KVANTITATÍV MÓDSZEREK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "KVANTITATÍV MÓDSZEREK"

Átírás

1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet Dr. Kövesi János, Erdei János, Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter KVANTITATÍV MÓDSZEREK Példatár Budapest, 2013

2 Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítási alapok... 3 Műveletek eseményekkel... 3 Feltételes valószínűség... 3 Teljes valószínűség tétele... 4 Bayes-tétel... 6 Fa diagram... 7 Események függetlensége... 7 II. Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások... 9 Binomiális eloszlás... 9 Poisson-eloszlás Exponenciális eloszlás Normális eloszlás III. Leíró statisztika IV. Első- és másodfajú hiba V. Becslés VI. Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Paraméteres és nemparaméteres feladatok VII. Kétváltozós korreláció- és regresszióelemzés VIII. Döntéselmélet Döntés bizonytalan körülmények között IX. Rang-módszerek alkalmazása X. Felhasznált irodalmak

3 I. Valószínűségszámítási alapok Műveletek eseményekkel 1. Határozza meg az alábbi események valószínűségét! Egy szabályos kockát egyszer feldobva páratlan számot kapunk: Egy szabályos érmét kétszer feldobva legalább az egyik dobás fej: Egy jól megkevert, 52 lapos francia kártya csomagból vagy egy ászt, vagy a káró 10-est, vagy a pikk 2-est húzzuk ki: Két szabályos kockával egyszerre dobva a kapott számok összege 7: Pókernél öt lapot kiosztva pókert-t (4 azonos kártya) vagy flush-t (5 azonos színű kártya) kapunk kézbe osztáskor: 2. Egy kísérlet során feldobunk egy érmét és egy kockát. Ha az A esemény az, hogy az érme feldobásának eredménye fej lesz, B esemény pedig az, hogy a kockán levő szám 3 vagy 6 lesz, fogalmazza meg a következő események jelentését: a) A b) B c) A + B d) A B e) f) P( AB) P ( A + B) Feltételes valószínűség 1. Egy szállítmány 96%-a megfelel az előírásoknak, s ezek 75%-a első osztályú. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiválasztott darab első osztályú? 2. Ha nagyon sok kétgyermekes család közül véletlenszerűen választunk egyet, és megtudjuk, hogy legalább az egyik gyermek leány, mekkora a valószínűsége annak, hogy van fiú is a családban? 3

4 3. Egy telefonfülke előtt állunk és várjuk, hogy az előttünk beszélő befejezze a beszélgetést. Az illető beszélgetési időtartama (τ) véletlen esemény, melyre érvényes a következő: P( τ < t) = 1 e a) Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a beszélgetés 3 percnél tovább tart! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés további 3 percnél tovább tart, feltéve, hogy 3 percnél tovább tartott? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés t+3 percnél tovább tart, feltéve, hogy t percnél tovább tartott? 4. Egy kockát kétszer feldobnak. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7 lesz? Elvégzik az első dobást. Eredményül páros szám adódott (ezt közölték velünk). Mekkora a valószínűsége ezek után annak, hogy a két dobás összege 7 lesz? Melyik valószínűség a nagyobb? 5. Egy 32 lapos kártyacsomagból 4 lapot húzunk egymás után, visszatevés nélkül. Mennyi a valószínűsége, hogy az első kettő király, a harmadik felső, a negyedik pedig ász? 6. Valamilyen vegyszerrel szúnyogirtást végeztek. Azt tapasztalták, hogy az első permetezésnél a szúnyogok 80%-a elpusztult, az életben maradottakban azonban annyi ellenállóképesség fejlődött ki, hogy a második permetezés során már csak a szúnyogok 40%-a pusztult el. A harmadik irtás során a szúnyogok 20%-a pusztult már csak el. Mennyi a valószínűsége, hogy egy szúnyog három irtószer-alkalmazást túléli? Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy szúnyog még két irtószer-alkalmazást túlél, feltéve, hogy az elsőt túlélte? t 3 Teljes valószínűség tétele 1. Három urnában fehér és fekete golyók vannak elhelyezve. Az elsőben 2 fehér és 3 fekete; a másodikban 3 fehér és 4 fekete; a harmadikban 4 fehér és 5 fekete golyó van. A kísérlet abban áll, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egy urnát: legyen 1/2, 1/3 és 1/6 rendre az első, a második és a harmadik urna kiválasztásának a valószínűsége. Ezután a kiválasztott urnából véletlenszerűen kihúzunk egy golyót úgy, hogy mindegyik golyó kihúzásának a valószínűsége egyenlő legyen. Mennyi annak a valószínűsége, hogy fehér golyót húzunk? 2. Két urnában golyók vannak. Az egyikben 5 fehér és 4 piros, a másikban 5 piros és 7 fehér. Az egyik urnából kiveszünk két golyót. Feltételezve, hogy a két urna közül egyenlő valószínűséggel választunk, mennyi a valószínűsége annak, hogy mindkét golyó fehér színű lesz? Ugyanilyen feltételek mellett, mennyi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott két golyó közül legalább az egyik fehér lesz? 4

5 3. Azonos fajta autórádió előlapokból két tételünk van. Az első tétel 26, a második 32 darabból áll. Mindkét tételben egy-egy hibás darab van. Az első tételből egy véletlenszerűen kiválasztott darabot átteszünk a másodikba. Ezután a második tételből választunk egyet találomra, és ezt megvizsgáljuk. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a darab selejtes? 4. Mikrohullámú sütők forgótányérjának kísérleti gyártását végzik egy gyárban. Három tétel mikrohullámú sütő készül el. Az első két tétel a teljes mennyiség egy-egy negyedét, a harmadik tétel pedig a felét adja. A minőségellenőrzés során kiderül, hogy az előírt működési óraszámot az első tétel 12%-a, a másodiknak 21%-a, a harmadiknak 28%-a éri el. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiszemelt mikrohullámú sütő az előírt ideig működik? 5. Egy műhelyben három műszakban termelnek azonos fajta árut. Egy napon az összes termelt áruból az első műszakban 40%, a másodikban és a harmadikban 30-30% készült. Az első műszakban készült áruk 5%-a, a másodikban gyártottak 7%-a, a harmadikban termeltek 10%-a hibás. A három műszakban elkészült teljes mennyiségből a minőségellenőr találomra kiválaszt egy darabot, és megvizsgál. Mennyi a valószínűsége, hogy ez hibátlan? 6. Egy egyetemi évfolyamon végzett felmérésből tudjuk, hogy a női hallgatók 60%-a, a férfi hallgatók 40%-a dohányzik. Valaki így okoskodik: Ha egy személyt véletlenszerűen kiválasztunk, az a személy vagy nő, vagy férfi. A két esemény egymást kizárja. Annak a valószínűsége tehát, hogy a kiválasztott személy dohányzik, egyenlő a 0,6 és 0,4 valószínűségek összegével, tehát 1-gyel. Hol a hiba? 7. Egy irodában 3 munkatárs dolgozik párhuzamosan azonos típusú ügyiratok intézésén. Az első naponta 10 aktával végez, a második napi 15, a harmadik napi 25 aktával. Az egyes munkatársaknál naponta átlagosan 0,3; 0,9; 0,5 db hibásan kezelt ügyirat található. Az összesített napi mennyiségből találomra kiveszünk egy aktát. Mekkora a valószínűsége, hogy az akta hibás? 8. Három műszak azonos terméket gyárt. Egy adott napon az összes termékből az I. műszakban 40%, a II. és III. műszakban 30-30% készült. A selejtarányok az egyes műszakokban: I. műszak = 5%, II. műszak = 7%, III. műszak = 10%. A napi termelésből a MEO egy darabot kiválaszt. Mekkora a valószínűsége, hogy az hibátlan? 5

6 Bayes-tétel azonos alakú doboz közül az első 9-ben 4-4 golyó van, mégpedig 2 fehér és 2 kék. A tizedik dobozban 5 fehér és 1 kék golyó van. Az egyik találomra kiválasztott dobozból véletlenszerűen kiveszünk egy golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a tizedik dobozból való, ha a kivett golyó fehér? 2. Egy forgácsoló üzemben elkészült munkadarabok 96%-a felel meg a súlyszabványnak. A minőségellenőrzés során az elkészült munkadarabok egy részét megvizsgálták, a súly szempontjából szabványos darabok 98%-a bizonyult alakra jónak, a nem szabványos súlyú darabokból pedig 5%-ot nyilvánítanak alakra jónak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy darab, amely a minőségellenőrzésen alakra jónak bizonyult, megfelel a súlyszabványnak? 3. Egy biológiai kísérlet során 100 egyedet három 20, 30 ill. 50 egyedből álló csoportokra osztanak. Az első csoport egyedeit gyenge, a másodikét közepes, a harmadikét erős hatóanyaggal oltják be. A csoportokat ezután külön tárolják. Az oltás hatására az első csoportból 3, a másodikból 10, a harmadikból pedig 39 megy keresztül valamilyen változáson. Ezután a csoportok elkülönítését megszüntetik. Ha az összes egyedből egyet találomra kiválasztunk és ennek vizsgálata azt mutatja, hogy nem ment keresztül változáson, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott egyed a második csoportból való? 4. Tudjuk, hogy egy gyakorlatban résztvevő 18 lövész négy csoportba sorolható úgy, hogy közülük öten 0,8, heten 0,7, négyen 0,6, és ketten 0,5 valószínűséggel találnak a céltáblára. Véletlenül meglátunk közülük egy lövészt, aki egy lövést ad le, de ez nem talál a céltáblára. Melyik csoporthoz tartozik a legnagyobb valószínűséggel a lövész, és mennyi ez a valószínűség? 5. Egy üzemből kikerülő áru 75% valószínűséggel I. osztályú. A készterméket megvizsgálják. Annak valószínűsége, hogy a vizsgálat során az I. osztályú terméket nem I. osztályúnak minősítik 2%. Annak a valószínűsége, hogy egy nem I. osztályú terméket I. osztályúnak minősítenek 5%. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy olyan termék, amelyik egy vizsgálat során I. osztályú minősítést kapott, valóban I. osztályú? 6. Egy folyóban bekövetkező halpusztulásért 3 ipari üzem lehet felelős. Tapasztalatok szerint a mérgező anyag kibocsátásának valószínűsége az egyes üzemeknél: 20%, 50% és 30%. A mérések szerint az egyes üzemek szennyvízkibocsátása esetén a halpusztulás valószínűsége: 60%, 15% és 25%. Mennyi a halpusztulás valószínűsége? Mekkora bírságot rójon ki a Ft-os halkárért a bíróság az egyes cégekre, ha nem ismert a szennyezés kibocsátója? 6

7 Fa diagram 1. Egy multinacionális vállalat nagyszámú végzős hallgatót vesz fel minden évben, s az első évben különböző tréning ill. oktatási programokat szervez számukra. Az új belépők 30%-a egy általános menedzsment programon, 10%-a MBA programon és a többiek vállalati belső tréningeken vesznek részt. Az elmúlt tíz év adatait feldolgozva azt találták, hogy az MBA-re járók 60%-a, az általános menedzsment programon résztvevők 20%-a, míg a belső tréningeken résztvevőknek csak 5%-a került menedzseri pozícióba. a) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenül kiválasztott belépő a következő tíz évben menedzseri beosztást kap! b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy már tíz éve a vállalatnál dolgozó menedzser MBA képzésre járt az első évben! Események függetlensége 1. Ketten lőnek céltáblára. A találat valószínűsége az első személy esetében 0,7; a második esetében 0,6. A találatok egymástól függetlenek. Ha mindketten egy-egy lövést adnak le, mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább egy találat van a céltáblán. 2. Két, egymástól függetlenül dolgozó szerszámgépen azonos fajta alkatrészeket gyártanak. Az első gépen 0,8, a második gépen 0,7 valószínűséggel kapunk első osztályú alkatrészeket, az ugyanazon a gépen gyártott alkatrészek is függetlenek egymástól. Az első gép gyártmányaiból 3, a második gép gyártmányaiból pedig 2 alkatrészt választunk találomra és megvizsgáljuk őket. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mind az 5 első osztályú? 3. Két dobozban golyók vannak, amelyek csak színeikben különböznek. Az első dobozban 5 fehér, 11 fekete és 8 piros, a másodikban 10 fehér, 8 fekete és 6 piros golyó van. Mindkét dobozból találomra kiveszünk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két kiválasztott golyó azonos színű? 4. Három szabályos kockát dobunk fel egyszerre. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mindhárom kockán a felülre kerülő pontérték legalább öt? 5. Frici és Gizi a következő feltételek mellett játszanak önálló játszmákat. Frici kezdi a játékot, és 0,3 valószínűséggel nyerhet az első játszmában. Ha nem nyeri meg az első játszmát, akkor Gizi következik és ebben a második játszmában 0,5 valószínűséggel győzhet. Ha győz, akkor a játéknak vége. Ha azonban Gizi veszít, akkor ismét Frici következik, és 0,2 valószínűséggel nyerheti meg a harmadik játszmát. Ha Frici a harmadik játszmában veszít, a játék döntetlenül ér véget. Melyik játékosnak van nagyobb esélye a győzelemre a játékban? 7

8 6. Két kockával dobunk. Jelentse A azt az eseményt, hogy az első kockával párost dobunk, B azt az eseményt, hogy a második kockával páratlant dobunk és C azt az eseményt, hogy mindkettővel párost, vagy mindkettővel páratlant dobunk. A, B és C események teljesen függetlenek-e? 7. Az éves bérek vizsgálata során, egy felmérés eredményeként az alábbi adatokat kaptuk. Éves bér < > Összesen Férfi Nő Összesen a) Tegyük fel, hogy a nem és az éves bér függetlenek egymástól. Határozza meg, s fa diagramon ábrázolja az egyes események valószínűségeit! 300 esetet feltételezve számolja ki az esetek várható számát! b) Határozza meg a valószínűségeket a függetlenség feltételezése nélkül, a tapasztalati adatoknak megfelelően! c) Vizsgálja meg a függetlenséget a függetlenség definícióját felhasználva! 8

9 II. Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások Binomiális eloszlás 1. Valaki találomra kitölt egy totószelvényt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első hét mérkőzéshez az 1, 2, x lehetőségek közül legalább 5 helyre egyest választ? 2. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ha egy családban 10 gyerek születik, akkor közülük éppen öt fiú lesz? 3. Egy üzemben elektromos biztosítékokat gyártanak. A tapasztalat szerint átlagban ezek 15%-a hibás. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy 10 darab véletlenszerűen kiválasztott biztosíték között a) nincs selejtes, b) legalább egy selejtes van, c) nincs 1-nél több selejtes! 4. Fej vagy írás játékkal kapcsolatos két eseményt tekintünk. Az egyik esemény: négy dobásból 3 fej, a másik: nyolc dobásból 5 fej. Állapítsuk meg, hogy melyik esemény valószínűsége nagyobb szabályos pénzdarab használata esetén! 5. Egy biztosító társaság egyetemistáknak kínál gépkocsi biztosításokat, s a korábbi évek tapasztalatai szerint a biztosítottak 3%-a okozott balesetet. Feltételezve, hogy nem változtak meg a körülmények, mekkora a valószínűsége, hogy az adott biztosítónál szerződött 300 egyetemista közül legfeljebb 5 okoz balesetet ebben az évben? 6. Tegyük fel, hogy korábbi évek tapasztalatai alapján egy ügynök általában minden 5. érdeklődőnek tud eladni egy adott terméket. Egy átlagos héten 20 érdeklődővel beszél. Mennyi a heti eladás várható értéke? Mekkora a heti eladás szórása? Az ügynök külön prémiumot kap, ha egy héten 8-nál több terméket ad el. Mekkora ennek a valószínűsége? 7. Az UEFA szigorú előírásai alapján állít elő a Minőségi Bőr Kft. labdarugó labdákat 500 darabos tételekben. Az átadás-átvételi eljárás során két előírás szerint járhatunk el: a) két 10 darabos mintában egyetlen hibás darab sem lehet, b) három 20 darabos mintában mintánként legfeljebb 1 darab selejtes lehet. c) Melyik eljárást választaná az UEFA és melyiket a Minőségi Bőr Kft. helyében, ha a selejtarány várhatóan 5 %? 8. Mekkora véletlen visszatevéses mintát kell vennünk 1% selejtet tartalmazó terméktételből, ahhoz, hogy a mintába 95% valószínűséggel legalább egy selejtes termék is kerüljön? 9

10 9. Egy hagyományos repülőgépet négy egymástól független motor hajt. Hosszútávú vizsgálatok azt mutatják, hogy egy motor repülés közbeni meghibásodásának valószínűsége 5%. A repülőgép még be tudja fejezni az utat, ha 3 motor működik. Mekkora a valószínűsége egy adott repülőúton, hogy a) nem történik motor hiba? b) legfeljebb 1 motor hiba történik? c) motorhiba miatt lezuhan a gép? Poisson-eloszlás 1. Kalácssütéskor 1 kg tésztába 30 szem mazsolát tesznek. Mennyi a valószínűsége, hogy egy 5 dkg-os szeletben kettőnél több mazsolaszem lesz? (Feltételezzük, hogy a mazsolák száma Poisson-eloszlást követ.) 2. Egy nyomdai korrektúrában 400 oldalon átlagosan 400 sajtóhiba van. A tapasztalat szerint egy anyagrészben lévő hibák számának eloszlása csak az anyagrész hosszától függ. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiemelt oldalon legalább három sajtóhiba van? 3. Egy augusztusi éjszakán átlagosan 10 percenként észlelhető csillaghullás. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy negyedóra alatt két csillaghullást látunk? (Feltételezzük, hogy a csillaghullások száma Poisson-eloszlást követ.) 4. Egy elektronikus műszer 1000 alkatrészből áll. Egy alkatrész a többitől függetlenül 0,001 valószínűséggel romlik el egy év alatt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább két alkatrész romlik el egy év alatt? 5. Egy telefonközponthoz 600 előfizető tartozik. Tegyük fel, hogy 0,005 a valószínűsége annak, hogy valamelyik előfizető egy meghatározott órában kapcsolást kér. Mennyi a valószínűsége annak, hogy abban az órában épp 4 előfizető kér vonalat? 6. Egy orsózógépen 100 munkaóra alatt átlagosan 3 szakadás következik be. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy ilyen időtartam alatt a szakadások száma túllépi az átlagot? (A szakadások Poisson-eloszlás szerint következnek be.) 7. Egy készülék meghibásodásainak átlagos száma működési óra alatt 10. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 200 működési óra alatt nem romlik el! 8. Egy készülék szavatossági ideje egy év. A készülék 2000 darab azonos, különlegesen megbízható elemet tartalmaz, amelyek a szavatossági idő alatt egymástól függetlenül 0,0005 valószínűséggel romlanak el. A szavatosság alapján a gyártó vállalat az egy éven belül bekövetkezett meghibásodások javítására esetenként a teljes ár 1/4 részét fizeti vissza. Ha a javítások száma az év során eléri az ötöt, akkor a gyártó vállalat a már kifizetett négy javítási költségen felül a teljes árat is visszafizeti. Számítsuk ki, hogy előreláthatólag az eredeti vételár hány százaléka marad a gyártó vállalatnál! 10

11 méter hosszú szövetanyagon átlagosan 5 hibát találtunk, s a mérések a szövethibák számát Poisson eloszlásúnak mutatták. 300 méter hosszú szövetet 4 méter hosszú terítékekre osztanak. Minden 4 méteres darabból egy-egy öltöny készül. A hibátlan öltönyt darabonként forintért árusítják, a szövethibásat forintért. Várhatóan hány hibátlan van a 300 méteres szövetvégből készült öltönyök között? Mennyi az öltönyök eladásából származó árbevétel? Exponenciális eloszlás 1. Bizonyos típusú izzólámpák tönkremeneteléig eltelt égési időtartam hosszát tekintsük valószínűségi változónak. Megállapították, hogy ez a valószínűségi változó exponenciális eloszlást követ, és szórása 1000 óra. Határozzuk meg a valószínűségi változó várható értékét! Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy egy kiválasztott izzólámpa 3000 órán belül nem megy tönkre! 2. Egy intézet külföldről rendel könyveket. Az ehhez szükséges devizára várni kell, a tapasztalatok alapján ½ évet. A várakozási idő exponenciális eloszlású. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az intézet egy negyedéven belül megkapja a könyveket? 3. Egy szövőgép automatikusan megáll, ha legalább egy fonalszakadás történik. Legyen ξ a gép megindulásától az első fonalszakadásig eltelt idő. A ξ-re tett megfigyelések szerint az exponenciális eloszlású, várható értéke 2,5 óra. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy munkanap alatt, amely 8 órából áll, a gép egyszer sem áll fonalszakadás miatt? 4. Egy szövőgép 400 szállal dolgozik. Az egyes szálak élettartama, tehát amíg el nem szakad, exponenciális eloszlású, minden szálra ugyanazzal a λ=1/150 paraméterértékkel, és feltehető, hogy a szakadások egymástól függetlenek. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a gép fonalszakadás miatt a megindulástól számított 3 órán belül megáll? 5. Egy üzletbe átlagosan 30 vevő érkezik óránként. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két egymás után érkező vevő ideje között eltelt idő 2 percnél több. Mennyi a valószínűsége, hogy ez az időtartam 3 percnél kevesebb? Mekkora a valószínűsége annak, hogy ez az időtartam 1 és 3 perc közé esik? 6. Egy automatizált gépsor hibamentes működésének valószínűsége 120 működési órára 0,9. Tegyük fel, hogy a működési idő exponenciális eloszlású. Számítsa ki a λ meghibásodási rátát és a működési idő várható értékét, valamint annak a valószínűségét, hogy a gépsor a 150. és a 200. óra között meghibásodik. 11

12 7. Egy radioaktív anyag (sugárforrás) bomlási viszonyait vizsgáljuk. Legyen a valószínűségi változó egy tetszőleges atom bomlásáig eltelt idő és annak valószínűsége, hogy az anyag egy tetszőleges atomja x éven belül elbomlik: P( ξ x ) = 1 e x / 2, ha x 0 Határozza meg a valószínűségi változó várható értékét, szórását, valamint a bomlás felezési idejét! Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy tetszőleges atom túléli a 3 évet! 8. Számítsa ki az F(x=1/λ) eloszlásfüggvény értéket! Normális eloszlás 1. Egy vállalatnál az alkalmazottak heti bére normális eloszlású $100 várható értékkel és $10 szórással. Mekkora a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott dolgozó a) 95 és 135 dollár között keres? b) 112,5 dollárnál többet keres? c) 80 dollárnál kevesebbet keres? d) Mekkora heti fizetést kap a legjobban kereső 20%-ba tartozó dolgozók közül, a legkevesebbet kereső? 2. Egy vizsgálat szerint a felnőtt korú férfiak testmagassága N(174cm; 7cm) eloszlást követ. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott férfi testmagassága: a) nagyobb, mint 190 cm, b) 170 és 185 cm közé esik, c) mekkora a testmagasság szórása, ha tudjuk, hogy a férfiak 5%-ának a testmagassága 168 cm alatt van? 3. Egy termék élettartama N(13év; 1év) eloszlású. a) Teljesíti-e az élettartam azt az elvárást, hogy a 11 évnél korábban meghibásodó termékek aránya legfeljebb 1% legyen? b) Ha nem, akkor hogyan kell megváltoztatni a várható értéket, ill. a szórást, hogy teljesítsék az előírást? c) Termékfejlesztés eredményeképpen egy új termék élettartama N(16év; 0,9év) eloszlással jellemezhető. Mekkora garanciális időt adjon a cég ahhoz, hogy a termékek legfeljebb 5%-a menjen tönkre a garancia alatt? 4. A munkapadról kikerülő termék hossza normális eloszlású valószínűségi változó µ=20cm és σ=0,2cm paraméterekkel. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy termék hossza 19,7 és 20,3 közé esik? Milyen pontosságot biztosíthatunk 0,95 valószínűséggel a munkadarabok hosszára? 5. Valamely szolgáltató vállalathoz naponta beérkező megrendelések ξ száma a tapasztalatok szerint közelítőleg normális eloszlásúnak tekinthető σ=10 szórással. Mekkora a megrendelések várható száma, ha tudjuk, hogy P ( ξ < 20) = 0, 1? 12

13 6. Bizonyos típusú rádiócsöveket, amelyeknek az élettartama normális eloszlású, µ=160 és σ=20 óra paraméterekkel, négyesével dobozokba csomagolnak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy ilyen dobozban lévő 4 cső mindegyike 180 óránál tovább fog működni? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 4 cső közül kettőt kivéve, az egyik 180 óránál tovább fog működni a másik meg nem? 7. A Jólfizetünk Rt. új üzeménél megvizsgálták a dolgozók fizetését, s azt találták, hogy a fizetés N(135000Ft, 10000Ft) eloszlású. Legnagyobb versenytársuk közelben működő üzeménél azt tapasztalták, hogy Ft-nál a dolgozók legfeljebb 1%-a kap kevesebbet. Teljesíti-e az új üzem ezt az elvárást? Ha nem, mekkora legyen a szórás ill. a várható érték hogy teljesítsék? A bérfejlesztés után megismételve a vizsgálatot a fizetések eloszlása N(140000Ft, 8000Ft). Legfeljebb mennyit keres a cégnél a legrosszabbul kereső 5%? 8. Export konyak töltésénél az 510 ml alatti palackok aránya legfeljebb 3% lehet. Megvizsgáltak egy n=20000 db-os tételt: x =532,4 ml, σ=6 ml. Határozzuk meg az optimális töltési szintet. Mekkora az adott tételnél a töltési veszteség értéke, ha á=1000 Ft/palack? 9. A bélszínrolót négyesével csomagolják tasakokba. A rolók súlya N(50gr., 5gr.) eloszlást követ. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a tasak valamennyi rolója 55 grammnál nehezebb? 13

14 III. Leíró statisztika 1. A táblázat a Budapesti Értéktőzsde hivatalos indexének (BUX) száz napi záró értékéből számított hozamadatait tartalmazza. Készítse el az alábbi adatbázis részletes leíró statisztikai elemzését! Napi hozamok 0, , , , , , , , ,0011-0, ,0846 0, , , , , , , , , ,0529 0,0102 0,0081-0,0567 0, , , ,0146 0, , , , , , , , ,0018 0, , , , , , ,019-0, , , , , , , , , , , , , , ,0253-0, , , , ,0581-0, , , , , , , , , , , ,0008 0, , ,0044 0, , , , ,0022-0, , , , , , , , , , , ,0143 0, , , ,00524 Rangsor (oszloponként) -0,0567-0, , , ,0022 0, , , , , , , , , , , , , ,019 0, , , , , , , ,0081 0, , , , , , ,0008 0, , , , , , , , , , , , , ,0143 0,0253 0, , , , , , , ,0102 0,0146 0, , , , , ,0011 0,0044 0, , , , , , , , , , , , , , ,0529-0, , , ,0018 0, , , , , ,0581-0, , , , , , , , , ,

15 2. A 100 g-os Omnia kávé töltési folyamatának két különböző napon mért nettó tömegértékei az alábbiak (a mérések a gyártási folyamatot követve, sorrendben történtek, kb. 1/2 óra alatt, egy négymérleges Hesser gép 2.sz. mérlegének töltését figyelve): egyik nap: 101,8 100,7 101,0 101,2 100,1 100,4 100,5 100,2 103,3 100,1 101,1 102,2 101,2 101,2 101,3 101,1 100,9 101,3 101,2 102,1 101,3 101,7 100,6 100,6 101,5 102,8 101,8 101,4 101,8 102,3 100,6 101,4 99,7 101,3 101,4 101,2 100,2 102,1 101,9 101,0 101,4 101,8 100,9 102,4 100,8 100,6 101,3 101,4 102,1 101,4 másik nap: 100,4 99,3 100,5 100,2 100,7 100,4 99,6 100,3 99,4 101,2 100,2 100,3 99,6 100,2 100,1 98,6 101,3 99,1 99,5 100,3 98,5 100,2 100,4 99,8 100,4 99,7 100,0 101,2 100,8 98,7 99,7 99,8 98,1 101,6 100,5 99,9 100,2 101,4 100,3 99,6 99,0 100,7 99,2 100,5 102,2 100,1 100,8 100,2 100,3 99,8 Végezze el a statisztikai-szakmai elemzést! Számítsa ki az eloszlás statisztikai paramétereit! Mekkora a valószínűsége a tűréshatárokon való kivülesésnek, ha az alsó tűréshatár 98g, a felső tűréshatár pedig 102g? 3. Egy üdítőitalokat forgalmazó cég budapesti részlegénél dolgozó 26 értékesítési képviselő január havi teljesítménye (kiszállított mennyiség, ezer rekesz): 15,6 26,8 13,5 8,8 13,3 20,2 13,7 15,7 24,7 8,5 19,1 16,6 19,2 18,7 16,1 20,5 14,2 13,2 15,9 13,1 18,8 33,6 34,7 16,9 14,8 21,8 Számítsuk ki az átlagos teljesítményt, határozzuk meg a mediánt! Számítsuk ki az ismert szóródási mérőszámokat! Jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját a Pearson-féle mutatóval! 4. Minőségellenőrzés keretében vizsgálták egy adott típushoz tartozó elektromos habverők élettartamát. A 120 megfigyelés eredménye: Élettartam (év) Megfigyelések száma (db) 5,0 x<5,5 8 5,5 x<6,0 28 6,0 x<6,5 50 6,5 x<7,0 24 7,0 x<7,5 10 Összesen 120 Ábrázoljuk a gyakorisági sort! Számítsuk ki a helyzeti középértékeket, az átlagot, a szórást, az aszimmetria egyik mérőszámát! 15

16 IV. Első- és másodfajú hiba 1. Egy tömeggyártásban előállított termék szélességi mérete szabályozott folyamatban µ 0 = 920 mm és σ 0 = 1mm. Legyen a névleges érték körül szimmetrikusan elhelyezkedő beavatkozási határ: BH = µ 0 ± 2σ 0. a) Számítsa ki az elsőfajú hibát! b) Tételezzük fel, hogy egy veszélyes zavarhatás a beállítási szintet µ 1 = 922 mm-re változtatja (a szórást nem befolyásolja). Mekkora lesz a szabályozás másodfajú hibája? c) A számításokat végezze el n = 1 és n = 4 elemű minták átlagára is! 2. Egy termék tömegének eloszlása N(100g; 1g). Mekkora szimmetrikus beavatkozási határokat használnak 15%-os kockázati szint mellett n=4 elemű minták számtani átlagára? Mekkora a másodfajú hiba, ha a folyamat N(100,5g; 1,2g)-ra állítódik el? V. Becslés 1. Egy mosóporgyárban az egyik adagolóautomata 500g tömegű mosóport tölt papírdobozokba. A gép által töltött dobozokból vett minta adatai: 483g; 502g; 498g; 496g; 502g; 494g; 491g; 505g; 486g. A gép által töltött tömeg normális eloszlású, 8g szórással. Határozza meg a gép által töltött dobozok tömegének és a tömeg szórásának konfidencia intervallumát 98%-os megbízhatósági szint mellett! 2. Egy vállalatnál 2500 kereskedő dolgozik, s a vállalat szeretné megbecsülni, hogy évente átlagosan hány kilométert autózik egy kereskedő. Korábbi felmérésekből ismert, hogy az egy kereskedő által megtett út normális eloszlású 5000 km szórással. Véletlenszerűen kiválasztva 25 gépkocsit, azt találták, hogy átlagosan km-t futottak egy év alatt. Adjunk 95%-os megbízhatóságú intervallumbecslést a várható értékre! 3. Egy gyártó egy bizonyos instant kávé egy adott napon érvényes kiskereskedelmi árát szeretné felmérni, s ezért országszerte véletlen mintavétellel kiválasztottak 45 boltot. A felmérés után azt találták, hogy a kávé átlagára 1,95 dollár, 27 cent szórással. Adjunk 99%-os becslést a várható értékre! 16

17 4. Egy vezeték nélküli, újratölthető csavarhúzókat gyártó vállalatnál felmérve a csavarhúzók működési idejét, azt normális eloszlásúnak találták. 15 csavarhúzó élettartamát megvizsgálva az átlag működési idő 8900 óra, s a szórás 500 óra. Adjuk meg a várható érték 95%-os konfidencia intervallumát. A cég az új reklámkampányában ki szeretné emelni, hogy a csavarhúzók 99%-a egy adott élettartamnál tovább működik. Maximum mekkora működési időt mondjon, ha nem akarja becsapni a vásárlókat? 5. Egy gépen töltött 2kg-os csomagok súlyának korábban 12,5g volt a szórása. Utóbb egy 20 elemű véletlen mintából 16g szórást kaptunk. Vizsgáljuk meg 5%-os és 1%-os szinten azt, hogy szignifikánsan nőtt-e a szórás? 6. Hesser-rendszerű töltőgépen első alkalommal töltenek 200g névleges tömegű újfajta enzimes mosóport. A töltőgép szórásának meghatározására 25 elemű mintát vettek, amelynek korrigált tapasztalati szórásnégyzete 144g 2. Várhatóan milyen szórással tölthető nagy tömegben a mosópor? 7. Egy kutató laboratórium valamely 6 éves korban beadandó védőoltás dózisának beállításához 100 véletlenül kiválasztott gyermek testsúlyát mérte meg. A testsúly normális eloszlású változónak tekinthető. Testsúly, kg Gyerekek száma, db 15, , , , , Összesen 100 Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal a 6 éves gyermekek várható testsúlyát és a 21 kg-nál súlyosabb gyerekek arányát! 8. Egy csővágó automata gépnek 1200mm hosszú csődarabokat kell levágnia. A gyártásközi ellenőrzés feladata, hogy megállapítsa, hogy a gép által gyártott darabok hosszmérete megfelel-e az előírásoknak. Előző adatfelvételekből ismert, hogy a gép által gyártott csődarabok hossza normális eloszlású valószínűségi változó 3mm szórással. A gyártásközi ellenőrzésre kiválasztottak egy 16 elemű mintát. A csődarabok hossza a mintában: a.) 90%-os megbízhatósági szinten adjon intervallumbecslést a csődarabok hosszának várható értékére! b.) A minta alapján feltételezhető-e (95%-os megbízhatósági szinten), hogy a gép szórása nem haladja meg a korábbi felvételek során kapott értéket? 17

18 9. Egy vállalat szervezetének átvilágításakor 1500 szervezeti alkalmazott közül 225 munkatársat véletlenszerűen kiválasztottak, és több kérdés mellett megkérdezték tőlük, hogy mekkora fizetést tartanának kielégítőnek. A válaszok átlaga havi bruttó 250 ezer forint, 113 ezer forint szórással Becsüljük meg 95 és 99%-os megbízhatósággal, mekkora havi bruttó bérkifizetésre kell a cégnek felkészülnie, ha a kielégítőnek vélt szintet szeretné biztosítani! 10. Minőségellenőrzés keretében vizsgálták egy adott típushoz tartozó elektromos habverők élettartamát. A 120 megfigyelés eredménye: Élettartam (év) Megfigyelések száma (db) 5,0 x<5,5 8 5,5 x<6,0 28 6,0 x<6,5 50 6,5 x<7,0 24 7,0 x<7,5 10 Összesen %-os megbízhatósági szinten adjunk becslést az elektromos habverők élettartamára és az élettartam szórására! Becsüljük meg ugyanekkora szignifikancia szint mellett a 6 évnél hosszabb ideig működő elektromos habverők arányát! 11. Egy nagyvállalat személyzeti osztályvezetője azt gyanítja, hogy különbség van a szellemi és a fizikai dolgozók betegség miatti hiányzása között. A gyanú kivizsgálására véletlenszerűen kiválasztott 45 fizikai és 38 szellemi foglalkozású dolgozót és megvizsgálta az elmúlt egy évben mennyit hiányoztak betegség miatt. A kapott eredményeket az alábbi táblázat mutatja. 90%-os megbízhatósági szinten becsüljük meg a betegség miatti hiányzás várható értékei közötti eltérést. Fizikai Szellemi Mintaszám Átlag 10,4 7,8 Szórás 12,8 5,5 12. Egy új fogászati érzéstelenítő kipróbálására egy rendelőben véletlenszerűen kiválasztottak 10 páciens. 5 a hagyományos érzéstelenítőt kapta, 5 az újat. Kezelés közben megkérték a pácienseket, hogy egy 0-tól 100-ig terjedő skálán értékeljék, hogy mennyire érzik kellemetlennek a kezelést. (A magasabb érték nagyobb kellemetlenséget mutat.) Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza. Becsüljük meg a páciensek két csoportja közötti kellemetlenségi szint várható értékei különbségét 98%-os megbízhatósági szinten! (A kellemetlenségi szint normális eloszlással írható le, mindkét csoportban.) Hagyományos Új Mintaszám 5 5 Átlag 60,33 32,21 Szórás 15,82 12,77 18

19 13. Egy tv műsort néző 400 felnőttből és 600 fiatalból álló mintából az derült ki, hogy 100 felnőttnek és 300 fiatalnak tetszett a műsor. Becsüljük meg 95%-os szinten azon felnőtt és fiatal nézők arányának különbségét, akiknek tetszett a műsor! 14. Egy urnában ismeretlen arányban piros és fehér golyók vannak. Az urnából 60 elemű véletlen visszatevéses mintát véve, a golyók 70%-a bizonyult pirosnak. Határozzuk meg a piros golyók tényleges arányának 95 és 99%-os konfidencia intervallumát! Mekkora mintát kellene vennünk, hogy 95 ill. 99%-osan biztosak lehessünk abban, hogy a tényleges arány nem tér el több mint 5%-al a mintabeli aránytól? 19

20 VI. Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák 1. Egy érmét 200-szor feldobva 115 alkalommal fej 85-ször írás az eredmény. Vizsgálja meg 5%-os szinten azt a hipotézist, hogy az érme szabályos! (α=5%) 2. Egy adott évben az építőipari vállalatoknál bekövetkező halálos balesetek száma a következőképpen alakult: Balesetek száma Vállalatok száma Leírható-e a balesetek száma Poisson-eloszlással? (α=10%) 3. Egy presszó tulajdonosa szerint a különböző erősségű világos sörök közül a hölgyek a gyengébb söröket kedvelik. Sejtésének igazolására felmérést végzett, melynek eredménye a következő táblázatban látható. Igaza van a tulajdonosnak? (α=5%) Sör erőssége Erős Közepes Gyenge Férfi Nő Vizsgáljuk meg, hogy a Tisza Szegednél mért évi maximális vízállásai ugyanazt az eloszlást követték-e között, mint 1926-tól 1975-ig! A méterben megadott adatok az alábbiak (α=10%): Gyakoriság Gyakoriság V < V < V < V < < V

21 5. Egy vállalatnál az átlagos heti túlóra-kifizetéseket vizsgálták. 80 véletlenszerűen kiválasztott dolgozó adatai alapján az átlagos túlórafizetés az alábbi eloszlást mutatja: Heti túlórabér [font] munkások száma T < T < T < T < < T 3 Leírhatók-e a heti-túlórakifizetések normális eloszlással? 6. Egy termelési folyamatban 4 gép működik 3 műszakban. Véletlen mintát véve a hibás termékekből, gépek és műszakok szerint csoportosították őket. Az eredményt az alábbi táblázat mutatja. Műszak Gépek A B C D I II III Van-e kapcsolat a selejtnagysága szerint a gépek és műszakok között? (α=10%) 7. Vizsgálja meg, hogy az alábbi pénzfeldobási kísérlet eredménye tekinthető-e véletlen sorozatnak! (F = fej, I = írás) F,F,I,I,F,F,F,I,I,F,F,F,F,I,I,F,I,F,F,I,I,F,F,F,I 21

22 8. Tekinthető-e véletlenszerűnek az alábbi minta? (A medián alatti és feletti értékek véletlenszerűen váltakoznak.) 14,2 9,6 4,7 9,1 11,3 2, ,5 12,4 7,9 3,6 2,4 8,4 2,5 3,5 25,6 1,5 5,5 4,5 22,1 23,2 2,8 24,8 4,8 10,3 4,1 9,4 4,2 4,6 6,5 9. Egy nagyváros közlekedésbiztonsági osztálya szeretné megvizsgálni, hogy változott-e egy bizonyos balesettípusban okozott kár nagysága az új közlekedési szabályok bevezetése után. Egy forgalmas kereszteződés baleseti statisztikái közül véletlenszerűen kiválasztottak 10-et az új szabály bevezetése előtti és 10-et az utána következő időszakból. Az egy balesetben okozott kár nagyságát az alábbi táblázat mutatja. Vizsgáljuk meg, hogy van-e változás a balesetben okozott kár nagyságát tekintve a szabály bevezetését követően! Kár a szabály bevezetése előtt, [eft] Kár a szabály bevezetése után, [eft] Paraméteres próbák 1. Egy liter A márkájú benzin felhasználásával öt hasonló gépkocsi azonos feltételek mellett 11,5, 12,3, 10,2, 11,7 és 10,8 km-t tettek meg. Ugyanezek az autók a B márkájú benzinnel 10,3, 9,8, 11,4, 10,1 és 10,7 km-t mentek. Vizsgálja meg, hogy az 1l-rel megtehető km-ek számát tekintve az A márka jobb-e, mint a B? 2. Egy szárazelemeket gyártó vállalatnál megvizsgálták egy új típusú elemfajta élettartamát. A korábbi elemek élettartama 299 óra volt. Véletlen mintavétellel kiválasztva 200 új elemet, az átlagos élettartamuk 300 óra volt, 8óra szórással. Valóban megnőtt az elemek élettartama? 22

23 3. Egy betongyárban 4 cementgyárból (A, B, C, D) vásárolnak cementet. A cement minőségét próbakockák gyártásával ellenőrzik. A beérkező 500-as cement szállítmányokból mintát véve a próbakockák nyomószilárdság adatai [kg/cm 2 -ben] az alábbiak: A szállító: 512, 716, 668, 726, 580 B szállító: 516, 664, 614, 586, 590 C szállító: 542, 684, 722, 600, 642 D szállító: 566, 744, 546, 610, 672. Van-e különbség a szállítók között? 4. Kétféle oldat (A és B) ph értékét szeretnénk összehasonlítani. Hatelemű mintát elemezve az A oldatból 7,52-es átlagos ph értéket kaptunk 0,024 szórással. Ötelemű minta alapján a B oldat átlagos ph értéke 7,49 volt 0,032 szórással. Vizsgálja meg, hogy van-e különbség a két oldat ph értékében! 5. Egy fővárosi kerületben a 2000 májusában házasságot kötő párok közül véletlenszerűen kiválasztottak 12 párt, és a párok mindkét tagját külön-külön megkérdezték, hogy hány gyermeket terveznek. Az eredmények a következők (a tervezett gyermekek száma a 12 házaspárnál): Házaspár sorszáma Feleség Férj Vizsgáljuk meg, hogy 5%-os szignifikancia szinten van-e különbség a feleség és a férj által tervezett gyerekszám között! 6. Adott típusú hőmérsékletszabályozók minden egyes darabját biztonsági okokból a gyártóműnél végellenőrzéskor, valamint a megrendelőnél átvételkor ellenőrzik. Az ellenőrzött méret előírása 120±3 C. A megrendelőtől számos reklamáció érkezett a leszállított szabályozók pontosságára vonatkozóan. A gyártómű azt tűzte ki feladatul, hogy megvizsgálja a megrendelő hitelesítő műszerét: nem mutat-e ez olyan pontatlanságot, amely a kapcsolási pontok eltérését okozhatja? A vizsgálat érdekében a gyártó és a megrendelő együttes vizsgálattal darab véletlenszerűen kiválasztott szabályozó értékét műszereivel meghatározta. A mérések eredményei a gyártó műszerén: x gy = 119,8 C; s = 1,54 C gy A megrendelő műszerén: xm = 121,2 C; sm = 1,17 C A műszerek mérési pontossága (eltérése) okozhatja-e a reklamációban jelzett eltéréseket? (α=5%) 7. Az előző példában szereplő hőmérsékletszabályozók minősítésével kapcsolatos vizsgálatokat a gyártó és vevő jelenlétében vett véletlen mintákon végezték, és a méréseket mindkét műszeren azonos személy a KERMI egy szakembere végezte. A vizsgálatsorozat első tíz műszerén végzett mérésének tényleges eredményei az alábbiak voltak (Gy: a gyártó műszerén, M: a megrendelő műszerén mért értékeket mutatja): 23

24 Gy 119,7 117,4 121,0 118,8 122,4 119,0 117,8 118,9 122,7 119,8 M 120,9 119,8 122,4 120,1 123,4 123,6 119,1 118,9 124,5 120,6 Van-e szignifikáns eltérés a két méréssorozat eredményei között 1%-os szignifikancia szinten? 8. Egy automata gépsor által töltött dobozokból 10 elemű mintát veszünk. A mintába került 10 doboz grammban kifejezett töltősúlya a következő: 255g, 242g, 245g, 253g, 249g, 251g, 250g, 255g, 245g, 246g. Ellenőrizzük, hogy a gépsor teljesíti-e a 250g várható értékű specifikációt 1%-os szignifikancia szinten! 9. Két iskolában (A és B) a tanulók intelligencia szintjét hasonlítják össze. Mindkét iskolából fős véletlen mintát vettek. A két minta adataiból a számítások eredményei: x = 117 s x A A B = 18 = 112 sb = 13,4 Vizsgáljuk meg 1%-os szignifikancia szinten, hogy van-e eltérés a két iskola tanulóinak intelligencia szintje között! 10. Egy konzervgyárban két automata tölt lekvárt 0,5 literes üvegekbe. A gyártásközi ellenőrzés során véletlen mintát vettek mindkét gépről. A mintákra vonatkozó eredmények: Gép Mintaelem-szám Átlagos töltési mennyiség, ml Töltési tömeg szórása, ml I ,2 II ,6 Döntse el 5%-os szignifikancia szinten, hogy tekinthető-e azonosnak a két gépen a töltési tömeg szórása és átlaga! 11. Egy kutatás során azt vizsgálták, hogy az üzleti környezetet hogyan ítélik meg az egyes vállalkozások vezetői. A kérdőíves vizsgálat során a vállalkozások mérete alapján 3 csoportba (A, B, C) sorolták a megkérdezett vezetőket, akik válaszait egy 100 pontos skálán értékelték. Az értékelési skálán kapott pontszámok normális eloszlásúnak tekinthetők. A vizsgálat során mindhárom kategóriában 8 vállalkozást kérdeztek meg. 24

25 Vállalkozás méret A. Kis- és B. Közepes C. Nagyvállalatok mikrovállalkozások vállalatok Átlag ,375 4,567 4,342 Korrigált tap. szórás Vizsgálja meg, hogy a vállalatméret szerinti csoportok között van-e eltérés a kapott pontszámok között! 12. Valamely terméket akkor vesz át a vevő, ha a selejtarány legfeljebb 2%-os. Egy nagyobb szállítmányból vett 100 db-ból álló mintában 3 db selejtes terméket találtak. Állítsa fel a hipotéziseket, és tesztelje az előírást 5%-os szignifikancia szinten! Hozzon döntést az átvételt illetően! 13. Egy illatszerboltban 10 nap alatt változatlan minőségű és változatlan árú 460 db szappant adtak el, ebből 138 db volt Amo márkájú. Miután az Amo szappan csomagolását megváltoztatták, újabb 10 napos megfigyelés szerint 400 eladott szappan között 160 db volt Amo márkájú. Állapítsa meg 1%-os szignifikancia szinten, hogy az új csomagolás növelte-e az Amo szappan piaci részesedését! 14. Egy gyorséttermi akció célja, hogy hatására a vásárlók 20%-a vásárolja meg az adott terméket. 350 vásárlót tartalmazó véletlen mintában 65-en megvásárolták a szóban forgó terméket. Ellenőrizzük, hogy sikeresnek tekinthető-e az akció 5%-os szignifikancia szinten! 25

26 Paraméteres és nemparaméteres feladatok 1. Véletlenszerűen kiválasztott 120 db mikrohullámú sütő élettartam szerinti megoszlását mutatja a következő táblázat: Élettartam, év db Összesen 120 A mintából számított jellemzők: x = 6,36év s = 0,67év a) 5%-os szignifikancia szinten ellenőrizze azt az állítást, hogy mikrohullámú sütők élettartama normális eloszlást követ! b) Teljesül-e 5%-os szignifikancia szinten az a minőségi előírás, hogy az élettartam átlaga meg kell, hogy haladja a 6 évet! 2. Egy sörgyártó vállalatnál a sör névleges térfogata 500ml kell, hogy legyen, és a térfogat szórása legfeljebb 10ml lehet. Egy 100 elemű véletlen mintából ellenőrzik a szállítmányt. A minta adatai a következők: Térfogat, ml db Összesen 100 A mintából számított jellemzők: x = 499,1ml s = 12,6ml a) 5%-os szignifikancia szinten tesztelje azt a hipotézist, hogy a betöltött sör térfogat szerinti eloszlása normálisnak tekinthető! b) A minta alapján ellenőrizze az átlagos töltősúlyra vonatkozó hipotézis teljesülését! 26

27 VII. Kétváltozós korreláció- és regresszióelemzés 1. 9 kereskedelmi vállalatnál vizsgálták az árbevétel és az eredmény közötti kapcsolatot. Ismertek továbbá az alábbi részeredmények: Árbevétel Eredmény millió Ft Részeredmények d xd y d 2 x d 2 y ( y ˆ) 2 ( y ˆ ) 2 y y ,5 2135,78 a) Írja fel a lineáris regressziófüggvényt és értelmezze a b1 paramétert! b) Számítsa ki és értelmezze a regressziós becslés relatív hibáját! c) Határozza meg, hogy a bruttó árbevétel hány százalékban magyarázza az eredmény szóródását! d) Vizsgálja meg az eredmény árbevétel-rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze az eredményt! e) Adjon konfidenciaintervallumot 95%-os megbízhatósági szinten az 1000 millió Ft-os árbevételhez tartozó eredmény nagyságára! f) Vizsgálja mindkét tanult módszerrel, hogy a regressziófüggvény szignifikáns-e! elemű minta alapján vizsgálták a Suzuki Sedan 1.3GL típusú gépkocsik életkora és eladási ára közötti kapcsolatot. Életkor (év) Eladási ár (ezer Ft) a) Határozza meg a két ismérv kapcsolatát leíró lineáris regressziófüggvényt! 27

28 b) Számítsa ki a kovarianciát, a lineáris korrelációs együtthatót, a regresszióbecslés relatív hibáját! c) Tesztelje a regressziófüggvényt 5%-os szignifikanciaszinten! d) Becsülje meg a 8 éves gépkocsik eladási árát 95%-os megbízhatósági szinten! 3. Egy egyéni vállalkozó fő tevékenységi körében teherszállítással foglalkozik. Munkájának elemzése során 10 véletlenszerűen kiválasztott fuvar alapján vizsgálta, hogy van-e összefüggés a szállítás időtartama és távolsága között. A megfigyelés eredménye az alábbi táblázatban található:. Szállítási távolság (km) (x) Szállítási idő (perc) (y) a) Határozza meg a két ismérv kapcsolatát leíró lineáris regressziófüggvényt! b) Számítsa ki a lineáris korrelációs együtthatót, a regresszióbecslés relatív hibáját, valamint a becsült paraméterek standard hibáit! c) Számítsa ki a szállítási idő rugalmasságát átlagos szinten! d) Adjon 95%-os intervallumbecsést a β1 regressziós együtthatóra! e) Tesztelje a regressziófüggvényt 5%-os szignifikanciaszinten! f) Becsülje meg a 12 km távolságra történő szállítások átlagos idejét! (95%-os szinten) g) Becsülje meg egy 12 km távolságra történő szállítás menetidejét! (95%-os szinten) 4. Egy farmer a felhasznált műtrágyafajták száma alapján szeretné előrejelezni a várható termésmennyiséget. Felhasznált műtrágya Termés [t/ha] Ismertek továbbá az alábbi részeredmények: Részeredmények Cov(xy) 7,082 s x 2,95 s y 3,42 d 2 x 60,857 (megj.: a szórások korrigálatlan tapasztalati szórások) a) Határozza meg a két ismérv kapcsolatát leíró lineáris regressziófüggvény paramétereit! b) Számítsa ki a lineáris korrelációs együtthatót és a determinációs együtthatót! c) Tesztelje a regressziófüggvényt 5%-os szignifikanciaszinten! d) Becsülje meg 7 fajta műtrágya alkalmazásával a termésmennyiséget 95%-os megbízhatósági szinten! 28

29 VIII. Döntéselmélet Döntés bizonytalan körülmények között 1. Adott az alábbi nyereség típusú döntési mátrix: t 1 t 2 t 3 t 4 s s s s Hogyan döntene bizonytalan körülmények között? 2. Egy vállalkozó automatizált gyártóberendezést kíván importálni. A gép megbízható működéséhez többek között egy kritikus alkatrész hibátlan működése szükséges. A szállító ajánlata szerint a berendezéssel együtt vásárolt tartalék alkatrészek ára: /db. Egy-egy alkatrész utólagos beszerzésének a költsége viszont: /db. A szállító adatai szerint az eddig eladott berendezések üzemeltetése során egy adott berendezés esetén legfeljebb 3 meghibásodás fordult elő. a) Hány tartalék alkatrészt vásároljon a vásárló, ha nincs információja a berendezés megbízhatóságáról? b) Hogyan alakul a vállalkozó döntése, ha megkapja az eddig eladott 231 db. berendezésről készült alábbi meghibásodási statisztikát. Meghibásodott alkatrészek száma Berendezések száma Salvador elhatározta, hogy megtakarított pénzén motelt kíván építeni, de nem tudja még, hogy 20, 30, 40, vagy 50 szobát rendezzen-e be. Az előrelátható költségek a következők: A szobaszámtól független évi költségek: Tereprendezés és közművesítés: peso Feltételezik, hogy az építményeknek és közműveknek 10 évig kell tartaniuk, és a fix költségeket is 10 év alatt írják le, így a kezdeti tereprendezés és közművesítés költségének egy évre jutó hányada: peso. Javítási és karbantartási költségek (fix költségrész) évente: 1500 peso Éjjeli őr évente (járulékos költségekkel): 6000 peso Egy karbantartó évente (járulékos költségekkel): 8000 peso A fix költségek évi összege: peso. 29

30 A szobák számával arányos évi költségek: Építés, közművesítés, a szobák bebútorozása. Egy szoba költsége peso és 10 éven keresztül azonos összeget írnak le. Különböző szobaszámok esetén: 10 szobánként egy alkalmazott: egy alkalmazott évi költsége a járulékos költségekkel együtt 6000 peso Karbantartás és javítások szobánként évi 150 peso Tűzbiztosítás (szobánként évi 25 peso) Összesen A kivett szobák R átlagos számával arányos évi költségek: Mosás, takarítás: 5 peso/nap/szoba Villany, gáz, víz: 5 peso/nap/szoba összesen Szobabér, bevételek Bevétel Ezen számok alapján meghatározták az évi bevételt különböző R és S értékek esetén. A következő táblázat tartalmazza ezeket az értékeket. Nyereség (ezer pesoban kifejezve) S= S=30-168,75 14,25 197,25 380,25 380,25 380,25 S=40-216,5-33,5 149,5 332,5 515,5 515,5 S=50-264,25-81,25 101,75 284,75 467,75 650,75 Ebben a bizonytalan helyzetben Salvador milyen kritériumot válasszon? 30

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát.

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát. 1. feladatsor 1. (a) Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre fennáll, hogy (A B) (A C) = A (B + C)! (b) Sorolja fel a valószínűség-számítás axiómáit! (a) c=? (4) (b) D(ξ)=? (0.4714) { c x 5 (c)

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával Illeszkedésvizsgálat χ -próbával Szalay Krisztina 1. feladat (tiszta illeszkedésvizsgálat) Négy pénzérmét 0-szor feldobunk. A kapott gyakoriságok: fejek száma 0 1 3 4 Összes gyakoriság 5 35 67 41 1 0 Elfogadható-e

Részletesebben

Elemzések a gazdasági és társadalompolitikai döntések előkészítéséhez 27. 2001. július. Budapest, 2002. április

Elemzések a gazdasági és társadalompolitikai döntések előkészítéséhez 27. 2001. július. Budapest, 2002. április Elemzések a gazdasági és társadalompolitikai döntések előkészítéséhez 27. 2001. július Budapest, 2002. április Az elemzés a Miniszterelnöki Hivatal megrendelésére készült. Készítette: Gábos András TÁRKI

Részletesebben

Mérei Ferenc Fıvárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet. Javítási, karbantartási és festési szolgáltatások. Ajánlati dokumentáció

Mérei Ferenc Fıvárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet. Javítási, karbantartási és festési szolgáltatások. Ajánlati dokumentáció AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ Mérei Ferenc Fıvárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet Javítási, karbantartási és festési szolgáltatások TÁRGYÁBAN INDÍTOTT KÖZBESZERZÉSI ELJÁRÁSHOZ NYILVÁNTARTÁSI

Részletesebben

Kétszemélyes négyes sor játék

Kétszemélyes négyes sor játék Kétszemélyes négyes sor játék segítségével lehetővé kell tenni, hogy két ember a kliens program egy-egy példányát használva négyes sor játékot játsszon egymással a szerveren keresztül. Játékszabályok:

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Dr. Göndöcs Balázs, BME Közlekedésmérnöki Kar. Tárgyszavak: szerelés; javíthatóság; cserélhetőség; karbantartás.

Dr. Göndöcs Balázs, BME Közlekedésmérnöki Kar. Tárgyszavak: szerelés; javíthatóság; cserélhetőség; karbantartás. JELLEGZETES ÜZEMFENNTARTÁS-TECHNOLÓGIAI ELJÁRÁSOK 4.06 Javításhelyes szerelés 1 Dr. Göndöcs Balázs, BME Közlekedésmérnöki Kar Tárgyszavak: szerelés; javíthatóság; cserélhetőség; karbantartás. A mai termékek

Részletesebben

Tankönyv-választás. igazgató és tankönyvfelelős kérdőív. A válaszadás önkéntes! Ki válaszol a kérdőívre? 2000. 05... nap... óra...

Tankönyv-választás. igazgató és tankönyvfelelős kérdőív. A válaszadás önkéntes! Ki válaszol a kérdőívre? 2000. 05... nap... óra... iskola sorszáma Ki válaszol a kérdőívre? 1 igazgató, aki nem tankönyvfelelős 2 igazgató, aki tankönyvfelelős is 3 tankönyvfelelős, aki pedagógus 4 tankönyvfelelős, aki nem pedagógus Tankönyv-választás

Részletesebben

Ingatlanvagyon értékelés

Ingatlanvagyon értékelés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanfejlesztı 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Ingatlanvagyon értékelés 2. Számviteli alapok Szerzı: Harnos László

Részletesebben

Statisztika II. BSc. Gyakorló feladatok I. 2008. február

Statisztika II. BSc. Gyakorló feladatok I. 2008. február 1) Egyik felsıoktatási intézmény oktatóitól megkérdezték, hogy milyen intézménytípust tartanának ideálisnak. A megkérdezettek megoszlása a két kérdésre (irányítás és az oktatók teljesítményének értékelése)

Részletesebben

AllBestBid. Felhasználói kézikönyv az AllBestBid online aukciós szolgáltatás használatához. 2016. március DFL Systems Kft.

AllBestBid. Felhasználói kézikönyv az AllBestBid online aukciós szolgáltatás használatához. 2016. március DFL Systems Kft. AllBestBid Felhasználói kézikönyv az AllBestBid online aukciós szolgáltatás használatához 2016. március DFL Systems Kft. Tartalomjegyzék Általános leírás... 2. oldal Regisztráció... 2. oldal Saját árlejtések...

Részletesebben

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐK ÁLTALÁNOS ELŐÍRÁSOK

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐK ÁLTALÁNOS ELŐÍRÁSOK HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐK ÁLTALÁNOS ELŐÍRÁSOK HE 6/1-2005 Az adatbázisban lévő elektronikus változat az érvényes! A nyomtatott forma kizárólag tájékoztató anyag! TARTALOMJEGYZÉK 1. AZ ELŐÍRÁS

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Ajánlatkérési dokumentáció

Ajánlatkérési dokumentáció Ajánlatkérési dokumentáció TiszaSzolg 2004 Kft., mint ajánlatkérı által indított nyílt közbeszerzési eljárásban Konténerszállító gépjármő és konténerszállító pótkocsi beszerzése 2009. október - november

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002. M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy

Részletesebben

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály Megoldások I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika 1. osztály 4. Lackó kezében egy gesztenye van. 5. Kettő. 1 + 1 = 2. 6. Öt. 3 + 2 = 5. 7. Igaz állítás: A), D), E). 2. osztály 1. 6 lehetőség van. Ha ismétel,

Részletesebben

SAJTÓANYAG FELMÉRÉS KÉSZÜLT A MAGYAROK UTAZÁSI SZOKÁSAIRÓL

SAJTÓANYAG FELMÉRÉS KÉSZÜLT A MAGYAROK UTAZÁSI SZOKÁSAIRÓL 2013. március 14. SAJTÓANYAG FELMÉRÉS KÉSZÜLT A MAGYAROK UTAZÁSI SZOKÁSAIRÓL A Magyar Turizmus Zrt. megbízásából kétévente készül reprezentatív felmérés a magyarok utazási szokásairól. A 2012 decemberében

Részletesebben

Gyakorló feladatok Anyagmérnök hallgatók számára

Gyakorló feladatok Anyagmérnök hallgatók számára Gyakorló feladatok Anyagmérnök hallgatók számára. feladat Egy külkereskedelmi vállalat 7 ezer üvegből álló gyümölcskonzerv szállítmányt exportál. A nettó töltősúly ellenőrzése céljából egy 9 elemű véletlen

Részletesebben

2006.9.2. HU Az Európai Unió Hivatalos Lapja. tekintettel a Közlekedési és Idegenforgalmi Bizottság második olvasatra adott ajánlására (A6-0076/2005),

2006.9.2. HU Az Európai Unió Hivatalos Lapja. tekintettel a Közlekedési és Idegenforgalmi Bizottság második olvasatra adott ajánlására (A6-0076/2005), 2006.9.2. HU Az Európai Unió Hivatalos Lapja C 33 E/425 tekintettel az EK-Szerződés 251. cikkének (2) bekezdésére, tekintettel eljárási szabályzata 62. cikkére, tekintettel a Közlekedési és Idegenforgalmi

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Valószín ségszámítás kurzushoz

Gyakorló feladatok a Valószín ségszámítás kurzushoz Gyakorló feladatok a Valószín ségszámítás kurzushoz 1. Kombinatorikus valószín ség 1.1. Két szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószín sége, hogy a. két azonos számot dobunk; b. két különböz

Részletesebben

A tej és tejtermékek közös piacszervezése

A tej és tejtermékek közös piacszervezése A tej és tejtermékek közös piacszervezése Piaci rendtartások az Európai Unióban sorozat része A Magyar Agrárkamara információs kiadványa Az EU mezőgazdasági jogi szabályozásának napi követését elősegítő,

Részletesebben

SZENT ISTVÁN EGYETEM

SZENT ISTVÁN EGYETEM SZENT ISTVÁN EGYETEM A magyar mezőgazdasági gépgyártók innovációs aktivitása Doktori (PhD) értekezés tézisei Bak Árpád Gödöllő 2013 A doktori iskola Megnevezése: Műszaki Tudományi Doktori Iskola Tudományága:

Részletesebben

AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ. Óbudai Egészség Olimpia Szűrőnapok megszervezése

AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ. Óbudai Egészség Olimpia Szűrőnapok megszervezése AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ Óbudai Egészség Olimpia Szűrőnapok megszervezése TARTALOMJEGYZÉK I. ÚTMUTATÓ AZ AJÁNLATTEVŐKNEK 1. A dokumentációban előforduló kifejezések 2. A közbeszerzési eljárás lebonyolításának

Részletesebben

A szabályzat a Pentaquanet Fogyasztói Klub Belépési Nyilatkozat szerves részét képezi. I. Bevezetés

A szabályzat a Pentaquanet Fogyasztói Klub Belépési Nyilatkozat szerves részét képezi. I. Bevezetés Pentaquanet Fogyasztói Klub Szervezeti és Működési Szabályzat A szabályzat a Pentaquanet Fogyasztói Klub Belépési Nyilatkozat szerves részét képezi. I. Bevezetés A Pentaquanet klub elsődleges célja egy

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek Nyilvános televízióműsor-elosztás és nyilvános rádióműsor-elosztás (kábeltévé) szolgáltatás igénybevételére Szélmalom Kábeltévé Zrt. a tagja Szeged Kiskundorozsma, 2011.

Részletesebben

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. : Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Lektor : Alabér, László Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

ÖSSZEFOGLALÓ JELENTÉS

ÖSSZEFOGLALÓ JELENTÉS ÖSSZEFOGLALÓ JELENTÉS a villamossági termékek energiahatékonysági címkézésének piacfelügyeleti ellenırzésérıl Budapest, 2015. május Témafelelős: Vincze Tibor Szűcs Csaba NEMZETI FOGYASZTÓVÉDELMI HATÓSÁG

Részletesebben

SolarHP 43 50 MEGNÖVELT HATÁSFOKÚ, SÖTÉTEN SUGÁRZÓK

SolarHP 43 50 MEGNÖVELT HATÁSFOKÚ, SÖTÉTEN SUGÁRZÓK SolarHP 43 50 MEGNÖVELT HATÁSFOKÚ, SÖTÉTEN SUGÁRZÓK MŰSZAKI INFORMÁCIÓ A SZERELŐ ÉS A FELHASZNÁLÓ SZÁMÁRA 2015.11.17. - 2 - Tartalom 1. Bevezetés... 3 1.1. Általános tudnivalók... 3 1.1.1. A gyártó felelőssége...

Részletesebben

A MŐSZAKI ÜZLETÁG VÁLLALÁSI SZABÁLYZATA

A MŐSZAKI ÜZLETÁG VÁLLALÁSI SZABÁLYZATA Bács Volán Autóbuszközlekedési ZRT. 6500 Baja, Nagy István utca 39. A MŐSZAKI ÜZLETÁG VÁLLALÁSI SZABÁLYZATA Elıkészítette: Ellenırizte: Jóváhagyta: Módosítás száma: 4. Pál Tamás technológus Németh Ferenc

Részletesebben

SZERVEZETI ÉS MŰKÖDÉSI SZABÁLYZAT

SZERVEZETI ÉS MŰKÖDÉSI SZABÁLYZAT SZERVEZETI ÉS MŰKÖDÉSI SZABÁLYZAT Sikéné Pfeiffer Éva igazgató Budapest, 2015. augusztus 24. ~ 1 ~ Tartalom I. Bevezetés, általános rendelkezések... 4 II. Az intézmény alaptevékenységének konkrét leírása...

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ a Társadalmi Megújulás Operatív Program

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ a Társadalmi Megújulás Operatív Program PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ a Társadalmi Megújulás Operatív Program Hátrányos helyzetű célcsoportok foglalkoztatásának támogatása a nonprofit szervezetek foglalkoztatási kapacitásának erősítésével c. könnyített

Részletesebben

IMPEX szelepes baromfi önitató rendszer

IMPEX szelepes baromfi önitató rendszer TART TECH KFT. 9611 Csénye, Sport u. 26. Tel.: 95/310-221 Fax: 95/310-222 Mobil: 30/9973-852 E-mail: tarttech@mail.globonet.hu www.tart-tech.hu IMPEX szelepes baromfi önitató rendszer Szerelési segédlet

Részletesebben

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és

Részletesebben

MPL ÜZLETI CSOMAG FUVAROZÁSI SZOLGÁLTATÁS ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI

MPL ÜZLETI CSOMAG FUVAROZÁSI SZOLGÁLTATÁS ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI MPL ÜZLETI CSOMAG FUVAROZÁSI SZOLGÁLTATÁS ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI 1. ÁLTALÁNOS ADATOK, ELÉRHETŐSÉGEK... 4 2. BEVEZETŐ RENDELKEZÉSEK... 4 3. SZOLGÁLTATÁS BESOROLÁSA... 5 4. IGÉNYBEVÉTELI HELYEK...

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 1. Kombinatorika Valószínűségszámítás 2004.03.01. Készítette: Dr. Toledo Rodolfo 1.1. Tétel. Ha n darab különböző elemet az összes lehetséges módon sorba rendezünk, akkor ezt n! := n (n 1) (n 2) 2 1-féle

Részletesebben

Az önkormányzati intézmények részére integrált szélessávú távközlési szolgáltatás biztosítása

Az önkormányzati intézmények részére integrált szélessávú távközlési szolgáltatás biztosítása AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ Az önkormányzati intézmények részére integrált szélessávú távközlési szolgáltatás biztosítása 2010. november 1 TARTALOMJEGYZÉK I. ÚTMUTATÓ AZ AJÁNLATTEVİKNEK 1. A dokumentációban

Részletesebben

HASZNOS TUDNIVALÓK. a 2016. január 1-től érvényes egyes fixösszegű ellátásokról, adó- és tb-törvények fontosabb változásairól

HASZNOS TUDNIVALÓK. a 2016. január 1-től érvényes egyes fixösszegű ellátásokról, adó- és tb-törvények fontosabb változásairól HASZNOS TUDNIVALÓK a 2016. január 1-től érvényes egyes fixösszegű ellátásokról, adó- és tb-törvények fontosabb változásairól A munkajog területén 2014 2015 2016 Minimálbér (Ft/hó) bruttó összege 101.500,-

Részletesebben

Adótörvények 2016 évi változásaiból

Adótörvények 2016 évi változásaiból Adótörvények 2016 évi változásaiból SZJA 2016.01.01-től az SZJA általános mértéke:16%-ról 15%-ra csökken 2016 évtől kapott jövedelmekre kell alkalmazni először. Egyes külön adózó jövedelmeknél alkalmazott

Részletesebben

KEZELÉSI ÚTMUTATÓ. Explorer 2T-4T

KEZELÉSI ÚTMUTATÓ. Explorer 2T-4T KEZELÉSI ÚTMUTATÓ VEZETŐ ÉS UTASA A motorkerékpár egy vezető és egy utas részére készült, de mindig csak a Magyarországon érvényben lévő jogszabályoknak megfelelően lehet használni. A jármű össztömege

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 17. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 17. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fizika

Részletesebben

MŰSZAKI ISMERETEK. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010

MŰSZAKI ISMERETEK. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 MŰSZAKI ISMERETEK Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 Az előadás áttekintése Méret meghatározás Alaki jellemzők Felületmérés Tömeg, térfogat, sűrűség meghatározása

Részletesebben

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged A kombinatorika másfajta gondolkodást és így a tanár részéről a többi témakörtől eltérő óravezetést igényel. Sok esetben tapasztalhatjuk, hogy

Részletesebben

Tata - Kerékpárút - AF

Tata - Kerékpárút - AF Tata - Kerékpárút - AF Közbeszerzési Értesítő száma: 2012/126 Beszerzés tárgya: Építési beruházás Kivitelezés Hirdetmény típusa: Eljárást megindító felhívás - 121. (1) bekezdés b) pontja/ké/2011.12.30

Részletesebben

Original-Gebrauchsanleitung V1/0116

Original-Gebrauchsanleitung V1/0116 109881 Original-Gebrauchsanleitung V1/0116 H MAGYAR Tartalom 1. Általános információ... 158 2. Biztonsági tanácsok, szabványok, előírások és jogi szabályozások... 159 3. Rendeltetésszerű használat... 159

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek

Általános Szerződési Feltételek Oldalszám: 1. (továbbiakban: ÁSZF) a HHT 98 Hírközlési Hálózat Tervező, Építő és Szolgáltató Korlátolt Felelősségű Társaság (továbbiakban: Szolgáltató) vezetékes műsor elosztás szolgáltatására vonatkozóan.

Részletesebben

Everlink Parkoló rendszer Felhasználói és Üzemeltetési útmutató

Everlink Parkoló rendszer Felhasználói és Üzemeltetési útmutató Everlink Parkoló rendszer Felhasználói és Üzemeltetési útmutató Kiemelt magyarországi disztribútor: LDSZ Vagyonvédelmi Kft. I. fejezet Általános ismertető Az EverLink a mai követelményeket maximálisan

Részletesebben

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1.

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1. Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz

Részletesebben

TRAFIC TRAFIC. www.renault.hu. Renault Hungária Kft. Ügyfélszolgálat: 06 40 200 000 (helyi tarifával hívható)

TRAFIC TRAFIC. www.renault.hu. Renault Hungária Kft. Ügyfélszolgálat: 06 40 200 000 (helyi tarifával hívható) TRAFIC www.renault.hu Renault Hungária Kft. Ügyfélszolgálat: 06 40 200 000 (helyi tarifával hívható) FÉNYKÉPEK: RENAULT COMMUNICATION / DR / R. FALCUCCI, A. BERNIER, C. CUGNY, D. DUMAS, O. BANET, P. CURTET

Részletesebben

I. Az üzemeltető adatai: Név. Ametiszt 92 Bt. Székhely: 1134 Budapest Kassák L. u.61. Adószám: 28288031-2-41. Cégjegyzékszám: 01-06-119695

I. Az üzemeltető adatai: Név. Ametiszt 92 Bt. Székhely: 1134 Budapest Kassák L. u.61. Adószám: 28288031-2-41. Cégjegyzékszám: 01-06-119695 A Gyógygomba webáruház böngészésével és használatával Ön tudomásul veszi a honlap használatára és szolgáltatásaira vonatkozó általános szerződési és felhasználási feltételeket, az adatkezelési feltételeket

Részletesebben

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK?

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? A BGF KKFK Nemzetközi gazdálkodás és Kereskedelem és marketing szakjain a hallgatók tanrendjében statisztikai és matematikai

Részletesebben

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés)

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) 4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) ). A gyártás-előkészítés-irányítás funkcióit, alrendszereit egységbe foglaló (általános gyártási) modellt a 4.1. ábra szemlélteti.

Részletesebben

AJÁNLATI DOKUMENTÁCIÓ

AJÁNLATI DOKUMENTÁCIÓ AJÁNLATI DOKUMENTÁCIÓ Különféle élelmiszer alapanyagok beszerzése az Országos Onkológiai Intézet számára tárgyú nyílt közbeszerzési eljáráshoz 2011/S 249-405945 1 Tisztelt Ajánlattevő! Az Országos Onkológiai

Részletesebben

ÜZLETI JELENTÉS 2011. ÉV. FTSZV Fővárosi Településtisztasági és Környezetvédelmi Kft.

ÜZLETI JELENTÉS 2011. ÉV. FTSZV Fővárosi Településtisztasági és Környezetvédelmi Kft. Fővárosi Településtisztasági és Környezetvédelmi Kft. ÜZLETI JELENTÉS 2011. ÉV FTSZV Fővárosi Településtisztasági és Környezetvédelmi Kft. Budapest, 2012. március 21. Wohner Zsolt Ügyvezető igazgató 1186

Részletesebben

SZERZŐDÉS Vállalkozási Szerződés

SZERZŐDÉS Vállalkozási Szerződés 1 SZERZŐDÉS Vállalkozási Szerződés mely létrejött egyrészről a Fővárosi Önkormányzat Visegrádi Rehabilitációs Szakkórház és Gyógyfürdő ( 2026 Visegrád, Gizella telep) Képviseli: Vogel Ferencné gazdasági

Részletesebben

E.ON ENERGIAKERESKEDELMI KFT. FÖLDGÁZ-KERESKEDELMI ÜZLETSZABÁLYZATA MELLÉKLETEK ÉS FÜGGELÉKEK

E.ON ENERGIAKERESKEDELMI KFT. FÖLDGÁZ-KERESKEDELMI ÜZLETSZABÁLYZATA MELLÉKLETEK ÉS FÜGGELÉKEK E.ON Energiakereskedelmi Kft. Földgáz-Üzletszabályzat Mellékletek és Függelékek 2015. március 04. E.ON ENERGIAKERESKEDELMI KFT. FÖLDGÁZ-KERESKEDELMI ÜZLETSZABÁLYZATA MELLÉKLETEK ÉS FÜGGELÉKEK 2015. március

Részletesebben

A NŐK GAZDASÁGI AKTIVITÁSA ÉS FOGLALKOZTATOTTSÁGA*

A NŐK GAZDASÁGI AKTIVITÁSA ÉS FOGLALKOZTATOTTSÁGA* A NŐK GAZDASÁGI AKTIVITÁSA ÉS FOGLALKOZTATOTTSÁGA* NAGY GYULA A tanulmány a magyarországi gazdasági átalakulás nyomán a nők és a férfiak munkaerőpiaci részvételében és foglalkoztatottságában bekövetkezett

Részletesebben

A DDR 3D Bajnokság célja: Jellege: A DDR 3D Bajnokság rendezői: Helyszínek, időpontok: Korosztályok, javasolt nevezési díjak: Díjazás:

A DDR 3D Bajnokság célja: Jellege: A DDR 3D Bajnokság rendezői: Helyszínek, időpontok: Korosztályok, javasolt nevezési díjak: Díjazás: Dél-Dunántúli Régió 3D Bajnokság Versenyszabályzata 2016 1 A DDR 3D Bajnokság célja: - Magas színvonalú versenyzési lehetőség biztosítása az íjászok számára, - Felkészülési lehetőség a GP, OB és nemzetközi

Részletesebben

Az Egyszerű kvalitatív kísérletek és az egész órás mérési gyakorlatok időzítése, szervezési kérdései!

Az Egyszerű kvalitatív kísérletek és az egész órás mérési gyakorlatok időzítése, szervezési kérdései! Tartalomjegyzék Az Egyszerű kvalitatív kísérletek és az egész órás mérési gyakorlatok időzítése, szervezési kérdései! Egyszerű kvalitatív kísérletek 1. Forog vagy nem? 2. Szívószál-rakéta 3. Itt a golyó

Részletesebben

FENNTARTHATÓ KÖZLEKEDÉSFEJLESZTÉS PEST MEGYÉBEN

FENNTARTHATÓ KÖZLEKEDÉSFEJLESZTÉS PEST MEGYÉBEN FELHÍVÁS FENNTARTHATÓ KÖZLEKEDÉSFEJLESZTÉS PEST MEGYÉBEN A felhívás címe: Fenntartható közlekedésfejlesztés Pest megyében A felhívás kódszáma: VEKOP-5.3.2-15 Jelen dokumentum Magyarország Kormányának felhívása

Részletesebben

1996. évi CXIII. törvény. a lakástakarékpénztárakról. A törvény hatálya. Fogalmak

1996. évi CXIII. törvény. a lakástakarékpénztárakról. A törvény hatálya. Fogalmak 1996. évi CXIII. törvény a lakástakarékpénztárakról Az Országgyűlés annak érdekében, hogy - ösztönözze a lakáscélok saját erőből történő megvalósítását elősegítő előtakarékosságot, - elősegítse a lakásvagyon

Részletesebben

76/2006. (VII.19.) MVH Közlemény

76/2006. (VII.19.) MVH Közlemény 76/2006. (VII.19.) MVH Közlemény a magyar intervenciós készletből származó cukor belső piacon történő értékesítésére vonatkozó folyamatos ajánlattételi felhívás közzétételéről I. Intervenciós készletértékesítés

Részletesebben

B E S Z E R E L É S I É S H A S Z N Á L A T I Ú T M U T A T Ó. Univerzális hangszórós tolatóradar 4 DB LÖKHÁRÍTÓBA SZERELHETŐ SZENZORRAL

B E S Z E R E L É S I É S H A S Z N Á L A T I Ú T M U T A T Ó. Univerzális hangszórós tolatóradar 4 DB LÖKHÁRÍTÓBA SZERELHETŐ SZENZORRAL B E S Z E R E L É S I É S H A S Z N Á L A T I Ú T M U T A T Ó Univerzális hangszórós tolatóradar 4 DB LÖKHÁRÍTÓBA SZERELHETŐ SZENZORRAL A DOBOZ TARTALMA 4 db ultrahangos szenzor, oldható kábeltoldással

Részletesebben

MELLÉKLETEK I II. MELLÉKLET. a következőhöz: A Bizottság felhatalmazáson alapuló rendelete

MELLÉKLETEK I II. MELLÉKLET. a következőhöz: A Bizottság felhatalmazáson alapuló rendelete EURÓPAI BIZOTTSÁG Brüsszel, 2013.12.16. C(2013) 8954 final ANNEXES 1 to 2 MELLÉKLETEK I II. MELLÉKLET a következőhöz: A Bizottság felhatalmazáson alapuló rendelete a 168/2013/EU európai parlamenti és tanácsi

Részletesebben

ESETTANULMÁNY II. A nagyváros és környéke területpolitikai sajátosságai a kistérségi rendszer működése szempontjából. című kutatás

ESETTANULMÁNY II. A nagyváros és környéke területpolitikai sajátosságai a kistérségi rendszer működése szempontjából. című kutatás ESETTANULMÁNY II. A nagyváros és környéke területpolitikai sajátosságai a kistérségi rendszer működése szempontjából című kutatás A program vezetője: Kovács Róbert A kutatás vezetője: Zsugyel János Készítette:

Részletesebben

Cafitesse Excellence Compact USER MANUAL MAGYAR

Cafitesse Excellence Compact USER MANUAL MAGYAR Cafitesse Excellence Compact USER MANUAL MAGYAR Cafitesse Excellence Compact Kezelői kézikönyv Biztonság 2 Az alkatrészek áttekintése 4 Műszaki adatok 6 A gép indítása és tárolása 7 Higiénia és csomagkezelés

Részletesebben

KÖZHASZNÚSÁGI JELENTÉS 2011. ÉV

KÖZHASZNÚSÁGI JELENTÉS 2011. ÉV KÖZHASZNÚSÁGI JELENTÉS 2011. ÉV Alapadatok Alapítvány neve: NÓGRÁD MEGYEI REGIONÁLIS VÁLLALKOZÁSFEJLESZTÉSI ALAPÍTVÁNY Székhelye: 3100 Salgótarján, Mártírok út 1. Alapítás időpontja: 1994. június Módja:

Részletesebben

A határmenti vállalkozások humáner forrás ellátottsága és -gazdálkodása

A határmenti vállalkozások humáner forrás ellátottsága és -gazdálkodása Magyarország-Szlovákia Phare CBC 2003 Program Üzleti infrastruktúra, innováció és humáner forrás-fejlesztés a határ mentén Regionális Vállalkozói Együttm ködés HU2003/004-628-01-21 A határmenti vállalkozások

Részletesebben

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás, 5000 Szolnok, Tiszaligeti sétány ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ A 4/1996. (I. 18.) Korm. rendelet a közgazdasági felsőoktatás alapképzési szakjainak képesítési

Részletesebben

Modellalkotási feladatgyűjtemény

Modellalkotási feladatgyűjtemény Modellalkotási feladatgyűjtemény Az év végi írásbeli vizsgán, a vizsga első részében a teszt mellett minden egy feladatot is fog kapni az alábbiak közül. A feladat megoldása a maximális pontszám eléréséhez

Részletesebben

Tárgy: A Borsod-Abaúj-Zemplén Megyei Kórház és Egyetemi Oktató Kórház élelmezési üzemének működtetésére vonatkozó Vállalkozási szerződés jóváhagyása

Tárgy: A Borsod-Abaúj-Zemplén Megyei Kórház és Egyetemi Oktató Kórház élelmezési üzemének működtetésére vonatkozó Vállalkozási szerződés jóváhagyása Borsod-Abaúj-Zemplén Megyei Önkormányzat Közgyűlésétől, Miskolc 94/2004. (IX. 16.) Kgy. számú határozat Tárgy: A Borsod-Abaúj-Zemplén Megyei Kórház és Egyetemi Oktató Kórház élelmezési üzemének működtetésére

Részletesebben

FAAC / 390 1 FONTOS FIGYELMEZTETÉSEK A TELEPÍTÉSHEZ. Általános biztonsági szabályok

FAAC / 390 1 FONTOS FIGYELMEZTETÉSEK A TELEPÍTÉSHEZ. Általános biztonsági szabályok FAAC / 390 1 FONTOS FIGYELMEZTETÉSEK A TELEPÍTÉSHEZ Általános biztonsági szabályok 1. Figyelem! A FAAC erősen ajánlja az alábbi előírások szó szerinti követését a személyi biztonság érdekében. A termék

Részletesebben

FENNTARTHATÓ KÖZLEKEDÉSFEJLESZTÉSRE

FENNTARTHATÓ KÖZLEKEDÉSFEJLESZTÉSRE FELHÍVÁS FENNTARTHATÓ KÖZLEKEDÉSFEJLESZTÉSRE A felhívás címe: Fenntartható települési közlekedésfejlesztés A felhívás kódszáma: TOP-3.1.1-15 Magyarország Kormányának felhívása a települési önkormányzatok

Részletesebben

A Mezőgazdasági és Vidékfejlesztési Hivatal 2/2015. (I.12.) számú KÖZLEMÉNYE

A Mezőgazdasági és Vidékfejlesztési Hivatal 2/2015. (I.12.) számú KÖZLEMÉNYE A Mezőgazdasági és Vidékfejlesztési Hivatal 2/2015. (I.12.) számú KÖZLEMÉNYE az Európai Mezőgazdasági Vidékfejlesztési Alapból a Gazdálkodói Információs Szolgálat működtetéséhez 2015-ben nyújtott támogatás

Részletesebben

Dr. Saxné Dr. Andor Ágnes Márta. Immateriális javak a számviteli gyakorlatban

Dr. Saxné Dr. Andor Ágnes Márta. Immateriális javak a számviteli gyakorlatban Dr. Saxné Dr. Andor Ágnes Márta egyetemi tanársegéd, Budapesti Corvinus Egyetem Immateriális javak a számviteli gyakorlatban A szerző a SZAKma 2012. novemberi számában a szellemi tőkével kapcsolatos hazai

Részletesebben

Tisztelt Közép/Nagyvállalati Ügyfelünk!

Tisztelt Közép/Nagyvállalati Ügyfelünk! Tisztelt Közép/Nagyvállalati Ügyfelünk! Alaptarifa módosítás 1. Ezúton értesítjük Közép- és Nagyvállalati tarifacsomaggal rendelkező Előfizetőket, hogy kezdeményezzük az Üzleti Általános Szerződési Feltételek

Részletesebben

A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet (12/2013 (III.28.) NGM rendelet által módosítva) szakmai és vizsgakövetelménye alapján.

A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet (12/2013 (III.28.) NGM rendelet által módosítva) szakmai és vizsgakövetelménye alapján. /4 A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet (12/2013 (III.28.) NGM rendelet által módosítva) szakmai és vizsgakövetelménye alapján. Szakképesítés, azonosító száma és megnevezése 54 346 02 Ügyviteli titkár Értékelési

Részletesebben

MINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia

MINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia MINİSÉGSZABÁLYOZÁS A GÉPIPARBAN Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia ISO 9000:2008 A STATISZTIKAI MÓDSZEREK HASZNÁLATÁRÓL A statisztikai módszerek

Részletesebben

MEGBÍZÁSIszERzönÉS. (a továbbiakban együttes említésük során: Felek) kötöttek egymással az alulírott napon és feltétel ekkel.

MEGBÍZÁSIszERzönÉS. (a továbbiakban együttes említésük során: Felek) kötöttek egymással az alulírott napon és feltétel ekkel. MEGBÍZÁSIszERzönÉS amelyet egyrészről a név: Kaposvári Egyetem székhely: 7400 Kaposvár, Guba S. u. 40. képviselő: Prof. Dr. Babinszky László rector intézményazonosító: Fl 27153 adószám: 15329774-2-14 mint

Részletesebben

106/ÁF. ÁTHIDALÓ- ÉS LAKÁSKÖLCSÖN SZERZŐDÉS Általános Feltételek

106/ÁF. ÁTHIDALÓ- ÉS LAKÁSKÖLCSÖN SZERZŐDÉS Általános Feltételek 106/ÁF ÁTHIDALÓ- ÉS LAKÁSKÖLCSÖN SZERZŐDÉS Általános Feltételek 1. A Fundamenta-Lakáskassza Lakás-takarékpénztár Zártkörűen Működő Részvénytársaság (székhely: 1052 Bp. Váci utca 19-21, cégjegyzéket vezető

Részletesebben

HITELESÍTÉSI ELŐ ÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐ K KOMBINÁLT VÍZMÉRŐ K HE 6/3-2004

HITELESÍTÉSI ELŐ ÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐ K KOMBINÁLT VÍZMÉRŐ K HE 6/3-2004 HITELESÍTÉSI ELŐ ÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐ K KOMBINÁLT VÍZMÉRŐ K HE 6/3-2004 FIGYELEM! Az előírás kinyomtatott formája tájékoztató jellegű. Érvényes változata Az OMH minőségirányítási rendszerének elektronikus

Részletesebben

Környezeti elemek védelme II. Talajvédelem

Környezeti elemek védelme II. Talajvédelem Globális környezeti problémák és fenntartható fejlődés modul Gazdálkodási modul Gazdaságtudományi ismeretek I. Közgazdasá Környezeti elemek védelme II. Talajvédelem KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI

Részletesebben

AJÁNLATTÉTELI FELHÍVÁSA ÉS DOKUMENTÁCIÓJA

AJÁNLATTÉTELI FELHÍVÁSA ÉS DOKUMENTÁCIÓJA Gyomaendrőd Város Önkormányzat 5500 Gyomaendrőd, Selyem út 124. AJÁNLATTÉTELI FELHÍVÁSA ÉS DOKUMENTÁCIÓJA Iskolai közétkeztetés színvonalának fejlesztése tárgyú a Kbt. 122./A. szerinti hirdetmény közzététele

Részletesebben

A TATÁRSZENTGYÖRGYI HÉTSZÍNVIRÁG NAPKÖZI OTTHONOS ÓVODA ÉS KONYHA SZERVEZETI ÉS MŰKÖDÉSI SZABÁLYZATA

A TATÁRSZENTGYÖRGYI HÉTSZÍNVIRÁG NAPKÖZI OTTHONOS ÓVODA ÉS KONYHA SZERVEZETI ÉS MŰKÖDÉSI SZABÁLYZATA A TATÁRSZENTGYÖRGYI HÉTSZÍNVIRÁG NAPKÖZI OTTHONOS ÓVODA ÉS KONYHA SZERVEZETI ÉS MŰKÖDÉSI SZABÁLYZATA 2 Tartalomjegyzék I.ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK... 4 I.1. A Szervezeti és Működési Szabályzat célja, jogi

Részletesebben

5/1993. (XII. 26.) MüM rendelet AZ EGÉSZSÉGET NEM VESZÉLYEZTETİ ÉS BIZTONSÁGOS MUNKAVÉGZÉS KÖVETELMÉNYEI. [Az Mvt. 21.

5/1993. (XII. 26.) MüM rendelet AZ EGÉSZSÉGET NEM VESZÉLYEZTETİ ÉS BIZTONSÁGOS MUNKAVÉGZÉS KÖVETELMÉNYEI. [Az Mvt. 21. a munkavédelemrıl szóló 1993. évi XCIII. törvény egyes rendelkezéseinek végrehajtásáról A munkavédelemrıl szóló 1993. évi XCIII. törvényben (a továbbiakban: Mvt.) kapott felhatalmazás alapján - az érintett

Részletesebben

HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ GRILLES MIKROHULLÁMÚ SÜTŐ. Modell: OM-023D

HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ GRILLES MIKROHULLÁMÚ SÜTŐ. Modell: OM-023D HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ GRILLES MIKROHULLÁMÚ SÜTŐ Modell: OM-023D Kérjük, hogy saját biztosnága érdekében az első használat előtt figyelmesen olvassa el ezt a használati útmutatót és őrizze meg! Ha rendeltetése

Részletesebben

AZ ÉLELMISZERPIACI KUTATÓMUNKÁLATOK SZOCIÁLIS VONATKOZÁSAI ÍRTA:

AZ ÉLELMISZERPIACI KUTATÓMUNKÁLATOK SZOCIÁLIS VONATKOZÁSAI ÍRTA: AZ ÉLELMISZERPIACI KUTATÓMUNKÁLATOK SZOCIÁLIS VONATKOZÁSAI ÍRTA: BENE LAJOS A PIACKUTATÁS MUNKAKÖRE. Az emberi haladás jellemző sajátsága, hogy a jólétét egészen közvetlenül érintő kérdésekre legkésőbben

Részletesebben

SGB-45-GG /GR/ SGB-60-GG /GR/ SGB-80-GG /GR/ SGB-120-GG /GR/

SGB-45-GG /GR/ SGB-60-GG /GR/ SGB-80-GG /GR/ SGB-120-GG /GR/ SGB-45-GG /GR/ SGB-60-GG /GR/ SGB-80-GG /GR/ SGB-120-GG /GR/ AUTOMATIKUS MONOBLOKK GÁZ- ÉS OLAJ ALTERNATÍV ÉGŐ GÉPKÖNYV Tüzeléstechnikai Kft. Nyilvántartási szám: 503 / 0095(2) MSZ EN ISO 9001:2001 (ISO

Részletesebben

ELŐTERJESZTÉS. Eplény Községi Önkormányzat Képviselő-testületének 2011. május 12-ei ülésére

ELŐTERJESZTÉS. Eplény Községi Önkormányzat Képviselő-testületének 2011. május 12-ei ülésére ELŐTERJESZTÉS Eplény Községi Önkormányzat Képviselő-testületének 2011. május 12-ei ülésére Tárgy: Beszámoló a Zirc Kistérség Többcélú Társulása Tanács munkájáról Előadó: Fiskál János polgármester Az előterjesztés

Részletesebben

Budapest Főváros X. kerület Kőbányai Önkormányzat Alpolgármestere. I. Tartalmi összefoglaló

Budapest Főváros X. kerület Kőbányai Önkormányzat Alpolgármestere. I. Tartalmi összefoglaló Budapest Főváros X. kerület Kőbányai Önkormányzat Alpolgármestere, 1 ~. számú előterjesztés Előterjesztés a Képviselő-testület részére a "Köztemetés szolgáltatás megrendelése keretszerződés keretében"

Részletesebben

Név:. Dátum: 2013... 01a-1

Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Ezeket a szorzásokat a fejben, szorzótábla nélkül végezze el! 1. Mennyi 3 és 3 szorzata?.. 2. Mennyi 4 és 3 szorzata?.. 3. Mennyi 4 és 4 szorzata?.. 4. Mennyi 5 és 3 szorzata?..

Részletesebben