítás. Ugynis ekkor z C := A A szorzt c ij elemét kiszámolv, z oszlop szerinti kifejtési tétel lpján c ij = n k= ik b kj = A n ik A jk = k= { h i = j 0 h i j zz C = A A = E. Az A A = E egyenl ség hsonlón igzolhtó. Definíció. Egy tetsz leges k n típusú mátrix rngján oszlopvektorink rngját értjük (mi zonos mximális lineárisn független oszlopvektorok számávl). A rngját rng A-vl jelöljük. Legyen l min{k, n}, kkor A egy l-edrend ldeterminánsát úgy kpjuk, hogy kiválsztjunk mátrix l drb sorát és l drb oszlopát, és ezek metszetében lév elemekból lkotott l-edrend determinánst képezünk. Ilyen l-edrend ldeterminás ( ( k n l) l) drb vn, mivel ennyiféleképpen válszthtunk ki l sort és oszlopot. Tétel.[rngszámtétel] Bármely (nemzérus) mátrix rngj megegyezik mximális rend nullától különböz ldeterminánsink rendjével. A zérusmátrix rngj null. Bizonyítás. Ld. pl. Kozm jegyzet. E tételb l z is következik, hogy egy mátrix sorvektorink rngj egyenl z oszlopvektorink rngjávl, hiszen trnszponáláskor kiválsztott l-edrend determinánsok értéke nem változik.

78 78 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 2. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK (8) 2. Lineáris egyenletrendszer foglm, Guss elimináció Definíció. Lineáris egyenletrendszernek nevezzük z x + 2 x n x n = b 2 x + 22 x n x n = b 2. k x + k2 x kn x n = egyenletrendszert, hol ij, b i (i =,..., k; j =,..., n) dott vlós számok, x i (i =,..., k) ismeretlen vlós (vgy komplex) számok. Az ij számokt z (8) rendszer együtthtóink nevezzük (pontosbbn ij rendszer i-edik egyenletében z x j ismeretlen együtthtój, b i z i-edik egyenlet szbd tgj. Az (8) egyenletrendszert homogénnek nevezzük, h b = = b k = 0, ellenkez esetben inhomogénnek mondjuk. Azt mondjuk, hogy c,..., c n számok (8) egy megoldását dják, h z ismeretlenek helyére helyettesítve ket rendszer minden egyes egyenletében egyenl ség áll. Az (8) egyenletrendszert szbályosnk nevezzük, h k = n, zz h z egyenletek és ismeretlenek szám egyenl. Bevezetve z együtthtómátrixot, és z 2... n n A =... k k2... kn x = x x 2. x n, b = oszlopmátrixokt (oszlopvektorokt) z (8) rendszer tömören z (9) A x = b lkb írhtó. Egyenletek ill. egyenletrendszerek esetén két lpvet kérdést vizsgálunk: Vn-e z egyenletrendszernek megoldás, és h igen kkor egyértelm -e? Hogyn htározhtjuk meg megoldást ill. z összes megoldást? Egy (lineáris) egyenletrendszert megoldhtónk nevezünk, h vn megoldás, ellenkez esetben ellentmondásosnk mondjuk. H pontosn egy megoldás létezik, kkor rendszert htározottnk nevezzük, h több megoldás vn kkor htároztlnnk mondjuk. Két egyenletrendszert ekvivlensnek nevezünk, h megoldásik hlmz egyenl. Lineáris egyenletrendszerek esetén (nyilvánvló módon) z lábbi átlkítások eredményeznek ekvivlens rendszereket (ezeket ekvivlens átlkításoknk mondjuk): z egyenletek sorrendjének megváltozttás, b b 2. b k. b k

79 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 79 z egyenletekben szerepl tgok sorrendjének megváltozttás, rendszer bármelyik egyenletének szorzás (minden tg szorzás) egy nemzérus számml, rendszer bármelyik egyenletének hozzádás egy másik egyenletéhez. A Guss elimináció z ismeretlenek szukcesszív kiküszöbölése. Ennek során z egyenletrendszert un. trpéz lkr hozzuk. Az (8) rendszert kkor nevezzük trpéz lkúnk, h vn olyn r n szám, hogy 0, 22 0,..., rr 0 de ij = 0, h i =, 2,..., r, j < i, továbbá ij = 0, h i > r, j =, 2,..., n. H r = n, kkor rendszert háromszöglkúnk nevezzük. A Guss elimináció lépései: Tegyük fel, hogy 0. Az els egyenlet i -szeresét z i-edik egyenlethez hozzádv i = 2, 3,..., k esetén, z x ismeretlen elt nik második, hrmdik,... k-dik egyenletb l. H = 0, kkor z els egyenletben keresünk egy ismeretlent melynek együtthtój 0 és ez veszi át x szerepét. Ezután második egyenlet lklms konstnszorosink hrmdik... k-dik egyenlethez vló hozzádásávl kiküszöböljük hrmdik ismeretlent negyedik,... k-dik egyenletb l. Az eljárást hsonlón folyttjuk, míg vn mit kiküszöbölni. Íly módon egy trpéz lkú egyenletrendszerhez jutunk. A trpéz lkú egyenletrendszer kkor és cskis kkor megoldhtó, h trpéz lkbn z r + -edik egyenlett l kezdve szbd tgok mind nullák. A megoldhtó esetben rendszerünk kkor és cskis kkor lesz htározott, h r = n, zz h rendszerünk hároszöglkú. Ugynis, ekkor z utolsó egyenletb l zonnl kiszámíthtó x n egyetlen lehetséges értéke, ezt z el z egyenletbe helyettesítve számolhtjuk ki x n egyetlen értékét, és hsonlón folyttv kpjuk rendszer egyetlen megoldását dó..., x 3, x 2, x értékeket. H r < n kkor rendszer htároztln, ugynis z x r+, x r+2,..., x n "szbd ismeretleneknek" tetsz leges értéket dv, ezek segítségével fennt leírt módon z x r, x r,..., x 2, x ismeretlenek (egyértel en) kiszámíthtók. Így ebben z esetben rendszer htároztln, és végtelen sok megoldás vn ( megoldások egy n r prméteres sereget lkotnk. 2.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldhtóság Tétel. [lin. egyenletrendszer megoldhtóság] Az x + 2 x n x n = b 2 x + 22 x n x n = b 2. k x + k2 x kn x n = lineáris egyenletrendszer kkor is cskis kkor oldhtó meg, h rnga = rng(a b) rngfeltétel teljesül, hol A rendszer mátrix, (A b) b vített mátrix, melyet z A mátrixból úgy kpunk, hogy z A mátrixhoz n + -edik oszlopként hozzáírjuk szbd tgok b oszlopvektorát. Bizonyítás. Legyenek o j = j 2j. kj. b k (j =, 2,..., n)

80 80 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. z A mátrix oszlopvektori, kkor rendszerünk (20) x o + x 2 o x n o n = b lkb is írhtó ( bloldli összeg els tgj z o vektor x sklárrl vló szorzt s.i.t.). Innen láthtó, hogy h rendszerünk megoldhtó, kkor (20) lpján b L(o,..., o n ) így L(o,..., o n ) = L(o,..., o n, b), így z utóbbi két ltér rngj egyenl, zz (20) teljesül. Fordítv, h (20) teljesül, kkor L(o,..., o n, b) L(o,..., o n ) és (20) mitt L(o,..., o n, b) = L(o,..., o n ) így b L(o,..., o n ). Ezért b oszlopvektor z o,..., o n oszlopvektorok lineáris kombinációj, zz vnnk olyn x, x 2,..., x n számok, melyekre b = x o + x 2 o x n o n teljesül, zz x, x 2,..., x n rendszer megoldás. Fogllkozzunk most homogén rendszerrel, (mikor b = = b k = 0). Ekkor z el z tételben szerepl rngfeltétel biztosn teljesül, így mindig vn megoldás. Ez rngfeltételre vló hívtkozás nélkül is zonnl láthtó, hiszen x = x 2 = = x n = 0 megoldás homogén rendszernek. Ezt megoldást triviális megoldásnk nevezzük. Mikor vn homogén rendszernek triviálistól különböz megoldás? Erre d válszt következ Tétel. [homogén rendszernek nemtriviális megoldásánk létezése] Az Ax = 0 (A M k n, x = (x,..., x n ) M n ) homogén lineáris egyenletrendszernek kkor is cskis kkor vn triviálistól különböz megoldás, h rng A < n (zz rendszer A mátrixánk rngj kisebb mint z ismeretlenek szám). H ez teljesül, kkor homogén rendszer összes megoldási R n -nek egy n rng A dimenziós lterét lkotják. Bizonyítás. Az, hogy homogén rendszer megoldási lteret lkotnk szinte nyilvánvló, h ugynis, z x, y (oszlop)vektorok megoldások kkor Ax = 0, Ay = 0 így A(x + y) = Ax + Ay = 0 és A(cx) = cax = 0 zz x + y és cx is megoldás (c R). Legyen rng A = r és írjuk rendszert (2) x o + x 2 o x n o n = 0 lkb. H vn nemtriviális x = (x,..., x n ) megoldás, kkor (2) teljesül, mib l láthtó, hogy o, o 2,..., o n lineárisn függ, így z L(o, o 2,..., o n ) ltér dimenziój (mi éppen rng A) kisebb mint n. Fordítv, h r < n kkor vegyük z L(o, o 2,..., o n ) ltér egy bázisát, z egyszer ség kedvéert legyen ez rendszer sorrendben els r db. vektor, zz o, o 2,..., o r. Ekkor z o r+,..., o n vektorok bázisvektorok lineáris kombinációi, zz (22) o i = α i o + α i2 o α ir o r (i = r +,..., n)

81 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 8 lklms, nem csup zérusból álló α i, α i2,..., α ir számok esetén. Ezt átírhtjuk α i o α i2 o 2 α ir + o i = 0 lkb is, mi viszont zt jelenti, hogy z u i = ( α i, α i2,..., α ir, 0,...,,..., 0) (i = r +,..., n) (oszlop)vektorok homogén rendszer nemtriviális megoldási (z i edik helyen áll). Ezek vektorok lineárisn függetlenek, mert (z u r+,..., u n oszlopvektorokt egymás után egy) mátrixként írv, kpott mátrix trtlmzz z n r dimenziós egységmátrixot. Így megoldások ltere leglább n r dimenziós. Kés bb megmuttjuk, hogy megoldások lterének dimenziój pontosn n r. Tétel. [lin. egy.rendszer megoldásánk szerkezete] Az (23) Ax = b (A M k n, x M n, b M k ) inhomogén lineáris egyenletrendszer bármely x megoldás x = x + x h lkb írhtó, hol x z inhomogén egyenlet egy rögzített (prtikuláris) megoldás, x h pedig (23)-nk megfelel (24) Ax = 0 homogén egyenlet egy tetsz leges megoldás. Így megoldások hlmz (24) megoldáslterének z x vektorrl vló eltoltj. Bizonyítás. Ugynis, h x (23) egy tetsz leges megoldás, x (23) egy megoldás, kkor Ax = b, Ax = b mib l A(x x ) = 0 mib l x h = x x -vel következik állításunk. 2.3 A Crmer szbály: lineáris egyenletrendszerek megoldás A szbályos egyenletrendszerekre vontkozik lábbi Tétel. [Crmer szbály] Legyen A egy n-edrend kvdrtikus mátrix. A (25) Ax = b (A M n n, x, b M n ) (szbályos) lineáris egyenletrendszer kkor és cskis kkor htározott (egyértelm en megoldhtó), h H ez teljesül kkor rendszer egyetlen megoldás x i = A i A A = 0. (i =, 2,..., n) hol A i z mátrix melyet z A mátrixból úgy kpunk, hogy nnk i-edik oszlopát szbd tgok b (oszlop)vektorár cseréljük ki. Bizonyítás. H rendszerünk htározott kkor z A mátrix o,..., o n oszlopvektori lineárisn függetlenek (ti. csk ekkor lehet b-t z oszlopvektorok lineáris kombinációjként egyértelm en felírni). Ekkor viszont A = 0. Fordítv, h A = 0 kkor A invertálhtó, megszorozv z Ax = b egyenletet blról z A inverz mátrixszl A Ax = Ex = x

82 82 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. mib l z inverz mátrix A = ( Aji A ) lkját, felhsználv x i = n j= A ji A b i = A n j= A ji b i = A i A mivel jobboldlon z utolsó összeg éppen z A i determinánsnk z i-edik oszlop szerinti kifejtése. A szbályos homogén egyenletrendszerekre vontkozik z következ Tétel. [szbályos homogén egy.rendszer nemtriviális megoldásánk létezése] Legyen A egy n-edrend kvdrtikus mátrix. A Ax = 0 (A M n n, x M n ) (szbályos) homogén lineáris egyenletrendszernek kkor és cskis kkor vn nemtriviális megoldás, h A = 0. Bizonyítás. Ugynis, h A = 0 kkor z el z tétel mitt z egyetlen megoldás (b i = 0 (i =,..., n) mitt) z x i = 0 (i =,..., n) triviális megoldás. H viszont A = 0, kkor homogén rendszer megoldásink ltere ( 2. Tétel mitt) leglább egy dimenziós, így vn benne nemzérus vektor. A Crmer szbály lklmzás tetsz leges lineáris egyenletrendszer megoldásár Crmer szbály segítségével tetsz leges lineáris egyenletrendszert is megoldhtunk z lábbi módon. Tekintsük Ax = b (A M k n, x M n, b M k ) k egyenletb l álló n ismeretlent trtlmzó rendszert, mely megoldhtó, zz rnga = rng(a b), jelölje z itt szerepl rngok közös értékét r, kkor r min{k, n}. Keressük meg A rngmeghtározó ldeterminánsát, zz válsszuk ki mátrix r sorát és r oszlopát, úgy, hogy z ezekb l lkotott determináns nem zérus. Vegyük zokt z egyenleteket melyek kiválsztott soroknk felelnek meg, ezek bloldlán csk zokt z ismeretleneket hgyjuk meg, melyeknek megfelel oszlopokt kiválsztottuk ( többi ismeretlent z egyenlet jobboldlár vigyük át). A rngfeltétel mitt z elhgyott egyenletek kiválsztott r drb egyenletb l (lineárisn) kombinálhtók így zok elhgyhtók. A kpott szbályos egyenletrendszerre (r egyenlet, r ismeretlen) Crmer szbály lklmzhtó, rendszerünkben szerepl ismeretleneket jobboldlon szerepl, tetsz legesnek vehet ismeretlenek, és megfelel szbd tgok lineáris kombinációjként kpjuk meg Crmer szbály áltl. Ebb l z eljárásból z is következik, hogy h rendszerünk homogén és r < n kkor megoldások n r dimenziós lteret lkotnk, ugynis minden x M n megoldás n r drb (lineárisn független) u,... u n r oszlopvektor lineáris kombinációj, hol mindegyik u j vektor olyn, hogy kiválsztott r drb sorbn ( Crmer szbály áltl kiszámolt) meghtározott konstnsok állnk, ki nem válsztott n r drb sorbn pedig 0 vgy számok, úgy, hogy mindegyik vektorbn egyetlen vn többi érték 0. Példák.. x +x 2 +2x 3 = b 2x x 2 +2x 3 = b 2 4x +x 2 +4x 3 = b 3

83 Itt rendszer determináns így egyértelm en megoldhtó, és megoldások GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 83 x = 6 x 2 = 6 x 3 = b 2 b 2 2 b 3 4 b 2 2 b b 3 4 b 2 b 2 4 b 3 = 6 0, = 6b 2b 2 + 4b 3 6 = 4b 2 + 2b 3 6 = 6b + 3b 2 3b Egyenletrendszerünk most A rendszer mátrix, és b vített mátrix rngok A = x +x 2 +2x 3 +x 4 = 2x x 2 +2x 3 +2x 4 = 4 4x +x 2 +4x 3 +2x 4 = 2 7x +x 2 +8x 3 +5x 4 = 7 8x +2x 2 +0x 3 +6x 4 = (A b) = rng A = 3, rng (A b) = 3, így rendszerünk megoldhtó. Rngmeghtározó determinánsnk bl fels 3 3 srokdeterminánst vehetjük. Az utolsó két egyenlet elhgyhtó (könny látni, hogy negyedik egyenlet z el z három egyenlet összege, z ötödik egyenlet z els egyenlet kétszerese plusz második és hrmdik egyenlet). A rngmeghtározó determinánsbn nem szerepl x 4 ismeretlent jobboldlr rendezve kpjuk, hogy x +x 2 +2x 3 = x 4 2x x 2 +2x 3 = 4 2x 4. 4x +x 2 +4x 3 = 2 2x 4

84 84 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Ezt Crmer szbállyl megoldv (felhsználv z el z péld eredményét b = x 4, b 2 = 4 2x 4, b 3 = 2 2x 4 -szel) kpjuk, hogy rendszerünk minden megoldás x = ( x 4 ) 3 ( 4 2x 4) ( 2 2x 4) = + 3 x 4, x 2 = 2 3 ( 4 2x 4) + 3 ( 2 2x 4) = x 4, x 3 = ( x 4 ) + 2 ( 4 2x 4) 2 ( 2 2x 4) = 2 x 4 lkú, hol x 4 tetsz leges.