MATEMATIKA ÉVFOLYAM

Átírás

1 MATEMATIKA ÉVFOLYAM SZERZŐK: Veppert Károlyné, Ádám Imréné, Heibl Sándorné, Rimainé Sz. Julianna, Kelemen Ildikó, Antalfiné Kutyifa Zsuzsanna, Grószné Havasi Rózsa 1

2 1-2. ÉVFOLYAM Gondolkodási, megismerési módszerek 1. osztály A témakörökhöz tartozó tananyag részben tartalmazza a halmaz, logika, illetve a kombinatorika elemeit. Az alsó tagozatban nem tanítunk halmazelméletet, matematikai logikát, illetve kombinatorikát, hanem a számtan, algebra és a geometria, mérés témakörökbe beépítve eszközként használjuk a feladatok megoldásában. Ezért nem önálló fejezetben foglalkozunk ezekkel a területekkel, hanem a többi témakörbe beépítve. Az ide tartozó ismeretek a matematikai szemlélet fejlesztését szolgálják, segítik a tanulókat a fogalmak kialakításában, a köztük lévő kapcsolat felismerésében, saját gondolataik és észrevételeik pontos kifejezésében, mások gondolatainak megértésében. Minthogy a kisgyerek "nem tehet" gondolkodási színvonaláról, fejlesztése a pedagógus felelőssége, ezért e témában nem értékelhetjük teljesítményeiket érdemjegyekkel; az ellenőrzés kizárólagos célja a továbbfejlesztés. Számtan, algebra 1. osztály A téma az első osztály anyagának súlyponti része. A bevezető időszak után (néhány rövid megszakítással) folyamatos tennivalók vannak a téma kidolgozásával A számfogalom-építés menete: előkészítés (összehasonlítás, összemérés); számok bevezetése egyenlőségre (ugyanannyi, ugyanakkora) és sorrendezésre építve, a számok sokféle "neve"; műveletek, számtulajdonságok, számkapcsolatok. Minden továbblépéssel azonban egyúttal mélyül és gazdagszik a megelőző összes tartalom. E témában tehát a "párhuzamos" szerkezet azt jelenti, hogy a határozott menetben feldolgozott ismeretek nem zárulnak le, hanem a továbblépésben építve rájuk a megelőző ismeretek is mélyülnek, teljesednek, gazdagodnak. A továbbfejlesztés alapjai (minimum szint) a.) Számfogalom kialakítása 20-ig - Legyen képes ismert halmaz elemeinek összehasonlítására, szétválogatására adott szempont szerint. - Gyakorlati tevékenységre épülő, az életkornak megfelelő számfogalom használata 20-ig. - A számok jelének ismerete 20-ig: biztonságos olvasása, felismerhető írása. (diktálás után, másolva, saját gondolat kifejezésére;) - A kétjegyű szám bontása 10-nek és egy egyjegyű számnak az összegére - Ismerje fel a páros, páratlan, egyjegyű, kétjegyű számokat Mindenki számára biztosított, de, nem mindenkitől elvárható tanulói teljesítmény - Ismerje fel a tárgyak, személyek, dolgok érzékelhető tulajdonságait, válogasson közös és eltérő tulajdonság alapján. - Számfogalom a 20-as számkörben; biztos számlálás, egyesével, kettesével, mennyiségek megmérése, kimérése - Ismerje a számok számképét, számjegyét. - A számok jelének ismerete: biztonságos olvasása, felismerhető írása. (diktálás után, számlálás, mérés eredményének, saját gondolatnak és műveleteknek a lejegyzésére, mások gondolatának megértésére is); - Páros, páratlan, egyjegyű, kétjegyű szám fogalmának ismerete, helyes használata 2

3 - Ismeri a számok szomszédait, a számok helyét az egyesével beosztott számegyenesen, kirakás megjelenítés után meg tudja állapítani két számról, hogy az egyik nagyobb, mint a másik; b.) Műveletek értelmezése, műveletvégzés - Tudjon összeadást, kivonást tevékenységgel elvégezni, megfogalmazni szóban. - Ki tud számolni összegeket, különbségeket eszközzel (vagy anélkül); ezeket le tudja jegyezni önállóan vagy segítséggel a műveleti jelek és az =, <, > szabályos használatával. Szöveges feladatok, nyitott mondatok - Legegyszerűbb szöveges feladatok nem önálló olvasás alapján történő értelmezése, megoldása tárgyi tevékenységgel, rajzzal, műveletekkel (esetleg tanítói rávezető kérdések alapján). - - Tudjon szóban feleletet adni a kérdésre ( ha kell, segítséggel ) - A számok szomszédainak ismerete. - Tudja a számokat nagyság szerint sorba rendezni, a több, kevesebb, ugyanannyi viszonyt megállapítani a 20-as számkörben. - - Helyesen írja és olvassa a számok összehasonlítását kifejező, jelekkel írt állításokat (pl., hogy a 2 < 7; a 4+8 > 10-1 stb.); - Ismerjen és használjon a számok jellemzésére néhány számtulajdonságot, számkapcsolatot. - Tudja a kéttagú összegeket és a megfelelő különbségeket 20-ig; tudja ezeket lejegyezni a műveleti jelek és az =, <, > szabályos használatával; - Tudja az összeadást és kivonást elvégezni a 20-as számkörben; - Tudja a megismert összefüggéseket alkalmazni, a kidolgozott algoritmust követni. (Számok bontása két szám összegére, pótlás.) - Tudjon egyszerű szöveges feladatokat értelmezni, megoldani tevékenységgel, rajzzal, művelettel - Tudjon válaszolni a feltett kérdésre szóban vagy írásban. - Nyitott mondatokba tárgyak, személyek, dolgok, számok nevének behelyettesítése, az így lezárt állítások igazságának megítélése. Összefüggések, függvények, sorozatok 1. osztály A téma csak felsőbb osztályokban tagolódik altémákra. Alsó tagozaton a cél egységessége és a téma alapozó jellege alapján együtt gondolkodhatunk a részterületeiről (relációkról, függvényekről, sorozatokról). Az ebbe a témakörbe tartozó feladatok feldolgozását eszközként használjuk a számtan, algebra, illetve a geometria, mérés témakörökhöz tartozó fogalmak elmélyítéséhez, a köztük lévő kapcsolatok feltárásához, a számolási rutin és a rugalmas problémamegoldó gondolkodás fejlesztéséhez. 3 Mindenki számára biztosított,

4 A továbbfejlesztés alapjai (minimum szint) Legyen képes egyszerű sorozat képzésére kirakással, rajzzal. - Növekvő és csökkenő számsorozatok felismerésére, folytatásara adott szabály alapján. - A tanuló tudja a több, kevesebb, ugyanannyi, előtte, fölötte, kisebb, nagyobb, ugyanakkora relációkat értelmezni de nem mindenkitől elvárható tanulói teljesítmény - Legyen képes sorozatok folytatására felismert szabály alapján. - Növekvő és csökkenő számsorozatok felismerése, képzése adott szabály alapján. - -Tudjon összetartozó elempárokat keresni egyszerű esetekben. - Tudja a számok bontását táblázatba rendezni. Geometria - mérés 1. osztály A továbbfejlesztés alapjai (minimum szint) - Ismeret szintjén cselekvéssel összekapcsolva egyszerű geometriai válogatásokat segítséggel tudjon végezni (testek, síkidomok). - Érti és helyesen használja a téri viszonyokat kifejező névutókat, a jobbra, balra szavakat. - Jól tájékozódik síkban:táblán, füzetben; Mindenki számára biztosított, de nem mindenkitől elvárható tanulói teljesítmény - Tudja az alakzatok közül a háromszöget, a négyszöget, és a kört felismerni, kiválasztani. - Értse és helyesen használja a magasabb, alacsonyabb, ugyanolyan magas, hosszabb, rövidebb, ugyanolyan hosszú, szélesebb, keskenyebb, ugyanolyan széles, vastagabb, vékonyabb, mélyebb, sekélyebb, nagyobb, kisebb körméretű,... több, kevesebb víz (homok,...) fér bele, ugyanannyi fér bele... kifejezéseket, és az egységgel való méréskor a mérőszámot, mértékegységet. - A térbeli tájékozódást szolgáló legfontosabb kifejezések megértése, helyes használata, helymeghatározás a tanult kifejezések alkalmazásával (pl..alatt, fölött, mellett) - Végezzen a tanuló összehasonlítást, mérést gyakorlati tevékenységgel, a mérési tapasztalatokat próbálja megfogalmazni. Statisztika, valószínűség 1. osztály 4

5 Óraszám: folyamatos, nem válik főtémává az év során. Cél: Felkelteni a mindennapi életből gyűjtött adatok felhasználásával a matematika tanulása iránti érdeklődést. Fejleszteni a változások, összefüggések megfigyelésekor a tapasztalatok megfogalmazásával a szóbeli kifejezőképességet. Felfedeztetni egyszerűbb esetekben az összetartozó adatok közötti kapcsolatokat. Gondolkodási, megismerési módszerek 2. osztály Nem önálló fejezetben foglalkozunk ezekkel a területekkel, hanem a többi témakörbe beépítve. (lásd 1.- évfolyam) A másodikos gyerekek gondolkodásában - tevékenységeik közvetítésével - elindítható a logikai elemek kiépítése. A tárgyakkal, személyekkel, dolgokkal, matematikai fogalmakkal, összességekkel való ismerkedésben összehasonlításokat (azonosítást, megkülönböztetést) végeznek, ezt fejezik ki az elemek kétfelé válogatásával, egy- és kétszempontú sorbarendezésekkel és megfelelő szóbeli megállapításokkal. Az állítások tartalma mindig a gyerekek által közvetlenül érzékelt valóság; igazságértéke a valósággal való összhang szerint dönthető el. Ha azonban egy tulajdonság igaz az adott tárgyra, dologra, fogalomra, akkor a tagadása biztosan nem igaz. Ennek a gondolatnak a kidolgozása tárgyi tevékenységgel (kétfelé válogatással) lehetséges, de így is hosszú, türelmes munkát igényel. A nyitott mondatok kiegészítése igazzá, tévessé önálló feladattá válik, de a fenti gondolat kimunkálásának is eszköze. Számtan, algebra 2. osztály A téma a második osztály anyagának is súlyponti része. A bevezető időszak után (néhány rövid megszakítással) folyamatos tennivalók vannak a téma kidolgozásával. A továbbfejlesztés alapjai (minimum szint) a.) Számfogalom építése a százas számkörben - Legyen képes a tanuló az elemek meg- és leszámlálására egyesével, tízesével, 100- ig - Legyen a tanulónak biztos számfogalma 100-ig. - A számok nevének, jelének ismerete 100- ig: biztonságos olvasása, felismerhető írása. (diktálás után, másolva, saját gondolat kifejezésére;) - Legyen tájékozott a tízes számrendszerben konkrét számok esetében. - Az egyes, tízes fogalmának ismerete. Mindenki számára biztosított, de nem mindenkitől elvárható tanulói teljesítmény - Legyen képes a tanuló halmazok összehasonlítására, meg- és leszámlálására nemcsak egyesével és tízesével a 100-as számkörben. - Készsé g szinten tudja a számok írását, olvasását, nagyságviszonyait. - Tudatosan alkalmazza a számok alakiérték és helyiérték szerinti bontását. - Páros, páratlan, egyjegyű, kétjegyű szám fogal- 5

6 - Ismerje fel a páros, páratlan, egyjegyű, kétjegyű számokat - Találja meg a számok helyét egyesével beosztott számegyenesen. - - Tudja a számokat nagyság szerinti sorba rendezni, (növekvő, illetve csökkenő sorrendben.) - Tudja a tanuló - nagyság szerint összehasonlítani a számokat, és helyesen használni a <> = jelet, - bontani a számokat tízesek, egyesek öszszegére, - megnevezni a számok egyes, tízes, számszomszédit, b.) Műveletek értelmezése, műveletvégzés - Tudja az összeadást, kivonást, szorzást megjeleníteni kirakással, számegyenesen való lépegetéssel. - Készségszinten tudja a két-két szám összegét, különbségét 20-ig; ennek mintájára biztonságosan tudja a kerek tízesek összegét, különbségét. Végezze el az összeadást, kivonást, pótlást eszközhasználat nélkül, vagy ha kell eszközhasználattal a 100-as számkörben; - Tudja munkáját segítséggel ellenőrizni és javítan - A kisegyszeregy és a megfelelő osztási esetek ismerete legalább jártasság szintjén; mának ismerete, helyes használata - Tudja a számokat nagyság szerint sorba rendezni, - Tudja a több, kevesebb, ugyanannyi viszonyt megállapítani a 100-as számkörben. - -Ismerjen és használjon a számok jellemzésére néhány számtulajdonságot, számkapcsolatot (adott számmal való oszthatóság, jegyek száma, adott számhoz képest a szám nagysága stb.) számkapcsolatok értelmezése; számok jellemzése, összehasonlítása, szétválogatása adott tulajdonságok szerint; szám párok keresése adott számkapcsolatokhoz. - Tudja értelmezni az összeadást, kivonást, szorzást, osztást 100-as számkörben; - Készségszinten tudja a teljes kétjegyű és egyjegyű számok összegét és különbségét tízesátlépés nélkül és tízesátlépéssel; - Biztonságosan ki tudja számítani (két lépésre bontva) a teljes kétjegyűek összegét, különbségét; - Tudja munkáját ellenőrizni és javítani. - A kisegyszeregy biztonságos ismerete. - Tudja a kisegyszeregynek megfelelő bennfoglalásokat, részekre osztásokat; látja a kapcsolatot a szorzás és a kétféle osztás között; - Kirakás (eljátszás) után ki tudja számítani az egyszerűbb maradékos osztásokat. - Legyen képes a hiányos műveletek kiegészítésére; ellenőrzésére. - Tudja a tanuló helyesen értelmezni és jártasság szintjén alkalmazni a zárójelet és a műveleti sorrendet, egyszerű esetekben (2 művelet esetén)! - Ismerje fel a számok összegalakját, különbségalakját, kéttényezős szorzatalakját, és hányados alakját. - A matematikai szövegek értő, elemző olvasása. 6

7 Szöveges feladatok, nyitott mondatok - Értsék meg a hallott és az olvasott, egyszerű szöveggel adott helyzeteket: játsszák el, rakják ki, rajzolják le; - írják le számokkal, műveletekkel, jelekkel, más matematikai modellel, ha szükséges segítséggel; - Ismerje a szöveges feladatok megoldásának rövid menetét, a feladatterv készítését és segítséggel tudja azt alkalmazni. - Tudjon egy művelettel leírható egyszerű szöveges feladatot értelmezni, megoldani - A megoldás menetének tudatosítása: megértés: lejátszás, megjelenítés, ábrázolás, átfogalmazás, lejegyzés számfeladattal, nyitott mondattal, számolás, ellenőrzés, eredeti problémára való vonatkoztatás, összevetés az adatokkal, valósággal, a válasz megfogalmazása, lejegyzése. - Tudjon legfeljebb két művelettel leírható egyszerű szöveges feladatot önálló olvasással értelmezni, megoldani. Tudjon a tanuló önállóan megoldani egyszerű nyitott mondatot próbálgatással! Összefüggések, függvények, sorozatok 2. osztály A téma csak felsőbb osztályokban tagolódik altémákra. Alsó tagozaton a cél egységessége és a téma alapozó jellege alapján együtt gondolkodhatunk a részterületeiről (relációkról, függvényekről, sorozatokról). A továbbfejlesztés alapjai ( minimum szint ) - Tudjon a tanuló adott szabályú, állandó különbségű sorozatot folytatni. - A tanuló tudja a több, kevesebb, ugyanannyi, előtte, fölötte, kisebb, nagyobb, ugyanakkora relációkat értelmezni Mindenki számára biztosított, de nem mindenkitől elvárható tanulói teljesítmény - Ismerje fel a tanuló az állandó különbségű sorozat szabályát, és tudja folytatni önállóan! - Legyen jártas egyszerű szabályjátékok megoldásában. - Legyen jártas számok, mennyiségek közti ismert kapcsolatok megjelenítésében nyíljelöléssel, sorba rendezéssel, matematikai jelekkel - Tudjon táblázatot kitölteni adott szabály szerint. Geometria - mérés 2. osztály 7

8 A továbbfejlesztés alapjai (minimum szint) - Ismeret szintjén cselekvéssel összekapcsolva egyszerű geometriai válogatásokat segítséggel tudjon végezni (testek, síkidomok - Alakzatok közül ismerje fel és válassza ki a háromszöget, a négyszöget, és a kört. - Értse és helyesen használja a téri viszonyokat kifejező névutókat, a jobbra, balra szavakat. - Végezzen a tanuló egyszerű méréseket alkalmi és szabvány egységekkel! - Ismerje és segítséggel használja a mérési módokat és az alkalmazott mértékegységeket: m, dm, cm, kg, dkg, l, dl, óra, perc. Mindenki számára biztosított, de nem mindenkitől elvárható tanulói teljesítmény - Tudjon a tanuló geometriai alakzatokat szétválogatni a felismert tulajdonságok alapján! - A térbeli tájékozódást szolgáló legfontosabb kifejezések megértése, helyes használata, helymeghatározás a tanult kifejezések alkalmazásával (pl. alatt, fölött, mellett) - Tudja megválasztani a méréshez a szükséges mérőeszközt - Tudjon méréseket végezni, a méréssel a kapott mennyiségeket összehasonlítani. - Ismerje a m, dm, cm, kg, dkg, l, dl, óra, perc mértékegységeket. - Helyes eszközhasználat. Statisztika, valószínűség 2. osztály Óraszám: folyamatos, nem válik főtémává az év során. Cél: Felkelteni a mindennapi életből gyűjtött adatok felhasználásával a matematika tanulása iránti érdeklődést. Fejleszteni a változások, összefüggések megfigyelésekor a tapasztalatok megfogalmazásával a szóbeli kifejezőképességet. Felfedeztetni egyszerűbb esetekben az összetartozó adatok közötti kapcsolatokat Az első és második évfolyamon a továbbfejlesztés alapjai címszó alatt olvasható elvárások kizárólag tájékoztató jellegűek, mivel az Oktatási Törvény módosítása alapján az első 3 évfolyamon nincs osztályismétlés. (Csak a szülő kérésére.) 8

9 Matematika 3. ÉVFOLYAM Minimum követelmények Számtan-algebra Legyen képes a tanuló a számok, tárgyak halmazának összehasonlítására, rendezésére! Legyen a tanulónak biztos számfogalma 1000-ig! Írja és olvassa a tanuló a számokat helyesen 1000-ig! Ismerje a tanuló - a számok nagyságrendjét, helyi értékét, - az egyjegyű, a kétjegyű és a háromjegyű szám fogalmát, - a számok helyét az egyesével beosztott számegyenes darabon, - a számok tulajdonságait (páros, páratlan)! Tudjon a tanuló egyszerű törtrészeket előállítani tevékenykedéssel! Tudja a tanuló - nagyság szerint összehasonlítani a számokat, és használni a < > = jelet, - bontani a számokat százasok, tízesek, egyesek összegére, - megnevezni a számok egyes, tízes, százas számszomszédit, - kerekíteni a számokat a legnagyobb helyi értékre, - segítséggel alkalmazni a műveleti sorrendet egyszerűbb esetekben (2 művelet)! Optimum követelmények Számtan-algebra Legyen képes a tanuló a részhalmaz és a kiegészítő halmaz elemeinek rendezésére! Legyen a tanulónak biztos számfogalma az 1000-es számkörben! Írja és olvassa a tanuló helyesen a számokat az 1000-es számkörben! Ismerje a tanuló - a számok alaki és valódi értékét is, - a számok közelítő értékét a nem csak egyesével beosztott számegyenes darabon, - a számok tulajdonságait és alkalmazza feladatmegoldásokban (számképzés)! Tudjon a tanuló értelmezni és összehasonlítani egyszerű törtrészeket tevékenykedéssel! Tudja a tanuló - bontani a számokat a különféle alakjaik szerint, - kerekíteni a számokat tízesre, százasra, - önállóan alkalmazni a műveleti sorrendet, nem csak egyszerű esetekben! Készségszinten tudja a tanuló - a szóbeli számolási eljárásokat alkalmazni (összeadás és kivonás 1000-ig az 1 nullára végződő esetekben, két- és háromjegyű számok szorzása egyjegyűvel), - az írásbeli számolási eljárásokat alkalmazni (összeadás és kivonás, szorzás egyjegyűvel)! Tudja a tanuló elvégezni a szóbeli szorzást 10-zel, 100-zal, 1000-rel! Becsülje meg a tanuló a legnagyobb helyiértékre kerekítéssel a műveletek eredményét! 9

10 Minimum követelmények Tudja a tanuló egyszerű nyitott mondatok megoldását próbálgatással! Tudjon a tanuló egy művelettel megoldható, egyszerű szöveges feladatot megoldani! Törekedjen a tanuló a szöveg helyes értelmezésére! Sorozatok, függvények Tudjon a tanuló adott szabályú, állandó különbségű sorozatot folytatni! Geometria-mérés Tudja a tanuló biztosan felismerni a téglalapot és a négyzetet! Ismerje fel a tanuló a téglatestet és a kockát! Végezzen a tanuló egyszerű méréseket alkalmi és szabvány egységekkel! Optimum követelmények Tudjon a tanuló önállóan megoldani egyszerű nyitott mondatot próbálgatással! Tudjon a tanuló két művelettel megoldható, egyszerű szöveges feladatot megoldani! Törekedjen a tanuló a szöveg helyes, önálló értelmezésére! Sorozatok-függvények Ismerje fel a tanuló az állandó különbségű sorozat szabályát, és tudja folytatni önállóan! Geometria-mérés Jellemezze a tanuló a téglalapot és a négyzetet! Jellemezze a tanuló a főbb tulajdonságaival a téglatestet és a kockát (lap, párhuzamos, merőleges)! Végezzen a tanuló önállóan át-és beváltásokat a gyakorlati mérésekhez kapcsolódva! Minden témára vonatkozó követelmény: A tanuló értse a matematika szaknyelvét, és törekedjen a használatára! Értse és használja a tanuló a matematika szaknyelvét! Matematika 4. ÉVFOLYAM 10

11 Minimum követelmények Számtan-algebra Legyen a tanulónak biztos számfogalma ig! Írja és olvassa a tanuló helyesen a számokat ig! Ismerje a tanuló - a számok nagyságát, - a számjegyek különféle értékeit (alaki, helyi, valódi érték), - a számok bontott alakját és tulajdonságait! Optimum követelmények Számtan-algebra Legyen a tanulónak biztos számfogalma a es számkörben! Írja és olvassa a számokat helyesen a es számkörben! Tudjon a tanuló számokat képezni a számok különféle tulajdonságainak ismeretében! Rendezze a tanuló a számokat növekvő vagy csökkenő sorrendbe! Nevezze meg a tanuló a számok egyes, tízes, százas és ezres számszomszédit! Kerekítse a tanuló a számokat tízes, százas és ezres értékekre, egyszerű esetekben! Találja meg a tanuló a számok helyét az egyes beosztású számegyenes darabon! Állítson elő a tanuló egységtörteket az egység egyenlő részekre osztásával (rajz, tevékenység)! Tudja a tanuló helyesen értelmezni és alkalmazni a zárójelet és a műveleti sorrendet, egyszerű esetekben (2 művelet esetén)! Ismerje és alkalmazza a tanuló a számszomszédok megnevezésében és a kerekítésben a határeseteket és a szabályszerűségeket! Találja meg a tanuló a számok közelítő helyét a nem csak egyes beosztású számegyenes darabon! Jelenítse meg és nevezze meg a tanuló az egységtörtek többszöröseit! Tudja a tanuló helyesen értelmezni és alkalmazni a zárójelet és a műveleti sorrendet, több művelet esetében is! Tudja a tanuló a szóbeli és az írásbeli számolási eljárásokat alkalmazni a négy alapművelet esetében! Szóban: - összeadás, kivonás, szorzás és osztás a kerek számok körében. Írásban: - összeadás és kivonás négyjegyű számokkal - szorzás kétjegyűvel, - osztás egyjegyűvel. Használja a tanuló az írásbeli műveletvégzés során eszközként a becslést és az ellenőrzést! 11

12 Minimum követelmény Tudja a tanuló egyszerű nyitott mondat igazsághalmazának megnevezését véges alaphalmazon, segítséggel! Tudja a tanuló egyszerű, egy művelettel megoldható szöveges feladat megoldását a tanult és begyakorolt algoritmusok alapján! Törekedjen a tanuló a szöveg helyes értelmezésére! Sorozatok és függvények Tudjon a tanuló adott szabály alapján sorozatot folytatni! Geometria, mérések Ismerje a tanuló a síkban és a térben a geometriai alakzatokat! (téglalap, négyzet, téglatest, kocka) Tudjon a tanuló geometriai alakzatokat előállítani tevékenységgel, tanítói segítséggel! Ismerkedjen a tanuló a vonalzó használatával! Optimum követelmény Tudja a tanuló egyszerű nyitott mondat megoldását önállóan! Tudja a tanuló összetett szöveges feladat megoldását a tanult és begyakorolt algoritmusok alapján! Törekedjen a tanuló a szöveg önálló, helyes értelmezésére! (adatok, kérdés kiemelése, összefüggések megfogalmazása) Sorozatok, függvények Ismerje fel és fogalmazza meg a tanuló sorozat szabályát és tudja folytatni a sorozatot! Geometria, mérések Tudjon a tanuló geometriai alakzatokat szétválogatni a felismert tulajdonságok alapján! Tudjon a tanuló geometriai alakzatokat előállítani tevékenységgel, önállóan! Használja a tanuló egyre nagyobb biztonsággal a vonalzót! Legyen gyakorlott a tanuló az alkalmi és a szabvány egységekkel történő mérésekben! Legyen gyakorlott a tanuló az egyszerű át-és beváltásokban a különböző mértékrendszerekben, a gyakorlati mérésekhez kapcsolódva! Ismerje a tanuló a kerület és a terület fogalmát! Legyen gyakorlott a tanuló az át-és beváltásokban a különböző mértékrendszerekben, felidézés nyomán! Tudjon a tanuló méréseket és számításokat végezni a kerület- és a terület megállapítására! Minden témára vonatkozó követelmény: Értse a tanuló a matematika szaknyelvét, és törekedjen a használatára! Értse és használja a tanuló a matematika szaknyelvét! 12

13 Matematika 5-8. OSZTÁLY Gondolkodási módszerek 5. osztály Témakör Matematika tanulási módszereinek megismerése. Szabályosságok felismerése. Összehasonlításhoz, viszonyításhoz szükséges kifejezések értelmezése, használata. Konkrét dolgok adott szempont szerinti rendezése, rendszerezése. A biztos, a lehetséges és a lehetetlen fogalma. A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - A matematika tanulási módszereinek megismerése.(olvasott tankönyvi szöveg feldolgozása, lényeg kiemelése, kapcsolatok felismerése, lejegyzése egyszerű szimbólumokkal, házi feladatok célszerű elkészítési módjai) - Könyvtárhasználat, informatikai eszközök használata. - Szabályosságok felismerése. Szabályok alkalmazása, adott szabályokhoz halmazok, sorozatok képzése. - Összehasonlításhoz szükséges kifejezések értelmezése, használata (pl.: egyenlő; kisebb; nagyobb; több; kevesebb; legalább, legfeljebb; nem; és; vagy; minden, van olyan). - Konkrét dolgok adott szempont(ok) szerinti rendezése, rendszerezése. - Néhány elem sorba rendezése. - A biztos, a lehetséges és a lehetetlen fogalma konkrét példákon keresztül Változatos tartalmú szövegek értelmezése, készítése. - Tananyag önálló feldolgozása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata nem csak matematikai tartalmú állításokban.

14 Témakör Természetes számok, műveletek a természetes számok körében Számok írása-olvasása tízes számrendszerben, helyi érték és mértékegység táblázatok, át és beváltás (hosszúság, idő, tömeg és űrtartalom), szorzás-osztás tíz hatványaival. Kerekítés, kerekített érték meghatározása, arányossági következtetések. Szorzás-osztás szóban és írásban. A nulla a szorzásban és osztásban. Osztás kétjegyűvel, becslésselvisszaszorzással. Műveletek sorrendje az alapműveletek körében. A zárójel szerepe. Egész számok A természetes számok körének kiterjesztése az egész számokkal. A negatív szám értelmezése. A derékszögű koordináta-rendszer. Ellentett, abszolút érték értelmezése. Az alapműveletek értelmezése az egész számok körében. Szorzás, osztás természetes számmal. Nyitott mondatok. Számtan, algebra 5. osztály A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - - tanult számok helyes leírása, olvasása, számegyenesen való ábrázolása, két szám összehasonlítása. - Alaki érték, helyi érték fogalmának ismerete. - A tízes számrendszer biztos ismerete. - Összeadás, kivonás, szorzás, kétjegyűvel való osztás a természetes számok körében. - Helyes műveleti sorrend ismerete a négy alapművelet esetén. - Egyszerű szöveges feladatok megoldása következtetéssel. - Negatív számok fogalma és modelljei, ábrázolásuk számegyenesen, összehasonlításuk. - Pontok ábrázolása derékszögű koordináta-rendszerben. - Ellentett és abszolút érték fogalma. - Összeadás-kivonás eszközök segítségével, szorzás, osztás természetes számmal. - Egyszerű negatív számokhoz is kapcsolódó szöveges feladatok megoldása 14 - Osztó, többszörös fogalmak mélyítése. - Közelítő számlálás, közelítő mérés. - Több megoldás keresése, lehetséges megoldások száma. - Kettes alapú számrendszer. - Műveleti tulajdonságok megfigyelése, azonosságok megfogalmazása. - Egyszerű elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása következtetéssel, lebontogatással, ellenőrzés behelyettesítéssel. - Összeadás-kivonás eszköz segítsége nélkül. - Szorzás, osztás negatív számokkal. - Műveletekhez szöveges feladat megadá-

15 Törtek Számkör bővítése, törtfogalom megalapozása. Törtek kétféle értelmezése. Törtek többféle alakja, összehasonlítása Törtek ábrázolása számegyenesen. Összeadás-kivonás, szorzás természetes számmal, osztás pozitív egész számmal. Egyszerűsítés-bővítés Mennyiségek törtrészének kiszámítása. Tizedes törtek Tizedes törtek értelmezése, írása, olvasása, elhelyezése helyi érték táblázatban. Tizedes törtek összeadása, kivonása Tizedes törtek szorzása, osztása kerek tízesekkel. Tizedes törtek szorzása, osztása természetes számokkal. Mértékegység átváltások tizedes törtek körében. - Tört elnevezései, jelentése, törtek kiolvasása, írása - Törtek átírása többféle alakban (öszszegalak, vegyes szám alak, tizedes tört alak, stb.) - Törtek ábrázolása modellen, számegyenesen. - Egyjegyű nevezőjű pozitív törtek öszszeadása és kivonása két tag esetén, az eredmény helyességének ellenőrzése. - Tört szorzása, osztása pozitív egész számmal két tényező esetén. - Egyszerűsítés, bővítés egyszerűbb esetekben. - Egyszerűbb törtrészek (egy ketted, egy harmad, stb.) kiszámítása. - Tizedes törtek írása, olvasása, ábrázolása számegyenesen, összehasonlítása. - Tizedes törtek összeadása, kivonása, az eredmény becslése. - A tizedes törtek szorzása, osztása 10- zel, 100-zal, 1000-rel. - Tizedes törtek szorzása, osztása természetes számokkal. - Mértékegység átváltások kisebb és nagyobb mértékekkel is. sa. - Negatív törtek ismerete. - Többjegyű nevezőjű törtek összeadása és kivonása több tag esetén. - Szorzás, osztás egész számmal, összetett műveletek elvégzése. - Kétjegyű nevezőjű törtek bővítése, egyszerűsítése. - Egyszerűbb oszthatósági szabályok felismertetése. - Összetettebb törtrész kiszámítása. - Tizedes törtek átírása törtalakba. - Közelítő számítások, mérések, kerekítések - Átlagszámítás 15

16 Összefüggések, függvények, sorozatok 5. osztály Témakör Számegyenes, szám-intervallumok ábrázolása. Helymeghatározás. A Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer. Változó mennyiségek közötti kapcsolatok. Sorozatok. A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - Számegyenes, szám-intervallumok ábrázolása, kisebb, nagyobb, legalább, legfeljebb kifejezések értelmezése, jelölése, ábráról való leolvasása. - Helymeghatározás a környezetünkben, becsléssel, méréssel egybekötve. - Biztos tájékozódás a számegyenesen és a koordináta-rendszerben. - Értsék az első, második jelzőszám vagy x, y koordináta szavakat. - Tudjanak pontok koordinátáit leolvasni, illetve adott számpárokat ábrázolni a derékszögű koordináta-rendszerben. - Táblázatok, grafikonok értelmezése, az ábra alapján mennyiségek közötti összefüggés megkeresése, lejegyzése. - Egyszerű szabállyal megadott sorozat folytatása. - Néhány elemmel (elempárral) megadott sorozathoz lehetséges szabály keresése. - Összetartozó számpárok keresése, ábrázolása. - Táblázatban, grafikonon összefüggések keresése. - Táblázathoz grafikon, grafikonhoz táblázat készítése. - Sorozat megadása a képzés szabályával és néhány elemével konkrét példákon keresztül. - Több megoldás keresése. 16

17 Geometria, mérés 5. osztály Témakör A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) Geometriai alapfogalmak. - Geometriai alapfogalmak: pont, egyenes, félegyenes, szakasz meghatározása és jelölése. Pont és egyenes távolsága. - Pont és egyenes távolságának meghatározása. Egyenesek kölcsönös helyzete. - Két egyenes kölcsönös helyzete a síkban, felismerése és a köztük lévő távolság meghatározása. Párhuzamosság és merőlegesség fogalma, - Párhuzamos és merőleges rajzolása szemléltetése. vonalzó segítségével. A szög. - Szög fogalma, fajtái, felismerése, szög mérése, szögmérő használata. Síkidomok, sokszögek. - Síkidomok, sokszögek szemléletes fogalma, felismerése, tulajdonságok vizsgálata. Konvex, konkáv síkidomok. - Konvex, konkáv síkidomok, sokszögek felismerése. Szabályos sokszögek - Szabályos sokszögek fogalma és tulajdonságai. Háromszögek, négyszögek. - Négyszögek, háromszögek és tulajdonságaik. Négyzet és téglalap. - Négyzet, téglalap fogalma és tulajdonságainak ismerete. Testek építése. - Különböző testek építése, tulajdonsá Térelemek kölcsönös helyzetének felismerése. - Adott tulajdonságú ponthalmazok keresése és rajzolása. - Síkidomok, sokszögek halmazábrába elhelyezve. - Gömb szemléletes fogalma - Háromszögek csoportosítása oldalak szerint. - Egységnégyzetekből kirakható, adott területű téglalapok építése.

18 Testeknél használt kifejezések. Testek hálója. Testek felszíne, térfogata. A kocka és a téglatest hálója. Alapszerkesztések Háromszögek szerkesztése. Négyzet és téglalap szerkesztése. Sokszögek kerülete, területe. Háromszög kerülete. Négyzet és téglalap kerülete, területe. Kocka és téglatest felszíne, térfogata. Mértékegység átváltások. gaik vizsgálata. - Lapok, élek, csúcsok fogalma, felismerése. - A testek hálója, felszín és térfogat szemléltetése gyakorlati példákon keresztül. - Testek csoportosítása adott tulajdonságok alapján. - A kocka és a téglatest hálójának szerkesztése. - Alapszerkesztések: szakaszfelezés, szögfelezés, egyenes adott pontján áthaladó merőleges rajzolása vonalzó segítségével, szögmásolás ismerete. - Háromszög szerkesztése három oldalból. - Négyzet és téglalap szerkesztése az oldalak megadásával. - Sokszögek kerületének meghatározása méréssel, terület meghatározás kirakással. - Háromszög kerületének kiszámítása. - Négyzet és téglalap kerületének, területének kiszámítása különböző mértékegységben megadott adatokkal. - Kocka és téglatest felszínének, térfogatának kiszámítása különböző mértékegységekkel.. - Hosszúság, terület, térfogat, idő tömeg mértékegységeinek ismerete, átváltása pozitív egész számok körében. - -Egységkockákból kirakható, adott térfogatú téglatestek építése és felszínének, térfogatának kiszámítása. - Alapszerkesztések alkalmazása szerkesztési feladatokban os szög szerkesztése, egyeneshez külső pontból merőleges szerkesztése. - Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazása. - Kerületből, területből az oldalak kiszámítása. - Mértékegység átváltások tizedes tört alakban megadott adatokkal. 18

19 Valószínűség, statisztika 5. osztály Témakör A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) Valószínűségi játékok és kísérletek. Adatok tervszerű gyűjtése, rendezése. - A kísérlet lehetséges kimeneteleinek összegyűjtése, a megfigyelt események osztályba sorolása. - A biztos és a lehetetlen események felismerése egyszerű esetekben. - Adatok gyűjtése, rendszerezése táblázatban, ábrázolása grafikonon. - Oszlopdiagram készítése. - Adatok rendszerezése, ábrázolása többféle módon (kördiagram, sáv diagram, stb.) - Egyszerű grafikonok értelmezése, elemzése. Átlagszámítás. - Átlagszámítás néhány adat esetén. - Két szám számtani közepének meghatározása. Gondolkodási módszerek 6. osztály Témakör Az 5. osztályban megkezdett munka továbbfejlesztése. Matematikatörténeti érdekességek. Megoldások megtervezése, eredmények előre becslése, ellenőrzése. A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - Matematikai modellek felismerése - A nyelv logikai elemeinek helyes használata. - Összetettebb szövegek közös feldolgozása, értelmezése. - Gondolatmenet megtervezése, a terv követése, ellenőrzés. - Különbözőképpen megfogalmazott feladatokban a közös matematikai gondolat felfedezése. - Fordított irányú okoskodás Egyszerű, matematikai módszerekkel is értelmezhető szituációk megfogalmazása szóban és írásban.

20 Állítások igazságának eldöntése. - Igaz-hamis állítások megfogalmazása, eldöntése. - Állítások igazságának eldöntése, egyszerű érvelések. Rendszerezés, kombinativitás Halmazszemlélet fejlesztése - Kombinatorikai feladatok megoldása az összes esetek leszámolásával. Kirakosgatással. - Halmazábra készítése, közös rész és egyesített rész alkalmazása feladatokban. Számtan, algebra 6. OSZTÁLY - Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása tervszerű próbálgatással és következtetéssel. Témakör Egész számok Egész számokról tanultak ismétlése. Alapműveletek az egész számok körében. Műveletek sorrendje. Racionális számok Racionális számok értelmezése, ábrázolásuk számegyenesen. Műveletek racionális számkörben: az eddig tanultak kibővítve a törttel való szorzással és osztással. Műveletek rendszerezése a racionális szám- A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - Az 5. osztályos követelmények - Egész számok összeadása-kivonása nagyobb számok körében, egész számok szorzása, osztása negatív számmal is - Többtényezős szorzat előjele. - -A hányados előjele. - Racionális számhalmaz és helyük a számegyenesen. - Törtek felírása tizedes tört alakba, tizedest törtek felírása tört alakba, egyszerűbb esetekben. - A reciprok érték fogalma. - Szorzás-osztás törttel. - Szorzás-osztás tizedes törtalakú számmal. - Alapműveletet és zárójeleket is tartalmazó összetett feladatok Egyszerű nyitott mondatok megoldása próbálgatással, lebontogatással. - Összetett, többműveletes feladatok megoldása. - Racionális számok felírása sokféle alakban. - -A tört, mint hányados. - Műveleti tulajdonságok: kommutativitás, disztributivitás, asszociativitás.

21 körben. Műveleti tulajdonságok. Arány, arányosság Arány, arányosság fogalma. Arányos osztás. Arányossági következtetések - A helyes műveleti sorrend. - törtrész kiszámítása egészből, az egészrész kiszámítása törtrészből következtetéssel. - Arány és arányosság közötti különbség. - Arányos osztással kapcsolatos feladatok egyszerűbb esetekben. - Valóságos viszonyok becslése térkép alapján, térkép olvasása, készítési elvének megértése. - törtrész kiszámítása egészből, az egészrész kiszámítása törtrészből a törttel való szorzással-osztással. - Mennyiségek arányos szétosztása. - Összefüggő mennyiségek közötti kapcsolat ábrázolása. Összetartozó értékpárok vizsgálata, ábrázolása derékszögű koordináta-rendszerben. Az egyenes arányosság A fordított arányosság. Százalékszámítás A százalék fogalma, alap, százalékláb, százalékérték. Százalékérték kiszámítása. - Egymással összefüggő értékpárok vizsgálata. - Egyenes arányosság fogalma és tulajdonságai, grafikonja, felismerése gyakorlati jellegű feladatokban. - Egyenes arányos mennyiségek ismeretlen értékeinek meghatározása következtetéssel. - Fordított arányosság fogalma, grafikonja és tulajdonságai. - Fordítottan arányos mennyiségek ismeretlen értékeinek meghatározása következtetéssel. - A százalék fogalma. - Tört, arány, százalék kapcsolata. - A százalékérték kiszámítása következtetéssel, szorzással. - Szöveges feladatok, százalékérték kiszámítására is Összetett arányossági feladatok. - Nyitott mondatok - Százalékalap és százalékláb kiszámítása. - Összetett feladatok a százalékérték kiszámítására Szöveges feladatok. (áremelés-árcsökkenés) Oszthatóság - Osztható,osztó, többszörös fogalma. - Összetett oszthatósági szabályok.

22 Osztható, osztó, többszörös fogalma. Egyszerű oszthatósági szabályok utolsó jegyből utolsó két jegyből, számjegyek öszszegéből. Prímszám és összetett szám. Számok prímtényezős felbontása. Közös osztók, közös többszörösök, a legnagyobb közös osztó, a legkisebb közös többszörös. Egyenletek, egyenlőtlenségek Nyitott mondatok: alaphalmaz, igazsághalmaz, azonosság. Egyszerű, elsőfokú egyenletre vezető szöveges feladatok megoldása következtetéssel. Egyenlet megoldásának lépései, mérlegelv előkészítése. - Oszthatóság 2-vel, 5-tel, 10-zel. - Oszthatóság 4-gyel, 25-tel - Oszthatóság 3-mal, 9-cel. - Oszthatósági szabályok alkalmazása. - Törtek egyszerűsítése, bővítése a tanult szabályok alkalmazásával. - Prímszámok, összetett számok felismerése, prímszámok felsorolása legalább 30-ig. - Számok felbontása prímtényezőkre. - Közös osztók és közös többszörösök, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös megkeresése kicsi számok körében. - Nyitott mondatok megoldása a racionális számkörben. - -Elsőfokú egy ismeretlenes egyenletre vezető szöveges feladatok megoldása következtetéssel (fordított irányú okoskodással, ábrarajzolással). - Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása tervszerű próbálgatással, lebontogatással. - Művelet és fordított művelet megfigyelése. - Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása mérlegmodellel. - A megoldások ábrázolása számegyenesen, a feladatok megoldásának értelmezése, ellenőrzése. - Egyenletek megoldása Pozitív egész kitevős hatvány fogalma konkrét példákon keresztül. - Összes osztó megkeresése a prímtényezős felbontásból. - A valóságból vett problémák matematikai leírása, a megoldás értelmes ellenőrzése, a megoldhatóság feltételeinek vizsgálata. Hiányos, felesleges feltételeket, ellentmondó adatokat tartalmazó feladatok. Megoldási terv készítése.

23 Összefüggések, függvények, sorozatok 6. osztály Témakör Az 5. osztályban tanultak további bővítése. Változó mennyiségek közötti kapcsolatok, ábrázolásuk derékszögű koordinátarendszerben. Sorozatok. A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - A gyakorlati életből vett egyszerű példákban a kapcsolatok felismerése, lejegyzése, ábrázolása. - Adatok leolvasása táblázatból, grafikonról, összetartozó értékpárok felismerése. - Számegyenesen, koordinátarendszerben való tájékozódás, műveletvégzés. - Tengelyes tükrözés alkalmazása a koordináta-rendszerben. - Egyenes-, és fordított arányosság grafikonjának ábrázolása derékszögű koordináta-rendszerben. - Ismert szabály alapján ismeretlen elemek meghatározása, illetve ismert elemek esetén szabály(ok) megfogalmazása. - Függvényekkel, relációkkal kapcsolatos ismeretek alapozása. - Elemeivel adott relációk értelmezése, előállítása. - Arányosságok tulajdonságainak vizsgálata. Témakör Alakzatok, síkidomok, sokszögek. Az 5. osztályban tanultak ismétlése, rendsze- Geometria 6. osztály A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - Geometriai alapfogalmak biztos ismerete. 23

24 rezése. -A kör és részei. Háromszögek, négyszögek csoportosítása. Alapszerkesztések Szerkesztés lépései. Háromszögek szerkesztése. -Négyszögek szerkesztése. Geometriai transzformáció Szimmetria a mindennapi életben. Tengelyes tükrözés. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok. - A kör, körrel kapcsolatos fogalmak, jelöléseik (sugár, átmérő, húr, szelő, érintő, körcikk, körszelet). - Háromszögek csoportosítása oldalak és szögek szerint. - Négyszögek tulajdonságai és fajtái. - Alapszerkesztések biztos tudása: szakaszfelező merőleges szerkesztése, szögfelezés, 60 -os szög szerkesztése, szögmásolás, egyenes adott pontjába merőleges szerkesztése, külső pontból merőleges szerkesztése az egyeneshez. - Szerkesztési feladatok lépései: vázlatkészítés, adatok felvétele, szerkesztés lépéseinek lejegyzése, szerkesztés, megoldhatóság vizsgálata. - Háromszög szerkesztése: oldalakból és szögekből egyszerű esetekben. - Négyzet, téglalap szerkesztése. - Tükrös négyszögek szerkesztése egyszerű esetekben. - Egyszerű transzformációk felismerése, előállítása hajtogatással, képek, rajzok felhasználásával. - Szimmetriák felismerése a gyakorlati életből vett példákban. - -A tengelyes tükrözés és tulajdonságai. - Tengelyes tükörkép megszerkesztése (pont, egyenes, szakasz, síkidomok) - Tengelyesen szimmetrikus alakzatok 24 - Tengelyek felvétele és tükörkép megszerkesztése különböző módon.

25 Sokszögek kerülete. Háromszögek kerülete. A derékszögű háromszög területe. Négyzet és téglalap kerülete, területe. Kocka és téglatest felszíne, térfogata. Testek nézetei. Testek építése. felismerése, tengelyek berajzolása. - Sokszögek kerülete méréssel. - Háromszögek kerülete képlet alapján. - A derékszögű háromszög területének kiszámítása. - Négyzet, téglalap kerülete és területe képlet alapján. - Kocka és téglatest felszíne, térfogata képlet alapján. - Mértékegység átváltások nagyról kicsire és kicsiről nagyra. - Elölnézet, felülnézet, oldalnézet fogalmai. - Testek építése kockából. - Gyakorlati életből vett feladatok átfogalmazása matematikai problémává, az ezekhez kapcsolódó számítási feladatok megoldása. - Téglatestek felszíne, térfogata feladatokon keresztül. - Testekhez vetületi ábrák, alaprajzok, hálózatok készítése. - Téglatestből és kockából összeépített testek felszíne és térfogata. Valószínűség, statisztika 6. osztály Témakör Valószínűségi játékok és kísérletek. Adatok tervszerű gyűjtése, rendezése. Átlagszámítás. A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - Biztos, lehetetlen esemény felismerése. - Adatok lejegyzése, ábrázolása oszlopdiagramon, kördiagramon (pl. tápanyagok, vitaminok előfordulása különböző élelmiszerekben, napi időbeosztás, szelektív hulladékgyűjtés, közlekedési szokások, stb.). - Átlagszámítás háromnál több adat esetén. - Egy-egy jelenség előfordulási gyakoriságából nagyságrendi következtetés levonása, esélylatolgatás - Adatok ábrázolása számítógép segítségével. - 25

26 Gondolkodási módszerek 7. OSZTÁLY Témakör Az 5-6. osztályban elkezdett tanulási módszerek továbbfejlesztése, alkalmazása. Egyszerű ( minden, van olyan típusú) állítások átfogalmazása, igazolása, cáfolata. Fogalmak, állítások logikai kapcsolata. A nyelv logikai elemeinek helyes használata. Halmazok jellemzői. Szöveges feladatok megoldása. - Változatos kombinatorikai feladatok Sorbarendezés. A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - Egyszerű ( minden, van olyan típusú) állítások átfogalmazása, igazolása, cáfolata konkrét példák kapcsán - Egyszerű állítások igazságának eldöntése. - A nyelv logikai elemeinek helyes használata: az és, vagy, ha akkor, nem, van olyan, minden kifejezések jelentése, értelmezése. - Példák konkrét halmazokra: részhalmaz, kiegészítő halmaz, unió, metszet. - Szövegelemzés, lefordítás a matematika nyelvére, tervkészítés, tervkövetés, ellenőrzés. - Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása modellezéssel. - Sorba rendezés, kiválasztás néhány elem esetén. - Esetek felsorolása, fa-diagram, modellek alkalmazása. - Különböző nehézségű szövegek értelmezése. - Fogalmak, állítások logikai kapcsolata. - Változatos kombinatorikai feladatok megoldása különféle módszerekkel Számtan, algebra 7. osztály 26

27 Témakör Racionális számok Az 5-6. osztályban tanultak ismétlése, gyakorlása. A természetes szám, negatív szám, egész szám, racionális szám fogalmak, egymáshoz való viszonyuk. Hatványozás A hatványozás fogalma pozitív egész és nulla kitevőre. A hatványozás azonosságai konkrét példákon. Normálalak. Arány, arányosság, százalékszámítás Arány, aránypár. Arányos osztás Egyenes arányosság. Fordított arányosság. Százalékszámítás: százalékalap és százalékláb kiszámítása. A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - A tanult számkörök ismerete. - -Összeadás és kivonás a különböző számkörökben. - Szorzás és osztás a különböző számkörökben. - A műveletvégzés sorrendje, zárójeles kifejezések. - Műveleti azonosságok, műveleti rokonságok. - Hatványozás definíciója 0 kitevős hatvány is azonosságai konkrét számok esetén. - Számok normálalakja, - Mértékváltások normálalak segítségével. - Arányossági összefüggések. - Arányos osztás (kettő vagy több részre), kapcsolata a törttel való szorzással, illetve a százalékszámítással. - Egyenes arányosság és grafikonja. - Kapcsolatok megfogalmazása többféleképpen is a változók között. - Fordított arányosság és grafikonja. - Kapcsolatok megfogalmazása többféleképpen is a változók között.. - Százalékalap és százalékláb kiszámítása egyszerűbb feladatokkal Más számrendszerek. - Számkörök matematikatörténeti áttekintés. - Irracionális számok. - Valós számok. - Negatív kitevős hatványok. - Példák lineáris változásokra. - Összetett arányossági következtetések.

28 Oszthatóság Az osztó, többszörös, prímszám, összetett szám fogalma. Oszthatósági szabályok Közös osztó, közös többszörös kifejezések Prímek szorzatára bontás. Legnagyobb közös osztó. Legkisebb közös többszörös. Algebra Algebrai kifejezés fogalma. Egynemű algebrai kifejezések. Egyszerű algebrai egész kifejezések átalakítása, helyettesítési érték kiszámítása. Egytagú algebrai egész kifejezések összevonása, szorzása, osztása. Kéttagú algebrai egész kifejezések szorzása egytagú és kéttagú algebrai egész kifejezéssel. Egyenlet, egyenlőtlenség Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása következtetéssel, mérlegelvvel, az alaphal- - Valós életből vett példák kifejezése százalékalakba. - Oszthatóság fogalma. - Oszthatósági szabályok alkalmazása, - (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 3, 9) - Prímszámok, összetett számok fogalma. - Oszthatóság megállapítása szorzatalakból. - Szám felbontása prímek szorzatára. - Összes osztó, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös megkeresése a prímtényezős felbontásból. - Algebrai kifejezések: együttható és változó fogalma. - Helyettesítési érték kiszámítása. - Műveleti azonosságok, azonosságok. - Összeg, szorzat fogalma. - Egynemű kifejezések, összevonás egyszerű esetekben. - Egytagú algebrai egész kifejezések összevonása, szorzása, osztása. - Kéttagú algebrai egész kifejezések szorzása egy tagú és kéttagú algebrai egész kifejezéssel. - Egyenlet, egyenlőtlenség fogalma - Egyenlet megoldási módszerek átismétlése, módszeres próbálkozás, le Összetett százalékszámítási feladatok (kamatos kamat). - Összetett oszthatósági szabályok (8, 125, 6, 12, 15 ) - Számok építése prímek szorzataként. - - Képletből változó kifejezése. - Algebrai kifejezéshez szöveg, szöveghez algebrai kifejezés párosítása.

29 maz vizsgálatával. Az egyenlet megoldásának lépései. Szöveges feladatok átírása egyenletté. bontogatás, - Mérlegelv alkalmazása. - Zárójeles egyenletek megoldása (alaphalmaz: Z) - Megoldások számának vizsgálata (egy, végtelen sok, nincs megoldás) - Az ellenőrzés fontossága. - Egyenlőtlenségek megoldása, a megoldások ábrázolása számegyenesen. - Az algebrai ismeretek alkalmazása szöveges feladatok megoldásánál. - Zárójeles és törtegyütthatós egyenletek megoldása (alaphalmaz: Z). - Összetett szöveges feladatok megoldása. Összefüggések, függvények, sorozatok 7. osztály Témakör Hozzárendelések és azok vizsgálata. Egyértelmű hozzárendelések-függvények- a mindennapi életben. A függvényfogalom többféle megközelítése. Lineáris függvények és speciális esetei. A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - Két halmaz közötti hozzárendelések megjelenítése, táblázatok, grafikonok készítése konkrét hozzárendelések esetén. - Egyértelmű hozzárendelések ábrázolása derékszögű koordinátarendszerben. - A függvények megadásának módjai. - Lineáris függvények és speciális esetei ábrázolása táblázattal. - A lineáris függvény képe. - Az elsőfokú, az egyenes arányosság és a konstans függvények felismerése 29 - Mozgás és egyéb grafikonok készítése. - Lineáris függvények és speciális esetei ábrázolása táblázat nélkül. - A lineáris függvények tulajdonságainak

30 Elsőfokú egy ismeretlenes egyenlet grafikus megoldása. képlet alapján. - A lineáris függvények egyszerű tulajdonságai: meredekség, növekedés, csökkenés, párhuzamosság, merőlegesség, tengelymetszet a szemlélet alapján. - Elsőfokú egy ismeretlenes egyenlet grafikus megoldása. Sorozatok. - Sorozatok vegyesen- többféle sorozat, többféle megadási mód köztük számtani és mértani sorozatok is. - Lehetséges szabályok megfogalmazása, jelölések, sorozatok folytatása. felismerése a képletből. - Számtani sorozat és tulajdonságai. - Számtani sorozat n-edik elemének kiszámítása. Geometria 7. osztály Témakör A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) Mértékegységek átváltása konkrét gyakorlati példák kapcsán a kibővült számkörben. - Szög (fok), hosszúság, terület, térfogat, tömeg, űrtartalom, idő mérése és mértékegységeinek ismerete. Háromszögek magasságvonala, területe. Paralelogramma, trapéz, deltoid tulajdonságai, kerülete, területe. Kör kerülete, területe. - Háromszögek területének kiszámítása. - Négyszögek osztályozása, paralelogramma, trapéz, rombusz tulajdonságai. - Speciális négyszögek területének és kerületének kiszámítása. - Négyszögek elhelyezése halmazábrán. - Négyszögek területéből, kerületéből hiányzó adatok kiszámítása. - Gyakorlati példák megoldása. - Kör kerületének, területének kiszámítása. Középpontos tükrözés, mint 180 -os elforga- - Adott pont középpontos tükörképének - Középpont megszerkesztése egy alakzat 30

31 tás. Középpontosan szimmetrikus alakzatok a síkban. Szabályos sokszögek. Szakaszok, szögek részekre osztása megszerkesztése. - A középpontosan szimmetrikus alakzatok és sokszögek felismerése. - Szakaszok és szögek részekre ( 2 1, 4 1, - és egy tükörpont ismeretében. Nevezetes szögek szerkesztése. Háromszög szerkesztése alapesetekben. A háromszög belső és külső szögeinek öszszege. A négyszögek belső szögeinek összege. Három- és négyszögalapú egyenes hasábok, forgáshenger hálója, tulajdonságai, felszíne, térfogata. stb.) osztása. - Nevezetes szögek (30, 45, 75, 120, 90 ) szerkesztése az alapszerkesztések alkalmazásával. - Háromszöggel kapcsolatos legegyszerűbb szerkesztések elvégzése. - Háromszögek és konvex négyszögek belső szögei összegének kiszámítása. - Háromszög és négyszög alapú egyenes hasábok, valamint a henger felismerése, jellemzése. Valószínűség, statisztika 7. osztály - Háromszöggel kapcsolatos szerkesztések, ha a magasság is adott. - - Felszín- és térfogatszámítás képlet alapján. Témakör Valószínűségi játékok és kísérletek. Statisztikai adatok elemzése. A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - Valószínűségi kísérlet kimeneteleinek felsorolása konkrét példák esetében. - Gyakoriság fogalma. - Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, ábrázolása. - Tapasztalatgyűjtés a statisztika gazdasági alkalmazásáról. - Adatsokaságok jellemzése. 31

32 Gondolkodási módszerek 8. OSZTÁLY Témakör Gondolatok (problémák, feltételezések, öszszefüggések, stb.) szóbeli és írásbeli kifejezése. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició Halmazszemlélet fejlesztése. Rendszerezés, kombinativitás A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - Szabatos, pontos szóbeli és írásbeli fogalmazás. - Szöveges feladatok értelmezése, megoldási terv készítése, az eredmények előre becslése, a feladat megoldása és szöveg alapján történő ellenőrzése. - Elemek halmazokba rendezése, halmazok elemeinek felsorolása konkrét példák kapcsán. - Sorba rendezés, kiválasztás 4-5 elem esetén. - Esetek felsorolása, modellek, fadiagram. - Analógiák felismerése számok és az algebrai kifejezések között. - -A tanult halmazműveletek alkalmazása konkrét feladatokban, összefoglaló rendszerezésben. - Egyszerű, vegyes kombinatorikai feladatok megoldása változatos módszerekkel (fadiagram, útdiagram, táblázatok készítése). -Szöveges feladatok - - Matematikai modellek keresése, - érvényességének vizsgálata szöveges feladatokhoz. Számtan, algebra 8. osztály Témakör A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) 32

33 Racionális számok Műveletek racionális számokkal. -A természetes, egész és racionális számok halmazának kapcsolata. Valós számok A hatványozás azonosságai. A négyzetgyök fogalma Algebra Műveleti azonosságok rendszerező áttekintése. Szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok felhasználásával. Egyenlet, egyenlőtlenség Elsőfokú vagy elsőfokúra visszavezethető egyenletek, elsőfokú egyenlőtlenségek megoldása. Alaphalmaz, megoldáshalmaz. - Az alapműveletek és a hatványozás ismerete és alkalmazása. - Számok különféle alakjai, tízes számrendszerbeli alak, összeg-, szorzat-, (prímtényezős szorzat), hatvány-, normál- tört-, százalék-... alak. - Hatványozás azonosságai és azok alkalmazása egyszerűbb esetekben. - Normálalak használata nagyon nagy és nagyon kicsi számok esetében, mértékegység átváltásokban. - A négyzetgyök fogalma, kiszámítása. - Zsebszámológép használata. - Betűszimbólumok tudatos használata. - Fogalmak ismerete (algebrai egész, algebrai tört, egytagú, többtagú, egynemű, együttható, változó). - Műveletek algebrai kifejezésekkel több lépésben - Algebrai kifejezések helyettesítési értékének kiszámítása-racionális számkörben. - Az eredmények becslése. - Több tag szorzása több taggal és a kiemelés ismerete, használata egyszerűbb esetekben. - Zárójeles és törtegyütthatós egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása (alaphalmaz: Z). - Egyenletek, egyenlőtlenségek ellenőrzése, számegyenesen való ábrázolása Irracionális számok példákkal. - Hatványalakban megadott törtek egyszerűsítése. - Műveletek normálalakban megadott számokkal. - Nevezetes azonosságok: (a+b) 2, (a-b) 2, (a+b)(a-b) - Összetett műveletek algebrai kifejezésekkel, helyettesítési érték kiszámítása. - Nevezetes azonosságok ismerete és használata. - Szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok felhasználásával. - Zárójeles és törtegyütthatós egyenletek megoldása (alaphalmaz: R).

34 Egyenlettel, egyenlőtlenséggel megoldható szöveges feladatok. A problémamegoldás lépései. - Megoldások vizsgálata: azonosság, azonos egyenlőtlenség fogalma. - A valóságból vett problémák matematikai leírása, a megoldás értelmes ellenőrzése, a megoldhatóság feltételeinek vizsgálata. - Egyszerű szöveges feladatmegoldás következtetéssel, egyenlettel. - Mozgásos feladatok - Munkavégzéses feladatok - Egyszerűbb geometriai számításokkal kapcsolatos feladatok. - Arányossági feladatok. - Százalékszámítással kapcsolatos feladatok. - A problémamegoldás lépéseinek tudatos követése. - Egyenletekre, egyenlőtlenségekre vezető szöveges feladatok (kamatos kamat, keveréses, helyi értékes, stb.). - Kapcsolat a fizika, kémia, biológia, földrajz tantárgyakkal, a gyakorlati élettel. Összefüggések, függvények, sorozatok 8. osztály A függvények. Témakör A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - A függvény fogalma, megadásának módjai. - Értelmezési tartomány, értékkészlet meghatározása. - A lineáris függvények. - Lineáris függvény ábrázolása értéktáblázat nélkül, grafikonról leolvasható 34

35 A másodfokú függvények. Az abszolút érték függvények. Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Sorozatok. tulajdonságok - Másodfokú és abszolút érték függvények felismerése, ábrázolása táblázattal, grafikonról leolvasható tulajdonságok (növekedés, csökkenés, zérus hely, stb.). - Egyszerű transzformációk konkrét esetekben. - Függvények gyakorlati alkalmazása, egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. - Sorozatok, elnevezések és vizsgálatuk. - Számtani sorozat definíciója, tulajdonságai, n-edik elem kiszámítása. - Mértani sorozat definíciója, tulajdonságai. - Másodfokú, tört- és abszolút érték függvények transzformációi néhány lépésben. - Szöveges feladatok grafikus megoldása. - Számtani és mértani sorozatok felismerése szöveges feladatok megoldásakor. - Mértani sorozat n-edik elemének kiszámítása. Geometria 8. osztály Témakör Sokszögek összefoglaló áttekintése. A háromszögek nevezetes vonalai, pontjai. A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - A sokszögek hiányzó adatainak kiszámítása konkrét esetekben (belső szögeinek összege, egy csúcsból húzható átlók száma, összes átló száma). - A háromszögek nevezetes vonalainak, pontjainak szerkesztése (a háromszög köré írható kör, a háromszögbe írható kör, középvonal, magasságvonal, 35 - A sokszögek hiányzó adatainak kiszámítása képlet alapján.

36 A háromszög belső és külső szögeire vonatkozó összefüggések. Szögpárok (egyállású szögek, váltószögek, kiegészítő szögek). Középpontos elforgatás. Vektor, mint irányított szakasz. Eltolás a síkban. Középpontos nagyítás és kicsinyítés konkrét arányokkal. A tanult transzformációk áttekintése. Szerkesztési feladatok. Pitagorasz tétele. súlyvonal). - A háromszög belső és külső szögeinek kiszámítása. - A tanult szögpárok felismerése. - Középpontos elforgatás végrehajtása 60 és többszöröseivel, adott nagyságú és irányú szöggel. - Adott pont eltolása adott vektorral, az eltolás alkalmazása egyszerű esetekben. - Kicsinyítés és nagyítás felismerése hétköznapi szituációkban. - Kicsinyítés és nagyítás egyszerű esetekben. - A korábban tanult transzformációkkal kapcsolatos szerkesztések gyakorlása különböző feladatokon keresztül. - Pitagorasz-tétel ismerete (bizonyítás nélkül). - Derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítása Pitagorasz tételével. - Középpontos elforgatással megoldható feladatok megoldása. - Két vektor összege, különbsége. - Hasonlósági feladatok megoldása számolással. - Pitagorasz tételének alkalmazása tükrös háromszögekben, négyszögekben. Valószínűség, statisztika 8. osztály Témakör Valószínűségi játékok és kísérletek. A továbbhaladás feltételei (minimum követelmény) - Események gyakoriságának megállapítása elvégzett kísérletekben. - Különböző események gyakoriságának összehasonlítása. - Valószínűség szemléletes fogalma Gyakoriság, relatív gyakoriság tulajdonságai.

37 Statisztika. Átlagszámítás - Valószínűségek előzetes becslése. - Esemény, gyakoriság, relatív gyakoriság, biztos esemény, lehetetlen esemény fogalmak. - Adathalmazok elemzése és értelmezése, ábrázolásuk. - Grafikonok készítése, elemzése. - Az átlag vizsgálata (példák arra, amikor az átlag nem jellemzi megfelelően az adatokat). - Számtani közép, módusz, medián. 9. ÉVFOLYAM 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok E témakört elsősorban nem önállóan számon kérhető ismeretanyagként kell elképzelni, hanem olyan szemléletformáló, a matematikaoktatás egészét átszövő módszerek, illetve eszközök összességeként, amely szinte teljes egészében megjelenik minden további témakörben is. Halmazok TÉMÁK Halmazműveletek Minimum szint (középszint) Ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát. Definiálja és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő fogalmakat: halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges és végtelen halmaz, komplementer halmaz. Ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő műveleteket: egyesítés, metszet, különbség. Tudjon koordináta-rendszerben ábrázolni egyszerűbb 37 (emelt szint) Alkalmazza tudatosan a műveleti tulajdonságokat. Ismerje a De Morgan azonosságokat.

38 Számosság, részhalmazok Matematikai logika Fogalmak, tételek és bizonyítások ponthalmazokat. Tudja meghatározni véges halmazok elemeinek számát. Tudja és alkalmazza a logikai szita formuláját két halmazra. Tudjon egyszerű matematikai szövegeket értelmezni. Ismerje és alkalmazza megfelelően a kijelentés (állítás, ítélet) fogalmát. Értse és egyszerű feladatokban alkalmazza az állítás tagadása műveletet. Ismerje az és, a vagy logikai jelentését, tudja használni és összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel. Tudjon definíciókat, tételeket pontosan megfogalmazni. Határozza meg halmazok, részhalmazok számosságát véges, illetve megszámlálhatóan végtelen esetben, Alkalmazza a logikai szita formuláját három vagy több halmazra. Alkalmazza tudatosan a nyelv logikai elemeit. Tudja megfogalmazni konkrét esetekben tételek megfordítását. 2. Aritmetika, algebra, számelmélet Alapműveletek TÉMÁK A természetes számok halmaza, számelméleti ismeretek Minimum szint (középszint) Tudjon alapműveleteket biztonságosan elvégezni (zsebszámológéppel is). Ismerje és használja feladatokban az alapműveletek műveleti azonosságait (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás). Ismerje, tudja definiálni és alkalmazni az oszthatósági alapfogalmakat (osztó, többszörös, prímszám, összetett szám). Tudjon természetes számokat prímtényezőkre bontani, tudja adott számok legnagyobb közös osztóját és legki- 38 (emelt szint)

39 Oszthatóság Számrendszerek Valós számok Hatvány, gyök Betűkifejezések sebb közös többszörösét kiszámítani; tudja mindezeket egyszerű szöveges (gyakorlati) feladatok megoldásában alkalmazni. Definiálja és alkalmazza feladatokban a relatív prímszámokat. Tudja a számelmélet alaptételét alkalmazni feladatokban. Ismerje a 10 hatványaira, illetve a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számokra vonatkozó oszthatósági szabályokat. Tudjon egyszerű oszthatósági feladatokat megoldani. Tudjon más számrendszerek létezéséről. Tudja a számokat átírni 10-es alapú számrendszerből n alapú számrendszerbe és viszont. Helyiértékes írásmód. Ismerje a valós számkör felépítését (N, Z, Q, Q*, R), valamint a valós számok és a számegyenes kapcsolatát. Tudjon ábrázolni számokat a számegyenesen. Tudja az abszolút érték definícióját, és tudja konkrét számok abszolút értékét megállapítani. Ismerje adott szám normálalakjának felírási módját, tudjon számolni a normálalakkal. Értse a permanencia elv fontosságát. Ismerje és definiálja az egész kitevőjű hatványt. Ismerje és használja a hatványozás azonosságait. Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait. Tudja pontosan megfogalmazni a számelmélet alaptételét. Tudja egy összetett szám osztóinak számát meghatározni Tudjon oszthatósági feladatokat megoldani szorzattá alakítással és maradékosztályokkal is. Ismerje a diofantoszi egyenlet fogalmát. Tudjon két ismeretlenes lineáris és egyszerű másodfokú diofantoszi egyenleteket megoldani. Tudja, hogy mit értünk adott műveletekre zárt számhalmazokon. Bizonyítsa a hatványozás azonosságait egész kitevő esetén. Ismerje és alkalmazza a gyökvonás azonosságait. Bizonyítsa a gyökvonás azonosságait. Ismerje a polinom fokszámát, fokszám szerint rendezett alakját. Nevezetes azonosságok Alkalmazza feladatokban a következő kifejezések kifejté- Tudja alkalmazni feladatokban az a n - b n, illetve 39

40 Arányosság Százalékszámítás Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségrendszerek Algebrai egyenletek, egyenletrendszerek Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek Abszolútértékes egyenletek Nem elsőfokú egyenletek Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek sét, illetve szorzattá alakítását: (a+b) 2 ; (a+b) 3 ; a 2 -b 2 ; a 3 + az a 2m+1 + b 2m+1 kifejezés szorzattá alakítását. b 3. Tudjon algebrai kifejezésekkel egyszerű műveleteket végrehajtani, algebrai kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni megoldani. Tudjon többszöri kiemelést igénylő feladatokat (összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása). Tudja az egyenes és a fordított arányosság definícióját és grafikus ábrázolásukat. Tudjon arányossági feladatokat megoldani. Százalékszámítással kapcsolatos feladatok megoldása. Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát. Alkalmazza a különböző egyenlet-megoldási módszereket: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, következményegyenletre vezető átalakítások, új ismeretlen bevezetése stb. Tudjon elsőfokú, egy ismeretlenes egyenleteket megoldanioldani. Tudjon paraméteres elsőfokú egyenleteket meg- Ismerje az elsőfokú egyenletrendszer megoldásának különböző módszereit szert megoldani. Tudjon több ismeretlenes elsőfokú egyenletrend- Alkalmazza az egyenleteket, egyenletrendszereket szöveges feladatok megoldásában. teres egyenletrendszert Tudjon egyszerű két ismeretlenes lineáris paramé- megoldani. Tudjon ax+b = c típusú egyenleteket algebrai és grafikus módon, valamint ax+b = cx+d típusú egyenleteket megoldani. Tudjon nehezebb abszolút értékes egyenleteket algebrai úton megoldani. Értelmezési tartomány, illetve értékkészlet vizsgálatával, valamint szorzattá alakítással megoldható feladatok, összetett feladatok megoldása. Tudjon megoldani összetett feladatokat. Ismerje az egyenlőtlenségek alaptulajdonságait (mérlegelv alkalmazása). Egyszerű első- és másodfokú egyenlőtlenségek és egyszerű egyenlőtlenség-rendszerek megoldása. Két ismeretlenes egyenlőtlenségrendszer. Tudjon egyszerű törtes és abszolút értékes egyenlőtlensé- Tudjon törtes és abszolút értékes egyenlőtlensé- 40

41 geket megoldani. geket megoldani. 3. Függvények, az analízis elemei A függvény TÉMÁK Egyváltozós valós függvények A függvények grafikonja, függvény transzformációk Minimum szint (középszint) Ismerje a függvény matematikai fogalmát. Ismerje a függvénytani alapfogalmakat. (értelmezési tartomány, hozzárendelés, képhalmaz, helyettesítési érték, értékkészlet). Tudjon szövegesen megfogalmazott függvényt képlettel megadni. Tudjon helyettesítési értéket számítani, illetve tudja egyszerű függvények esetén f(x) = c alapján az x-et meghatározni. Ismerje az egy-egyértelmű megfeleltetés fogalmát. Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál. Ismerje és tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket: x ax+b; x x 2 ; x x n ; (n N); x ax 2 +bx+c; x a/x; x x ; x x Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvény transzformációk segítségével ábrázolni 41 (emelt szint) Tudja az alapvető függvénytani fogalmak pontos definícióját. Ismerje a következő függvényeket: x [x]; x {x}; x sgnx; x (ax+b)/(cx+d) Tudjon a középszinten felsorolt függvényekből összetett függvényeket képezni. Ismerje és alkalmazza a függvények leszűkítésének és kiterjesztésének fogalmát. Tudja ábrázolni az alapvető függvények transzformáltjainak grafikonját (cxf(ax+b)+d).

42 A függvényjellemzése [f(x) + c; f(x+c); c (f(x); f(cx)]. Tudja egyszerű függvények jellemzését (grafikon alapján): értékkészlet, zérus hely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás szempontjából. Tudja a függvények jellemzéséhez használt fogalmak pontos definícióját. Függvények jellemzése korlátosság szempontjából. Határozza meg a függvények tulajdonságait az alapfüggvények ismeretében transzformációk segítségével.. 4. Geometria, koordinátageometria, trigonometria Elemi geometria Térelemek TÉMÁK A távolságfogalom segítségével definiált ponthalmazok Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk Síkban Minimum szint (középszint) Ismerje és használja megfelelően az alapfogalom, axióma, definiált fogalom, bizonyított tétel fogalmát. Ismerje a térelemeket és a szög fogalmát. Ismerje a szögek nagyság szerinti osztályozását és a nevezetes szögpárokat. Tudja a térelemek távolságára és szögére (pont és egyenes, pont és sík, párhuzamos egyenesek, párhuzamos síkok távolsága; két egyenes, egyenes és sík, két sík hajlásszöge) vonatkozó meghatározásokat. Tudja a kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező, parabola fogalmát. Használja a fogalmakat feladatmegoldásokban. Ismerje a síkbeli egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) leírását, tulajdonságaikat, és alkalmazza azokat. 42 (emelt szint) Ismerje a síkra merőleges egyenes tételét. Értelmezze definíció alapján alakzatok távolságát. A geometriai transzformáció, mint függvény. Tudja pontosan megfogalmazni az egybevágósági transzformációk definícióit, a síkidomok egybevágóságának fogalmát, valamint a sokszögek egy-

43 Térben Síkbeli alakzatok Háromszögek Tudjon végrehajtani transzformációkat konkrét esetekben. Ismerje és tudja alkalmazni feladatokban a háromszögek egybevágósági alapeseteit. Ismerje fel és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit. Ismerje a térbeli egybevágósági transzformációkat (eltolás, tengely körüli forgatás, pontra vonatkozó tükrözés, síkra vonatkozó tükrözés). Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint. Tudja csoportosítani a háromszögeket oldalak és szögek szerint. Ismerje és alkalmazza az alapvető összefüggéseket háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között (háromszög-egyenlőtlenség, belső, illetve külső szögek öszszege, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van). Ismerje és alkalmazza speciális háromszögek tulajdonságait. Tudja a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó definíciókat, tételeket (oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, súlyvonal, középvonal, körülírt, illetve beírt kör). Ismereteit alkalmazza egyszerű feladatokban bevágóságának elégséges feltételét. Tudja a transzformációk térbeli definícióját, tulajdonságaikat. Tudja a testek egybevágóságának fogalmát. Bizonyítsa a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó tételeket (körülírt és beírt kör középpontja; magasságpont, súlypont, középvonal tulajdonságai). Ismerje és alkalmazza a Pitagorasz-tételt és megfordítását. Bizonyítsa a Pitagorasz-tételt és megfordítását. Négyszögek Ismerje a négyszögek fajtáit (trapéz, paralelogramma, Ismerje, alkalmazza és bizonyítsa az érintőnégyszögekre deltoid) és tulajdonságaikat, alkalmazza ismereteit egyszerű vonatkozó tételt. feladatokban. Ismerje és alkalmazza egyszerű feladatokban a konvex síknégyszög belső és külső szögeinek összegére vonatkozó tételeket.. Sokszögek Ismerje és alkalmazza konvex sokszögeknél az átlók Bizonyítsa a konvex sokszög átlói számára, a bel- 43

44 Kör Vektorok síkban és térben Kerület, terület számára, a belső és külső szögösszegre vonatkozó tételeket. Tudja a szabályos sokszögek definícióját. A kör részeinek ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban. Tudja és használja, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, s hogy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. Tudja és alkalmazza feladatokban a Thalész-tételt és megfordítását. Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket: - vektor fogalma, abszolút értéke, - null vektor, ellentett vektor, - vektorok összege, különbsége, vektor skalárszorosa, - vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok, - vektor felbontása összetevőkre, - vektor koordinátái, - vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátái. Vektorok alkalmazása feladatokban. Ismerje a kerület és a terület szemléletes fogalmát. ső és külső szögösszegre vonatkozó tételeket. Bizonyítsa, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, valamint hogy a külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. Bizonyítsa a Thalész-tételt és megfordítását. Tudja és alkalmazza síkidomok kerület-, területképleteit: - háromszögekre: t = am a / 2, t = sr - nevezetes négyszögekre - körre, körcikkre, körszeletre. Kerület- és területszámítási feladatok. Bizonyítsa a háromszög területének kiszámítására használt képleteket. Ismerje és alkalmazza a Heron képletet: t = s s a s b s c, érintőnégyszögekre a t = sr képletet. 44

45 5. Valószínűség számítás, statisztika TÉMÁK Leíró statisztika Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai Nagy adathalmazok jellemzői, statisztikai mutatók Minimum szint (középszint) Tudjon adathalmazt táblázatba rendezni és táblázattal megadott adatokat feldolgozni. Tudjon adott adathalmazt szemléltetni. Tudjon kördiagramot és oszlopdiagramot készíteni. Tudjon adott diagramról információt kiolvasni. Tudja és alkalmazza a következő fogalmakat: osztályba sorolás, gyakorisági diagram, relatív gyakoriság. Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: - aritmetikai átlag (súlyozott számtani közép), - medián (rendezett minta közepe), - módusz (leggyakoribb érték), - terjedelem. Tudjon adathalmazokat összehasonlítani a tanult statisztikai mutatók segítségével. (emelt szint) Tudjon hisztogramot készíteni, és adott hisztogramról információt kiolvasni. 10. ÉVFOLYAM 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok TÉMÁK Minimum szint (középszint) 45 (emelt szint)

46 Matematikai logika Fogalmak, tételek és bizonyítások Tudjon egyszerű matematikai szövegeket értelmezni. Ismerje és alkalmazza megfelelően a kijelentés (állítás, ítélet) fogalmát. Értse és egyszerű feladatokban alkalmazza az állítás tagadása műveletet. Ismerje az és, a vagy logikai jelentését, tudja használni és összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel. Értse és használja helyesen az implikációt és az ekvivalenciát. Használja helyesen a minden, van olyan kvantorokat. Tudjon definíciókat, tételeket pontosan megfogalmazni. Használja és alkalmazza feladatokban helyesen a szükséges, az elégséges és a szükséges és elégséges feltétel fogalmát Alkalmazza tudatosan a nyelv logikai elemeit. Ismerje az alábbi bizonyítási típusokat és tudjon példát mondani alkalmazásukra: direkt és indirekt bizonyítás skatulyaelv. 2. Aritmetika, algebra, számelmélet TÉMÁK Racionális és irracionális számok Hatvány, gyök Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségrendszerek Minimum szint (középszint) Tudja definiálni a racionális számot és ismerje az irracionális szám fogalmát. Tudja eldönteni, hogy n (n N) mikor racionális, mikor irracionális szám. Definiálja és használja az n a fogalmát. Tudjon számolni hatvány- és gyökkifejezésekkel. Ismerje és alkalmazza a gyökvonás azonosságait. 46 Bizonyítsa, hogy a (emelt szint) 2 irracionális szám. Alkalmazza tudatosan a permanencia elvet. Bizonyítsa a gyökvonás azonosságait.

47 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Magasabb fokú egyenletek Ismerje az egy ismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakját. Tudja meghatározni a diszkrimináns fogalmát. Ismerje és alkalmazza a megoldó képletet. Használja a teljes négyzetté alakítás módszerét. Alkalmazza feladatokban a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket és a gyöktényezős alakot. Tudjon törtes egyenleteket, másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatokat megoldani. Másodfokú egyenletrendszerek megoldása. Egyszerű, másodfokúra visszavezethető egyenletek megoldása. Négyzetgyökös egyenletek Tudjon ax b cx d típusú, valamint két négyzetre emeléssel megoldható egyenleteket megoldani. Trigonometrikus egyenletek Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani. Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek Tudjon egyszerű másodfokú, négyzetgyökös, és trigonometrikus (0 < 360 ) egyenlőtlenségeket megoldani. Egyszerű egyenlőtlenségek egyenlőtlenség-rendszerek megoldása. Középértékek, egyenlőtlenségek Ismerje az aritmetikai közép és a geometriai közép fogalmát, a köztük lévő összefüggést. Igazolja a másodfokú egyenlet megoldó képletét. Igazolja a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket. Másodfokú paraméteres feladatok megoldása. Tudjon másodfokúra visszavezethető egyenletrendszereket megoldani. Ismerje a különböző megoldási módszereket (értékkészlet-vizsgálat, szorzattá alakítás). Tudjon másodfokú, négyzetgyökös, és trigonometrikus egyenlőtlenségeket megoldani. Két ismeretlenes egyenlőtlenségrendszer. a b Bizonyítsa, hogy ab, ha a, b R 2 Tudjon megoldani feladatokat számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján. 3. Függvények, az analízis elemei 47

48 TÉMÁK Egyváltozós valós függvények A függvények grafikonja, függvény transzformációk A függvényjellemzése Minimum szint (középszint) Ismerje és tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket: x ax 2 +bx+c; x n x ; x sinx; x cosx; x tgx. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvény transzformációk segítségével ábrázolni [f(x) + c; f(x+c); c (f(x); f(cx)]. Tudjon egyszerű függvényeket jellemezni grafikon alapján: értékkészlet, zérushely, növedés, fogyás, szélsőérték, periodicitás, paritás, korlátosság szempontjából. (emelt szint) Ismerje és alkalmazza a függvények megszorításának és kiterjesztésének fogalmát. Tudja ábrázolni az alapvető függvények transzformáltjainak grafikonját: cf(ax+b)+d. Tudja a függvények jellemzéséhez használt fogalmak pontos definícióját. Egyszerűbb, másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatok megoldása. 4. Geometria, koordinátageometria, trigonometria TÉMÁK Geometriai transzformációk Hasonlósági transzformációk Hasonló síkbeli alakzatok Há- Minimum szint (középszint) Ismerje a transzformációk leírását, tulajdonságait, alkalmazza azokat. Alkalmazza a középpontos nagyítást, kicsinyítést egyszerű, gyakorlati feladatokban. Tudjon egyszerű szerkesztési és számolási feladatokat: - szakasz adott arányú felosztása. - hasonló alakzatok felismerése, alkalmazása, arány felírása. Tudja és alkalmazza feladatokban a hasonló síkidomok területének arányáról és a hasonló testek felszínének és térfogatának arányáról szóló tételeket. 48 (emelt szint) Ismerje a hasonlósági transzformáció definícióját.

49 romszögek Kör Trigonometria Kerület, terület Tudja és alkalmazza háromszögek hasonlóságának alapeseteit Ismerje és alkalmazza a szögfelezőtételt. Ismerje és alkalmazza feladatokban a magasság- és a befogótételt. A kör részeinek ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban. Tudja és alkalmazza feladatokban, hogy a középponti szög arányos a körívvel és a hozzá tartozó körcikk területével. A szög mérése fokban és radiánban. Tudja hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszög oldalarányaival definiálni, ismereteit alkalmazza feladatokban. Tudja a szögfüggvények általános definícióját. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Tudjon szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30, 45, 60 ) szögfüggvényeit. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. Ismerje és használja háromszög trigonometrikus területképletét: t = (ab sin) / 2. Szabályos sokszögek kerületének és területének számítása. Körcikk, körszelet kerülete, területe. Bizonyítsa a szögfelezőtételt. Bizonyítsa a magasság- és a befogótételt. Igazolja és alkalmazza feladatokban a kerületi és középponti szögek tételét. Ismerje és használja a látókör fogalmát. Ismerje és alkalmazza a húrnégyszögek tételét (bizonyítás is) Bizonyítsa a pitagoraszi összefüggést. Bizonyítsa háromszög területének kiszámítására használt képleteket, továbbá ismerje és használja a t = s s a s b s c képletet. A területképletek bizonyítása. A területképletek bizonyítása. 49

50 5. Valószínűség számítás, statisztika TÉMÁK Valószínűségszámítás és a matematikai statisztika elemei Véletlen jelenségek jellemzése, valószínűség Minimum szint (középszint) Véges sok kimenetel esetén szimmetria-megfontolásokkal számítható valószínűségek (egyenlő esélyű elemi eseményekből) egyszerű feladatokban. Esemény, eseménytér konkrét példák esetén. Ismerje a klasszikus (Laplace-) modellt. Tudjon számolni geometriai valószínűséget. Értse a relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolatot. (emelt szint) Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: esemény, eseménytér matematikai fogalma, események egyesítésének, metszetének és komplementerének valószínűsége. 50

51 11. ÉVFOLYAM 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Kombinatorika Gráfok TÉMÁK Minimum szint (középszint) Tudjon egyszerű sorba rendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatokat megoldani. (Permutációk, variációk, kombinációk.) Tudja kiszámolni a binomiális együtthatókat. Tudjon konkrét szituációkat szemléltetni, és egyszerű feladatokat megoldani gráfok segítségével. (emelt szint) Bizonyítsa a permutációk, variációk (ismétlés nélkül és ismétléssel), kombinációk (ismétlés nélkül) számára vonatkozó képleteket. Ismerje és alkalmazza a binomiális tételt. Definiálja a következő fogalmakat: pont, él, fok, út, kör, összefüggő gráf, fa. Ismerje az egyszerű gráf pontjainak foka és éleinek száma, valamint a fa pontjai és élei száma közötti összefüggést. 2. Aritmetika, algebra, számelmélet TÉMÁK Hatvány, gyök, logaritmus Minimum szint (középszint) A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén, permanencia elv. Ismerje és használja a hatványozás azonosságait. Tudjon számolni hatvány- és gyökkifejezésekkel. Definiálja és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát, valamint a logaritmus azonosságait. Tudjon áttérni más alapú logaritmusra. (emelt szint) Értelmezze szemléletesen az irracionális kitevőjű hatványt. Tudatosan alkalmazza a permanencia elvet. Bizonyítsa a logaritmus azonosságait. 51

52 Nem algebrai egyenletek, egyenletrendszerek Exponenciális és logaritmikus egyenletek igénylő feladatokat megoldani. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását Trigonometrikus egyenletek Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségrendszerek Középértékek, egyenlőtlenségek igénylő feladatokat megoldani. Tudjon egyszerű exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus (0 < 360 ) egyenlőtlenségeket megoldani. Tudjon exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenlőtlenségeket megoldani. Ismerje n szám számított középértékeit (aritmetikai, geometriai, négyzetes, harmonikus), valamint a nagyságrendi viszonyaikra vonatkozó tételeket, tudja bizonyítani őket. Tudjon megoldani feladatokat számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján. 3. Függvények, az analízis elemei TÉMÁK Egyváltozós valós függvények A függvények grafikonja, függvény transzformációk A függvényjellemzése Minimum szint (középszint) Ismerje és tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket: x x a ; x log a x Az inverz függvény fogalmának szemléletes értelmezése az exponenciális és a logaritmus függvény esetében. Tudja az előbbi függvényeket néhány lépéses transzformáció segítségével ábrázolni [f(x) + c; f(x+c); c(f(x); f(cx)]. Tudjon egyszerű függvényeket jellemezni grafikon alapján: értékkészlet, zérushely, növedés, fogyás, szélsőérték, 52 (emelt szint) Tudjon az eddig megismert függvényekből összetett függvényeket képezni. Tudja ábrázolni az előbbi függvények transzformáltjainak grafikonját: cf(ax+b)+d. Tudja a függvények jellemzéséhez használt fogalmak pontos definícióját.

53 periodicitás, paritás, korlátosság szempontjából. Tudja függvények tulajdonságait az alapfüggvények ismeretében transzformációk segítségével meghatározni, korlátosság szempontjából jellemezni. Használja a konvexség és konkávság fogalmát a függvények jellemzésére. 4. Geometria, koordinátageometria, trigonometria TÉMÁK Vektorok síkban és térben Trigonometria Minimum szint (középszint) (emelt szint) Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket: - vektor koordinátái, - a vektor 90 -os elforgatottjának koordinátái, - vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátái, - skalárszorzat kiszámítása koordinátákból. Tudja bizonyítani a skalárszorzat koordinátákból való kiszámítására vonatkozó összefüggést. Vektorok alkalmazása feladatokban. Tudjon szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30, 45, 60 ) szögfüggvényeit. 53 Függvénytáblázat segítségével tudja alkalmazni egyszerű feladatokban az addíciós összefüggéseket: sin(α+β), cos(α+β), tg(α+β) sin2α, cos2α, tg2α. Egyszerű trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Tudjon megoldani addíciós tételekkel trigonometrikus egyenleteket Tudja és használja a szinusz- és a koszinusztételt. Bizonyítsa a szinusz-és a koszinusztételt. Tudjon számolásokat végezni általános háromszögben. A trigonometria alkalmazása helymeghatározásban. Koordinátageometria Tudja AB vektor koordinátáit, abszolút értékét meghatá- Igazolja szakasz felezőpontja és harmadoló pont-

54 Pontok, vektorok Egyenes Kör Parabola rozni, két pont távolságát, szakasz felezőpontját, harmadoló pontját felírni, feladatokban alkalmazni. Tudja a háromszög súlypontjának koordinátáit felírni, alkalmazni feladatokban. Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenletét. Egyenesek metszéspontjának számítása. Ismerje egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételeit. Tudja és használja a koordinátageometriai eszközöket elemi háromszög- és négyszög-geometriai feladatok megoldásához. Tudja felírni adott középpontú és sugarú körök egyenletét, tudja meghatározni két ismeretlenes másodfokú egyenletből a kör középpontját és sugarát. Kör és egyenes metszéspontjának meghatározása. A kör adott pontjában húzott érintő egyenletének felírása. Alkalmazza ismereteit feladatokban. jai koordinátáinak kiszámítására vonatkozó összefüggéseket. Igazolja a háromszög súlypontjának koordinátáira vonatkozó összefüggést. Ismerje a háromdimenziós vektorokat. Az egyenes egyenletének levezetése különböző kiindulási adatokból a síkban. A kör egyenletének levezetése. Ismerje a kör és a két ismeretlenes másodfokú egyenlet kapcsolatát. Tudja meghatározni két kör kölcsönös helyzetét, illetve metszéspontjaik koordinátáit. Tudja felírni külső pontból húzott érintő egyenletét. A parabola x 2 = 2py alakú egyenletének levezetése. Feladatok a koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyű parabolákra. 5. Valószínűség számítás, statisztika Leíró statisztika TÉMÁK Minimum szint (középszint) 54 (emelt szint)

55 Statisztikai adatok gyűjtése Valószínűség számítás és a matematikai statisztika elemei Véletlenjelenségek jellemzése, valószínűség A sokaság paraméterének ismeretében a minta relatív gyakoriságának becslése Értse a véletlenszerű mintavétel fogalmát. Ismerje a szemléletes kapcsolatot a relatív gyakoriság és a valószínűség között. Tudja és használja a klasszikus (Laplace-) modellt. Tudjon geometriai valószínűséget számolni. Véges sok kimenetel esetén szimmetria-megfontolásokkal tudjon számolni valószínűségeket (egyenlő esélyű elemi eseményekből) egyszerű feladatokban. Esemény, eseménytér konkrét példák esetén. Valószínűségek kiszámítása visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel estén. Értse a nagy számok törvényének szemléletes tartalmát (nagyobb n-ekre valószínűbb, hogy k/np < Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: esemény, eseménytér matematikai fogalma, feltételes valószínűség, függetlenség, függőség, események egyesítésének, metszetének és komplementerének valószínűsége. Ismerje a binomiális eloszlás (visszatevéses modell) és a hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli modell) tulajdonságait és ábrázolásukat. 55

56 12. ÉVFOLYAM 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok TÉMÁK Matematikai logika Tételek és bizonyítások Minimum szint (középszint) Ismerje a logikai műveletek (konjunkció, diszjunkció, negáció) jelentését, tudja használni és összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel. Értse és használja helyesen az implikációt és az ekvivalenciát. Használja helyesen a minden, van olyan kvantorokat. (emelt szint) Alkalmazza tudatosan a nyelv logikai elemeit. Ismerje az alábbi bizonyítási típust és tudjon példát mondani alkalmazásukra: teljes indukció.. 3. Függvények, sorozatok Sorozatok TÉMÁK Számtani és mértani sorozatok Végtelen mértani sor Minimum szint (középszint) Ismerje a számsorozat fogalmát és használja a különböző megadási módjait. Tudja felírni rekurzív képlettel adott sorozat tagjait. Tudjon olyan feladatokat megoldani a számtani és mértani sorozatok témaköréből, ahol a számtani, illetve mértani sorozat fogalmát és az a n -re, illetve az S n -re vonatkozó összefüggéseket kell használni. 56 (emelt szint) Sorozat jellemzése, a konvergencia szemléletes fogalma. Bizonyítsa a számtani és a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggéseket, valamint az összegképleteket. Ismerje a végtelen mértani sor fogalmát, összegét.

57 Kamatos kamat, járadékszámítás Tudja a kamatos kamatra vonatkozó képletet használni, s abból bármelyik ismeretlen adatot kiszámolni. Tudjon gyűjtőjáradékot és törlesztőrészletet számolni. 4. Geometria, koordinátageometria, trigonometria TÉMÁK Minimum szint (középszint) (emelt szint) Térbeli alakzatok Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint. Henger, kúp, gúla, hasáb, gömb, csonka gúla, csonka kúp ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban. Felszín, térfogat Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát.. Tudja egyenes hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonka gúla és csonka kúp felszínének és térfogatának kiszámítását képletbe való behelyettesítéssel. Összetett térgeometriai feladatok megoldása 5. Valószínűség számítás, statisztika TÉMÁK Leíró statisztika Statisztikai mutatók Minimum szint (középszint) Ismerje és használja a következő fogalmakat: terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás. Tudjon számolni szórást adott adathalmaz esetén számológéppel. Tudjon összehasonlítani adathalmazokat a tanult statiszti- 57 (emelt szint) Ismerje az adathalmazok egyesítése és átlaguk közötti kapcsolatot. Értelmezze szemléletesen az adathalmaz eloszlása, számtani közepe és szórása közötti kapcsolatot, és használja azt.

58 Valószínűségszámítás és statisztika Véletlenjelenségek jellemzése, valószínűség A sokaság paraméterének ismeretében a minta relatív gyakoriságának becslése kai mutatók segítségével. Geometriai valószínűség. Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: feltételes valószínűség, függetlenség, függőség, események egyesítésének, metszetének és komplementerének valószínűsége. Ismerje és alkalmazza a várható érték, szórás fogalmát diszkrét, egyenletes és binomiális eloszlás esetén. 58

59 11. ÉVFOLYAM SPECIALIZÁCIÓ 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok TÉMÁK Kombinatorika Gráfok Tételek és bizonyítások Minimum szint (emelt szint) Tudjon sorba rendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatokat megoldani. (Permutációk, variációk, kombinációk.) Bizonyítsa a permutációk, variációk (ismétlés nélkül és ismétléssel), kombinációk (ismétlés nélkül) számára vonatkozó képleteket. Ismerje és alkalmazza a binomiális tételt. Tudjon szituációkat szemléltetni, és feladatokat, bizonyításokat megoldani gráfok segítségével. Definiálja a következő fogalmakat: pont, él, fok, út, kör, összefüggő gráf, fa. Ismerje az egyszerű gráf pontjainak foka és éleinek száma, valamint a fa pontjai és élei száma közötti összefüggést. Ismerje az alábbi bizonyítási típust és tudjon példát mondani alkalmazásukra: teljes indukció. Ismerje az ismétléses kombináció fogalmát, a rá vonatkozó összefüggést. Ismerje a binomiális együtthatók tulajdonságait, a Pascal-háromszöget. Ismerje az Euler vonal fogalmát. 2. Aritmetika, algebra, számelmélet TÉMÁK Minimum szint (emelt szint) Hatvány, gyök, logaritmus A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén, per- 59

60 Nem algebrai egyenletek, egyenletrendszerek Exponenciális és logaritmikus egyenletek manencia elv. Értelmezze szemléletesen az irracionális kitevőjű hatványt. Tudatosan alkalmazza a permanencia elvet. Ismerje és használja a hatványozás azonosságait. Tudjon számolni hatvány- és gyökkifejezésekkel. Definiálja és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát, valamint a logaritmus azonosságait. Bizonyítsa a logaritmus azonosságait. Tudjon áttérni más alapú logaritmusra. Tudjon definíciók és azonosságok alkalmazását igénylő összetettebb egyenleteket, egyenletrendszereket megoldani. Trigonometrikus egyenletek Tudjon definíciók és azonosságok (addíciós összefüggé- Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségrendszerek Középértékek, egyenlőtlenségek sek is!) alkalmazását igénylő feladatokat megoldani. Tudjon exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenlőtlenségeket, megoldani. Ismerje n szám számított középértékeit (aritmetikai, geometriai, négyzetes, harmonikus), a nagyságrendi viszonyaikra vonatkozó tételeket, és tudja bizonyítani őket. Tudjon megoldani feladatokat számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján. Tudjon megoldani feladatokat további közepekre vonatkozó összefüggések alapján. 3. Függvények, az analízis elemei TÉMÁK Egyváltozós valós függvények Minimum szint (emelt szint) Ismerje és tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott függvényeket: 60

61 Sorozatok A függvények grafikonja, függvény transzformációk A függvény jellemzése Számtani és mértani sorozatok Végtelen mértani sor Kamatos kamat, járadékszámítás x x a ; x log a x Az inverzfüggvény fogalmának szemléletes értelmezése az exponenciális és a logaritmus függvény esetében. Tudjon az eddig megismert függvényekből összetett függvényeket képezni. Tudja az előbbi függvényeket több lépésben transzformáció segítségével ábrázolni: f(x) + c; f(x+c); c(f(x); f(cx); cf(ax+b)+d. Tudja a függvények jellemzéséhez használt fogalmak pontos definícióját. Tudjon függvényeket jellemezni grafikon alapján: értékkészlet, zérushely, növedés, fogyás, szélsőérték, periodicitás, paritás, korlátosság szempontjából. Használja a konvexség és konkávság fogalmát a függvények jellemzésére. Ismerje a számsorozat fogalmát és használja a különböző megadási módjait. Tudja felírni rekurzív képlettel adott sorozat tagjait. Sorozat jellemzése; a konvergencia szemléletes fogalma. Tudjon konvergenciát igazolni definíció alapján. Tudjon feladatokat megoldani a számtani és mértani sorozatok témaköréből vegyes sorozatokkal is. Bizonyítsa a számtani és a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggéseket, valamint az összegképleteket. Ismerje a végtelen mértani sor fogalmát, összegét. Tudja a kamatos kamatra vonatkozó képletet használni, s abból bármelyik ismeretlen adatot kiszámolni. Tudjon gyűjtőjáradékot és törlesztő részletet számolni. Tudjon inverz függvényt képezni, ismerje az inverz létezésének feltételeit. Tudja függvények tulajdonságait az alapfüggvények ismeretében transzformációk segítségével meghatározni, korlátosság szempontjából jellemezni. Ismerje monoton, korlátos és konvergens sorozatok közötti kapcsolatokat. Tudjon határértéket számolni nevezetes sorozatok és határérték-tételek segítségével. 61

62 4. Geometria, koordinátageometria, trigonometria TÉMÁK Vektorok síkban és térben Trigonometria Koordinátageometria Pontok, vektorok Minimum szint (emelt szint) Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket: - vektor koordinátái, - a vektor 90 -os elforgatottjának koordinátái, - vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátái, - skalárszorzat kiszámítása koordinátákból. Tudja bizonyítani a skalárszorzat koordinátákból való kiszámítására vonatkozó összefüggést. Vektorok alkalmazása feladatokban. Tudjon szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Függvénytáblázat segítségével tudja alkalmazni feladatokban az addíciós összefüggéseket: sin(α+β), cos(α+β), tg(α+β) sin2α, cos2α, tg2α. Tudjon trigonometrikus egyenleteket, egyenlőtlenségeket megoldani. Tudja alkalmazni megoldáskor az addíciós tételeket. Tudja és használja a szinusz- és a koszinusztételt. Bizonyítsa a szinusz-és a koszinusztételt. Tudjon számolásokat végezni általános háromszögben. A trigonometria alkalmazása helymeghatározásban. Tudja meghatározni AB vektor koordinátáit, abszolút értékét, két pont távolságát, szakasz felezőpontját, harmadoló pontját, ezeket feladatokban alkalmazni. 62 Ismerje a háromdimenziós vektorokat.

63 Egyenes Kör Kúpszeletek Igazolja szakasz felezőpontja és harmadoló pontjai koordinátáinak kiszámítására vonatkozó összefüggéseket. Tudja a háromszög súlypontjának koordinátáit felírni, alkalmazni feladatokban. Igazolja a háromszög súlypontjának koordinátáira vonatkozó összefüggést. Tudja felírni és levezetni különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenletét. Tudjon egyenesek metszéspontját számolni. Ismerje egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételeit.. Tudja felírni adott középpontú és sugarú körök egyenletét. A kör egyenletének levezetése. Ismerje a kör és a két ismeretlenes másodfokú egyenlet kapcsolatát. Kör és egyenes metszéspontjának meghatározása. Tudja meghatározni két kör kölcsönös helyzetét, illetve metszéspontjaik koordinátáit. Tudja felírni a kör adott pontjában húzott érintő, illetve külső pontból húzott érintő egyenletét. Tudja és használja a koordinátageometriai eszközöket elemi háromszög- és négyszög-geometriai feladatok megoldásához A parabola x 2 = 2py alakú egyenletének levezetése. Tudjon feladatokat megoldani a koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyű parabolákkal. Ismerje ellipszis és hiperbola definícióját, egyenletét. 63

64 SPECIALIZÁCIÓ 12. ÉVFOLYAM 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok TÉMÁK Matematikai logika Minimum szint (középszint) Ismerje a logikai műveletek (konjunkció, diszjunkció, negáció) jelentését, tudja használni és összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel. Értse és használja helyesen az implikációt és az ekvivalenciát. Használja helyesen a minden, van olyan kvantorokat. (emelt szint) Ismerje a logikai műveletek tulajdonságait. Alkalmazza tudatosan a nyelv logikai elemeit. 3. Függvények, az analízis elemei TÉMÁK Az egyváltozós valós függvények analízisének elemei Határérték, folytonosság Differenciálszámítás Minimum szint (középszint) Ismerje a végesben vett véges, a végtelenben vett véges és a tágabb értelemben vett határérték szemléletes fogalmát. A folytonosság szemléletes fogalma. Ismerje a polinom függvények, az egyszerű racionális törtfüggvények, a sinx/x függvény határértékét véges helyen és végtelenben. Tudja a differencia- és differenciálhányados definícióját. Ismerje az összeg, konstans szoros, szorzat- és hányados függvény deriválási szabályait. Tudja bizonyítani, hogy (x n ) = nx n-1, n N esetén. 64 (emelt szint) Tudjon összetett függvényt deriválni.

65 Integrálszámítás Ismerje a trigonometrikus függvények deriváltját. Alkalmazza a differenciálszámítást: - érintő egyenletének felírására, - szélsőérték-feladatok megoldására, - polinom függvények (menet, szélsőérték, görbület) vizsgálatára. Ismerje folytonos függvényekre a határozott integrál szemléletes fogalmát és tulajdonságait. Ismerje a kétoldali közelítés módszerét, az integrálfüggvény fogalmát, a primitív függvény fogalmát, valamint a Newton-Leibniz-tételt. Tudja polinom függvények, illetve a szinusz és koszinusz függvény grafikonja alatti területet számolni. Ismerje az exponenciális és a logaritmus függvények deriváltját. Ismerje a parciális integrálás módszerét. Tudja egyszerű esetben forgástest térfogatát integrállal kiszámolni. 4. Geometria, koordinátageometria, trigonometria TÉMÁK Minimum szint (középszint) (emelt szint) Térbeli alakzatok Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint. Henger, kúp, gúla, hasáb, gömb, csonka gúla, csonka kúp ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban. Kerület, terület Ismerje a kerület és a terület fogalmát. Kerület- és területszámítási feladatok. A kétoldali közelítés módszerének gondolata. Felszín, térfogat Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát.. Tudja egyenes hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonka gúla és csonka kúp felszínének és térfogatának kiszámítását. Összetett térgeometriai feladatok megoldása 65

66 5. Valószínűség számítás, statisztika TÉMÁK Leíró statisztika Statisztikai mutatók Valószínűség számítás és statisztika Véletlenjelenségek jellemzése, valószínűség Minimum szint (középszint) Ismerje az adathalmazok egyesítése és átlaguk közötti kapcsolatot. Ismerje és használja a következő fogalmakat: terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás. Tudjon számolni szórást adott adathalmaz esetén számológéppel. Tudjon összehasonlítani adathalmazokat a tanult statisztikai mutatók segítségével. Véges sok kimenetel esetén szimmetria-megfontolásokkal számítható valószínűségek (egyenlő esélyű elemi eseményekből) egyszerű feladatokban. Értse az esemény, eseménytér fogalmát konkrét példák esetén. Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: feltételes valószínűség, függetlenség, függőség, események egyesítésének, metszetének és komplementerének valószínűsége. A klasszikus (Laplace-) modell ismerete. Geometriai valószínűség. Szemléletes kapcsolat a relatív gyakoriság és a valószínűség között. Ismerje és alkalmazza a várható érték, szórás fogalmát diszkrét, egyenletes és binomiális eloszlás esetén. 66 (emelt szint) Értelmezze szemléletesen az adathalmaz eloszlása, számtani közepe és szórása közötti kapcsolatot, és használja azt. (Az adatok hány százaléka esik az átlag szórásnyi, kétszórásnyi, háromszórásnyi környezetébe.) Ismerje a valószínűség axiomatikus értelmezését.

67 A sokaság paraméterének ismeretében a minta relatív gyakoriságának becslése Valószínűségek kiszámítása visszatevéses mintavétel estén. A binomiális eloszlás (visszatevéses modell) és a hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli modell) tulajdonságai és ábrázolása. Ismerje a várható érték, szórás fogalmát és tudja kiszámolni diszkrét egyenletes és a binomiális eloszlás esetén. Intervallumbecslés a relatív gyakoriságra (adott valószínűséggel milyen intervallumba esik a relatív gyakoriság). MATEMATIKA SZAKISKOLA osztály 9. évfolyam 1. A gondolkodás élménye 67

68 Témakör A gondolkodás élménye 2. A világ számokban, számok a világban A továbbhaladás feltételei / Minimum követelmények/ Fejtörők, találós kérdések, nyerő stratégiák Tangramok Tárgyak, építmények előállítása Transzformációk és tulajdonságaik felfedeztetése az épített és a természetes környezetben Matematika történeti érdekességek Tudjon egyszerű szövegeket értelmezni, feladatokat visszamondani, problémákat megérteni Képes kérdéseket feltenni, amelyek elvezetik a helyes megoldáshoz A vitakultúra szabályainak megfelelő részvétel a közös munkában Keresi és eddigi tudásának kontextusába beépíti a műveltségterülethez tartozó új információkat Egyszerű kiválasztási és sorba rendezési feladatok megoldása Szimbólumok értelmezése Adott feltételnek eleget tevő számok keresése helyiérték-táblázat és számkártyák segítségével Képes előállítani 3 elem különböző sorrendjét, keresi az összes lehetséges esetet a feladatmegoldás során Tudjon egyszerű sorba rendezési, kiválasztási kombinatorikai feladatokat megoldani Témakör Matematikai problémák vizsgálata A számolás kezdetei, matematika történeti A továbbhaladás feltételei / Minimum követelmények/ 68

69 előzmények Kisebb, nagyobb, egyenlő, ugyanannyi, több, kevesebb fogalmak Összehasonlítás, adott tulajdonságok szerinti sorba rendezés Becslés, kerekítés Különböző elemek halmazba sorolása Halmazok elemszámának becslése A számfogalom mélyítése, bővítése Egész számok írása, olvasása, számok helyi értéke, alaki értéke, valódi értéke A tízes számrendszer, kettes számrendszer Számegyenes Számok nagyság szerinti rendezése Számok abszolút értéke és a távolság kapcsolata Hosszúság mérése Mértékegységek Mérés választott és szabvány mértékegységek segítségével Mértékegységek választása mérendő menynyiséghez Római számok írása, olvasása Műveletek és alkalmazásuk Kisebb, nagyobb, egyenlő relációk biztos alkalmazása Tudjon nagyság szerint sorba rendezni Tudjon eredményeket megbecsülni Ismerje és alkalmazza a kerekítés szabályait Legyen képes megtalálni a dolgok közös tulajdonságait, melyek alapján csoportosíthat A számjelek biztos ismerete, számok helyi értékének és alaki értékének ismerete Biztosan és pontosan írja az olvasott és hallott egész számokat milliós számkörben A tízes számrendszer biztos ismerete El tudja rendezni a számokat a kért sorrendben Jól tájékozódik a tízes számrendszerben Az egész számokat biztosan helyezi el, illetve olvassa le a számegyenesről Meg tudja határozni egész számok abszolút értékét a számegyenes segítségével A hosszúság mértékegységeinek biztos használata, átváltásuk, kerekítésük ismerete és alkalmazása Ismerje a római számokat 69 Képes egyszerűbb esetekben általánosítani, modelleket készíteni, a már meglévő ismereteihez hozzáilleszteni az új ismereteket Ismerje a kettes számrendszert Tudjon átírni tízes alapú számrendszerből kettes alapú számrendszerbe és fordítva Tudjon más számrendszerekről Ismerje az abszolút érték definícióját

70 A négy alapművelet felidézése és elvégzése fejben pozitív egész számok körében A 0 és az 1 szerepe Kerekítés, becslés, közelítő érték, pontos érték, gyakorlati alkalmazásuk Műveleti tulajdonságok, kapcsolatok a különböző műveletek között Műveleti sorrend, zárójel használat Írásbeli számolási eljárások ismétlése, gyakorlása Szövegelemzés, matematikai modell keresése A szöveg, rajz alapján felírt műveletek elvégzése Szövegalkotás adott összefüggések ismeretében Az ellenőrzés különböző lehetőségei Számfogalom bővítése, törtszámok Egy illetve több egész egyenlő részekre osztása Törtek nagyságának összehasonlítása Tizedes törtek Közönséges törtek egyszerűsítése, bővítése Közönséges tört felírása tizedes tört alakban, véges tizedes tört felírása közönséges tört alakban Alapműveletek törtekkel Műveleti tulajdonságok Kapcsolatok a különböző műveletek között Műveleti sorrend, zárójel használata Az alapműveletek biztos elvégzése a pozitív egész számok körében / egyszerűbb esetben fejben/ A 0 és az 1 szerepének ismerete az alapműveletek esetén A kerekítés szabályainak biztos alkalmazása a természetes számok körében Ismeri a műveleti tulajdonságokat, alkalmazza a műveletek közötti kapcsolatokat Biztosan írja le matematikai szimbólumokkal a szövegesen megfogalmazott műveleti kapcsolatokat és jól oldja meg azokat a pozitív egész számok körében Képes megbecsülni a várható eredményt és ellenőrzi a megoldást Ismerje közönséges és a tizedes tört fogalmát, tudja a törteket nagyság szerint összehasonlítani Tudjon törtet egyszerűsíteni és bővíteni Biztosan alakít át közönséges törtet tizedes törtté és véges tizedes törtet közönséges törtté 70 Ismerje és használja feladatokban az alapműveletek műveleti azonosságait /kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás/ Ismerje a racionális, az irracionális szám fogalmát és a valós számkör felépítését

71 Egész meghatározása törtrészből, törtrész meghatározása egészből, következtetéssel, algoritmussal Századrész és százalék kapcsolata A technika értő igénybevétele Zsebszámológépek szabályos, célszerű használata Várható eredmény nagyságrendjének becslése Helyesen tudja alkalmazni a törtekkel végzett műveletek szabályait két tag illetve két tényező esetén Ismerje a századrész és a százalék kapcsolatát Biztosan és célszerűen használja a zsebszámológépét Becsülje meg a várható eredményt, végezzen ellenőrzést Hatvány A hatvány fogalma, elnevezések A hatványozás és a szorzás közti különbség megértése Hatványértékek becslése Számok négyzetének, köbének, további hatványainak kiszámítása egyszerű esetekben fejben és számológéppel Négyzetgyök A négyzetgyök fogalma Adott szám négyzetgyökének becslése és kiszámítása zsebszámológéppel vagy táblázattal Ismeri a hatvány fogalmát és az elnevezéseket/ hatványalap, hatványkitevő, hatványérték/ Nem keveri össze a hatványozás és a számmal való szorzás műveletét Biztosan számolja ki pozitív számok négyzetét, köbét Meg tudja becsülni a várható hatványértéket Számok meghatározása négyzetük ismeretében. Legalább egy módszerrel a négyzetgyök kiszámítása /fejben, táblázattal vagy zsebszámológéppel/ Számok különböző hatványainak kiszámítása Ismeri a negatív számok páros illetve páratlan kitevőjű hatványaira vonatkozó összefüggést Négyzetgyök számolása fejben. Négyzetgyök fogalmának értő alkalmazása egyszerű feladatokban 71

72 Témakör 3. A mindennapok matematikája A továbbhaladás feltételei /Minimum szint/ Arány, arányosság Arány, aránypár Egyenes és fordított arányosság és ábrázolása. Egyszerű arányossági feladatok. Szöveges feladatok. Százalékszámítás A százalék fogalma Alap, százalékérték, százalékláb fogalma, kapcsolatuk. Százalékszámítási feladatok megoldása következtetéssel, aránypárral. Arány, aránypár fogalmának értő alkalmazása a feladatok megoldása során. Egyszerű egyenes arányossági feladatok megoldása A százalék fogalmának használata konkrét feladatokban. Egyszerű százalékszámítási feladatok megoldásának megtalálása és annak érthető kommunikációja. Képes egy-két lépésben megoldható százalékszámítási feladatok megoldását tetszőleges módszerrel kiszámítani Egyenes és fordított arányosság felismerése a környezet egyszerűbb jelenségeiben, eseményeiben. Tudja az egyenes és fordított arányosság definícióját és grafikus ábrázolásukat Tudjon arányossági feladatokat megoldani Több lépésben megoldható százalékszámítási feladat megoldása tetszőleges módszerrel. 72

73 Százalékszámítási feladatok képlettel való kiszámítása, szöveges százalékszámítási feladatok. Képes a szakmában, a mindennapi életben előforduló, konkrét arányossági és százalékszámítási feladatok megoldására Matematikai ismeretek alkalmazása a saját életét befolyásoló döntéseiben./ Lakáskölcsön, egyéb hitelkonstrukciók feltételének vizsgálata Témakör Mértékegységek Mérési lehetőségek Alapmennyiségek megválasztása származtatott mennyiségek alkalmazása Tízes alapú mértékegységek: hosszúság/kerület, terület/felszín, térfogat/űrtartalom, tömeg. Nem tízes alapú mértékegységek: idő, fok. 4. Mérünk, hasonlítunk A továbbhaladás feltételei / Minimum szint/ Adott mértékegységgel mérést tud elvégezni. Ki tudja választani a megfelelő mértékegységet az adott méréshez és azt használja. Biztosan váltja át a mértékegységeket egyszerű gyakorlati feladatokban. Alapműveletek végzése a gyakorlati feladatokban, a megfelelő mértékegységek feltüntetésével. Mértékek alkalmazása a gyakorlati életben. Felfedezések a síkban Síkbeli alakzatok összehasonlítása, csoportosítása közös tulajdonságok alapján. Tulajdonságokkal adott síbeli alakzatok felismerése, megrajzolása. Képes alakzatokat adott tulajdonság szerint csoportosítani Képes felismerni és megnevezni a tanult síkidomokat /különböző típusú háromszögek, négyszögek, kör/ ábra alapján 73 Képes egyszerű tervrajzokat értelmezni. Ismeri a térelemeket és a szög fogalmát Ismeri a szögek nagyság szerinti osztályozását és a nevezetes szögpárokat

74 Pont, egyenes, félegyenes, szakasz Párhuzamos, merőleges Szög fogalma, szögek fajtái, mérése Háromszög, négyszög, szabályos sokszög, kör fogalma, tulajdonságai Síkidomok csoportosítása, egybevágóságuk, hasonlóságuk Síkidomok halmazba sorolása tulajdonságok alapján: oldalak száma, átlók száma, stb. Háromszögek, négyzet, téglalap, rombusz, paralelogramma, trapéz, deltoid, sokszögek, kör, körcikk Egybevágóság, hasonlóság fogalma Módszerek egyszerű síkbeli alakzatok kerület- és területszámítására Le tudja rajzolni azt a síkidomot, amelyről beszél Meg tudja különböztetni és le tudja rajzolni a különböző szögfajtákat Tudja a háromszög,négyszög, szabályos sokszög és kör fogalmát és ismeri tulajdonságaikat Képes önállóan halmazokba rendezni síkidomokat, felismerni a közös tulajdonságaikat Képes lerajzolni egy síkidomot tulajdonságai ismeretében Felismeri az egybevágóságot, hasonlóságot és alkalmazza a probléma megoldása során Megoldja a kijelölt kerület- és területszámítási feladatot az általa kiválasztott módszerrel /Képlet vagy darabolás segítségével/ háromszög, négyzet, téglalap, kör esetén Tudja a térelemek távolságára és szögére/ pont és egyenes pont és sík, párhuzamos egyenesek, párhuzamos síkok távolsága; két egyenes, egyenes és sík, két sík hajlásszöge/ vonatkozó meghatározásokat Ismeri a síkidomok csoportosítását különböző szempontok szerint Ismeri és alkalmazza az alapvető összefüggéseket háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között Ismeri és alkalmazza a speciális háromszögek, a négyszögek, a sokszögek és a kör tulajdonságait Ismeri és alkalmazza a háromszög, a négyzet, a téglalap, a rombusz, a paralelogramma, a deltoid, a trapéz, a szabályos sokszögek és a kör kerület- és területképletét. Szerkesztési eljárások Egyszerű szerkesztési eljárások felelevenítése, alkalmazása Merőleges és párhuzamos egyenes szerkesz- Képes egyszerű szerkesztéseseket elvégezni: szakasz és szög másolása, szögfelező egyenes, szakaszfelező merőleges, egyenes egy 74 Képes több lépésből álló szerkesztési feladatokat elvégezni

75 tése, szakaszfelező merőleges, szögfelező, egyenes adott pontjába merőleges, egyenesre külső pontból merőleges, egyenessel párhuzamos egyenes-pár szerkesztése Szögek szerkesztése Szakasz adott arányos felosztása szerkesztéssel Háromszögek, szabályos sokszögek Háromszögek nevezetes pontjainak, vonalainak rajzolása, megnevezése A fogalmak pontos definiálása, rögzítése: magasságvonal, magasságpont, súlyvonal, súlypont, a háromszögbe írható kör középpontja, a háromszög köré írható kör középpontja, háromszög középvonalai Szabályos háromszög, négyszög, hatszög, tízszög, tizenkétszög, kör Geometriai transzformációk Alakzatok megfigyelése, összehasonlításuk Transzformációk: tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás, elforgatás, nagyítás, kicsinyítés A transzformációk tulajdonságai adott pontjába merőleges egyenes, egyenesre külső pontból merőleges, egyenessel párhuzamos egyenes-pár Szögek szerkesztése /60, 30, 90, 45, / Képes adott vagy mért adatok alapján rajzot készíteni Alkalmazza az alapszerkesztéseket, egyéb szerkesztési eljárásokat Pontosan megnevezi a nevezetes pontokat és vonalakat adott ábrán: magasságvonal, magasságpont, súlyvonal, súlypont, a háromszögbe írható kör és a háromszög köré írható kör középpontja, a háromszög középvonala Felismeri a szabályos alakzatot, tudja azt szerkeszteni, darabolással a területét számolni, kerületét meghatározni Képes alkalmazni a transzformációs eljárásokat: tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás, elforgatás, nagyítás, kicsinyítés Képes felismerni szimmetriákat alakzatokon, valamint a természetes és épített környezetben Pontos rajzokat készít adott vagy mért adatok alapján Tudja és alkalmazza a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozódefiníciókat és tételeket/ oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, középvonal, körülírt illetve beírt kör/ Szakmai jellegű rajzokat értelmez, készít Ismeri és alkalmazza geometriai transzformációk tulajdonságait 75

76 Témakör Matematikai problémák vizsgálata Gyakorlati feladatok a mindennapi életből. Matematikatörténeti érdekességek Egyszerű kiválasztási és sorba rendezési feladatok megoldása Halmazok, logika Számhalmazok, ponthalmazok Véges és végtelen halmazok Az és, vagy, nem, ha, akkor értelmezése, alkalmazása Műveletek halmazokkal Valószínűség, statisztika A kombinatorikus és a geometrikus valószínűség szemléletes előkészítése 10. ÉVFOLYAM 5. A gondolkodás élménye A továbbhaladás feltételei / Minimum szint/ Információforrások értő, elemző olvasása. Képes három különböző elem sorrendjének előállítására, az összes lehetőség megkeresésére Kapcsolatok szemléltetése egyszerűbb esetekben halmazábrák segítségével Két halmaz metszetének, uniójának meghatározása egyszerű, konkrét esetekben Részhalmaz fogalmának ismerete, felismerése halmazábra segítségével 76 Képes több különböző elem sorrendjének előállítására Ismeri és használja a halmazok megadásának különböző módjait Két halmaz uniójának, metszetének és különbségének meghatározása Képes áttekinteni egy gyakorlati probléma megoldásának lehetőségeit, felmérni az esé-

77 Grafikonok értelmezése, készítése egyszerű esetekben Átlagszámítás Tud átlagot számolni legfeljebb 10 elem esetén lyeket, kiválasztani a maga és mások számára kínált jó lehetőségeket, képes becslést adni a teljesülés esélyére 6. Hatványozás, normálalak Hatványozás A hatvány fogalma Témakör A hatványozás azonosságai Számok normálalakja Normálalak fogalma Különböző nagyságrendű számok normálalakjának meghatározása A továbbhaladás feltételei / Minimum szint/ Pozitív és negatív egész kitevőjű hatványok Képes megbecsülni hatványértékeket egyszerű esetekben Képes a tanult azonosságok használatának felismerésére és alkalmazására egyszerű, pozitív egész kitevős hatványok esetén Egyszerű esetekben konkrét számot biztosan felír normálalakban Adott szám normálalakjából fel tudja írni a számot Biztosan alkalmazza a hatványozás azonosságait számok normálalakjával végzett kéttényezős szorzás és osztás esetén 7. A mindennapok matematikája 77 A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén Ismeri és alkalmazza a hatványozás azonosságait Alkalmazza a hatványozás azonosságait számok normálalakjával végzett többtényezős szorzás és osztás esetén

78 Témakör Függvény szemléletes fogalma Oszlopdiagramok, kördiagramok olvasása, készítése Kapcsolatok értelmezése, azokhoz grafikonok készítése, jellemzése A függvény szemléletes fogalma, megadásának módjai Lineáris függvény ábrázolása, jellemzése a grafikon alapján Másodfokú függvény és egyszerű transzformációi Százalék- és kamatszámítások Egyszerű százalékszámítási feladatok Kamat fogalma, kamatszámítás egyszerű esetekben Kamatos kamat számítása A továbbhaladás feltételei / Minimum szint/ Helyesen értelmezi a környezetben található egyszerűbb diagramokat, grafikonokat Tud konkrét adatok alapján diagramot készíteni Biztosan ábrázol pontokat a koordinátarendszerben, jól olvassa le azok koordinátáit Képes biztosan felrajzolni egy lineáris függvény képét Felismeri a lineáristól különböző függvényeket Egyszerű gyakorlati problémákat meg tud oldani százalékszámítási ismereteit képes alkalmazni Kamatszámítási ismereteit alkalmazni tudja Ismeri a függvénytani alapfogalmakat /értelmezési tartomány, értékkészlet, hozzárendelés, helyettesítési érték, képhalmaz/ Tud lineáris függvényt jellemezni Tud másodfokú függvény ábrázolni és jellemezni, és néhány lépésből álló transzformációt igénylő függvényt ábrázolni Kamatos kamat számítása, alkalmazása a gyakorlati életben Témakör Lineáris kapcsolatok Lineáris növekedés, csökkenés megjelenése a mindennapokban, leírásuk a matematika nyel- 8. A kapcsolatok matematikája A továbbhaladás feltétele / Minimum szint / Észreveszi a lineáris változásokat Fel tudja írni matematikai szimbólum segítsé- 78

79 vén Változó mennyiségek közötti kapcsolatok felismerése, megjelenítése szimbolikus jelekkel, vázlat, rajz, ábra készítése Kapcsolatkeresés összetartozó mennyiségek között, a kapcsolat megfogalmazása, megoldása következtetéssel Szöveges feladatok szövegének értelmezése, megértése, lefordítása a matematika nyelvére Algebrai egész kifejezések Betűket tartalmazó egyszerű kifejezések felírása, értelmezése, helyettesítési értékek kiszámolása Behelyettesítés algebrai kifejezésekbe, tanult fizikai, geometriai képletekbe Elsőfokú, egyváltozós algebrai egész kifejezések és összevonásuk Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Egyszerű elsőfokú egyenletek megoldása következtetéssel, lebontással, grafikus, táblázatos, közelítéses megoldással A megoldás menetének pontos leírását segítő eljárások ismertetése Elsőfokú egyenletek algebrai megoldása során alkalmazott azonos átalakítások, mérlegelv Szöveges feladatok megoldása Egyszerű fizikai, kémiai képletek átrendezése Több mennyiség lineáris változása Egyszerű elsőfokú kétismeretlenes egyenletek megoldása grafikusan, következtetéssel, táblá- gével a lineáris kapcsolatokat Helyesen alkalmazza a változás, a reláció fogalmát Egyszerű szöveges feladatokat értelmez, megért Biztosan tudja számolni az algebrai kifejezések helyettesítési értékét konkrét számokkal egész számkörben legfeljebb három ismeretlen esetén Képes behelyettesíteni algebrai kifejezésekbe illetve tanult fizikai, geometriai képletekbe Felismeri az algebrai egyváltozós kifejezéseket Biztosan oldja meg az elsőfokú egyenletet, amely legfeljebb egy zárójelpárt tartalmaz Ellenőrzi a kapott eredményt az egyenletbe történő behelyettesítéssel, szöveges feladat esetén a szövegbe való behelyettesítéssel Fel tud állítani elsőfokú két ismeretlenes egyenletrendszert 79 Másodfokú egyenlet megoldására vonatkozó összefüggés bemutatása

80 zattal Behelyettesítő, egyenlő együtthatók módszerének megismerése Szöveg alapján egyenletrendszer, egyenletrendszer alapján szöveg felírása Megoldja az elsőfokú két ismeretlenes egyenletrendszert az általa választott módszerrel A szöveges feladatokat lefordítja a matematika nyelvére és megoldja azokat Ellenőrzi a kapott eredményt és megvizsgálja annak valóságtartalmát Témakör Pitagorasz-tétel Elnevezések a derékszögű háromszögben Pitagorasz-tétel és megfordításának megfogalmazása A Pitagorasz-tétel alkalmazása szakmai számításokban Irracionális hosszúságú szakasz hosszának megszerkesztése Szögfüggvények Szögmérés 9.Összefüggések a derékszögű háromszögben A továbbhaladás feltételei / Minimum szint / Biztosan alkalmazza a hosszabb, rövidebb, szélesebb, keskenyebb, ugyanolyan hosszú kifejezéseket Alkalmasan választja ki a mértékegységeket Biztosan választja ki a háromszögek közül a derékszögű háromszögeket Tudja számítani a derékszögű háromszög oldalainak hosszát Pitagorasz-tétellel Képes előállítani derékszögű háromszöget adatokból Alkalmazza szög mérésének technikáját 80 Irracionális hosszúságú szakasz hosszának megszerkesztése

81 Arányok felírása derékszögű háromszögben Az arány értékének és a hegyesszögek nagyságának összehasonlítása szögfüggvények definíciója, értelmezése Adott szöghöz tartozó szögfüggvényértékek meghatározása táblázattal vagy zsebszámológéppel Síkidomok hiányzó adatainak meghatározása Biztosan meg tudja határozni a szögek szögfüggvény értékeit és a szögfüggvényértékekből a hozzá tartozó hegyesszöget táblázattal vagy zsebszámológéppel Képes derékszögű háromszög adatait kiszámítani Tudja a szögfüggvényeket alkalmazni egyenlő szárú háromszög és rombusz hiányzó adatainak kiszámítására Tudja a szögfüggvényeket alkalmazni térbeli feladatok esetén is /négyzet alapú gúla, egyenes körkúp,stb / Témakör Tájékozódás a térben Testek megnevezése, tulajdonságai, képi megjelenítésük kétdimenziós rajzon Kocka, négyzetes oszlop, téglatest, henger, négyzet alapú gúla, kúp, gömb Testek csoportosítása jellemző adatainak alapján Kiterített palást rajzolása a test elkészítéséhez szükséges anyagmennyiség kiszámolásához Testek felszínének és térfogatának számítása 10. Alakzatok a térben A továbbhaladás feltételei / Minimum szint / Felismeri a különböző típusú testeket Össze tudja hasonlítani a tárgyakat adott tulajdonságok alapján Megbízható módon számítja ki testek felszínét és térfogatát kocka, téglatest és henger esetén Biztosan váltja át a térfogat mértékegységeit Ki tudja számítani a négyzet alapú gúla, a kúp és a gömb felszínét és térfogatát A tanult testek esetében hiányzó adatok kiszámítására tudja alkalmazni a térfogat illetve felszín értékeket 81