GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

Átírás

1 GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z A hlmznk) ill. b / A (b nem eleme z A hlmznk). Egy hlmz kkor dott, h minden objektumról el tudjuk dönteni, hogy eleme hlmznk vgy nem z. Hlmzok megdási módji: felsorolás pl. A = {2, 3, 5, 7, } (z els 5 prímszámból álló hlmz), ismert hlmz dott tuljdonságú elemeinek megdás pl. A = { n N : n páros } hol N természetes számok hlmz, melyet ismertnek tekintünk. Definíciók. Azt hlmzt melynek egyetlen eleme sincs üres hlmznk nevezzük és -tel jelöljük. Az A és B hlmzokt egyenl nek nevezzük, h elemei ugynzok. Ezt A = B-vel jelöljük, tgdását A B jelöli. Azt mondjuk, hogy z A hlmz részhlmz B hlmznk, h A minden eleme eleme B-nek. Jelölése: A B. Ezt úgy is írhtjuk, hogy B A, ezt úgy olvssuk, hogy B trtlmzz z A hlmzt. Az A hlmz vlódi részhlmz B hlmznk, h A B és A B. Megjegyzések. Denícióinkt, állításinkt egyszer bben foglmzhtjuk meg mtemtiki logik jeleinek hsználtávl. Ítélet (állítás) ltt olyn kijelentést értünk melyr l egyértelm en eldönthet, hogy igz (i) vgy hmis (h). Állításokból újbb állításokt kphtunk z 5 logiki m velet (negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekivivlenci) segítségével. Legyenek P, Q állítások. A logiki m veletek deníciói: P (nem P, vgy P tgdás) kkor és cskis kkor igz, h P hmis. P Q (P és Q) kkor és cskis kkor igz h P és Q is igz. P Q (P vgy Q) kkor és cskis kkor igz h P és Q leglább egyike igz. P = Q (P-b l következik Q)kkor és cskis kkor igz h P hmis vgy h Q igz. P Q (P ekvivlens Q-vl) kkor és cskis kkor igz h P és Q vgy mindketten igzk vgy mindketten hmisk. P = Q esetén zt mondjuk, hogy P elegend Q teljesüléséhez, vgy Q szükséges P teljesüléséhez. Beláthtó, hogy (P = Q) ( Q = P ) P Q esetén zt mondjuk, hogy P szükséges és elegend Q teljesüléséhez. Hsználjuk még logiki kvntorokt: univerzális kvntor: x = minden x-re egzisztenciális kvntor: x = létezik x

2 2 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. E jelölések segítségével pl. A = B ( x)((x A = x B) (x B = x A)), A B ( x)(x A = x B). M veletek hlmzokkl. Célszer vizsgált hlmzokt egy X lphlmz részhlmzink tekinteni. Definíciók. A B := { x X : x A vgy x B } z A és B hlmzok uniój vgy egyesítése A B := { x X : x A és x B } z A és B hlmzok metszete vgy közös része A \ B := { x X : x A és x / B } z A és B hlmzok különbsége A := X \ A z A hlmz komplementere,, \ binér (kétváltozós) m veletek, komplementerképzés unér (egyváltozós) m velet. Az A és B hlmzokt diszjunktnk nevezzük, h metszetük üres. Állítás. Tetsz leges A, B, C X hlmzokr teljesülnek z lábbi tuljdonságok. A B = B A, A (B C) = (A B) C, A B = B A, A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), A A = A, A A = A, A B = A B, A B = A B. A felsorolt tuljdonságok nevei rendre (zz felsorolás sorrendjében) z unió ill. metszetképzésre vontkozó kommuttivitás, sszocitivitás, disztributivitás, idempotenci, és de Morgn féle zonosságok. A hlmzm veletek zonossági z un. Venn digrmmokkl szemléltethet k. Definíciók. Hlmzrendszer (vgy hlmzcslád) ltt olyn (nemüres) hlmzt értünk, melynek elemi hlmzok. H I egy (nemüres) hlmz és minden i I elemhez meg vn dv egy A i vel jelölt hlmz, kkor z A = { A i : i I } hlmzrendszert I-vel indexelt hlmzrendszernek nevezzük, I neve indexhlmz. Egy R hlmzrendszer unióját és metszetét R := { x : A R úgy hogy x A }, R := { x : A R mellett x A } deniálj. H R = A = { A i : i I } egy I hlmzzl indexelt hlmzrendszer, kkor z unióját és metszetét -vel szokás jelölni. i I, i I

3 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 3.2 Relációk Definíció. Az A és B hlmzok Descrtes szorztán (vgy direkt szorztán) e hlmzok elemeib l képezett összes (, b) rendezett párok hlmzát értjük, hol A, b B. Jelölésére z A B szimbólumot hsználjuk. Azz A B = { (, b) : A, b B }. Rendezett párok egyenl ségére megköveteljük zt, hogy (, b) = (c, d) kkor és cskis kkor h = c, b = d. Hsználjuk z A A = A 2 jelölést is. Megjegyezzük, hogy A B áltlábn nem egyenl B A-vl. Definíció. Az A és B hlmzok Descrtes szorztánk egy R A B részhlmzát z A és B hlmzok közötti (binér) relációnk nevezzük. H (, b) R kkor zt mondjuk, hogy z elem R relációbn vn b-vel. Ezt szokás R b-rel is jelölni. A = B esetén z A és B közötti relációt A-n értelmezett relációnk mondjuk. Az lábbikbn legfontosbb relációtípusokt tárgyljuk meg. Definíció. Az A hlmzon értelmezett R A A relációt ekvivlenci relációnk nevezzük, h R reexív, zz ( A) R szimmetrikus, zz (, b A) R b = b R trnzitív, zz (, b, c A) R b b R c = R c. Péld. Legyen A z els éves debreceni közgzdászhllgtók hlmz, és R b kkor és cskis kkor teljesüljön h z és b hllgtók ugynbbn hónpbn születtek. Ekkor R egy ekvivlenci reláció. Az összes hllgtók 2 osztályb sorolhtók (születési hónp szerint), bármely két osztályt véve zok vgy zonosk, vgy diszjunktk. Áltlábn is igz, hogy h R egy ekvivlenci reláció z A-n kkor z egymássl relációbn álló elemeket egy osztályb sorolv z A hlmz egy osztályozását kpjuk (zz A felbontását páronként diszjunkt hlmzok uniójr), és fordítv, A minden osztályozás megd egy ekvivlenci relációt, melynek osztályi éppen kiindulásként vett osztályok. Definíció. Az A hlmzon értelmezett R A A relációt féligrendezésnek nevezzük, h R reexív, zz ( A) R ntiszimmetrikus, zz (, b A) R b b R = = b trnzitív, zz (, b, c A) R b b R c = R c. Az A hlmzon értelmezett R A A relációt rendezésnek nevezzük, h R féligrendezés, és (, b A) R b b R. Példák. Egy X hlmz összes részhlmzin trtlmzási reláció féligrendezés. H A = R vlós számok hlmz, kkor rendezés. Definíciók. Tekintsük vlós számok R hlmzát rendezéssel és legyen A R. Az A hlmzt felülr l korlátosnk nevezzük, h vn olyn k R szám, hogy ( A) k. A k számot A (egy) fels korlátjánk nevezzük. Az A hlmzt lulról korlátosnk nevezzük, h vn olyn k R szám, hogy ( A) k. A k számot A (egy) lsó korlátjánk nevezzük. Az A hlmzt korlátosnk nevezzük, h lulról és felülr l is korlátos.

4 4 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Az s R számot z A hlmz pontos fels korlátjánk (vgy suprémumánk) nevezzük, h s z A fels korlátj A bármely s fels korlátjár s s. Jelölés s = sup A. Az i R számot z A hlmz pontos lsó korlátjánk (vgy inmumánk) nevezzük, h i z A lsó korlátj A bármely i lsó korlátjár i i. Jelölés i = inf A. Péld. Legyen A = {, 2, 3,... } természetes számok reciprokink hlmz. Akkor A korlátos és sup A =, inf A = 0. Definíció. Az A és B hlmzok között értelmezett F A B relációt z A hlmzon deniált függvénynek nevezzük, h minden A elemhez pontosn egy olyn b B elem létezik, melyre F b teljesül. Ilyenkor b = F () jelölést hsználjuk, függvény jelölésére pedig F : A B-t hsználjuk. D F = A z F függvény értelmezési trtomány (domin of F). R F := { F () : A } z F függvény értékkészlete (rnge of F). Definíciók. Az F : A B függvényt injektívnek (vgy kölcsönösen egyértelm nek, invertálhtónk) nevezzük, h (, b A) b = F () F (b), vgy, mi ugynz (, b A)F () = F (b) = = b. Az F : A B függvényt szürjektívnek (vgy B-re képez nek) nevezzük, h R F = B. Az F : A B függvényt bijektívnek (vgy kölcsönösen egyértelm en B-re képez nek) nevezzük, h injektív és szürjektív. Definíció. H F : A B injektív, kkor z F : R F A inverz függvényét z lábbi módon értelmezzük: tetsz leges b R F -hez létezik egyetlen egy A úgy, hogy b = F (), ekkor legyen F (b) :=. Röviden, F (b) = h F () = b. Azonnl láthtó, hogy F ( F (b) ) = F () = b h b R F, F (F ()) = h A. H F bijektív, kkor itt R F = B. 2. A VALÓS SZÁMOK 2. A vlós számok ximómrendszere Az R hlmzt vlós számok hlmzánk nevezzük, h teljesíti z lábbi 3 xiómcsoport xiómáit..testxiómák R-ben két m velet vn értelmezve, z

5 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 5 R R (x, y) x + y összedás R R (x, y) x y szorzás melyek teljesítik z lábbi xiómákt (melyeket testxiómáknk nevezünk). A szorzás jelét z lábbi xiómákbn kiírjuk, de továbbikbn nem, kivéve, h elhgyás félrértéshez vezetne. Az összedás xiómái: ( x, y R) x + y = y + x, ( x, y, z R) x + (y + z) = (x + y) + z, ( 0 R)( x R) x + 0 = x, ( x R)( x R) x + ( x) = 0 A szorzás xiómái: ( x, y R) x y = y x, ( x, y, z R) x (y z) = (x y) z, ( R, 0)( x R) x = x, ( x R, x 0)( x R) x x = Ezek z xiómák rendre z összedás ill. szorzás kommuttivitását, sszocitivitását, 0 ill. létezését, és z dditív ill. multipliktív inverz létezését fejezik ki. Megköveteljük szorzás disztributivitását z összedásr nézve, zz ( x, y, z R) x (y + z) = x y + x z. 2. Rendezési xiómák R-en értelmezve vn egy ( R R) (olvsd kisebb vgy egyenl ) rendezési reláció (mely korábbn tárgylt) négy xiómát teljesíti, továbbá ( x, y, z R) (x y) = x + z y + z, ( x, y R) (0 x 0 y) = 0 x y. E tuljdonságokt z összedás és szorzás monotonitásánk nevezzük. H 0 x de 0 x(x R) kkor ezt 0 < x -szel (vgy x > 0-vl) jelöljük, és x -et pozitívnk mondjuk. x R-et negtívnk mondjuk, h x pozitív. 3. Teljességi xióm R ( rendezésre nézve) teljes, zz R bármely nemüres felülr l korlátos részhlmzánk vn pontos fels korlátj. Összefogllv, vlós számok R hlmz tehát egy teljes rendezett test. Megmutthtó, hogy létezik ilyen hlmz, és ez bizonyos értelemben egyértelm. A vlós számokt számegyenesen modellezhetjük. A testxiómákt felhsználv igzolhtó, hogy bármely x, y, z R esetén h x + y = x + z, kkor y = z; h xy = xz, x 0, kkor y = z; h x + y = x, kkor y = 0; h xy = x, x 0, kkor y = ; h x + y = 0, kkor y = x; h xy =, x 0, kkor y = x ; ( x) = x; h x 0, kkor ( x ) = x, továbbá 0x = 0; x 0, y 0 xy 0; ( x)y = (xy) = x( y); ( x)( y) = xy.

6 6 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. A rendezési és testxiómákt (rendezett test xiómáit) felhsználv igzolhtó, hogy bármely x, y, z R esetén h x 0, y z, h x 0, y z, x 0 kkor és cskis kkor, h x 0, kkor xy yz, kkor xy yz, h x 0, kkor x 2 > 0, speciálisn > 0, h 0 < x y, kkor 0 < y x, és x 2 y 2. A bizonyítássl gykorlton fogllkozunk mjd. 2. R nevezetes részhlmzi, bszolút érték, távolság Definíciók. Az N = {, 2, 3, 4... } hlmzt természetes számok hlmzánk nevezzük. Végiggondolv zt, hogy 2 = +, 3 = 2 +, 4 = 3 +,... dódik, hogy N R-nek z legsz kebb részhlmz, melyre teljesül, z, hogy N, h n N kkor n + N. Az, hogy N legsz kebb ilyen hlmz zt jelenti, hogy h egy M N-re is teljesülnek z teljesíti z M, és n M = n + M tuljdonságok, kkor M = N. A Z = {0, ±, ±2, ±3,... } hlmzt z egész számok hlmzánk nevezzük. A Q = { pq : p, q Z, q 0 } hlmzt rcionális számok hlmzánk nevezzük. Definíciók. Legyen < b (, b R). Az ], b[ := { x R : < x < b } [, b] := { x R : x b } ], b] := { x R : < x b } [, b[ := { x R : x < b } számhlmzokt rendre (véges) nyílt, zárt, blról nyílt jobbról zárt, blról zárt jobbról nyílt intervllumoknk nevezzük. [, ] := { x R : x } = {} elfjult (egyetlen pontból álló) zárt intervllum. Legyen, b R. Az ], [ := { x R : < x } [, [ := { x R : x } ], b] := { x R : x b } ], b[ := { x R : x < b } ], [ := R számhlmzokt (végtelen) nyílt, blról zárt jobbról nyílt stb. intervllumoknk nevezzük. Definíció. Az { x h x 0 x := x h x < 0 számot z x vlós szám bszolút értékének nevezzük. Állítás. [z bszolút érték tuljdonsági] Bármely x, y R esetén (x R) x 0 és x = 0 x = 0, xy = x y, x + y x + y.

7 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 7 Az els tuljdonság nyilvánvló, többiek pl. esetszétválsztássl bizonyíthtók. További tuljdonságok: x y x y (x, y R), x x és hsonlón x < < x <. Definíció. Az x, y R számok távolságát d(x, y) := x y deniálj. Állítás. [ távolság tuljdonsági] Bármely x, y, z R esetén d(x, y) 0 és d(x, y) = 0 x = y, nemnegtivitás d(x, y) = d(y, x), szimmetri d(x, y) d(x, z) + d(z, y) háromszög egyenl tlenség. E tuljdonságok egyszer en következnek z bszolút érték tuljdonságiból. 2.2 A teljességi xióm néhány következménye Tétel. Az R bármely nemüres lulról korlátos részhlmzánk vn pontos lsó korlátj. A bizonyításhoz legyen A R egy nemüres lulról korlátos hlmz, k lsó korláttl, és tekintsük B := { : A } hlmzt, kkor ( ) ( A = k )-ból következik, hogy k így B felülr l korlátos k fels korláttl, és fordítv. A teljességi xióm mitt létezik β := sup B. Könny belátni, hogy α := β = inf A z A-nk pontos lsó korlátj: ti. z el z ek lpján lsó korlát, és h α z A hlmz egy lsó korlátj, kkor α B-nek egy fels korlátj, így β α mib l α = β α. Tétel. A természetes számok hlmz felülr l nem korlátos. A bizonyításhoz tegyük fel, hogy N felülr l korlátos,így létezik z α := sup N szám, melyre ( n)(n N = n α). Mivel α < α így α nem lehet N fels korlátj, ezért vn olyn n 0 N melyre α < n 0 zz α < n 0 +. Mivel n 0 + N így α nem fels korlátj N-nek, mi ellentmondás. Indirekt bizonyítást végeztünk: feltételeztük, hogy tétel állítás nem igz (ez z indirekt feltevés). Helyes következtetésekkel ellentmondást kptunk, ennek csk z lehet z ok, hogy indirekt feltevésünk nem igz, így nnk tgdás, zz tétel állítás igz. Következmény.[ vlós számok Archimedesi tuljdonság] Bármely x > 0 és y R számokhoz létezik olyn n N melyre y < nx. Ugynis y x nem fels korlátj N-nek, így vn olyn n N, hogy n > y x mib l nx > y. Tétel. [Cntor féle metszettétel] H [ n, b n ] (n N) zárt egymásb sktulyázott intervllumok sorozt, zz kkor [, b ] [ 2, b 2 ] [ 2, b 2 ]... n= [ n, b n ]. Röviden: zárt intervllumok egymásb sktulyázott soroztánk metszete nemüres.

8 8 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. A bizonyításhoz el ször jegyezzük meg, hogy n b n (n N) mivel [ n, b n ] intervllum, z egymásb sktulyázás pedig zt jelenti, hogy n n+ és b n+ b n E feltételekb l zonnl kpjuk, hogy bármely m, n N esetén n b m. (n N). Legyen A := { n : n N }, B := { b m : m N } kkor A felülr l korlátos (bármely b m (m N) fels korlátj, B pedig lulról korlátos (bármely n (n N) lsó korlátj. Így léteznek z α := sup A, β := inf B pontos korlátok. α deníciój mitt n α b m Ebb l láthtó, hogy α is lsó korlátj B-nek, ezért továbbá β deníciój mitt β b m Ezeket z egyenl tlenségeket összevetve kpjuk, hogy mi zt jelenti, hogy α β, (m, n N). (m N). n α β b n (n N) [α, β] mint állítottuk. Definíció. Az x R szám egész kitev s htványit továbbá [ n, b n ] n= x := x, x n+ := x n x (n N) x 0 :=, x n := (x 0, n N) xn -nel értelmezzük. A következ tétel szintén teljességi xióm segítségével igzolhtó ( bizonyítás megtlálhtó pl. W. Rudin, A mtemtiki nlízis lpji c. könyvében, M szki Könyvkidó, 975). Tétel. [n-edik gyök létezése] Bármely x 0 nemnegtív vlós számhoz és n N természetes számhoz pontosn egy olyn y 0 nemnegtív vlós szám létezik, melyre y n = x. Definíció. Az el z tétel állításábn szerepl y 0 számot z x 0 szám n-edik gyökének nevezzük, és n x vgy x n-nel jelöljük. H n páros, x 0 kkor n x z egyetlen olyn nempozitív szám melynek n-edik htvány x így ekkor y n = x y = n x y = n x. H n pártln, kkor negtív számokr is kiterjesztjük z n-edik gyök denícióját: n x := n x h x < 0. Ezek után lehet pozitív számok rcionális kitev s htványát értelmezni, z x r := q x p hol x > 0, r = pq, p Z, q N képlettel.

9 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 9 Igzolhtó hogy ez deníció korrekt (x r független r el állításától) és hogy htványozás szokásos tuljdonsági (rcionális kitev k esetén) teljes lnek. 2.3 Topológikus foglmk, Bolzno-Weierstrss tétel Definíció. Egy R pont ε > 0 sugrú (nyílt) környezetén K(, ε) := { x R : d(x, ) < ε } hlmzt értjük. Világos, hogy K(, ε) éppen z pontr nézve szimmetrikus 2ε hosszúságú ] ε, + ε[ nyílt intervllum. Definíciók. Legyen A R. Az R pontot z A hlmz bels pontjánk nevezzük, h -nk vn olyn környezete mely (teljesen) A-bn vn, zz ( ε > 0)K(, ε) A. Az R pontot z A hlmz izolált pontjánk nevezzük, h A és -nk vn olyn környezete melyben nincs más A-beli pont, zz A (( ε > 0)(K(, ε) \ {}) A = ). Az R pontot z A hlmz torlódási pontjánk nevezzük, h bármely környezetében vn -tól különböz A-beli pont, zz ( ε > 0) (K(, ε) \ {}) A ). Az R pontot z A hlmz htárpontjánk nevezzük, h bármely környezetében vn A-beli pont, és nem A-beli pont, zz ( ε > 0) ( K(, ε) A K(, ε) A ). A bels pont és z izolált pont mindig pontj hlmznk, torlódási és htárpont lehet hlmzpont, vgy nem hlmzpont. Definíciók. A R összes bels pontjink hlmzát A belsejének nevezzük és A -rel jelöljük. A R összes htárpontjink hlmzát A htáránk nevezzük és A-rel jelöljük. Definíciók. Az A R hlmzt nyíltnk nevezzük, h minden pontj bels pont. Az A R hlmzt zártnk nevezzük, h komplementere nyílt. Péld. Legyen A := { : n N }. Htározzuk meg A bels, izolált, torlódási és htárpontjink n hlmzát. Továbbá htározzunk meg A belsejét, htárát, döntsük el, hogy nyílt vgy zárt hlmz-e! Megoldás. A-nk nincs bels pontj, minden pontj izolált, egyetlen torlódási pontj 0, egyetlen htárpontj 0, A =, A = {0}, z A hlmz sem nem nyílt, sem nem zárt. Állítás. Egy A R hlmz kkor és cskis kkor zárt, h trtlmzz összes torlódási pontját. Bizonyítás ld. gykorlt. Tétel. [Bolzno-Weierstrss tétel] Bármely korlátos végtelen számhlmznk vn torlódási pontj. Egy hlmzt végesnek mondunk, h üres, vgy h elemeinek szám egy természetes szám. Egy hlmzt végtelennek mondunk, h nem véges. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy A R korlátos végtelen hlmz, kkor vn olyn [, b ] zárt intervllum, hogy A [, b ].

10 0 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Felezzük meg [, b ]-t és válsszuk ki zt zárt [ 2, b 2 ]-vel jelölt felét, mely végtelen sok A-beli elemet trtlmz. Ezután felezzük meg [ 2, b 2 ]-t és válsszuk ki zt zárt [ 3, b 3 ]-ml jelölt felét, mely végtelen sok A-beli elemet trtlmz, és így tovább. Az így kpott [ n, b n ] (n N) intervllumsorozt egymásb sktulyázott, ezért Cntor tétele mitt [ n, b n ]. n= Mivel z [ n, b n ] intervllum hossz b 2 tetsz leges kicsi, h n elég ngy, ezért z intervllumok metszete csk egyetlen pontot trtlmzht, legyen ez n z pont. Azt állítjuk, hogy torlódási pontj A-nk. Ugynis véve egy tetsz leges ε > 0 számot [ n, b n ] K(, ε) h n elég ngy. Ugynis válsszuk n-et olyn ngyr, hogy b n n < ε legyen, kkor [ n, b n ] mitt z [ n, b n ] intervllum minden pontjánk -tól vló távolság < ε így z intervllum pontji K(, ε)-bn vnnk. Mivel minden intervllumbn végtelen sok A-beli pont vn így K(, ε) trtlmz -tól különböz A-beli pontot. 3. SOROZATOK 3. Soroztok korlátosság, monotonitás, konvergenciáj Definíció. Egy f : N R függvényt (vlós szám)soroztnk nevezünk. H A egy dott hlmz és f : N A, kkor f-et A-beli (érték ) soroztnk nevezzük. Jelöléseink: f(n) = n sorozt n-edik eleme, f = ( n ) sorozt mg, { n : n N } sorozt értékkészlete. Sorozt megdás: képlettel pl. n = n (n N), rekurzív módon pl. =, és n+ = 2 + n szbállyl pl. n = n-edik prímszám. Definíciók. Az ( n ) soroztot felülr l korlátosnk lulról korlátosnk Azz Az ( n ) soroztot nevezzünk, hogy felülr l korlátosnk lulról korlátosnk (n N), nevezzük, h k R k R ( n N) n k ( n N) n k. nevezzük, h értékészlete felülr l korlátos lulról korlátos. szám, melyet sorozt egy fels korlátjánk fels korlátjánk Az ( n ) soroztot korlátosnk nevezzük, h lulról és felülr l is korlátos. Könny belátni, hogy egy n sorozt kkor és cskis kkor korlátos, h vn olyn K R hogy n K minden n N-re. Az ( n ) soroztot monoton növekv nek monoton csökken nek nevezzük, h ( n N) n+ n. ( n N) n+ n Az ( n ) soroztot szigorún monoton növekv nek szigorún monoton csökken nek nevezzük, h ( n N) n+ > n. ( n N) n+ < n

11 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Egy soroztot (szigorún) monotonnk mondunk, h (szigorún) monoton növekv vgy csökken. Péld. Legyen n := n (n N). Ez sorozt lulról korlátos (pl. k = 0 lsó korlát), és felülr l is korlátos (pl. k = fels korlát), így korlátos. Soroztunk szigorún monoton csökken. Az is igz, hogy n növekedésével n egyre közelebb kerül 0-hoz (jóllehet soh sem éri el 0-t). Pontosbbn, 0 kármilyen kis környezetét vesszük, zon belül vn soroztnk véges sok kivételével minden eleme. Definíciók. Az ( n ) soroztot konvergensnek nevezzük, h vn olyn R szám, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyn N(ε) R szám, hogy n < ε h n > N(ε). A számot sorozt htárértékének (limeszének) nevezzük és z n (n ) jelölést hsználjuk. N(ε) z ε-hoz trtozó küszöbszám. Az ( n ) soroztot divergensnek nevezzük, h nem konvergens. vgy lim n n = Állítás. [ konvergenci környezetes átfoglmzás] Az ( n ) sorozt konvergens és htárértéke kkor és cskis kkor, h z pont bármely környezetén kívül soroztnk csk véges sok eleme vn. Bizonyítás. H n (n ), kkor minden ε > esetén vn olyn N(ε), hogy n < ε h n > N(ε), mi úgy is írhtó, hogy ε < n < + ε, zz n K(, ε) h n > N(ε). De ez zt jelenti, hogy K(, ε) környezeten belül vnnk z N(ε)-nél ngyobb index elemek, míg kívül csk z N(ε)-nél nem ngyobb index ek lehetnek, melyek szám éges. Fordítv, h minden ε > 0 esetén K(, ε) környezeten kívül csk véges sok elem vn, pl. p drb k, k2,..., kp elemek, kkor N(ε) := mx{k, k 2,..., k p } válsztássl n < ε h n > N(ε), zz soroztunk konvergens és htárértéke. Következmény. H egy soroztbn véges sok elemet tesz legesen megváltozttunk, soroztból véges sok elemet elhgyunk, sorozthoz véges sok elemet hozzáveszünk, kkor sem sorozt konvergenciáj és htárértéke (divergenciáj) nem változik. Állítás. [ htárérték egyértelm sége] Konvergens soroztnk pontosn egy htárértéke vn. Indirekt bizonyítás. H z n (n ) soroztnk két htárértéke voln,, b( < b) kkor ε = b 3 válsztássl denícióból ellentmondásr jutunk. Példák. n = (n N) konvergens és htárértéke null. n n = ( ) n (n N) divergens. Tétel. [konvergenci és korlátosság kpcsolt] Konvergens sorozt korlátos. Vn olyn korlátos sorozt mely divergens (nem konvergens). Bizonyítás. ε = -gyel kpjuk, hogy n < h n > N(). Világos, hogy k := mx{ +, és K(, ) környezeten kívüli elemek }

12 2 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. sorozt fels korlátj, míg k := min{, és K(, ) környezeten kívüli elemek } sorozt lsó korlátj. n = ( ) n (n N) korlátos de nem konverges. Tétel. [konvergenci és monotonitás kpcsolt] Monoton növekv és felülr l csökken és lulról korlátos sorozt konvergens. Bizonyítás. Tegyük fel pl. hogy ( n ) növekv felülr l korlátos, és legyen := sup{ n : n N }. Véve egy ε > 0 számot ε nem fels korlátj soroztnk, így vn olyn n 0 N index, hogy n0 > ε. Legyen N(ε) := n 0, kkor n > N(ε) = n 0 esetén és ezt kellett bizonyítni. ε < n0 n < + ε zz n < ε 3.2 M veletek, rendezés és konvergenci kpcsolt ( ) Definíciók. H ( n ), (b n ) soroztok c R, kkor z n ( n + b n ),, ( n b n ),, (c n ), ( n ) soroztokt b n rendre z ( n ), (b n ) soroztok összegének, szorztánk, hánydosánk, z ( n ) c-szeresének, bszolút értékének nevezzük. A hánydos deníciójábn fel kell tennünk, hogy b n 0. Tétel. [konvergenci és m veletek kpcsolt] Konvergens soroztok összege, szorzt, hánydos (h értelmezve vn), konstnsszoros, bszolút értéke is konvergens, és e soroztok htárértékeinek összegéhez, szorztához, hánydosához, konstnsszorosához, bszolút értékéhez konvergál, zz h n, b n b (n ) kkor n + b n n b n n + b (n ), b (n ), b n b (n ), h b n, b 0, c n c (n ), n (n ). Bizonyítás. Itt csk z els állítást igzoljuk. Tetsz leges ε > 0 mellett mib l n < ε 2 h n > N ( ε 2), és b n b < ε 2 h n > N 2 ( ε 2), ( n + b n ) ( + b) < n + b n b < ε 2 + ε 2 = ε h n > N(ε) := mx { N ( ε 2 ) ( ε )}, N 2 és ezt kellett igzolni. Tétel. [konvergenci és rendezés kpcsolt] () Konvergens sorozt jeltrtó, zz h n 0 (n ), kkor vn olyn n 0 R, hogy sg n = sg h n > n 0. (2) A konvergenci meg rzi monotonitást, zz h n b n (n N) és n, b n b (n )), kkor b. (3) Érvényes rend rtétel, zz h n, b n (n ) és n x n b n (n N), kkor (x n ) is konvergens és x n, (n ).

13 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 3 Az els állításbn sg signum (el jel) függvényt jelöli, melynek deníciój sg x := h x > 0 0 h x = 0. h x < 0 Bizonyítás. Az els állítás igzolásához legyen ε = /2, kkor n < /2 h n > n 0 := N( /2). Innen /2 < n < + /2 h n > n 0 mib l > 0 ill. < 0 esetszétválsztássl dódik állításunk. A második állítást indirekt úton igzoljuk. H > b voln, kkor b > 0 így jeltrtóság mitt n b n > 0 voln elég ngy n-re, mi ellentmondás. A rend rtétel igzolás. Az n x n b n (n N) feltételb l n kivonásávl kpjuk, hogy 0 x n n b n n vgy x n n b n n < ε h n > N(ε) mi éppen zt jelenti, hogy x n n 0 (n ) mib l x n = (x n n ) + n ) + = h n. 3.3 B vített vlós számok, végtelenhez trtó soroztok Definíció. Az R b := R {+ } { } hlmzt b vített vlós számok hlmzánk nevezzük (+ helyett gykrn csupán -t írunk). M veletek R b -ben: bármely x R-re legyen Nincsennek értelmezve z lábbik: x + (± ) = (± ) + x = ± (± ) + (± ) = ± x(± ) = (± )x = ± h x > 0 x(± ) = (± )x = h x < 0 (± )(± ) = + (± )( ) = x ± = 0. (± ) + ( ), 0(± ), (± )0, ± ±, x 0. Rendezés: minden x R esetén, ( korábbi rendezés megtrtás mellett) < x < +. Megjegyzés. R b nem test! A htárérték foglmánk kiterjesztése. Az n = ( ) n, n = ( ) n, n = n, n = n 2 (n N) vlmennyien divergens soroztok, de közülük z els kett másképpen viselkedik, mint z utolsó kett : zok ngy n esetén -hez ill. -hez közelednek.

14 4 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Definíció. Azt mondjuk, hogy z ( n ) soroztnk htárértéke + bármely K R számhoz vn olyn N(K) R, hogy n > K h n > N(K). n < K + (vgy sorozt trt -hez) h Jelölése (z els esetben) n + (n ) vgy lim n =. n H n ( ) kkor sorozt divergens, de vn htárértéke. H + környezetein ]K, + [ intervllumokt, környezetein ], K[ intervllumokt értjük,hol K R tetsz leges, kkor egyszer belátni, hogy érvényes z lábbi Állítás. Egy sorozt htárértéke + (vgy ) kkor és cskis kkor, h + (vgy ) bármely környezetén kívül soroztnk csk véges sok eleme vn. Példák. Az n = n (n N) sorozt htárértéke +. Az n = n 2 (n N) sorozt htárértéke. Definíció. H A R felülr l nem korlátos kkor sup A :=. H A R lulról nem korlátos kkor inf A :=. Ezzel kiegészítéssel minden A R hlmznk vn supremum és inmum, de lehet hogy ezek végtelenek zz inf A sup A +. Továbbá minden monoton soroztnk vn htárértéke (R b -ben): növekv nem korlátos sorozt trt + -hez, csökken nem korlátos sorozt trt -hez. A htárérték és m veletek kpcsolt is kiterjeszthet, z lábbi tétellel. Tétel. H n, b n b (n ) hol most, b R b, c R, kkor n + b n + b (n ), h + b értelmezve vn, n b n b (n ), h b értelmezve vn, n b n b (n ), h b n 0, és értelmezve vn, b c n c (n ), h c értelmezve vn, továbbá h n kkor n 0 (n ). 3.4 Nevezetes htárértékek Tétel. () (2) n n + h > 0, h = 0, (n ) 0 h < 0. 0 h <, h =, + h >, (n ) divergens h.

15 (3) H > 0, kkor GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 5 n (n ). (4) H <, k R, kkor (5) n n (n ). (6) H R kkor (7) n n! + (n ). n k n 0 n n! (n ). 0 (n ). ( (8) Az n = + n) n (n N) sorozt szigorún monoton növekv és felülr l korlátos, n < 3, így konvergens. Htárértéke egy nevezetes szám, mit e-vel jelölünk, közelit értéke e = 2, 7... (9) H 0 c n 0, kkor ( + c n ) cn e (n ).

16 6 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Bizonyítások. () H = 0, kkor z állítás nyilvánvló, mert n 0 = minden n N-re. H > 0, kkor tetsz leges (pozitív) K-t véve n > K pontosn kkor, h n > K / így deníció lpján n +. H < 0, kkor n = n = 0, mivel most > 0. + (2) A Bernoulli egyenl tlenség szerint ( + x) n + nx, h n N, x és itt egyenl ség kkor, és cskis kkor teljesül, h n = vgy x = 0. H > kkor = + h, hol h > 0, így n = ( + h) n + nh, n +. Legyen most <. H = 0, kkor n = 0 n = 0 0. Így feltehetjük, hogy 0 < <, ezért n = ( ) n + = 0, mib l n 0. H =, kkor n =. H =, kkor n = ( ) n divergens. H <, kkor 2n = ( 2 ) n + mivel 2 >, és 2n = (2 ) n, így soroztunk divergens. (3) H, kkor b n := n 0, Bernoulli egyenl tlenség lpján kpjuk, hogy = ( + b n ) n + nb n, mib l 0 b n n. n Innen rend rtétellel dódik, hogy b n 0,. H 0 < <, kkor, z el z ek mitt n, n. (4) H k < 0, kkor sorozt els és második tényez je is zérushoz trt, így sorozt is. H k = 0 kkor 2. Állítás mitt n 0 n = n 0. H k > 0, kkor legyen k 0 egy k-nál ngyobb egész, és tegyük fel, hogy n > k 0. Vn olyn h > 0, hogy = + h, és 0 n k n nk0 A jobboldli kifejezést növelhetjük n n... n h k = (k 0 + )! 0+ (k 0 + )! n(n )... (n k 0) ( + h) n < n ( k0 n ). h k 0 + k 0 + h k0+ ( ) ( n... k 0 ) n (n k0 ) 0, mivel jobboldli szorzt második tényez jének nevez jében z els k 0 db. tényez -hez trt, míg z utolsó + -hez. Ezért rend rtétel mitt n k n 0, és z bszolút érték elhgyásávl kpott sorozt is nullához trt. (5) Legyen ε > 0 dott, lklmzzuk z el z állítást = + ε, k = -nél, kkor n ( + ε) n 0, mib l n ( + ε) n <, h n > N() = N (ε). Innen átrendezéssel, mjd gyökvonássl kpjuk, hogy zz n < ( + ε) n, ε < n n < + ε n n < ε h n > N (ε)

17 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 7 bizonyítv állításunkt. (6) Legyen n 0 egy -nél ngyobb természetes szám, n > n 0, kkor 0 n n! = n = n! n n 0!(n 0 + )(n 0 + 2)... n n n 0!(n 0 + ) n n0 = (n 0 + ) n0 n 0! ( ) n. n 0 + A jobboldli sorozt 0-hoz trt, mivel zárójeles tört bszolút értéke kisebb mint, így rend rtétel mitt n n! 0 es n n! 0. (7) A soroztunk szigorún monoton növekv, mert z egyenl tlenség ekvivlens z < (n + )n n! n n! < n+ (n + )! = n + n +... n + 2 n egyenl tlenséggel, mi igz, mert jobboldlon lev szorzt minden tényez je -nél ngyobb. Másrészt soroztunk nem korlátos felülr l, ugynis h z voln, kkor n n! K, n! K n, Kn n! következne, mi nem lehet, mert Kn 0 6. Állítás szerint. n! (8) A monotonitás igzolás: h n > kkor n n = ( + n ) n ( + ) n = n ( n + n ( n n ) n ) n = n n ( n + n ( n n ) n ) n = n n = n ( ) n n n 2 > n ( ) n n n 2 = n ( ) =, n n hol Bernoulli egyenl tlenség szigorú változtát hsználtuk. A korlátosság igzolás: binomiális tételt hsználv kpjuk, hogy n = ( + n) n = n k=0 ( n k ) n k. ( n 2 Az l (l = 0,..., k ) egyenl tlenséget hsználv z el z összeg áltlános tgját felülr l n megbecsüljük: ( n k ) n(n )... (n k + ) = nk n k = n! Ezt felhsználv kpjuk, hogy k! = 2... k = 2 k. n 2 ( ) ( 2 ) (... k ) n n n k! n n = + (/2)n /2 = + 2 ( /2 n ) < 3. (9) Nem bizonyítjuk. ) n

18 8 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 4. SOROK 4. Definíció, konvergenci, divergenci, összeg Definíció. Egy ( n ) (szám)sorozt elemeit z összedás jelével összekpcsolv kpott vgy n= összeget (szám)sornk (vgy numerikus sornk) nevezzük. n sor n-edik (vgy áltlános) tgj, s n := n = n (röviden n ) n k (n N) pedig sor n-edik részletösszege. A n sort konvergensnek nevezzük, h részletösszegeinek (s n ) sorozt konvergens, lim s n = s n htárértéket sor összegének nevezzük és zt irjuk, hogy n := lim n= n= k= k n= n = s, zz k n. A n sort divergensnek nevezzük, h nem konvergens. Megjegyzések.. Az összegezés kezd dhet n = 0-vl is. Kissé zvró, hogy sort és (konvergens sor esetén) z összegét is ugynzzl szimbólumml jelöltük. Ezt elkerülend sorokr inkább n (ill. h z összegzés n = 0-vl kezd dik n ) jelölést hsználjuk, sor összegét pedig inkább n -nel jelöljük mjd. 0 n= 2. H egy sorbn véges sok tgot megváltozttunk, sorból véges sok tgot elhgyunk, vgy véges sok tgot sorhoz hozzáveszünk, kkor sor konvergenciáj/divergenciáj nem változik, z összege viszont változht! Ez bból következik, hogy h z eredeti sor részletösszegeinek sorozt (s n ), kkor fenti változttások után kpott sor (S n ) részletösszegeire S n = s n + A h n > n 0 teljesül, vlmilyen A R és n 0 N mellett, hol A z új (megváltozttott) tgok és régiek különbsége. Innen láthtó, hogy (s n ) és (S n ) vgy mindketten konvergensek vgy divergensek, konvergenci esetén viszont lim S n = lim s n + A n n zz z összegek eltérése A. Divergens sornk természetesen nincs összege (bár, h s n ( ) kkor szokás zt mondni, hogy sor összege ( ). Példák.. Geometrii sor. A q n = + q + q sort, hol 0, R, q R geometrii sornk nevezzük. sor els tgj, q sor hánydos, vgy kvociense. Vizsgáljuk meg e sor konvergenciáját. A részletösszegek sorozt s n = + q + + q n (n N)

19 mit q-vl megszorozv GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 9 s n q = q + + q n + q n, így kivonássl s n s n q = q n vgy s n ( q) = ( q n ), mib l ( q és q = eseteket szétválsztv kpjuk, hogy s n = Figyelembevéve (q n ) sorozt viselkedését kpjuk, hogy s n ( q n ), h q, q n, h q =., h q <, q divergens, h q >, vgy q, divergens, h q =. Ezzel igzolást nyert következ Állítás. [geometrii sor konvergenciáj] A q n = + q + q , ( 0,, q R) geometii sor kkor és cskis kkor konvergens, h q < és kkor sor összege s = els tg = q kvociens. 2. Hrmónikus sor. A n = sort hrmónikus sornk nevezzük. 3 Állítás. [hrmónikus sor divergenciáj] A hrmónikus sor divergens. Bizonyítás. Vegyük észre, hogy sor s 2 n lkú részletösszegeire s 2 = + 2 = 3 2 s 2 2 = s 2 + ( 3 + ) 4 > = 4 2 s 2 3 = s ( ) 8 > = 5 2 s 2 4 = s ( ) 6 > = 6 2 áll fenn, és indukcióvl könnyen igzolhtó, hogy s 2 n > n (n = 2, 3,... ) így s 2 n (n ) mib l (s n ) szigorú monoton növekedése mitt s n (n ), igzolv állításunkt. Tétel. [sor konvergenciájánk szükséges feltétele] Konvergens sor áltlános tgj nullához konvergál. Azz, h n sor konvergens, kkor lim n = 0. n Így, h ( n ) divergens, vgy h ( n ) konvergens, de htárértéke nem 0, kkor n sor divergens. Bizonyítás. Világos, hogy n = s n s n így konvergens sor esetén s n s, s n s mitt n s s = 0 mint állítottuk. H n 0 kkor n sor lehet konvergens is és divergens is, utóbbir péld hrmónikus sor. A továbbikbn sorokt tgjik el jele szerint osztályozzuk, és vizsgáljuk.

20 20 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Definíciók. Egy sort lternáló sornk nevezzünk, h tgjink el jele váltkozik (pozitív tgot negtív tg követ vgy fordítv). Egy sort pozitív (negtív) tgú sornk nevezzünk, h tgji pozitívok (negtívok). Tetsz leges el jel tgok esetén sor tgjink z bszolút értékeib l lkotott sort vizsgáljuk. Alternáló sorokr vontkozik Leibniz tétele. [elegend feltétel lternáló sorok konvergenciájár] A ( ) n+ n ( n 0, n N) lternáló sor konvergens, h ( n ) monoton csökken en trt nullához, és ekkor sor s összegére, és részletösszegeinek (s n ) soroztár érvényes z s s n n+ (n N) becslés. Bizonyítás. ( n ) monoton csökkenése mitt s 2n+ = s 2n + ( ) 2n+ 2n + ( ) 2n+2 2n+ = s 2n + ( 2n + 2n+ ) s 2n s 2n+2 = s 2n + ( ) 2n+2 2n+ + ( ) 2n+3 2n+2 = s 2n + ( 2n+ 2n+2 ) s 2n s 2n = s 2n + ( ) 2n+ 2n = s 2n 2n s 2n zz (s 2n ) monoton csökken, (s 2n ) monoton növekv, és s 2n s 2n, mib l egy [s 2, s ] [s 4, s 3 ] [s 6, s 5 ]... intervllumsktulyázást kpunk, hol z intervllumok (Cntor tétele szerint nemüres) metszete csk egy pontból állht, mert z intervllumok s 2n s 2n = ( ) 2n+ 2n = 2n 0 (n ) hossz nullához trt. Legyen s fenti intervllumok egyetlen közös pontj, kkor s 2n s, s 2n s (n ) ezért s n s (n ) igzolv konvergenciár vontkozó állítást. A becslés igzolás: s s n = ( ) n+2 n+ + ( ) n+3 n+2 + ( ) n+4 n+3 + ( ) n+5 n+4 + ( ) n+6 n+5... = ( n+ n+2 ) + ( n+3 n+4 ) + ( n+5 n+6 ) +... = ( n+ n+2 ) + ( n+3 n+4 ) + ( n+5 n+6 ) +... = n+ [( n+2 n+3 ) + ( n+4 n+5 ) +... ] n+. Itt második sorbn z bszolút érték elhgyhtó, mivel tgok összege nemnegtív, z utolsó sorbn lev egyenl tlenség pedig zért igz, mert szögletes zárójelben lev összeg nemnegtív. Péld. A ( ) n+ n = sor konvergens, mert n = n 0 (n ) (csökken en). Érdekes megjegyezni, hogy e sor összege ln Pozitív tgú sorok A n sort kkor neveztük pozitív tgúnk, h n > 0 (n N) teljesül. Ilyen sorok részletösszegeire s n+ = s n + n+ > s n (n N), zz részletösszegek sorozt monoton növekv, ezért (s n ) kkor és cskis kkor konvergens h felülr l korlátos. Ezért pozitív tgú sor kkor és cskis kkor konvergens h részletösszegeinek sorozt felülr l korlátos. Ez megállpítás z lpj konvergencikritériumok (vgy konvergencitesztek) bizonyításánk. Tétel. [mjoráns- minoráns teszt] H 0 < n b n (k N) és

21 h GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 2 bn sor konvergens, kkor n sor is konvergens, n sor divergens, kkor b n sor is divergens. Megjegyzés. Azt mondjuk, hogy b n sor mjorálj n sort (vgy mi ugynz, n sor minorálj b n sort) h n b n (n N). Bizonyítás. Jelölje (s n ()) n sor részletösszegeinek soroztát, (s n (b)) pedig b n sor részletösszegeinek soroztát, kkor s n () s n (b) (n N). Az els esetben b n sor konvergens, így (s n (b)) felülr l korlátos, részletösszegekre vontkozo el bbi egyenl tlenség mitt (s n ()) is felülr l korlátos, ezért n sor konvergens. A második esetben n sor divergens, így (s n ()) felülr l nem korlátos, részletösszegekre vontkozo egyenl tlenség mitt (s n (b)) sem korlátos felülr l, ezért b n sor divergens. Tétel. [hánydos vgy D'Alembert teszt] Legyen n pozitív tgú sor. H n+ n h n+ n q < (n N) kkor n sor konvergens, (n N) kkor n sor divergens. Ezt tételt egy másik lkbn (limeszes lk) is kimondjuk. Legyen n pozitív tgú sor és tegyük fel, hogy lim k n+ n = L (L R b ). (i) H L < kkor n sor konvergens, (ii) h L > kkor n sor divergens, (iii) h L = kkor n sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Bizonyítás. H z els feltétel teljesül, kkor z 2 q, 3 2 q, 4 3 q,..., n n q egyenl ltlenségeket összeszorozv kpjuk, hogy n q n, mib l n q n (n N). Ez zt jelenti, hogy n sort q n konvergens (mert 0 q < mitt q < ) geometrii sor mjorálj, így mjoráns teszt lpján n sor konvergens. H második feltétel teljesül, kkor n+ n mitt konvergenci szükséges feltétele, z n 0 (n ) feltétel nem teljesül, sor divergens. A limeszes lk bizonyítás. H (i) teljesül kkor legyen r = L > 0. Az L htárérték r sugrú környezete 2 -nél kisebb értékeket trtlmz, e környezetén kívül z ( ) n+ soroztnk csk véges sok eleme vn, így n n+ n q (:= L + r < ) h n n 0

22 22 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. vlmely n 0 mellett, így (2) véges sok index kivételével teljesül, 4. szksz 2. megjegyzése lpján következik állításunk. (ii) mellett hsonló gondoltmenettel kpjuk, hogy (22) véges sok index kivételével teljesül, mib l következik, hogy ( n ) nem trtht 0-hoz, sor divergens. (iii) Végül, hrmónikus sornál L = és e sor divergens, sor konvergens, és e sornál szintén L =. n2 Utóbbi sor konvergenciáj pl. bból következik, hogy n (n ) n ( = + ) ( ) ( n ) = 2 n n < 2 így részletösszegek sorozt korlátos, sor konvergens. Tétel. [gyök vgy Cuchy teszt] Tegyük fel, hogy n 0 (n N). H n n q < (n N) kkor n sor konvergens, h n n (n N) kkor n sor divergens. Ezt tételt is kimondjuk limeszes lkbn. Legyen n 0 (n N), és tegyük fel, hogy lim n n = L (L R b ). n (j) H L < kkor n sor konvergens, (jj) h L > kkor n sor divergens, (jjj) h L = kkor n sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Bizonyítás. H tétel els feltétele teljesül, kkor z n q n, (n N) mi zt jelenti, hogy n sort q n konvergens geometrii sor mjorálj, így mjoráns teszt lpján n sor konvergens. H tétel második feltétele feltétele teljesül, kkor n mitt konvergenci szükséges feltétele, z n 0 (n ) feltétel, nem teljesül, sor divergens. A limeszes lk bizonyítás. H (j) teljesül kkor legyen r = L > 0. Az L htárérték r sugrú környezete 2 -nél kisebb értékeket trtlmz, e környezetén ívül z ( n n ) soroztnk csk véges sok eleme vn, így n n q (:= L + r < ) h n n 0 vlmely n 0 mellett, így (23) véges sok index kivételével teljesül, 4. szksz 2. megjegyzése lpján dódik állításunk. (jj) mellett hsonló gondoltmenettel kpjuk, hogy (24) véges sok index kivételével teljesül, mib l következik, hogy ( n ) nem trtht 0-hoz, sor divergens. (jjj) Végül, hrmónikus sornál L = és e sor divergens, sor konvergens, és e sornál szintén L =. n2 Igzolhtó, hogy gyök teszt er sebb, mint hánydos teszt (zz, h hánydos teszt eldönti konvergenciát/divergenciát kkor ugynezt teszi gyök teszt is), hánydos teszt lklmzás viszont áltlábn egyszer bb.

23 Példák.. A 2n n! GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 23 sor konvergens, mert hánydos teszt limeszes lkját lklmzv n+ n = 2n+ (n + )! n! 2 n = 2 n + 0 = L <. 2. A hol p R (hiperhrmonikus) sor divergens, h p 0, mert ekkor z áltlános tg nem trt 0-hoz. np p > 0 mellett mind hánydos, mind gyök teszt limeszes lkj L = -et d, segítségükkel konvergenci nem dönthet el. A Cuchy-féle kondenzációs teszt segítségével (ld. pl Ljkó jegyzet) kphtjuk, hogy A (p R) sor kkor és cskis kkor konvergens, h p >. np Ugyncsk ezzel teszttel dódik, hogy A 2 n(ln n) (p R) sor kkor és cskis kkor konvergens, h p >. p kezdenünk, mivel ln = Abszolút konvergenci, m veletek sorokkl Itt z összegezést n = 2-nél kell Definíciók. A n sort bszolút konvergensnek nevezzük, h n sor konvergens. A n sort feltételesen konvergensnek nevezzük, h sor konvergens de nem bszolút konvergens. Igzolhtó, hogy bszolút konvergens sor konvergens, fordított állítás viszont nem igz, mint ezt sor muttj. Utóbbi sor feltételesen konvergens. ( ) n+ n Az bszolút konvergenci eldöntésere lklmzhtók z el z szkszbn tárgylt tesztek. H n 0 (n N) és lim n n+ n lim n < kkor n sor bszolút konvergens, h n+ n kkor n sor divergens. n H lim n < kkor n sor bszolút konvergens, h n n kkor n sor divergens. n h lim n Legyen n egy dott sor és ϕ : N N egy bijektív leképezése N-nek önmgár, kkor ϕ(n) sort n sor (ϕ) bijekcióhoz trtozó) átrendezésének nevezzük. Például sor egy átrendezése sor, hol két pozitív tgot egy negtív tg követ.

24 24 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Az bszolút konvergens sorok fontos tuljdonság, z, hogy bármely átrendezésük is konvergens, és z átrendezett sor összege megegyezik z eredeti sor összegével. Feltételesen konvergens sorokr ez nem igz, s t, feltételesen konvergens sornk vn olyn átrendezése, mely divergens, vgy melynek összege egy tetsz legesen el írt szám. Könny belátni, hogy konvergens sor tetsz legesen zárójelezhet, és zárójelezett sor összege egyenl z eredeti sor összegével. Továbbá ( soroztokr vontkozó m veleti tuljdonságok mitt) konvergens sorok összegsor ( tgok összedásávl keletkez sor) és konvergens sor számszoros is konvergens és összegük kiinduló sorok összege és számszoros, zz, h n, b n konvergensek, c R kkor ( n + b n ), (c n ) is konvergensek és ( n + b n ) = n + b n, n= n= n= (c n ) = c n. A sorok szorzás lényegesen komplikáltbb. Definíció. A n és b n sorok Cuchy-féle szorztsor c n sor, melynek tgji n= c n := 0 b n + b n + + n b 0 = n= n k b n k. Tétel. Abszolút konvergens sorok Cuchy-féle szorztsor is bszolút konvergens, és összege tényez sorok összegének szorzt. k=0 4.4 Függvénysorok, htványsorok Definíciók. H egy sor tgji (zonos hlmzon értelmezett) függvények, kkor sort függvénysornk nevezzük. Legyenek f n : D R R (n N) vlós számok D részhlmzán értelmezett függvények. A f n (x) függvénysor konvergencihlmzát/divergencihlmzát zon x D pontok lkotják melyekre sor konvergens/divergens. A konvergencihlmz pontjibn értelmezhet sor összegfüggvénye (mint részletösszegek htárértéke). Definíció. A n (x ) n lkú függvénysort htványsornk nevezzük. n z n-edik együtthtó, pedig 0 sorfejtés középpontj. Vizsgáljuk meg n (x ) n htványsor bszolút konvergenciáját gyökteszttel. H n n (x ) n = x n n 0 (n ) x L < htványsor bszolút konvergens, > htványsor divergens, hol feltételeztük, hogy z ( n n ) soroztnk létezik z L htárértéke, 0 L.. L = 0 esetén x L = 0(<,) így htványsor minden x R mellett bszolút ( konvergens < L < esetén x L < (> ) kkor és cskis kkor, h x < L > L), ezért x < L esetén sor bszolút konvergens, míg x > L mellett sor divergens.

25 GAZDASÁGI MATEMATIKA I L = esetén x L = > h x, így ekkor sor divergens, míg x = esetén sor nyilván konvergens (ugynis nulldik tg kivételével z összes tg null). Definíció. Az r := L = n n lim n ( ) 0 :=, := 0 b vített vlós számot n (x ) n htványsor konvergencisugránk nevezzük. 0 Az el bbiek lpján állíthtjuk: H x < r, kkor htványsorunk bszolút konvergens, h x > r, kkor htványsorunk divergens. Péld. A geometrii sor esetén + x + x 2 + = h x < x konvergencisugár r =. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5. Függvény htárértéke Egy D R hlmz torlódási pontjink hlmzát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D ( D hlmz torlódási pontj). Azt mondjuk, hogy f-nek vn (véges) htárértéke z x 0 pontbn, h vn olyn R szám, hogy minden ε > 0-hoz vn olyn δ(ε) > 0, hogy f(x) < ε h 0 < x x 0 < δ(ε) és x D teljesül. Az R számot z f függvény x 0 pontbeli htárértékének nevezzük, és jelölésére z lim f(x) =, x x 0 vgy f(x) (x x 0 )-t hsználjuk. Állítás. A htárérték, h létezik, kkor egyértelm. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f-nek létezik véges htárértéke x 0 -bn, de nem egyértelm. Akkor vn két olyn szám, R, hogy minden ε > 0-hoz vnnk olyn δ(ε), δ (ε) > 0 számok, melyekre f(x) < ε h 0 < x x 0 < δ (ε) és x D f(x) < ε h 0 < x x 0 < δ (ε) és x D. Ebb l 0 = f(x) + f(x) < 2ε h 0 < x x 0 < min{δ(ε), δ (ε)} és x D. Mivel itt ε > 0 tetsz legesen kicsi, így = 0, =, mi ellentmondás, bizonyítv állításunkt. Megjegyzés. Htárérték létezhet z x 0 pontbn kkor is, h függvény nincs értelmezve pontbn de torlódási pontj nnk (egy hlmz torlódási pontj ui. nem feltétlenül pontj hlmznk). Éppen emitt lényeges denícióbn 0 < x x 0 feltétel, ez biztosítj zt, hogy x x 0. Tétel. [átviteli elv] Legyen f : D R R és x 0 D. f(x) = kkor és cskis kkor, h bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozt esetén lim x x 0 f(x n ) (n ).

26 26 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Másképpen megfoglmzv: z f függvény értelmezési trtományánk egy x 0 torlódási pontjábn kkor és cskis kkor lesz f htárértéke z szám, h z értelmezési trtományból bármely x 0 -hoz konvergáló (x n ) soroztot véve, melynek elemei x 0 -tól különböz ek, függvényértékek (f(x n )) sorozt hoz konvergál. Bizonyítás. H lim x x 0 f(x) =, és x 0 x n x 0 (n ), kkor δ(ε) > 0-hoz vn olyn N (δ(ε)) > 0, hogy x n x 0 < δ(ε) h n > N (δ(ε)), így f(x n ) < ε h n > N (δ(ε)), mi zt jelenti, hogy f(x n ) (n. Indirekt bizonyítást hsználunk. Tegyük fel, hogy bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozt esetén f(x n ) (n ), de lim f(x) = x x 0 nem teljesül. Ez utóbbi zt jelenti, hogy (ε > 0) (δ(ε) > 0) (x D) [(0 < x x 0 < δ(ε)) ( f(x) < ε)]. Ennek tgdás zt jelenti, hogy Innen δ(ε ) = n-t véve (ε > 0) (δ(ε ) > 0) (x D) [(0 < x x 0 < δ(ε )) ( f(x) ε )]. [( (x n D) 0 < x n x 0 < ) ] ( f(x n ) ε ) n de kkor x 0 x n x 0 (n ) és f(x n ) (n ), mi ellentmondás. Megjegyezzük, hogy P Q implikáció ekvivlens ( P ) Q-vl, így tgdás (P Q) = (( P ) Q) = P ( Q) lesz (itt tgdás m veletének logiki jele). Példák. ld. el dás. Átfoglmzás. f(x) < ε f(x) K(, ε) 0 < x x 0 < δ(ε) x D x (K(x 0, δ) \ {x 0 }) D hol K(, ε) z pont ε sugrú környezetét jelöli. Ennek segítségével deníció átfoglmzhtó: lim f(x) =, x x 0 h pont bármely K(, ε) környezetéhez vn x 0 -nk olyn K(x 0, δ) környezete, hogy h x (K(x 0, δ) \ {x 0 }) D, kkor f(x) K(, ε). Ez z átfoglmzás lehet séget d htárérték deníciójánk kiterjesztésére. Azt mondjuk, hogy + + torlódási pontj D R-nek, h bármely környezetében vn D-beli pont (mi nyilvánvlón mindig különböz + -t l).. A deníció kiterjeszthet rr z esetre, mikor x 0, R b. Például, z x 0 =, = esetben htárérték deníciój: legyen x 0 = torlódási pontj D-nek, kkor lim f(x) = zt jelenti, hogy hogy x bármely környezetéhez vn -nek olyn környezete, hogy h x-et ezen utóbbi környezet és D közös részéb l vesszük, kkor f(x) benne lesz el bbi környezetében. Vgy, mi ugynz, bármely K < 0 számhoz vn olyn δ(k) > 0 szám, hogy f(x) < K h x > δ(k), és x D.

27 GAZDASÁGI MATEMATIKA I Jobb- és bloldli htárérték (csk x 0 R-ben). Tegyük fel, x 0 D [x 0, + [ hlmz torlódási pontj. H D [x 0, + [ hlmzr lesz kített függvény D ], x 0 ] D ], x 0 ] htárértéke z x 0 pontbn z szám, kkor zt mondjuk, hogy jobboldli f bloldli htárértéke, és ezt lim f(x) = x x 0+0 lim x x 0 0 f(x) = -vl jelöljük. Másképpen foglmzv, legyen x 0 D [x 0, + [ hlmz torlódási pontj. Akkor mondjuk, hogy z f : D D ], x 0 ] R R függvénynek z szám jobboldli bloldli htárértéke z x 0 pontbn, h minden ε > 0-hoz vn olyn δ(ε) > 0, hogy 0 < x x f(x) < ε h 0 < δ(ε) és δ(ε) < x x 0 < 0 x D teljesül. Definíció. Legyenek f, g : D R R, kkor e függvények (pontonkénti) összegét, f c R-szeresét, szorztukt, hánydosukt z (f + g)(x) : = f(x) + g(x) (x D) (cf)(x) : = cf(x) (x D) (fg)(x) : = f(x)g(x) (x D) (f/g)(x) : = f(x)/g(x) (x D, g(x) 0) képletekkel értelmezzük. Tétel. [htárérték, monotonitás és m veletek] Legyenek f, g : D R R, x 0 D, és tegyük fel, hogy Akkor bármely c R mellett lim f(x) =, lim g(x) = b. x x 0 x x 0 lim (f + g)(x) x x 0 = + b, lim (cf)(x) x x 0 = c, lim (fg)(x) x x 0 = b, lim (f/g)(x) x x 0 = /b, h b 0. H f(x) g(x) (x D, x x 0 ), kkor b. H f(x) h(x) g(x) (x D, x x 0 ), és = b, kkor lim h(x) =. x x 0 Bizonyítás. Az átviteli elv lpján soroztok htárértékének tuljdonságiból következik. A tétel kkor is igz, h, b R b, x 0 R b, de ekkor meg kell követelnünk, hogy jobboldli kifejezések ( + b, c, b, /b) értelmezve legyenek. Definíció. A h(x) := g (f(x)) (x D) függvényt, hol f : D R R, g : f(d) R, z f és g függvényekb l összetett függvénynek nevezzük, f bels, g küls függvény. h jelölésére hsználjuk h = g f-t is (itt f(d) = { f(x) : x D } z f függvény értékkészlete). Tétel. [összetett függvény htárértéke] Legyen f : D R R, g : f(d) R, és h(x) := g (f(x)) (x D). H x 0 D, lim f(x) =, / f (D \ {x 0 }), x x 0 és lim g(x) = b y kkor lim h(x) = b. x x 0

28 28 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Bizonyítás. Legyen x 0 x n x 0 (n ) kkor y n := f(x n ) (n ) és y n f (D \ {x 0 }) ezért y n, így h(x n ) = g(y n ) b (n.) 5.2 Függvény folytonosság Definíció. Az f : D R R függvényt értelmezési trtományánk x 0 D pontjábn folytonosnk nevezzük, h bármely ε > 0-hoz vn olyn δ(ε) > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < ε h x x 0 < δ(ε) és x D teljesül. H x 0 D D kkor f folytonos x 0 -bn kkor, és cskis kkor, h lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 H x 0 D, de x 0 / D, kkor x 0 D izolált pontj, izolált pontokbn f deníció lpján mindig folytonos. Tétel. [átviteli elv függvény folytonosságár] Az f : D R R függvény folytonos z x 0 D pontbn kkor és cskis kkor, h bármely (x n ) : N D, x n x 0 (n ) sorozt esetén f(x n ) f(x 0 ) (n ). Környezetes átfoglmzás. Az f : D R R függvény folytonos z x 0 D pontbn kkor és cskis kkor, h f(x 0 ) bármely K(f(x 0 ), ε) környezetéhez vn x 0 -nk olyn K(x 0, δ) környezete, hogy h x K(x 0, δ), kkor f(x) K(f(x 0 ), ε). Tétel. [folytonosság es m veletek] H f, g : D R R folytonosk z x 0 D pontbn, kkor f + g, cf, fg, f/g (h g(x 0 ) 0) is folytonosk x 0 -bn. Továbbá, h(x) = g (f(x)) (x D) összetett függvény (hol f : D R R, g : f(d) R) folytonos x 0 -bn, h f folytonos x 0 -bn és g folytonos z y 0 := f(x 0 ) pontbn. 5.3 Folytonos függvények globális tuljdonsági Definíciók. Az f : D R R függvényt lulról felülr l korlátosnk nevezzük, h értékkészlete lulról felülr l korlátos. Az f : D R R függvényt monoton növekv nek csökken nek nevezzük D n, h bármely x < x 2, x, x 2 D esetén f(x ) f(x 2 ) f(x ) f(x 2 ) teljesül. Az f : D R R függvényt szigorún monoton növekv nek csökken nek nevezzük D n, h bármely x < x 2, x, x 2 D esetén f(x ) < f(x 2 ) f(x ) > f(x 2 ) teljesül. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek lokális (helyi) mximum minimum z x 0 D pontbn, h vn olyn ε > 0 hogy f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f(x) teljesül minden x K(x 0, ε) D esetén.

29 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 29 Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek szigorú lokális (helyi) mximum minimum z x 0 D pontbn, h vn olyn ε > 0 hogy f(x 0 ) > f(x) teljesül minden f(x 0 ) < f(x) x K(x 0, ε) D, x x 0 esetén. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek globális (bszolút) mximum minimum vn z x 0 D pontbn, h f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f(x) teljesül minden x D esetén. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek szigorú globális (bszolút) mximum minimum vn z x 0 D pontbn, h f(x 0 ) > f(x) f(x 0 ) < f(x) teljesül minden x D, x x 0 esetén. Állítás. Folytonos függvény jeltrtó, zz h f : D R R folytonos z x 0 D pontbn, és f(x 0 ) 0 kkor vn olyn δ > 0 hogy sg f(x) = sg f(x 0 ) h x K(x 0, δ) D, hol sg szignum (el jel) függvényt jelöli. Bizonyítás. A folytonosság mitt ε := f(x 0 ) /2-höz vn olyn δ > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < f(x 0 ) /2 h x x 0 < δ(ε) és x D. Legyen pl. f(x 0 ) > 0, kkor z el z egyenl tlenséget részletesen kiírv kpjuk, hogy f(x 0 )/2 < f(x) f(x 0 ) < f(x 0 )/2, vgy f(x 0 )/2 < f(x) (< 3f(x 0 )/2), h x G(x 0, δ) D, mi muttj állításunk helyességét. Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvény folytonos z A D hlmzon, h f z A hlmz minden pontjábn folytonos. Tétel. [folytonos függvény korlátosság] Korlátos zárt intervllumon folytonos függvény korlátos. Azz h f : [, b] R folytonos [, b]-n, kkor vnnk olyn k, K R melyekre k f(x) K minden x [, b] mellett. Bizonyítás. Tegyük fel állításunkkl ellentétben, hogy pl. f nem korlátos felülr l. Akkor minden n N-hez vn olyn x n [, b], hogy f(x n ) > n. Tekintsük z A := { x n : n N } hlmzt. H A véges hlmz, kkor vn olyn x k0 eleme A-nk, hogy x n = x k0 véges sok n index kivételével, zz, x n = x k0 h n > n 0. H A végtelen hlmz, kkor Bolzno-Weierstrss tétel lpján A-nk vn (leglább egy) x 0 torlódási pontj. x n [, b] és [, b] zártság mitt x 0 [, b]. Vegyünk z x 0 pont K(x 0, ) környezetéb l egy x 0 -tól különböz A-beli x n pontot. Ezután z x 0 pont K(x 0, d ) környezetéb l, hol d = x n x 0, válsszunk egy olyn x 0 -tól különböz x n2 A pontot melyre n 2 > n legyen (ilyen biztosn vn, mert z x 0 pont bármely környezete végtelen sok A-beli pontot trtlmz, egyébként x 0 nem lehetne A torlódási pontj). Az x n3 pontot K(x 0, d 2 ) környezetb l válsztjuk, hol d 2 = x n2 x 0, úgy, hogy x n3 x 0, és n 3 > n 2 legyen. Hsonlón