Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Átírás

1 Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1

2 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok összességét értjük (nem adunk ennél absztraktabb matematikai definíciót). Ha egy dolog beletartozik a halmazba, azt mondjuk, hogy eleme a halmaznak. ontos szempont, hogy egy halmaz megadásánál mindig eldönthető legyen, hogy egy dolog eleme-e a halmaznak vagy sem. halmaz megadható elemeinek felsorolásával vagy valamilyen a halmaz elemeit jellemző tulajdonság megadásával. Példák: harmadéves középiskolások halmaza, vagy az 1, 2, 3, 4, 5 számok halmaz. páros számok halmazát megadhatjuk szabállyal és felsorolássl is: 2, 4,, 8,.... halmazok jelölésére általában a nagybetűket, míg elemeik jelölésére a kisbetűket szokták használni. zt, hogy az szimbólummal jelölt dolog eleme a nagy betűvel jelzett halmaznak úgy jelöljük, hogy vagy Ha az halmazt elemei felsorolásával adjuk meg, akkor azt a vesszővel elválasztott elemek és jelek közé írásával jelöljük. Példa: z 1, 2, 3, 4, 5 számok halmaza = páros számok halmaza = Másik lehetséges megadási módja a halmaznak, amikor azt írjuk, hogy! tulajdonság páros számok halmaza = #$ &'()*+,- Ha bevezetjük a pozitív egész számok halmazára az. jelölést, akkor páros számok halmaza $ &')/0.1 z, hogy egy dolog (röviden ) nem eleme az halmaznak, az vagy szimbólummal jelöljük. Nagyon sok esetben a halmazunk valamely másik halmaz elemeinek olyan összessége, amelyek közös tlajdonságúak. Legyen diákok halmaza. Ekkor írhatjuk, hogy Világos, hogy a középiskolás diákok halmaza. az elsőéves középiskolás 7' 8 elsőéves minden eleme egyúttal eleme az hamaznak is. 1. Definíció halmazt az halmaz részhalmazának nevezzük, ha minden eleme egyúttal eleme -nak is. (Jelölésben: :9 ). ormális logikai eszközökkel a fenti definíció így is leírható = vagy <; >@? (minden -re, amely eleme -nek következik, hogy 1. Megjegyzés - Világos, hogy bármely halmaz részhalmaza önmagának. (Jelölésben: 9! - zt a halmazt amelynek nincs eleme, az üres halmaznak nevezzük, és Ø-val jelöljük. Definíció szerint az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. - véges sok elemű B DEG halmaz összes lehetséges részhalmazainak a száma. (Természetesen figyelembe vettük, hogy az üres halmaz és az halmaz is részhalmaza -nak.)egy halmazban egy adott dolog csak egyszer van felsorolva, így az elemei páronként 2 ).

3 különböznek. 2. Definíció Két halmaz és egyenlő (jelölés: ) ha az elemeik azonosak. Egyszerű belátni azt a tényt, hogy az és a halmazok pontosan akkor egyenlőek, ha 9 További kérdések: Lehet-e halmazok között műveleteket végezni, és ha igen hogyan? Halmazok egyesítése (uniója, összege): z és halmazok egyesítésének azt az halmazt nevezzük, amely a következőképpen van definiálva: (z 7'! vagy > halmaz elemei mindegyike eleme az és halmazok legalább egyikének eleme.) Halmazok metszete (közös része): z és halmazok metszetének azt az halmazt nevezzük, amely a következőképpen van definiálva: 7'! és > (z halmaz minden eleme egyidejűleg eleme az és halmaznak is.) Világos, hogy ha az és halmaznak nincsen közös eleme, akkor esetben azt mondjuk, hogy az és halmazok kizárják egymást (diszjunktak). z és halmazok különbségének nevezzük azt az -vel jelölt halmazt amely definíciója a következő: $! és +2 > (z halmaz elemeit azok a dolgok adják, amelyek elemei -nak és ugyanakkor nem elemei -nek.) Halmazok és az azokon végezhető műveletek sematikus ábrázolása z halmaz valamely az szimbólummal jelölt halmazt értjük, amelyre halmazra vonatkozó komplementer (kiegészítő) halmaza alatt azt feltéve, hogy 9 (Tehát az 9 halmaz komplementere az a halmaz, amelynek elemei az halmaznak elemei de nem elemei -nak). Példa. Végezzünk kísérletet úgy, hogy két pénzdarabot dobunk fel egymás után. Jelöljük -vel ha írás, és -fel ha fej kerül felülre. Ekkor a következő esetek lehetnek: (i,i) mindkettő írás (i,f) első írás, második fej (f,i) első fej, második írás (f,f) mindkettő fej Lehetséges esetek halmaza: ' 3

4 Lehetséges részhalmazok:, két dobás egyforma # két dobás különböző két dobás között legfeljebb egy dobás fej # eladat: Kombinatorika elemei Kérdés mi az általános szabály egy adott feladat típusnál a lehetséges esetek számának megadására. Nézzünk néhány motiváló feladatot: 1. Egy tavon át féle hajóból lehet választani, amelyek a két part között oda és vissza sétahajóznak. Hányféleképpen tudja valaki az oda-vissza utat megtenni, ha két különböző hajóval akar utazni. Megoldás: &' egy hajó van feladat nem oldható meg, csak ugyanazt a hajót lehet oda és vissza is választani. &' és hajó oda oda 2 választás lehetséges vissza vissza &' és hajó választás lehetséges: oda 3 választás, vissza 2 választás Mivel minden oda választáshoz vissza már csak két lehetséges eset van, így a lehetséges választások száma #' Általában különböző hajó esetén a lehetséges választások száma (Indokolja meg!) 2. Négyszínű fénnyel működik egy jelzőrendszer. Egy jelzéshez egy, két, három vagy négy színt használunk. Hány embert tudunk így értesíteni, ha minden jelkombináció két embernek szól az egyik állandó, a másik felvillanó fénnyel. Megoldás: Minden lámpánál két állapot lehet vagy világít, vagy nem. Ez azt jelenti, hogy ha a felvillanó fénytől eltekintünk, akkor ' #' + eset lehet. Egy esetben egyik lámpa sem ég ezért ezt ki kell zárni. Tehát az értesíthető emberek száma: 0#' fő. Megjegyzés: jelölje 0 azt az esetet, amikor a lámpa nem ég és jelölje 1 azt az esetet, amikor a lámpa ég. Ekkor a négy lámpára vonatkoztatva a következő lehetséges sorozatokat kapjuk: 4

5 egyik lámpa sem ég pontosan egy lámpa ég pontosan két lámpa ég pontosan három lámpa ég négy lámpa ég Kettes számrendszer = = = = = = = = = = = = Általános eset: Legyen cselekedet, amelyeket féleképpen hajthatunk végre. Ekkor a teljes cselekvéssorozatot ' féleképpen hajthatjuk végre Permutáció Ismétlés nélküli permutáció. Ismétlés nélküli permutációról akkor beszélünk, ha adott különböző elemeket valamilyen más sorrendbe átrendezünk. lehetséges átrendezések (sorrendek, permutációk) számát -el jelöljük, ha különböző elem van. Kérdés hogyan határozható meg 0 1 Példa: Hány féle sorrendbe írhatók a M betűi? M M két lehetséges sorrend a permutációk száma = 2 = 5 0

6 Hány féle sorrendbe írhatók a EL szó betűi? EL EL LE LE ELE LE lehetséges permutációk: Hány féle sorrendbe írhatók a UKOR szó betűi? Általában! Ismétléses permutáció ' #', # ( faktoriális) Motiváló példa: Hány féle különböző sorrendbe rendezhetők a KP szó betűi? KP KP PK KP KP 3 3!= eset 3 eset 12 eset ' eset Általában ha elem van emelyekből az szer ször. szer szerepel akkor az ismétléses permutációk száma ( 1.4. Kombináció Ismétlés nélküli kombinációról beszélünk, ha elem közül ( B elemet úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje nem számít. lehetséges ismétlés nélküli kombinációk számát jelöli. Példa. 7 tanuló közül három kiválasztása hány féle képpen lehetséges, ha a kiválasztás sorrendje nem számít (egy tanulót csak egyszer választunk ki). B D E G + jel ha kiválasztott, és - jel ha nem Ez a + és - jelek ismétléses permutációinak száma, azaz Jelölés

7 feladat megoldása: binomiális együttható. + eset lehetséges! 1.5. Binomiális tétel Tetszőleges kéttagú kifejezés (binom) bármely nem-negatív egész kitevőjű hatványa polinommá alakítható a következő módon: n=1 Mi történik általános esetben # #, 0. ' Pascal-féle háromszög:

8 1.. z átlag számtani közép harmonikus közép geometriai közép, 4 4 sebesség átlagolására órákkal is!! exponenciális növekedésére Példa: ' ' + ' # + ' Példa: ' &+ Ismétlő feladatok: 1. Hány olyan tízjegyű szám van, amelyben minden számjegy csak egyszer fordul elő? Válasz: ' ' 2. Hányféle sorrend állítható fel 3 férfi és 4 nő között, ha azt akarjuk, hogy a férfiak és a nők felváltva következzenek egymás után. lapelrendezés nem lehetséges eset) ( nők permutációja: férfiak permutációja: összes lehetséges ' + #' 3. Van öt golyónk, amelyek mindegyikén van egy sorszám. páros golyók piros ( ), a páratlanok fekete ( ) színűek: Kérdések: (a) Hányféle sorrendjük lehet a golyóknak színűktől függetlenül? Válasz: 5! (ismétlés nélküli permutáció) (b) Hányféle sorrendjük lehet a golyóknak ha csak színűk érdekel bennünket? 8

9 Válasz (ismétléses permutáció): 3! ' 4. Hányféleképpen tölthetjük ki egy 13 kérdést tartalmazó teszt válasz oszlopát, ha 8 választ 1-esre, 2 választ 2-esre és 3 választ 3-asra tippelünk? (ismétléses permutáció!) ' + a lehetséges esetek száma. 5. lottón 90 számból találomra ötöt húznak ki egymás után oly módon, hogy a már kihúzottakat nem teszik vissza az urnába. ( húzás sorrendje érdektelen). Hány szelvényt kell kitöltenünk, hogy biztosan legyen közöttük öttalálatos? Megoldás (90 elem 5-ödosztályú kombinációja): 1.7. Ismétléses kombináció dott különböző elem közül elemet úgy választunk ki,hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje nem számít. Ekkor elem -adosztályú ismétléses kombinációjáról beszélünk. Jele. Példa: & *+ 7. Írjuk fel az betűk másodosztályú ismétlés nélküli és ismétléses kombinációit! ' + a b b c c d a a b b c d d d a c b d a b b c c d a d a c b d a d 9

10 2. VLÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 2.1. Eseményalgebra Véletlen és szükségszerű jelenség. Szükségszerű jelenségnél a jelenség lefolyása előtt tudjuk,hogy mi várható, mi lesz a kimenetele. Véletlen jelenségnél vagy nem tudjuk, vagy tudhatnánk, de a bonyolult körülmények miatt nem tudjuk az ismereteinket egyértelműen alkalmazni (ilyenkor a jelenség lefolyása számunkra előre meg nem jósolható kimenetelhez vezet). Persze a véletlen esemény létrejötte, vagy az általunk elvégzett véletlen kísérlet (továbbiakban véletlen jelenségen és kísérleten ugyanazt fogjuk érteni) vizsgálatánál a lehetséges kimeneteleket ismerjük. lehetséges kimeneteleket elemi eseményeknek nevezzük. kísérlet tervezésénél (egy jelenség) vizsgálatánál fontos, hogy az elemi események jól megkülönböztethetőek legyenek, ami azt jelenti, hogy a kísérlet elvégzése után eldönthető legyen, hogy melyik következett be. Ugyancsak fontos, hogy a véletlen kísérlet vagy esemény akárhányszor megismételhető, illetve megfigyelhető legyen azonos körülmények között természetesen a lehetséges kimenetelek (elemi események) lehetnek mások és mások. Példa. - Egy fémpénz feldobásánál az eredmény lehet fej vagy írás. pénz feldobása megismételhető, a lehetséges kimenetelek halmaza egyértelmű. - Kocka dobás ( oldalú). Lehetséges kimenetelek, ha például az oldalakon különböző számú pont van? 1 pont, 2pont, 3 pont, 4 pont, 5 pont, pont. igyeljük meg, hogy ezekben a példákban a lehetséges elemi eseményeken kívül nincsen más lehetőség. lehetséges elemi események halmazát biztos eseménynek nevezzük, mivel a kísérlet elvégzésénél ennek a halmaznak valamelyik eleme biztosan bekövetkezik. Általában eseménynek a biztos esemény (az összes lehetséges elemi eseményekből álló halmaz) részhalmazait nevezzük. igyelem az elemi események alkotják a biztos eseményt ugyanakkor az elemi eseményeket a biztos esemény egy-elemű részhalmazainak is tekintjük. Ha egy kísérlet elvégzése után olyan elemi esemény következik be, amely eleme valamely eseményt reprezentáló halmaznak, akkor azt mondjuk, hogy ez az esemény bekövetkezett. Példa. Pénz feldobás egy pénzzel. Lehetséges kimenetelek írás (jele ) és fej (jele ). biztos es- részhalmazai, az az (üres halmaz lehetetlen esemény), emény $ G és z események a # 0 Pénz feldobása. Két pénzünk van. z első majd a második pénz feldobása, és leesett pénzek helyzetének megfigyelése jelenti a kísérletet. Lehetséges kimenetelek (elemi események) az és betűkből alkotott párok: (Például jelenti, hogy az első pénz írás a második fej....) biztos esemény ',, lehetséges események $ ' $ ' ' ' $ ' $ $ $ ' ' $ ' 2 ' halmaz. 10

11 Kérdés, mely események következnek be, ha mind a két pénzzel írást dobtunk? Válasz az,,,,,, események. Rövid összefoglalás: valószínűségszámítás véletlen tömegjelenségekkel (sokszor előforduló, akárhányszor megismételhető) foglalkozik. jelenségek lehetséges kimeneteleiket elemi eseményeknek, az elemi események halmazát biztos eseménynek, az üres halmazt lehetetlen eseménynek, míg a biztos esemény (néha alaphalmaznak is hívjuk) részhalmazait eseményeknek nevezzük. zt mondjuk, hogy az esemény bekövetkezett ha a jelenség kimenetele (illetve azt reprezentáló szimbólum) eleme az eseményt reprezentáló halmaznak. Ellenkező esetben az esemény nem következett be Relatív gyakoriság és valószínűség Kérdés, lehet-e tapasztalati úton mondani valamit arról, hogy egy véletlen jelenség milyen kimenetelű lesz. bizonytalanságot az okozza, hogy az esemény kimenetelét meghatározó tényezőket nem ismerjük. lehetséges eljárás, hogy az eseményt többször egymás után megismételjük és a megfigyelt kimeneteleket lejegyezzük. Pl.: Pénzdobásnál a következő sorozatot kapjuk: kísérletek száma: 17, ebből fej 9, és írás 8. Tehát a 17-szer azonos körülmények között megismételt kísérletből 9 esetben fej és 8 esetben írást kaptunk. zt mondjuk, hogy a fej bekövetkezésének gyakorisága 9, és az írás bekövetkezésének gyakorisága 8. gyakoriság önmagában nem sokat mond, viszont sokkal informatívabb a gyakoriság és az elvégzett kísérletek számának hányadosa. Ezt a számot hívjuk relatív gyakoriságnak. konkrét esetünkben a fej relatív gyakorisága: és az írás relatív gyakorisága Megfigyelés (tapasztalat) azt mutatja, hogy a kísérletek számának növekedésével a relatív gyakoriság valamely meghatározott szám körül ingadozik egyre kisebb és kisebb kitérésekkel. Ezt a számot nevezzük valószínűségnek. valószínűségszámítás tárgya megadni azokat a szabályokat, amik az eseményekre és azok valószínűségeire vonatkoznak. z, hogy a kiindulási valószínűségek milyen pontosak, vagy annak a vizsgálata, hogy a relative kevés kísérlet alapján következtetni lehet-e a véletlen esemény természetére, az úgynevezett statisztika vagy matematikai statisztika tárgya. Tehát legyen egy alaphalmazunk és tekintsük az e halmaz részhalmazainak családját amit -val jelölünk. ( olyan halmaz, amely elemei maguk is halmazok.) elemei az események. Egy kísérletsorozatnál, amely kísérletből áll jelöli azoknak a kimeneteleknek a számát, amelyek az halmazba tartoznak. Röviden mondva az esemény -szor következik be neve gyakoriság. E kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága:! z esemény valószínűsége, jelölése az a szám, amely körül egyre kisebb kitérésekkel ingadozik a relatív gyakoriság értéke miközben a kísérletek száma egyre nagyobb és nagyobb lesz. Például: Pénzdobásnál ' hhoz, hogy összefüggéseket állítsunk fel a valószínűségek között elsőnek az eseményekkel kell foglalkoznunk. 11

12 2.3. Események közötti összefüggések z eseményeket általban nagybetűkkel jelöljük: E8 hogy a vizsgált események részhalmazai a neve lehetetlen esemény. D,/ E. eltesszük, biztos eseményeknek. z üres halmaz is esemény,., Ellentétes esemény. Egy esemény ellentétes eseménye alatt azt az eseményt értjük, amelyik csak akkor következik be, ha az esemény nem következik be. z esemény esetén az ellentétes esemény jele? +2 és B., Események szorzása. zt mondjuk, hogy két esemény szorzata következik be, ha olyan elemi esemény következik be, amely mindkét eseménynek egyidejűleg eleme. Szimbólumokkal, az és események szorzatát jelöli és 7 8 azaz? és >8., Események összeadása. Két esemény összege akkor következik be, ha legalább az egyik bekövetkezik. ormulával, az és események összege +? Néhány következtetés az előbbi meghatározások alapján. - lehetetlen esemény ellentéte az biztos eseménynek, és fordítva és 1 - z esemény ellentétének ellentéte önmaga - z és annak ellentéte egyidejűleg nem következhet be: és vagy >8 Ha két esemény egyidejűleg nem következhet be, akkor azokat egymást kizáró eseményeknek nevezzük. ormulával felírva: az és események pontosan akkor zárják ki egymást, ha 7 Például és kizárják egymást a és események kizárják egymást, ugyanis - és z összeadás és szorzás műveletek értelmezve vannak több tagra is: - az az esemény, amelyik pontosan akkor következik be, ha az D események közül legalább egyik bekövetkezik esemény pontosan akkor következik be, ha D mindegyike egyidejűleg bekövetkezik., 2.4. valószínűség matematikai fogalma Világos, hogy a relatív gyakoriság nem-negatív és egynél nem nagyobb szám, ugyanis kísérlet elvégzése esetén a bekövetkezések száma legfeljebb lehet. Ez azt jelenti, hogy 12

13 ' 3. Definíció szerint az esemény valószínűsége olyan valós szám, amely nagyobb vagy egyenlő mint 0 és kisebb vagy egyenlő mint 1. Jele: lehetetlen esemény valószínűsége 0, * * ' biztos esemény valószínűsége egy, Ha két esemény és kizárja egymást, akkor kísérletnél a relatív gyakoriságok: -hoz a -hez tartozó az -hez tartozó tartozó Ennek alapján a valószínűségszámítás a következő axiómákon alapszik: I. Minden egyes véletlen eseményhez! hozzá van rendelve egy nem negatív szám: az esemény valószínűsége, amelyet -val jelölünk * ' II. biztos esemény valószínűsége 1, azaz és a lehetetlen esemény valószínűsége 0, azaz (z egy valószínűségű esemény nem szükségképpen a biztos és nulla valószínűségű nem szükségképpen lehetetlen esemény.)! III. Ha 7 akkor IV. Ha az, 4 események páronként kizárják egymást, azaz Ekkor, (Megjegyzés: a gyakorlatban gyakran vannak olyan esetek, vagy modlelek, amikor a jelenséget végtelen sok (megszhámlálhatóan végtelen sok) elemi eseménnyel lehet leírni. Ekkor az események száma is megszámlálhatóan végtelen.) z axiómák alapján az eseményekre számos hasznos megállapítást fogalmazhatunk meg: 1. Ellentétes esemény valószínűsége: tetszőleges eseményre! +!! Ugyanis és így '!!! +? +! 2. Egymást kizáró események összegének valószínűsége. Ha az páronként kizárják egymást, azaz ha 4 *+E 4. Definíció z, kizárják egymást és 3. Ha az események akkor eseményekről azt mondjuk, hogy teljes rendszert alkotnak, ha páronként, 4. Tetszőleges és eseményre * események teljes rendszert alkotnak, akkor * 13 +

14 Tetszőleges E8 eseményekre:! 5. Ha az esemény mindig maga után vonja a!! esemény bekövetkezését, azaz 9 8 akkor és *!!!?! *. Legyen a véletlen kísérletnek elemi eseménye D amelyek mindegyike egyenlő valószínűséggel fordul elő. Ha ekkor olyan esemény, amelyhez pontosan elemi esemény tartozik (mindegy, hogy melyik darab), ekkor Indoklás: órán. z összefüggések felhasználása konkrét esetekre. Kockadobás. D elemi események azonos valószínűséggel. $ másrészt páros szám dobásának a valószínűsége: Valószínűségek kiszámításának klasszikus kombinatorikus módja Egy esemény valószínűsége egyenlő az esemény bekövetkezésére nézve kedvező esetek és az összes lehetséges esetek számának hányadosával, feltéve,hogy a lehetséges esetek (elemi események) egyenlően valószínűek. Példa: mi a valószínűsége annak, hogy 5-ös találatot érünk el a lottón? 90 számból 5-öt féleképpen lehet kiválasztani. kedvező esetek száma összes esetek száma Példa: Három kockával, amelyek megkülönbözhetetlenek, dobunk egyszerre, és a három dobás összegét tekintjük eseménynek. Mik az elemi események? Egész számok #' és #' + között. Lehetséges események száma: 1. Ezek összetett események, amelyek elemi eseményekből állnak. z elemi események száma ', + Példa: Egy urnában nyolc billiárdgolyó van, öt piros és három fehér. Két golyót találomra kihúzva mi a valószínűsége annak, hogy különböző színűek lesznek? Két lehetőség: (a) elsőnek piros golyót húzunk! 14

15 Piros valószínűsége a másodikra húzott fehér valószínűsége (8 lehetséges, amelyből 5 kedvező). nnak a valószínűsége, hogy a két golyó különböző: (b) elsőnek fehér golyót húzunk! ehér valószínűsége a másodikra húzott piros valószínűsége Szorzat: Mindkét eset megfelel, ezért a keresett valószínűség: Milyen esetekben alkalmazható a valószínűségek összeadási, illetve szorzási szabálya? Ha ugyanabban a futamban két lóra fogadok, annak a valószínűsége, hogy nyerek, a két lovon külön-külön való nyerés valószínűségének összege lesz: ' Ha ellenben összetett fogadást kötök, tehát fogadok egy lóra az első futamban azzal, hogy ha nyerek, a nyeremény a második futamban egy másik lóra teszem, akkor annak a valószínűsége, hogy az összetett fogadást megnyerem, a két ló saját futamában való győzelem valószínűségeinek szorzataként adódik: 3. GEOMETRII VLÓSZÍNŰSÉG Sok esetben a vizsgált problémához tartozó elemi események egy geometriai alakzat pontjainak és az események valamely geometriai alakzatnak felelnek meg. geometriai alakzatoknak mértéke (hossza, területe, térfogata) van és ilyenkor feltesszük,hogy az összes eseményt egy jól meghatározott geometriai alakzat foglalja magába. Ez az elemi események alaphalmaza, jele z halmaz mértéke nagyobb vagy egyenlő mint bármely másik az belsejébe lévő alakzat mértéke ( egy eseményt reprezentál). z esemény bekövetkezésének valószínűsége, ebben a geometriai interpretációban * az tartomány mértéke az tartomány mértéke!! Világos, hogy és $ z üres halmaz mértékét nullának vesszük. Példa. Egy 20 cm sugarú kör alakú céltáblára lövéseket adunk le és az alapfeltevésünk, hogy a táblán kijelölt alakzat eltalálásának valószínűsége arányos az alakzat területével. Ekkor, -val jelölva az alakzatot,! ahol a 20 cm sugarú körlap. területe így! területe területe területe Legyen egy sugarú kör, amely középpontja ugyan az mint a 20 cm sugarú köré. Ekkor! ' Példa. Két ember megbeszéli, hogy egy adott helyen találkozik 10 és 11 óra között. találkozó helyére véletlenszerűen érkeznek. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a korábban érkező legfeljebb negyedórát vár a később érkezőre? modell: Legyen az a négyzet, amely végpontjai és lásd az ábrát. ábra 15

16 z egyik ember, a másik órával érkezik 10 után. Tehát a kérdéses esemény (azaz legfeljebb negyed órát vár az elsőnek érkező a másodikra) akkor következik be, ha (óra) és ' ' kérdéses eseményt tehát az $ halmaz reprezentálja. pontosan akkor teljesül, ha és vagy ezzel és $ és ekvivalens módon Így Lásd a rajzot. z területe: z Így ' halmaz területe 1 (az egységnégyzet).! + Mi a válasz akkor, ha a következőt kérdezzük: Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek érkező nem vár többet félóránál? Ekkor így! $ és + + Mikor lesz a várakozás valószínűsége egyenlő a nem várakozás valószínűségével, azaz! Ezért! ' + azaz + '. Ha tehát a várakozási időt körülbelül percnek ( óra) vesszük, akkor annak a valószínűsége, hogy az elsőnek érkező nem vár többet 20 percnél, 0,5 körül van. 4. MINTVÉTEL Egy halmazból találomra kihúzott elemek összességét véletlen mintának nevezzük. találomra húzáson egy olyan eljárást értünk, amelynek során minden minta kiválasztása egyforma valószínűséggel történik. Ezt az eljárást véletlen mintavételnek nevezzük. Két típusa: visszatevéses, visszatevés nélküli Visszatevéses mintavétel mintavétel tárgyalása előtt tekintsünk egy egyszerűbb példát. Bernoulli-kísérlete Vizsgáljuk azt a kísérletet, amelynek két lehetséges kimenetele van: és!. Ekkor 7 és 7 Így ' azaz + Jelölje az valószínűséget! ekkor *' a valószínűsége! * Végezzük el a kísérletet -szer 1!

17 azonos körülmények között. Ekkor az és betűk valamely sorozatát kapjuk feltéve, hogy -t írunk valahányszor az esemény következik be és valahányszor a esemény következik be betűt írunk. Például a sorozatot kaphatjuk feltéve, hogy a kísérletet -szer végeztük el. Ennek a sorozatnak a valószínűsége a kísérletek függetlensége miatt, ugyanis esetben, míg esetben volt a kísérlet kimenetele. Kérdés: mi a valószínűsége annak, hogy kísérlet elvégzése esetén esetben, míg esetben következik be. z ilyen sorozatok száma annyi, ahányféleképpen a betű közül, betű kiválasztható. Ez a szám Így annak a valószínűsége, hogy kilenc kimenetel adódik amelyek és, elvégzett kísérletnél pontosan négy esetben és pontosan esetben Általános eset: kísérletet végzünk, és az a kérdés, hogy mennyi a valószínűsége annak, következik be. hogy esetben és esetben Jelölje ezt az eseményt Ez olyan sorozat bekövetkezésének a valószínűsége, amelyben db és darab Ilyen sorozat annyi van, ahányféleképpen az elemből kiválasztható, azaz Tehát az összes lehetséges sorozat valószínűsége, amelyben darab és darab van, azaz esemény valószínűsége Világos, hogy # *, Most térjünk rá a visszatevéses mintavételre. Legyen diákunk közülük lány és fiú tanuló. Nevük egy-egy cédulára van felírva. z urnából véletlenszerűen húzunk ki cédulákat miután jól elkevertük azokat. eltesszük, hogy minden cédulának ugyanaz a valószínűsége (esélye). Ekkor egy adott cédula kihuzásának esélye nnak az esélye, hogy a cédulán lány neve lesz, és hogy fiué hogy *' van: Világos, Végezzünk el húzást úgy, hogy minden húzás után visszadobjuk a kihúzott cédulát és jól elkeverjük azt a többi közé. Ezt az eljárást nevezzük visszatevéses mintavételnek.! Jelölje azt, hogy egy lány nevét húztuk és,hogy egy fiú nevét. Ekkor az előzőek alapján! és azaz és / bevezető tárgyalásban (Bernoulli kísérletében) láttuk, hogy annak a valószínűsége, hogy a kísérletben -szor (azaz lány nevét húztuk ki) következik be és -szor (azaz a kihúzott 17

18 név fiúé) következik be: Tehát ( véletlen visszatevéses mintavétel eredménye leány és fiú kiválasztása egy olyan tanuló közösségből, amelynek lány és fiú van) =, * E 18

19 Példa: Legyen az osztály létszáma 40 fő, közülük 10 fiú és 30 lány. Ekkor egy véletlen választásnál annak valószínűsége, hogy fiút választunk és annak valószínűsége, hogy lányt Tehát és 0 nnak valószínűsége, hogy a véletlen választás után (feltéve hogy a kiválasztott újra kiválasztható) fiú van és lány: Legyen &+ +!, 4.2. Visszatevés nélküli mintavétel Ebben az esetben is legyen diákunk, amelyek közül véletlenszerű diákot választunk ki. z -diákból lány, és fiú. z számú diák véletlenszerű kiválasztásánál a már kiválasztott diák nevét jelző cédulát nem tesszük vissza az urnába. Ezt a kiválasztást visszatevés nélküli mintavételnek nevezzük. kiválasztáshoz eljuthatunk két különböző módon is. Egyik mód: az urnából egymás után cédulát húzunk úgy, hogy egyiket sem dobjuk vissza. Másik mód: az urnából egyidejűleg kiveszünk darab cédulát. két módszer ugyanarra az eredményre vezet, ezért csak a második esetet vizsgáljuk. cédulából Tehát vegyünk ki cédulát egyszerre. Ezt az féleképpen tehetjük meg. Most vizsgáljuk, hogy az cédulán számú lány és számú fiú neve van. számú lány nevét tartalmazó cédulát az összesen cédulából míg az fiú nevét tartalmazó cédulákat az cédula közül nevet tartalmazó cédulák kiválasztása + lánynevet tartalmazó fiú nevet tartalmazó féleképpen lehet kiválasztani. Így tehát a választásnál a lány és fiú z összes lehetséges kiválasztások száma módon valósulhat meg. Ezek a számunkra kedvező esetek száma. és így annak valószínűsége, hogy a visszatevés nélküli választásnál pontosan lány és fiú neve került kiválasztásra, Egy fontos megjegyzés: visszatevés nélküli és a visszatevéses mintavétel kapott valószínűségek közötti különbség egyre csökken ha az és értékét az -hez képest egyre nagyobbnak választjuk. Gyakorlatban ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy számú sokaságból kis számú 19

20 mintát véve nem számít, hogy visszatevéssel vagy visszatevés nélkül járunk-e el. Minőség ellenőrzés mintavétel alapján. Tanulók tudását szeretnénk ellenőrizni, véletlen mintavétellel. z eljárásunk a következő: minden 100 elégtelennél jobban vizsgázott diákcsoportból véletlenszerűen 10-et kiválasztunk és megvizsgáljuk a tudásukat. zt mondjuk, hogy az első vizsga korrekt volt ha az általunk kiválasztott tizes mintában legfeljebb egy diák nem felel meg a kívánalmaknak. Ellenkező esetben a vizsgáztatás minőségét megkérdőjelezzük. Kérdés: szigorúnak tekinthető-e az ellenőrzés alapján hozott ítéletünk? kérdés megválaszolásához ismerni kéne azoknak az arányát, akik a 100-as csoportból úgy mentek át, hogy nem felelt meg a tudásuk. Jelölje ezt az arányt 3 és *' a megérdemelten átmentek aránya. Milyen esetekben nyilvánítjuk az ellenőrzésünk alapján megfelelőnek a vizsgáztatást? kkor ha legfeljebb egy olyan diákot találunk a 10-ből akinek a teljesítménye a mi megítélésünk szerint nem felelt meg. Tehát diákból veszünk mintát amelyek között sikeresen levizsgázott, de a tudása nem megfelelő és /+ pedig megérdemelten ment át. Tizes mintát veszünk véletlenül, az &'. nnak a valószínűsége,hogy mind a 10-nek megfelelő a tudása (azaz * és!' nnak a valószínűsége, hogy a kiválasztott '7 -ből 7 nem megfelelő és 0 megfelelő Tehát annak a valószínűsége, hogy a vizsgáztató helyet a mintavételünk alapján nem találjuk megfelelőnek: Számítógépes számolással a következőt kapjuk: =az igazságtalanul teljesítettek aránya -ból -ból -ból. 5. ELTÉTELES VLÓSZÍNŰSÉG =a vizsgálatban kapott megfelelő minősítés valószínűsége 5.1. eltételes valószínűség és események függetlensége Motiváló példa. Tekintsük a középiskolás lányok és fiúk egy csoportját. Jelölje azt az eseményt a tanulók közösségéből véletlen kiválasztott lány és azt, hogy fiú (Világos, hogy a ellentétes eseménye és a biztos esemény.).jelölje azt az eseményt, hogy a kiválasztott diák első évfolyamos és jelölje azt, hogy nem elsős. (Világos ellentéteseménye -nak és a biztos esemény.) 20

21 vizsgált csoport összetételét a következő táblázat mutatja: évfolyam nem lány fiú összesen elsős! nem elsős (! összesen Véletlen kiválasztásnál (mindegyik tanuló kiválasztásának ugyan az az esélye), a következő valószínűségek adódnak: (elsőst választunk ki) = (nem elsőst választunk ki) = (lányt választunk ki) = (fiút választunk ki) = (elsős fiút választunk ki) = (nem elsős lányt választunk ki) = (nem elsős fiút választunk ki) =!! lehetséges szorzat valószínűségek: (elsős lányt választunk ki) = 5.2. lehetséges feltételes valószínűségek eltételes esemény például az, ha tudjuk, hogy a kiválasztott lány és arra vagyunk kiváncsiak, hogy ekkor milyen valószínűséggel lesz annak, hogy a kiválasztott diák első éves. Ennek az eseménynek a valószínűségét -vel jelöljük. Kiolvasva: annak az esemény valószínűsége feltéve, hogy a esemény bekövetkezett. Tehát a lehetséges feltételes események a példánkban: (a kiválasztott diák lány feltéve, hogy az első évesek közül választunk) (a kiválasztott diák fiú feltéve, hogy az első évesek közül választunk) (a kiválasztott diák lány feltéve, hogy nem az első évesek közül választunk) (a kiválasztott diák fiú feltéve, hogy nem az első évesek közül választunk) További lehetséges feltételes valószínűségek (az olvasóra bízom a szöveges megfogalmazást): igyeljük meg a következő összefüggéseket:!!!!!! 0!! 21

22 fent elmondottak alapján két tetszőleges és eseményre a esemény a eseményre vonatkozó feltételes valószínűségét -vel jelöljük és ha akkor a összefüggéssel definiáljuk. Definíció szerint azt mondjuk, hogy a esemény független a eseménytől ha a eseménynek a eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűsége egyenlő a esemény valószínűségével. Képletben kifejezve, ha Ez utóbbi azonban azaz 4 esetén alakba írható. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy 4 és így a esemény független a eseménytől. Végső megállapítás: esemény pontosan akkor független a eseménytől, ha a esemény független a eseménytől, és a valószínűségekre teljesül a összefüggés. 2. Megjegyzés - Ha van két eseményünk, mondjuk és amelyek valószínűsége nem nulla! 4 4 esemény 7 ekkor ez a két esemény nem lehet független. Valóban, ha és független lenne, akkor! 4 teljesülne ugyanakkor mivel 7 ezért lenne, ami ellentmondás. - Ha az esemény része a eseménynek, és * akkor a két és a két esemény kizárja egymást, azaz a szorzatuk a lehetetlen esemény nem lehet független. Ugyanis függetlenségük esetén! teljesülne. ugyanakkor 9 miatt és így összefüggést! Összevetve a két!! ' Ez ellentmond a + feltételünknek. Vizsgáljuk meg, fennáll-e a függetlenség a Táblázatban szereplő és események adódik, ami azt jelenti, hogy között. Ehhez használjuk a táblázat adatait:! 22

23 Tehát 4! Ez azt mutatja, hogy az és esemény nem független egymástól. Töltsük ki a következő táblázatot úgy, hogy az és függetlensége! fennálljon!! táblázatban az úgy nevezett marginális valószínűségek adottak:. évfolyam nem lány fiú összesen ( ) ( ) elsős ( )! nem elsős ( összesen évfolyam nem elsős ( )! nem elsős ( lány ( ) fiú ( ) összesen összesen 3. Megjegyzés z egyetlen lehetséges kitöltés: az első sor és az első oszlop találkozásához E # az első sor és a második oszlop találkozásához # a második sor és az első oszlop találkozásához # a második sor és a második oszlop találkozásához írandó. Ekkor teljesül az és és, és valamint az és események függetlensége. Igaz a következő: z és, és 8 és valamint az és események egyidejűleg függetlenek. Ugyanis ha és független, akkor könnyű megmutatni, hogy és is független. Valóban egyrészt $ másrészt az és események kizárják egymást, és így és is igaz. Tehát! Mivel és független, és ezért * Átrendezés után! ami pontosan azt jelenti, hogy és Valószínűségek szorzási szabálya: feltéve, hogy 4 és! 4 független.! *! 23

24 5.3. Általános eset (teljes valószínűség tétele): Legyen a biztos esemény és /DE olyan események, amelyek teljes eseményrendszert alkotnak ( DE páronként kizárják egymást és /, (i=1,2,...,n). Ekkor bármely eseményre az! eseménytérből Példa. Egy iskolában három párhuzamos osztályban (jelöljük ezeket vel) íratják ugyanazt a dolgozatot. z összes megírt dolgozatok 40 íródott az és a a illetve osztályokban. z osztályban írt dolgozatok 5 -a, a osztályban írt dolgozatok 7 -a, a osztályban írt dolgozatok 10 -a lett elégtelen. három osztályban írt dolgozatok összességéből találomra kiválasztunk egyet. Mekkora a valószínűsége, hogy ez a dolgozat nem elégtelen? Jelölje azt az eseményt, hogy a kiválasztott dolgozat nem elégtelen. és rendre jelölje azt, hogy a dolgozat! olyan tanulóé, aki az illetve osztályba jár. Tehát a kérdés továbbá z adatok alapján tudjuk,hogy,, Tehát a teljes valószínűség tétele alapján:!,,. (Ez lényegében a 0,95, 0,93 és 0,9 valószínűségek súlyozott átlaga.) Egy, az előző problémával rokon kérdés merül fel akkor, ha arra vagyunk kiváncsiak, hogy az esemény bekövetkezésében mekkora valószínűséggel játszik közre egy teljes eseményrendszer valamely eseménye. Legyen a teljes eseménytér és a /,# teljes eseményrendszer (/DE páronként kizárják egymást, és / / és $, Ekkor bármely az -hoz tartozó pozitív valószínűségű eseményre igaz a következő: 0 *+, Ezt az összefüggést Bayes-tételnek hívjuk. Elnevezések: -t a posteriori (tapasztalaton alapuló, tapasztalati) valószínűségnek, a -t a priori (tapasztalatot megelőző, tapasztalat előtti) valószínűségnek nevezzük. Példa: z előző példa módosítása. Három és osztályban írják ugyanazt a dolgozatot. Tudjuk, hogy az osztályba a tanulók 40 -a és a illetve osztályban a tanulók a jár. dolgozatokat összekeverték és véletlenszerűen választunk. Kérdés, mi a valószínűsége annak, hogy az ( vagy ) osztályból való a dolgozat feltéve, hogy annak osztályzata nem elégtelen. és 24

25 Módosítsuk a példát úgy, hogy Ekkor Legyen Ekkor, 0,,,.,,.. 25

26 . VLÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ Sok esetben nem is annyira a kísérlet lehetséges kimenetelei, hanem valamely, a kimenetelekhez rendelt számok értékei érdekelnek bennünket. Például: az eseménytér elemi eseményeihez valós számokat rendelünk. Tehát -hoz valamely -val jelölt valós számot. Ekkor a függvényt valószínűségi változónak hívjuk. Példa. Tekintsük 100 diák osztályzattal ellátott dolgozatát, amelyek közül véletlenszerűen választunk egyet. Ekkor az elemi események halmaza a 100 dolgozatból álló halmaz, amely elemi eseményei az egyes dolgozatok. nnak a valószínűsége, hogy egy adott dolgozatot húzunk ki z egyes dolgozatokon szereplő osztályzat lehetséges értéke: 1, 2, 3, 4, 5. Tehát minden elemi eseményhez hozzá van rendelve egy szám az halmazból a következő szabály szerint: értéke az adott dolgozaton szereplő jegy. függvény valószínűségi változó. Tegyük fel, hogy a 100 dolgozat közül 10 jeles, 20 jó, 45 közepes, 15 elégséges, 10 elégtelen van. Ekkor annak a valószínűsége, hogy a kihúzott dolgozathoz tartozó osztályzat elégtelen: elégséges: közepes: jó: jeles: ' + + ' Példa. Két kockával dobunk. z elemi események halmaza az alakú számpárok halmaza, ahol valószínűségi változó jelentése a dobott számok összegét: lehetséges értékei: (lásd... táblázat). dobott számpár (elemi események) valószinűségi változó értékei z adott érték előfordulásának valószínűsége 2 P ' 3 P ' 4 P 5 P ' P ' 7 P 8 P ' 9 P 10 P + 11 P + 12 P ' 2 ' 2 ' 2 2

27 9 függvény szemléltetése grafikonon: Táblázat Egy adott valószínűségi változóval kapcsolatban számos esemény definiálható: - esemény definíciója ( adott valós szám): zoknak az elemi eseményeknek az összességét, amelyekhez a valószínűségi változó -nél kisebb értéket rendel, a jelöléssel illetjük. esemény tehát ' összefüggéssel adott. esemény definíciója ( adott valós szám): zoknak ez elemi eseményeknek az összességét, amelyekhez a valószínűségi változó -szel egyenlő értéket rendel -el jelöljük. esemény tehát - ' - következő események definícióját szavakban az olvasó könnyen megadhatja az előzőek alapján, ezért csak formálisan adjuk meg azokat: ' $ ' Tetszőleges és valós számokra Világos, hogy Eloszlásfüggvény: Tekintsük azt a függvényt, amely tetszőleges valós számhoz a esemény valószínűségét jelöli: z függvényt a valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. sűrűségfüggvény tulajdonságai: (1) és + ugyanis a lehetetlen esemény)= a biztos esemény)= ' (2) a valós számok halmazán monoton növekvő függvény, azaz Ugyanis esetén, és így 27 esetén

28 Példa. Két kockával dobásnál legyen a valószínűségi változó értéke a két dobás összege, ahogy ezt az előző példában tekintettük. Ekkor ' esetén, ugyanis nincs olyan eset amikor az összeg kisebb lenne 2-nél. ' 2 ' 2 2 ' 2 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 ' 2 ' 2 Diszkrét eloszlásról beszélünk, ha a valószínűségi változó csak véges, vagy megszámlálhatóan végtelen sok (izolált) értéket vehet fel. (Ez az eset állt fenn azt előző példában.) Legyen diszkrét valószínűségi változó az D lehetséges értékekkel. Ekkor a valószínűségi változó eloszlása alatt a valószínűségek összességét értjük. Világos, hogy! ' Másrészt a valószínűségeloszlás segítségével megadható az eloszlásfüggvény is: ahol az összegzést olyan indexekre kell venni, amelyekhez tartozó értékek kisebbek -nél. Mi van akkor, ha a valószínűségi változónak a lehetséges értékei nem izoláltak, például bármely valós szám lehet. Ilyen eset állhat elő például akkor, ha a tanulók testmagasságát, testnevelésből egy adott távon a táv lefutásához szükséges időt, olvasás elemzésnél egy adott szöveg elolvasásához, megtanulásához szükséges időt mérjük. Ekkor ugyancsak véges pontosságra mérünk, mégis célszerű olyan modellt használni, amelyben a mérés eredménye (ez a valószínűségi változó értéke) tetszőleges valós szám lehet. Ezek a modellek általában olyan valószínűségi változót eredményeznek, amelyeknél annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó értéke beleesik egy intervallumban bármely rögzített esetén közelítőleg arányos a nagyságával: minden elég kicsi -ra. (Olvasd: közelítőleg egyenlő -val.) 28

29 z arányossági tényező függ az -től, tehát az arányossági tényező a valós számok halmazán egy nem-negatív értékű függvény. Példa. Legyen adva a intervallum a számegyenesen. eladat: tegyünk egy pontot a intervallumba véletlenszerűen, és legyen a valószínűségi változó értéke a pontnak a -tól való távolsága. Mivel a pontot a intervallumba tesszük, ' + és 2 Tegyük fel, hogy annak a valószínűsége, hogy a pont a intervallum valamely részintervallumába esik, arányos a részintervallum hosszával, azaz 9 ahol adott állandó. Kérdés mi a értéke. Mivel egyrészt ' így kell, hogy legyen. Tehát Mi van ha Ekkor Tehát az eloszlásfüggvény az esetén G esetén. összefüggéssel adott, amely grafikonja a következő: ' ' $ ' ' < másrészt ábra Vizsgáljuk meg, hogyan lehet kiszámolni a értéket, és Tekintsük az esetén. függvényt, amely grafikonja: 3 grafikon igyeljük meg, hogy az függvénynek az helyen vett értéke a vízszintes koordináta 29

30 tengely, az grafikonja és az pontba állított függőleges egyenes által határolt alakzat területével egyenlő, a következő ábrákon a megfelelő alakzatot ferdén bevonalaztuk: ábra az adott terület az adott terület az adott terület + 5. Definíció Egy valószínűségi változót folytonosnak nevezünk, ha van olyan függvény, amely legfeljebb izolált pontokban nincsen definiálva és 1., nemnegatív minden olyan pontban, ahol definiálva van. 2., z grafikonja és a vízszintes koordináta tengely által bezárt alakzat területe egyenlő eggyel. 3., Bármely -re a valószínűség egyenlő az, illetve pontokba állított függőleges vonalak, az függvény grafikonja és a vízszintes koordináta tengely által határolt alakzat területével (lásd az ábrán a besatírozott területet). z ábrán besatírozott területet a matematikai elméleti meggondolások (itt eltekintünk a részletektől) alapján az függvény -n vett integráljának nevezik és vagy jelöléssel jelölik. z alatti teljes terület jele Tehát 1 (1) 30

31 és ' függvény differenciál- z (1) összefüggés alapján a matematikai elméletben az függvény a hányadosának (vagy deriváltjának is) hívják. Jelölésben Összefoglalva: (a) diszkrét valószínűségi változót az általa felvett véges vagy végtelen sok lehetséges értéke az azokhoz tartozó valószínűségekből álló valószínűségeloszlás, és a szakaszonként állandó értékeket felvevő eloszlásfüggvény jellemzi: + (b) folytonos valószínűségi változót az sűrűségfüggvénye és eloszlásfüggvénye jellemzi: > és 7. VLÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK JELLEMZŐ DTI Példa. Egy osztály létszáma 40 fő és tudjuk, hogy a dolgozatok 10 -a jeles, 20 -a jó, 35 -a közepes, 25 -a elégséges, 10 -a elégtelen. Kérdés mi a jegyek átlaga az osztályban? 10 azaz 4 fő jeles 20 azaz 8 fő jó Válasz: 35 azaz 14 fő közepes 35 azaz 10 fő elégséges 10 azaz 4 fő elégtelen jegyek összege jegyek száma 40, így az átlag + ogalmazzuk át a feladatot. Mi a valószínűsége annak, hogy a tanulókhoz rendelt valószínűségi változó értéke 1,2,3,4 vagy 5? Tehát diszkrét valószínűségi változó a következő jellemzőkkel: + ' ' ' + ' ' ' 31

32 valószínűségi változó várható értéke: ' várható érték általános definíciója: (a) diszkrét valószínűségi változó, amely lehetséges értékei és valószínűségeloszlása a következő várható értéke az szám feltéve, hogy ez véges. (b) folytonos valószínűségi változó, amelynek a sűrűségfüggvénye, várható értéke az függvény görbéje és a vízszintes tengely közötti terület feltéve, hogy ez a terület létezik. Jelölése 7.2. várható érték tulajdonságai 1. Ha egy valószínűségi változó, és adott szám, akkor is egy valószínűségi változó, amely várható értékére teljesül. 2. Ha és két valószínűségi változó, akkor a összeg valószínűségi változó várható értékére teljesül. 3. Általánosabban a 2. a következő formában is igaz egy összeg várható értéke egyenlő a tagok várható értékeinek összegével: 4. Egy valószínűségi változónak a saját vérható értékétől való eltérésének a várható értéke nulla: (Megjegyzés: ha a valószínűségi változó várható értéke megadja azt a számot, ami közül a valószínűségi változó ingadozik. zt, hogy milyen mértékben ingadozik a valószínűségi változó, a várható értéke körül az úgynevezett szórás adja meg szórás szórás jele: és képletben kifejezett definíciója: 32

33 ahol a valószínűségi változó és annak várható értéke közötti négyzetes eltérés várható értéke. Ennek így a neve szórásnégyzet, jele Képletben Mivel, ezért azaz 7.4. szórás néhány tulajdonsága 1., Ha D akkor diszkrét valószínűségi változó a D valószínűségi eloszlással, 2., Legyen és két olyan valószínűségi változó amelyekre > számok. Ekkor emlékeztetőül ahol és adott valós (Megjegyzés: egy állandó hozzáadása egy valószínűségi változóhoz nem változtatja meg a szórást.) 3., Legyen és két független valószínűségi változó, azaz minden -re. Ekkor (emlékeztetőül minden esetben teljesül (a függetlenség nélkül is!) 4., Ha a, valószínűségi változók páronként függetlenek, azaz és független minden olyan esetben, amikor 4 akkor 5., Ha, páronként független valószínűségi változók, és ugyanaz a szórásuk, $ akkor és és Medián. Valamely valószínűségi változó mediánja, jele + az a valós szám, amelyre ha diszkrét ha folytonos. Ha a valószínűségi változó eloszlása szimmetrikus, akkor a medián egyenlő a várható értékkel. Terjedelem. valószínűségi változót korlátosnak mondjuk, ha van olyan és M valós 33

34 szám, hogy ( lehetséges értékei valamely véges intervallumba esnek.) terjedelem annak a legkisebb intervallumnak a hossza, amelybe a valószínűségi változó egy valószínűséggel beleesik. Módusz. Diszkrét valószínűségi változó esetén azt az értékét a valószínűségi változónak, amelyet nagyobb valószínűséggel veszi fel mint a többit (feltéve, hogy van ilyen) a valószínűségi változó móduszának nevezzük. olytonos esetben a valószínűségi változó módusza az a hely, ahol a sűrűségfüggvény felveszi a maximumát (feltéve, hogy van ilyen). Példa. Két kockával dobunk és a valószínűségi változó a két kockán felül látható pontok összege. Ekkor ' ' ' + valószínűségi változó jellemzői Várható érték: ' Szórásnégyzet: + Szórás + + Terjedelem: #', ugyanis beletartozik a Medián: Világos, hogy Másrészt minden lehetséges értéke. és ' és a legkisebb intervallum amelybe Így a mediánja a valószínűségi változó mediánja 7, Módusz: Módusz ugyanis 4 ' 34

35 7.5. szórás szemléletes jelentése Markov és sebisev eredményei alapján Legyen tetszőleges olyan valószínűségi változó, amelynek létezik a várható értéke és a szórása. Ekkor esetén a következő ábrán szemléltetettek állnak fenn: hogy a annak a valószínűsége, valószínűségi változó értéke ebbe az intervallumba esik legalább hogy a legfeljebb annak a valószínűsége, valószínűségi változó értéke a nyilak irányába eső intervallumok valamelyikébe esik ábra fenti alkalmazása akkor előnyös, ha az előzetes ismeretek alapján csak a valószínűségi változó várható értékét és szórását ismerjük. Példa: Tapasztalati adatokból tudjuk, hogy egy adott típusú feladat megoldásához egyénenként más-más időtartam kell. Jelölje valószínűségi változó ezt az időtartamot véletlen választás esetén. Tudjuk, hogy perc, és perc. djunk becslést annak a valószínűségére, hogy egy véletlen kísérlet esetén a értéke a, intervallumba esik azaz valószínűség becslését keressük! + Mivel, felírható úgy is, hogy, -t, hogy kell olyan teljesüljön. zaz Tehát ' ezért a becsléshez találnunk + $ ' + Ez úgy is megfogalmazható, hogy ha 100 diákkal oldatjuk meg ezt a feladatot, akkor várhatóan 5 közülük és perc közötti idő alatt oldja meg. 35

36 8. NEVEZETES DISZKRÉT ELOSZLÁSOK 8.1. karakterisztikus eloszlás, amely azt jelenti,hogy nem következett be azaz eseménytéren értelmezzünk egy valószínűségi változót, Legyen tetszőleges esemény. Ehhez az eseményhez rendelhetünk két elemi eseményt: amely azt jelenti, hogy bekövetkezett és következett be. 5 D amely csak a 0 és az 1 értéket veheti fel, mégpedig: és ' azaz + ha bekövetkezik azaz ha nem következik be. Eut a vaszínűségi változót az eseményhez tartozó karakterisztikus, vagy más szóval az esemény indikátorváltozójának nevezzük. Ha az esemény bekövetkezésének a valószínűsége annak a valószínűsége, hogy nem következik be. Így ' és karakterisztikus valószínűségi változó jellemző adatai: Várható érték: Szórásnégyzet: ' + azaz Szórás: 8.2. z egyenletes eloszlás (! akkor ' Legyen felvehető véges számú értékei mindegyikének egyenlő a valószínűsége:! olyan valószínűségi változó, amely lehetséges értékei az D számok és a $ Ezt a valószínűségi változót egyenletes eloszlású valószínűségi változónak nevezzük (magát az eloszlást egyenletes eloszlásnak nevezzük). Várható érték: (z, számok számtani átlaga) Szórásnégyzet: Példa. Dolgozatot íratunk és a dolgoaztokat 1, 2, 3, 4, 5 érdemjeggyel értékeljük. Ha azt tesszük fel, hogy az egyes jegyek ugyanolyan valószínűséggel fognak előfordulni, akkor milyen 3

37 átlag jegyre számíthatunk és milyen szórással? Tehát előzetes feltevésünk alapján olyan valószínűségi változóval van dolgunk, amely az 1, 2, 3, 4 és 5 értékeket veheti fel a ' ' valószínűséggel. Ekkor ennek az egyenletes eloszlású valószínűségi változónak a várható értéke: és a szórása: ' válasz: az átlag jegynek 3 körül kell lennie a 1,41 szórással Binomiális eloszlás ' + #' valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak mondjuk, ha a lehetséges értékei, és ezeket az értékeket a azaz tetszőleges / E esetén + $ valószínűséggel veszi fel, ahol 3 és *'. binomiális eloszlású valószínűségi változó várható értéke: Szórása Példa. Diákok egy csoportját vizsgáljuk úgy, hogy elemű mintát veszünk visszatevéssel. diákok csoportja a vizsgálat szempontjából két részre oszlik (pl.: kitűnő tanulók és nem kitűnők elégtelent írók és nem azok egy tárgy iránt érdeklődők, illetve e tárgy ireánt nem érdeklődők...) Tegyük fel, hogy az általunk érdeklődésre számot tartó részcsoport aránya 0,3, azaz ha az általunk érdeklődésre számot tartók száma, a teljes létszám, akkor Jelentse a visszatevéses véletlen mintavételben lévő általunk érdekesnek tartott esetek számát. Ekkor lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3, 4, 5,. Továbbá a visszatevéses mitnavételnél tanultak alapján: $ Így számolással azt kapjuk, hogy * várható értéke: ' #' 37 &'

38 szórása: # Tehát véletlenszerűen visszatevéses mintavétellel választva kettő kerüli lesz az általunk érdeklődésre számot tartó tanulók száma szórással Poisson-eloszlás zt mondjuk, hogy a valószínűségi változó Poisson-eloszlású, ha a lehetséges értékei a 0, 1, 2,..., n,... egész számok és ezeket az értékeket * valószínűséggel veszi fel. Poisson-féle eloszlás, tehát az egyetlen paraméter által van meghatározva. Várható értéke: Szórása: Mikor adódik Poisson-eloszlás. z egyik eset, amikor a binomiális eloszlásban a lehetséges értékek száma elegendően nagy, akkor a binomiális eloszlás közelíthető a paraméterű Poisson-eloszlással. Poisson-eloszlás egy konkrét modellje lehet a következő: Számítógépeket kapnak az iskolák, nem pályázat hanem véletlen elosztás alapján. Legyen az elosztandó gépek száma, és az iskolák száma. gépből véletlenszerűen iskolák nulla (nem kap gépet), és gépet (minden gépet egy iskola kap meg) kaphatnak. nnak a valószínűsége, hogy egy meghatározott iskola pontosan gépet kap (azaz a véletlen elosztásnál fellépő valószínűségi változó értéke ) a következő: '! E Ha az iskolák száma és a gépek száma is igen nagy, akkor a fenti valószínűség közelítőleg Poisson eloszlású lesz a paraméterrel. Tehát $ *, tapasztalat azt mutatja, hogy a következő esetekben a Poisson-eloszlás jól alkalmazható: 1. binomiális eloszlás közelítésére a fentiek szerint 2. Olyan esetekben, amikor bizonyos egymás után következő időpillanatokban események történnek és mindegyik esemény megtörténtét egyetlen időpont jelzi. Ekkor valamely időintervallumban bekövetkező események száma közelítőleg Poisson-eloszlású. (Pl.: telefonközpontba beérkező hívások száma, az iskolai hiányzások száma (persze leszámítva a járványos időszakokat), egy időszak alatt meghibásodó számítógépek száma). 3. sajtóhibák számának eloszlása egy könv lapjain jó közelítéssel Poisson-eloszlást követ. Példa. Legyen 1000 iskola és közöttük véletlenszerűen 100 gépet osztunk el. Ekkor paraméterű Poisson-eloszlással közelítjük a valószínűségi változó eloszlását. 38