P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

Átírás

1 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével a láncszabály szerint: P (A 1 A n ) = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A n 1 ). Eseményeknek egy B 1, B 2,... A véges vagy megszámlálhatóan végtelen gy jteményét teljes eseményrendszernek nevezzük, ha az események páronként kizáróak, uniójuk az Ω alaphalmaz és a B i események valószín sége pozitív. A B 1, B 2,... felbontás az Ω eseménytér partíciója pozitív mérték halmazokra. Legyen A A tetsz leges esemény. Ekkor érvényesek az alábbi összefüggések: Teljes valószínűség tétele: P (A) = i P (A B i )P (B i ) Bayes-formula: Bayes-tétel: P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) i P (A B i)p (B i ) Feladatok 1. A tapasztalatok szerint a légi szúnyogpermetezések után az életbenmaradott vérszívok ellenállása n a vegyszerrel szemben. Ez azt jelenti, hogy míg az els permetezés során a szúnyogok 80 százaléka elpusztul, addig a második és a harmadik permetezés már csak 60 illetve 40 százalékukat öli meg. Mekkora valószín séggel éli túl egy szúnyog mindhárom permetezést? Mekkora valószín séggel éli túl egy szúnyog a második és a harmadik permetezést, ha az els t átvészelte? 2. Valamely alkatrész gyártásával egy üzemben négy gép foglalkozik. Az els gép naponta 200 alkatrészt gyárt, a második 320-at, a harmadik 270-et, a negyedik 210-et. Az egyes gépeknél a selejtgyártás valószín sége rendre 2%, 5%, 3% és 1%. A kész alkatrészeket egy helyen gy jtik. A gépek napi termeléséb l kiveszünk egy alkatrészt és megvizsgáljuk. a. Mekkora valószín séggel selejtes az alkatrész? Mekkora valószín séggel nem selejtes? b. A vizsgálat során kiderül, hogy az alkatrész selejtes. Mennyi annak a valószín sége, hogy a negyedik gép gyártotta? c. Milyen választ adhatunk a b. pont kérdésére, ha az alkatrész nem selejtes? d. Mekkora valószín séggel származik az alkatrész a harmadik vagy a negyedik gépr l, ha selejtes? 1

2 3. Egy bizonyos fajta búzavet mag összetételének vizsgálatakor megállapították, hogy négyféle magot tartalmaz, mégpedig 50%-a az I-es fajtából, 30%-a a II-esb l, 15%-a a III-asból és 5%-a a IV-esb l tev dik össze. Annak valószín sége, hogy egy I-es típusú magból legalább 50 szemet tartalmazó kalász fejl dik 0.2. Ugyanez a valószín ség a többi fajtánál rendre 0.5, 0.4 és a. Mekkora valószín séggel fejl dik egy véletlenszer en kiválasztott magból legalább 50 szemet tartalmazó kalász? b. Feltéve, hogy a magot elvetve a kalász 50 szemnél kevesebbet tartalmazott, milyen valószín séggel tartozik az egyes típusokba? 4. Egy üzemben kétféle technológiával gyártanak egy termékfajtát. Egyrészt hagyományos módon, az így készült termékek 60%-a I. osztályú, 40%-a II. osztályú. Másrészt automata gépsoron, így 90% I. osztályú, 10% II. osztályú. A termékek fele készül az egyes technológiákkal. a. Mennyi a valószín sége, hogy egy találomra kiválasztott termék az automata gépsoron készült, ha II. osztályú min sítést kapott? b. Mekkora valószín séggel választunk I. osztályú terméket? 5. Egy gyárban a termékek 90%-a felel meg a súlyszabványnak. A súlyszabványnak megfelel gyártmányok 80%-a megy át az alakpróbán, a súlyszabványnak nem megfelel termékek 75%-a bukik meg az alakpróbán. a. A termékek mekkora hányada felel meg mindkét szabványnak? Mekkora hányad megy át az alakpróbán és bukik meg a súlypróbán? b. Véletlenszer en kiválasztva egy gyártmányt mekkora valószín séggel bukik meg az alakpróbán? c. Ha a kiválasztott termék átmegy az alakpróbán, akkor mekkora valószín séggel felel meg a súlyszabványnak? 6. Ismertek a következ valószín ségek: P (A B) = 0.7, P (A B) = 0.3 és P (B A) = 0.6. Mivel egyenl P (A)? 7. Két játékos, Péter és Pál, a következ játékot játsza. Péter feldob egy kockát, aztán annyi érmét, amennyi a kockával dobott érték. Ha a kapott fejek száma legalább 2, akkor Péter nyer, egyébként Pál. Kinek kedvez ez a játék? 8. Adott egy kocka 4 piros és 2 zöld lappal, valamint egy tetraéder 3 zöld és 1 piros lappal. Feldobunk egy szabályos érmét. Ha az eredmény fej, akkor a kockát, egyébként a tetraédert dobjuk fel háromszor. a. Mekkora valószín séggel kapunk a harmadik dobásra piros színt? b. Feltéve, hogy az els két dobás eredménye piros, mekkora valószín séggel kapjuk harmadik dobásra is a piros színt? c. Mennyi annak a valószín sége, hogy mindhárom dobás piros? d. Milyen érmét dobjunk fel, ha azt szeretnénk, hogy a három piros dobás valószín sége egyenl legyen a három zöld dobás valószín ségével? 2

3 9. Két urnában piros és zöld golyók vannak. Az els ben 5 piros és 4 zöld, a másikban 7 piros és 3 zöld. a. Találomra kiválasztunk egy-egy golyót a két urnából, és kicseréljük ket. Ezután kiveszünk egy újabb golyót az els urnából. Mekkora valószín séggel lesz ez piros? b. Találomra kiválasztunk egy golyót az els urnából, és áttesszük a másodikba. Ezután kihúzunk egy golyót a másodikból, és belerakjuk az els be. Végül kiveszünk egy golyót az els urnából? Mekkora valószín séggel lesz ez piros? 10. Feldobok 6 szabályos pénzérmét. Ezután feldobok annyi pénzérmét, ahány fejet kaptam az els dobás során. Végül feldobok annyi pénzérmét, ahány fejet kaptam a második dobás során. Mekkora valószín séggel kapok a harmadik dobás során pontosan k fejet? 11.a. A 32 lapos magyar kártyából visszatevéssel kihúzunk három lapot. Mekkora valószín séggel lesz mindhárom lap piros? Mekkora valószín séggel lesz a harmadik lap piros, ha az els két lap piros volt? Mekkora valószín séggel lesz a harmadik lap piros? b. Oldjuk meg az a. feladatot visszatevés nélküli mintavételezésre. 12. Adott egy dobókocka és egy dobótetraéder, melyek lapjai 1-t l 6-ig illetve 1-t l 4-ig vannak számozva. Azt játszom, hogy valamelyik testet feldobva ha a kapott érték osztható 3-mal, akkor a következ dobást is ezzel a testtel végzem el, egyébként a másikkal folytatom a játékot. Legel ször a kockát dobom fel. Mekkora valószín séggel végzem a második és a harmadik dobást a tetraéderrel, majd a negyediket a kockával? Mekkora valószín séggel végzem a negyedik dobást a kockával, ha a második és a harmadik dobásról nincs információm? 13.* Adott egy végtelen térfogatú üres urna és megszámlálhatóan végtelen sok golyó az 1, 2,... értékekkel megszámozva. Éjfél el tt egy perccel fogjuk az 1, 2,..., 10 számú golyókat, behelyezzük ket az urnába, majd véletlenszer en kihúzunk egyet. Éjfél el tt fél perccel fogjuk a 11, 12,..., 20 számú golyókat, behelyezzük ket az urnába, majd véletlenszer en kihúzunk egyet. Minden egyes pozitív egész n-re éjfél el tt 2 n perccel fogjuk a 10n + 1, 10n + 2,..., 10n + 10 számú golyókat, behelyezzük ket, majd kihúzunk egyet. Ezt így folytatjuk éjfélig. Mutassuk meg, hogy éjfélkor az urna egy valószín séggel üres. 14.* Egy vadász 30 méter távolságban felfedez egy rókát, és rál. Ha a róka életben marad, akkor elkezd 10 m/s sebességgel menekülni az ellenkez irányba. A vadász 3 másodperc alatt tölti meg a fegyverét, és ezután újra l, egészen addig, míg meg nem öli a rókát, vagy az el nem t nik a látóhatáron. Annak valószín sége, hogy eltalálja az x 30 méter távolságra lév rókát 675x 2. Ha találat éri is a rókát, az nem biztos, hogy végzetes: a róka egymástól függetlenül 1/4 valószín séggel túléli a találatokat. Mekkora valószín séggel ússza meg a róka a kalandot? Útmutatások 2. A kísérlet során kiválasztunk egy alkatrész, és megvizsgáljuk. A kísérlet kimenetelei az adott napon gyártott alkatrészek, és feltehet, hogy mindegyik alkatrészt ugyanakkora 3

4 valószín séggel választjuk ki. A kiválasztott alkatrész lehet selejtes vagy nem selejtes, és mindezt természetesen befolyásolja, hogy melyik gépen készült. Tehát érdemes bevezetni az alábbi eseményeket: A = {a kiválasztott alkatrész selejtes}, B i = {a kiválasztott alkatrész az i. gépen készült}, i = 1, 2, 3, 4. Ezek valóban események, hiszen klasszikus valószín ségi mez esetén az eseménytér minden részhalmaza esemény. Ekkor Ā az az esemény, hogy a kiválasztott alkatrész nem selejtes. Minden alkatrész a négy gép valamelyikér l származik, ezért B i = Ω. Természetesen nincs olyan alkatrész, mely több gépr l is származna, így a B i események kizáróak. A feladat adatai szerint a gyárban naponta átlagosan = 1000 alkatrészt gyártanak, amib l P (B 1 ) = 0.2, P (B 2 ) = 0.32, P (B 3 ) = 0.27, P (B 4 ) = Tehát a B 1, B 2, B 3, B 4 események teljes eseményrendszert alkotnak. Emellett P (A B 1 ) = 0.02, P (A B 2 ) = 0.05, P (A B 3 ) = 0.03, P (A B 4 ) = 0.01, vagyis P (Ā B 1) = 0.98, P (Ā B 2) = 0.095, P (Ā B 3) = 0.97, P (Ā B 4) = a. A teljes valószín ség tétele szerint P (A) = i P (A B i )P (B i ) = = , amib l P (Ā) = 1 P (A) = b. Eredetileg összes alkatrész 21%-a készül a negyedik gépen. De most nekünk van egy olyan háttérinformációnk, mely szerint a vizsgált alkatrész selejtes. Tehát a feladat a P (B 4 A) feltételes valószín ségre kíváncsi. A Bayes-formula alkalmazásával P (B 4 A) = P (A B 4)P (B 4 ) P (A) = = Tehát egy selejtes alkatrész meglep en kis valószín séggel származik a negyedik gépr l. Ennek az az oka, hogy a negyedik gép kis selejtaránnyal dolgozik, a hibás alkatrészeket jellemz en a másik három termeli. c. Természetesen most a P (B 4 Ā) valószín séget kell meghatároznunk. Vonzó gondolat azt mondani, hogy P (B 4 Ā) = 1 P (B 4 A), de ez így nem helyes, ilyen összefüggés nem létezik. Helyette ismét be kell vetni a Bayes-formulát: P (B 4 Ā) = P (Ā B 4)P (B 4 ) P (Ā) = = d. Mivel B 3 és B 4 kizáró, ezért a feltételes valószín ség additivitása miatt P (B 3 B 4 A) = P (B 3 A) + P (B 4 A). Ezek már a b. pont szerint számolhatóak. 13. Jelölje A i azt az eseményt, hogy valaha kihúzzuk az i-dik golyót, és legyen A i (k) az az eseményt, hogy a golyót kiválasztjuk az els k körben. A láncszabály segítségével határozzuk meg A i (k) valószín ségét, és mutassuk meg, hogy 1/P (A i (k)), ha k tart 4

5 a végtelenbe. Ebb l A i = k A i (k) valószín sége már számolható, és az i A i esemény valószín sége is könnyen megkapható. 14. Legyen A k az az esemény, hogy a róka túléli az els k lövést. Ennek valószín sége a láncszabály szerint felírható, és a Stirling-formula használatával jól közelíthet. Ezek után azon esemény valószín sége, hogy a róka az összes lövést túléli már könnyen jön. 5