Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet
|
|
- Zsanett Papné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet
2 c Ljkó Károly mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn letölthető következő címről: ljko/jegyzet.html Ez jegyzet AMS-TEX-ben készült Szedés és tördelés: Kovács László 2
3 TARTALOMJEGYZÉK I. Vektorterek, Euklideszi terek, metrikus terek Vektortér, euklideszi tér és metrikus tér foglm Az R n euklideszi tér R n és metrikus tér topológiáj Feldtsor II. A Riemnn-integrál áltlánosítás és lklmzás Korlátos változású függvények Riemnn-Stieltjes integrál Görbék ívhossz Görbementi integrál Feldtsor III. Soroztok R n -ben és metrikus térben Alpfoglmk és kpcsoltuk Soroztok és műveletek, illetve rendezés Részsoroztok Cuchy-soroztok IV. Többváltozós és vektorértékű függvények folytonosság, htárértéke Alpfoglmk Folytonosság foglm Folytonosság és műveletek Folytonosság és topologikus foglmk A htárérték foglm Htárérték és műveletek illetve egyenlőtlenségek A htárérték és folytonosság kpcsolt V. A többváltozós függvények differenciálszámítás
4 1. További lineáris lgebri előismeretek A differenciálhtóság Iránymenti és prciális derivált Differenciálási szbályok Középértéktételek és következményeik Mgsbbrendű deriváltk, Young és Tylor tétele Lokális szélsőérték Inverzfüggvény-tételek Implicit függvények Feltételes szélsőérték Feldtsor VI. Riemnn-integrál R k -bn Riemnn-integrál téglán Riemnn-integrál korlátos R n -beli hlmzon Jordn-mérhető hlmzok R n -ben Integráltrnszformáció Feldtsor VII. Differenciálegyenletek Differenciálegyenlet foglm Kezdeti érték problém vgy Cuchy-feldt Elemi úton megoldhtó differenciálegyenlet-típusok Egzisztenci-tételek Cuchy-feldtokr Mgsbbrendű lineáris differenciálegyenletek Feldtsor
5 I. VEKTORTEREK, EUKLIDESZI TEREK, METRIKUS TEREK 1. Vektortér, euklideszi tér és metrikus tér foglm 1. Definíció. Legyen dott egy V hlmz (elemeit vektoroknk nevezzük). Tegyük fel, hogy értelmezve vn két művelet: vektorok összedás, melyet x, y V -re x + y, sklárrl vló szorzás, melyet x V λ R esetén λx jelöl. V -t e két művelettel vektortérnek, (vgy lineáris térnek) nevezzük, h x, y, z V, λ, µ R esetén 1) x + y = y + x (kommuttivitás), 2) x + (y + z) = (x + y) + z (sszocitivitás), 3) 0 V, x + 0 = x (nullelem létezése), 4) x V, x V, x + ( x) = 0 (inverzelem létezése), 5) 1 x = x, 6) λ(µx) = (λµ)x, 7) (λ + µ)x = λx + µx, λ(x + y) = λx + λy (disztributivitás). 2. Definíció. H V egy vektortér, kkor, : V V R függvényt skláris, vgy belsőszorztnk nevezzük, h x, y, z V λ, µ R esetén 1) x, y = y, x, 2) x + y, z = x, z + y, z, 3) λx, y = λ x, y, 4) x, x 0, x, x = 0 x = 0 teljesül. 3. Definíció. Egy V vektorteret, rjt egy skláris (vgy belső) szorzttl, belsőszorzttérnek, vgy (néh csk vlós értékű skláris szorzt esetén) euklideszi térnek nevezünk. 4. Definíció. H V belsőszorzttér, kkor z x V vektor hosszán, vgy euklideszi normáján z x. = x, x számot értjük. 5
6 1. Tétel. Az euklideszi normár teljesül: 1) x 0, x = 0 x = 0, x V, 2) λx = λ x x V, λ R, 3) x + y x + y x, y V. Bizonyítás. Gykorlton. Megjegyzés: Minden z 1)-3) tuljdonságot teljesítő. : V R függvényt normánk nevezünk V -n. 5. Definíció. H V belsőszorzttér (vgy euklideszi tér) kkor z x, y V vektorok euklideszi távolságán d(x, y). = x y számot értjük és zt mondjuk, hogy d : V V R függvény távolság, vgy metrik V -ben. 2. Tétel. A V -beli euklideszi távolságr teljesül: 1) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y, x, y V, 2) d(x, y) = d(y, x) x, y V, 3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z V. Bizonyítás. A norm tuljdonsági lpján egyszerű, gykorlton. 6. Definíció. Legyen X egy nemüres hlmz. H értelmezve vn egy d : X X R függvény z 1) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y, x, y X, 2) d(x, y) = d(y, x) x, y X, 3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X tuljdonságokkl, kkor zt mondjuk, hogy d metrik X-en és X-et metrikus térnek nevezzük. Jelölés: (X, d). Megjegyzés: R d(x, y). = x y, míg V euklideszi tér d(x, y). = x y metrikávl metrikus tér. 7. Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér. Az X r (> 0) sugrú nyílt gömbkörnyezetén K(, r). = {x X d(x, ) < r} hlmzt értjük. 8. Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér. H X korlátos, h H = vgy H esetén r R, hogy x, y H-r d(x, y) r. Ekkor dim H. = sup{d(x, y) x, y H} számot H átmérőjének nevezzük. 6
7 Megjegyzés: Egyszerűen beláthtó, hogy H X (H ) pontosn kkor korlátos, h X r R, hogy d(x, ) < r x H esetén. 2. Az R n euklideszi tér 1. Definíció. Legyen R 1. = R, és h n N-re már Rn értelmezett, kkor R n+1. = R n R. R n elemeit (x 1,..., x n )-nel jelöljük és rendezett vlós szám n-eseknek nevezzük, hol (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y n ) x 1 = y 1,..., x n = y n. H x. = (x 1,..., x n ) R n, kkor z x i -ket z x koordinátáink, R n elemeit pontoknk, vgy vektoroknk is nevezzük. Szokásos z R n. = 1 R n R jelölés is és zt is mondjuk, z R n R önmgávl vett n-szeres Descrtes-szorzt. 2. Definíció. Legyen dott z R n hlmz és értelmezzük benne z összedás és sklárrl vló szorzás műveletét x + y. = (x 1 + y 1,..., x n + y n ), illetve λx. = (λx 1,..., λx n ) szerint, h x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n λ R. 1. Tétel. R n most értelmezett két művelettel vektortér (vgy lineáris tér). Bizonyítás. A vektortér 1)-7) tuljdonsági egyszerűen ellenőrizhetők. A nullelem: 0. = ( 1 0,..., n 0). 2. Tétel. H x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, úgy skláris (vgy belső) szorzt R n -ben. x, y. = x 1 y x n y n Bizonyítás. A belsőszorzt 1)-4) tuljdonságánk ellenőrzésével. 3. Tétel. H x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, kkor z x =. x, x =. n x 2 i, illetve d(x, y) =. x y =. n (x i y i ) 2 i=1 7 i=1
8 szerint definiált norm, illetve távolság (metrik) teljesíti norm, illetve metrik tuljdonságit. Bizonyítás. Egyszerű (feldt). Megjegyzések: 1. A 2., 3. tételben definiált skláris (belső) szorzttl, normávl, illetve távolsággl (metrikávl) R n euklideszi tér, euklideszi normávl és metrikávl. (R n, d)-t n-dimenziós euklideszi térnek is nevezik. 2. H n = 1, úgy d(x, y). = x y (x, y R) távolsággl (R 1, d) = (R, d) metrikus tér, hiszen d teljesíti metrik 3 tuljdonságát. 3. Az R n pont (vektor) r sugrú nyílt gömbkörnyezete K(, r). = {x R n d(x, ) < r} hlmz, hol d z R n -beli euklideszi távolság. 4. A korlátosság és z átmérő foglm (R n, d)-ben ugynz mint (X, d)-ben. Igz továbbá, hogy H (R n, d) korlátos, h r R, H K(0, r) (zz x < r x H). 3. R n és metrikus tér topológiáj Az (R n, d) konkrét és z (X, d) bsztrkt metrikus terekben egy (R n, d) (X, d) vektor, pont vgy elem r > 0 sugrú nyílt gömbkörnyezetén K(, r) = {x R n X d(x, ) < r} hlmzt értettük, hol d(x, ) =. x =. n (x i i ) 2 R n -beli, vgy pedig 2.6. definícióbn szereplő tuljdonságú d(x, ) metrik szerepel. H szükséges megkülönböztetés, kkor szokás d R n, illetve d X jelölés is z R n, illetve X-beli távolságr (metrikár). 1. Definíció. Legyen dott E (R n, d) (X, d) hlmz. Azt mondjuk, hogy x E belső pontj E-nek, h K(x, r), hogy K(x, r) E; 8 i=1
9 x R n X külső pontj E-nek, h belső pontj CE-nek (zz K(x, r), K(x, r) E = ); x R n X htárpontj E-nek, h nem belső és nem külső pontj (zz K(x, r)-re K(x, r) E K(x, r) CE ). A belső pontok hlmzát E belsejének, htárpontok hlmzát E htáránk nevezzük. 2. Definíció. Az E (R n, d) (X, d) hlmzt nyíltnk nevezzük, h minden pontj belső pont; zártnk nevezzük, h CE nyílt. 1. Tétel. Az (R n, d) (X, d) metrikus terekben igzk következők: 1) R n X nyílt hlmzok, 2) nyílt hlmzok egyesítése nyílt, 3) véges sok nyílt hlmz metszete nyílt, illetve 4) R n X zárt hlmzok, 5) zárt hlmzok metszete zárt, 6) véges sok zárt hlmz egyesítése zárt. 3. Definíció. Legyen dott E (R n, d) (X, d). Az x 0 R n X pontot z E hlmz torlódási pontjánk nevezzük, h K(x 0, r) (R n X-beli) környezet trtlmz x 0 -tól különböző E-beli pontot, zz (K(x 0, r)\{x 0 }) E. x 0 E izolált pontj E-nek, h nem torlódási pontj, zz K(x 0, r), hogy (K(x 0, r)\{x 0 }) E =. E torlódási pontjink hlmzát szokás E -vel jelölni. 2. Tétel. Az E (R n, d) (X, d) zárt, h E E (zz trtlmzz minden torlódási pontját). 3. Tétel (Bolzno-Weierstrss). S R n korlátos végtelen hlmznk létezik torlódási pontj. Megjegyzés: A tétel metrikus térben áltlábn nem igz. 4. Definíció. Nyílt hlmzok egy {o ν } rendszere z S R n X hlmznk egy nyílt lefedése, h S o ν. ν 9
10 5. Definíció. A K R n X hlmz kompkt, h minden nyílt lefedéséből kiválszthtó véges sok hlmz, mely lefedi K-t. 4. Tétel. A) (Heine-Borel) Egy K R n hlmz kompkt, h korlátos és zárt. B) H K (X, d) kompkt, kkor korlátos és zárt. 6. Definíció. Az (X, d) metrikus tér összefüggő, h nem létezik X-nek olyn nemüres o 1, o 2 nyílt részhlmz, hogy o 1 o 2 = és o 1 o 2 = X. A H ( ) X összefüggő X-ben h (H, d) összefüggő metrikus tér. (A d metrik H H-r vló leszűkítését is d-vel jelöljük, és (H, d) vlóbn metrikus tér.) 5. Tétel. (R n, d) összefüggő. 10
11 1) Bizonyíts be z 1.1. tételt. 2) Bizonyíts be z 1.2. tételt. Feldtsor 3) Bizonyíts be, hogy H R R n X korlátos, h R R n X és r > 0, hogy H K(, r). 4) Bizonyíts be, hogy R n benne értelmezett összedássl és sklárrl vló szorzássl vektortér. 5) Adottk z x = (1, 5, 5), y = ( 2, 2, 3) R 3 -beli vektorok, htározz meg z x + y, x y, 3x 1 2 y vektorokt. 6) Bizonyíts be 2.2. tételt. 7) Bizonyíts be 2.3. tételt. 8) Bizonyíts be, hogy (R n, d), illetve (X, d)-beli nyílt környezetek nyílt hlmzok. 9) Legyen A = {(x, y) x, y (0, 1) ; x, y Q} R 2. Htározz meg A torlódási pontjit, htárpontjit. Vizsgálj meg, hogy A nyílt, vgy zárt hlmz-e? 10) Legyen H R n (n 2) és H i (i = 1,..., n) H elemeinek i-edik koordinátáiból álló hlmz. Bizonyíts be, hogy H korlátos, h H i korlátos (R, d)-ben. 11) Bizonyíts be, hogy egy metrikus tér minden véges részhlmz kompkt. 11
12 12
13 II. A RIEMANN-INTEGRÁL ÁLTALÁNOSÍTÁSA ÉS ALKALMAZÁSA 1. Korlátos változású függvények 1. Definíció. Legyen f : [, b] R dott függvény, P. = { = x 0, x 1,..., x n = b} [, b] egy felosztás. A (1) V (f, [, b], P ) =. n 1 f(x k+1 ) f(x k ) k=0 összeget z f függvény ([, b] feletti) P felosztáshoz trtozó vriációjánk nevezzük. 2. Definíció. Legyen f : [, b] R dott, P z [, b] egy tetszőleges felosztás, kkor n 1 (2) V (f, [, b]) = sup V (f, [, b], P ) = sup f(x k+1 ) f(x k ) P P számot z f függvény [, b] feletti teljes (totális) változásánk (vriációjánk) nevezzük. 3. Definíció. Az f : [, b] R függvény korlátos változású [, b]-n, h (3) V (f, [, b]) < + teljesül. k=0 1. Tétel. H f : [, b] R monoton, kkor korlátos változású. Bizonyítás. H például f monoton növekvő, P egy felosztás [, b]-nek, kkor f(x k+1 ) f(x k ) 0 k-r, így n 1 V (f, [, b], P ) = (f(x k+1 ) f(x k )) = f(b) f() P -re, k=0 ezért V (f, [, b]) = f(b) f() < +, mit bizonyítni kellett. 13
14 2. Tétel. H f : [, b] R korlátos változású, kkor korlátos. Bizonyítás. Legyen x [, b] tetszőleges, P = {, x, b} z [, b] egy felosztás, kkor V (f, [, b], P ) = f(x) f() + f(b) f(x) < V (f, [, b]) < +, így f(x) f() < V (f, [, b]), zz mi dj f korlátosságát. f() V (f, [, b]) < f(x) < f() + V (f, [, b]), Megjegyzés: Egy folytonos függvény nem feltétlenül korlátos változású. 3. Tétel. H f, g : [, b] R korlátos változású függvények, kkor f + g, f g, f g : [, b] R korlátos változásúk. Továbbá g σ > 0 (σ R) esetén f is korlátos változású. g Bizonyítás. Például F = f + g-re F (x k+1 ) F (x k ) = f(x k+1 ) + g(x k+1 ) f(x k ) g(x k ) és ezért (1) mitt miből (2) mitt f(x k+1 ) f(x k ) + g(x k+1 ) g(x k ), V (F, [, b], P ) V (f, [, b], P ) + V (g, [, b], P ), V (F, [, b]) V (f, [, b]) + V (g, [, b]) < + következik, mi dj z állítást. A másik két állítás hsonlón bizonyíthtó. 4. Tétel. H f : [, b] R dott függvény, c [, b] tetszőleges, kkor (4) V (f, [, b]) = V (f, [, c]) + V (f, [c, b]) teljesül. Következmények: 1. f : [, b] R kkor és csk kkor korlátos változású [, b]-n, h korlátos változású [, c]-n és [c, b]-n. 2. H f : [, b] R olyn, hogy monoton z [, 1 ], [ 1, 2 ],..., [ n 1, b] intervllumokon, kkor korlátos változású [, b]-n. 14
15 5. Tétel (Jordn). Az f : [, b] R függvény kkor és csk kkor korlátos változású [, b]-n, h léteznek g, h : [, b] R monoton függvények, hogy f = g h. 2. Riemnn-Stieltjes integrál 1. Definíció. Legyenek f, g : [, b] R korlátos függvények, P =. { = x 0, x 1,..., x n = b} [, b] egy tetszőleges felosztás, t k [x k 1, x k ] tetszőleges. A n σ(f, g, P ) = f(t k ) [g(x k ) g(x k 1 )] k=1 számot z f függvény P felosztáshoz, és t k (k = 1,..., n) értékekhez trtozó, g-re vontkozó Riemnn-Stieltjes integrálközelítő összegének nevezzük. 2. Definíció. Az f függvény Riemnn-Stieltjes integrálhtó g függvényre vontkozón [, b]-n, h [, b] P n normális felosztássoroztához trtozó σ(f, g, P n ) Riemnn-Stieltjes integrálközelítő összegsorozt konvergens. E soroztok (egyébként közös) htárértékét, ( ) lim σ(f, g, P n) =. n fdg = f(x)dg(x) számot z f függvény g-re vontkozó Riemnn-Stieltjes integráljánk nevezzük [, b]-n. Megjegyzés: H g(x) = x (x [, b]), f : [, b] R korlátos,kkor Riemnn-Stieltjes integrál Riemnn-integrált dj. 1. Tétel. H f 1 dg, f 2 dg = (f 1 + f 2 )dg = Bizonyítás. A definíció közvetlen felhsználásávl. 2. Tétel. H fdg 1, fdg 2 Bizonyítás. A definíció lpján. = 15 fd(g 1 + g 2 ) = f 1 dg + fdg 1 + f 2 dg. fdg 2.
16 3. Tétel. H fdg és k, l R = Bizonyítás. A definíció lpján. (kf)d(lg) = kl fdg. 4. Tétel. H < c < b és Bizonyítás. A definíció lpján. fdg, c fdg, c fdg = fdg = c fdg+ c fdg. 5. Tétel (prciális integrálás). H z létezik, kkor másik is és fdg + fdg és gdf = [ f g ] b. gdf integrálok egyike 6. Tétel. H f, g : [, b] R, f folytonos, g korlátos változású, kkor fdg és fdg M V (g, [, b]), h f M. 7. Tétel. H f, g : [, b] R, f és g folytonos, kkor fdg = f(x)g (x) dx. fdg és 3. Definíció. Legyenek f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n, g : [, b] R dott függvények. Az f vektorértékű függvénynek g (sklár értékű) függvényre vontkozó Riemnn-Stieltjes integrálján [, b] felett z ( ) vektort értjük, h z fdg. = f 1 dg,..., f n dg f i dg integrálok léteznek. 16 R n
17 4. Definíció. Legyenek f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n, g = (g 1,..., g n ) : [, b] R n dott függvények. Az f vektorértékű függvénynek g vektorértékű függvényre vontkozó Riemnn-Stieltjes integrálján [, b] felett z fdg =. n f i dg i számot értjük, h z Megjegyzések: i=1 f i dg i integrálok léteznek. 1. H 3. definícióbn g(x) = x, x [, b], kkor z f. = ( f 1,..., f n ) R n vektor z f vektorértékű függvény Riemnn-integrálj [, b] felett, h z 2. Az f i (i = 1,..., n) Riemnn-integrálok léteznek. fdg típusú Riemnn-Stieltjes integrálr prgrfus 1-5. és 7. tételei változttás nélkül, míg 6. tétel kis változttássl átvihető. 3. Newton-Leibniz-tétel Legyenek f, F : [, b] R n olynok, hogy f Riemnn-integrálhtó, és F. = (F 1,..., F n) = f, kkor Bizonyítás: f = ( f 1,..., f = F (b) F (). f n ) = (F 1 (b) F 1 (),..., F n (b) F n ()) = = (F 1 (b),..., F n (b)) (F 1 (),..., F n ()) = F (b) F () 4. Legyen f : [, b] R n Riemnn-integrálhtó, kkor f is z, és b f f. 17
18 3. Görbék ívhossz 1. Definíció. Az f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n folytonos függvényt R n -beli görbének nevezzük. [, b]-t prméter-intervllumnk, f-t görbe egy prméterelőállításánk nevezzük. f() és f(b) görbe kezdő, illetve végpontji. H f() = f(b), kkor f zárt görbe. H f kölcsönösen egyértelmű, kkor ívnek nevezzük. 2. Definíció. f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n sim görbe, h f folytonosn differenciálhtó (zz f. = (f 1,..., f n) : [, b] R n folytonos) és n f i 2 (t) > 0 (t [, b]) teljesül. i=1 3. Definíció. Az f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n görbe képe Γ = {(f 1 (t),..., f n (t)) t [, b]} hlmz. (A képet néh jelölésben is zonosítjuk görbével.) Γ egy pontj z f görbe többszörös pontj, h (leglább két) t, t [, b], hogy f(t) = f(t ) Megjegyzések: 1. A G = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} egységkör egy prméteres előállítás z f = (cos, sin) : [0, 2π] R 2 függvény. Beláthtó, hogy z egységkör sim, zárt görbe. 2. H, b R n, 0 dott vektorok, kkor z E. = {t + b = ( 1 t + b 1,..., n t + b n ) R n, t R} ponthlmzt b-n áthldó irányú n-dimenziós egyenesnek nevezzük. (A t t + b R n, t R leképezés z egyenes egy prméteres előállítás.) 3. Legyen x, y R n és x y. Az {x + t(y x) t [0, 1]} R n hlmzt z x-et és y-t összekötő n-dimenziós szksznk nevezzük. (Természetesen d(x, y) =. x y =. n (x i y i ) 2, d(x, 0) =. x =. n x 2 i ). i=1 18 i=1
19 4. Definíció. Legyen f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n egy görbe P = { = t 0, t 1,..., t m = b} [, b] egy felosztás, f(t i ) f(t i 1 ) z f(t i ) és f(t i 1 ) pontokt összekötő szksz hossz. Az m l(f, P ) = f(t i ) f(t i 1 ) i=1 számot z f görbébe P felosztás esetén beírt töröttvonl hosszánk nevezzük. (Beláthtó, hogy h P 1 P 2, kkor l(f, P 1 ) l(f, P 2 ).) 5. Definíció. Az f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n görbe rektifikálhtó, h z {l(f, P ) P tetszőleges felosztás [, b]-nek} hlmz korlátos. Az ekkor létező l(f) = sup{l(f, P )} ( = l(f, [, b]) ) P számot z f görbe ívhosszánk nevezzük. Megjegyzések: 1. Az ívhossz nem függ görbe prméterelőállításától. 2. Az x, y R n pontokt összekötő szksz ívhossz x y. 3. H f : [, b] R n görbe, c [, b], f rektifikálhtó [, b]-n, úgy l(f, [, b]) = l(f, [, c]) + l(f, [c, b]). (Mki I.: Differenciálszámítás I., oldl) Fontos következő: Tétel. Legyen f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n sim görbe, kkor rektifikálhtó, és ívhossz l(f, [, b]) = f (t) dt = n f 2 i (t) dt. Következmények: 1. Legyen g : [, b] R folytonosn differenciálhtó függvény, kkor z f = (f 1, f 2 ) : [, b] R 2 (f 1 (t) = t, f 2 (t) = g(t), t [, b]) g gráfjánk (grfikonjánk) egy prméteres előállítás, melyre 19 i=1
20 f (t) = (1, g (t)) teljesül, így h G jelöli g áltl dott görbét, kkor ívhosszár l(g) = 1 + g 2 (t) dt következik (1)-ből. 2. Tekintsük z f = (cos, sin) : [0, 2π] R 2 egységkört. Legyen s (0, 2π], f s : [0, s] R 2 f [0, s]-re vló leszűkítése. Ekkor f s z egységkör egy íve. (1)-ből jön, hogy s l(f s ) = sin 2 s (t) + cos 2 (t) dt = 1 dt = s 0 z egységkör dott ívének hossz. H s = 2π, kkor l(f) = 2π z egységkör kerülete. Ez dj, hogy mi π-nk megegyezik középiskolás π- vel. s-t P 0 OP s szög ívmértékének nevezzük. A 360 -os szög ívmértéke 2π. 3. f r = (f 1, f 2 ) : [0, 2π] R 2, f 1 (t) = r cos t, f 2 (t) = r sin t (t [0, 2π]) z origó középpontú r sugrú kör. (1)-ből jön, hogy 2π l(f r ) = r 2 sin 2 2π (t) + r 2 cos 2 (t) dt = r dt = 2rπ Görbementi-integrál Definíció. Legyen g = (g 1,..., g n ) : [, b] R n dott görbe, f : g([, b]) R n vektorfüggvény, hogy f = (f 1,..., f n ). Az f függvény g görbementi-integrálján (jelölése f) z f g : [, b] R n függvény g-re g vontkozó [, b] feletti Riemnn-Stieltjes integrálját értjük (h létezik), zz f =. n (f g) dg = (f i g) dg i. g i=1 1. Tétel. H g rektifikálhtó [, b]-n, f folytonos g([, b])-n, kkor létezik z f függvény g görbementi integrálj. 20
21 Bizonyítás. Felhsználjuk, hogy h g rektifikálhtó, kkor g i függvények korlátos változásúk. Így mivel f i g : [, b] R folytonos függvény, g i korlátos változású = (f i g) dg i (i = 1,..., n) = (f g) dg, zz f. g 2. Tétel. H f és (f g)(x) M, kkor f M l(g). g g Bizonyítás.. f = g. (f g) dg = M n i=1 n i=1 (f i g) dg i n i=1 1 dg i M l(g). (f i g) dg i 3. Tétel. H g folytonos [, b]-n, f folytonos g([, b])-n, kkor n f = (f i g)(x)g i(x) dx. Bizonyítás. f =. (f g)dg. = g i=1 n g i=1 i=1 (f i g) dg i = n (f i g)(x)g i(x) dx. További tuljdonságok: 1. Additivitás f-re, illetve g görbére. Például legyen g = g 1 g 2 és f (i = 1, 2) = f = 2 f. g i g i=1g i 2. H g irányított görbe, g z ellentétes irányítású, kkor f =. f. g g 21
22 Megjegyzések: 1. R 2 -beli görbék esetén következő jelölések szokásosk: g-re: g(t) = (x(t), y(t)) (t [, b]) ; f-re: f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) ((x, y) g([, b])) ; f-re: g f = g P (x(t), y(t)) dx(t) + Q(x(t), y(t)) dy(t). =. = P dx + Q dy =. (P dx + Q dy) g g g Ilyenkor P dx-et g görbementi bszcissz szerinti, Q dy-t g görbementi ordinát szerinti görbementi-integrálnk nevezzük, illetve zt g g mondjuk, hogy (P dx + Q dy) (P, Q) függvénypár g görbementi in- g tegrálj. 2. R 3 -beli görbékre: g(t) = (x(t), y(t), z(t)) (t [, b]) ; f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ((x, y, z) g([, b])) ; f = g P (x(t), y(t), z(t)) dx(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) dy(t)+ + R(x(t), y(t), z(t)) dz(t) =. P dx + Q dy + R dz =. g g g. = (P dx + Q dy + R dz). g Utóbbit (P, Q, R) függvényhárms g görbementi integráljánk is nevezik. 22
23 Feldtsor 1) Korlátos változásúk-e z lábbi függvények: 2) Legyen f 1 (x) = sin 2 x (x [0, π]); f 2 (x) = x 3 3x + 4 (x [0, 2]). f(x) = 1 (x [0, 1]) és g(x) = Bizonyíts be, hogy 3) Htározz meg f dg. 0 x 5 d( x 3 ) értékét. 4) Legyen g(x) = sin x (x [0, π]). Htározz meg 5) Legyen g(x) = e x (x [ 1, 1]). Htározz meg 6) Htározz meg z lábbi görbék ívhosszát: { 0, x [0, 1 2 ) 1, x [ 1 2, 1]. π x dg(x)-et x dg(x)-et. f(t) = (3 cos t, 3 sin t, 2t) (t [0, 2π]) ; g(t) = ( t, 3 2 t2, 3 2 t3) (t [0, 2]) ; 7) Számíts ki z lábbi görbementi integrálokt, zz f-et, h: g g(t) = (t 2, 2t, t) (t [0, 1]), f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 2 1 +x 3, x 1 x 3, x 1 x 2 ); g (2, 0, 1) és (2, 0, 4) pontokt összekötő irányított egyenes szksz, f(x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1, 3x 2, x 3 ); 23
24 24
25 III. SOROZATOK R n -BEN ÉS METRIKUS TÉRBEN 1. Alpfoglmk és kpcsoltuk 1. Definíció. Egy f : N R k (X, d) függvényt R k (X, d)-beli soroztnk nevezünk. A sorozt n-edik tgját f(n), n, x n (vgy más) jelöli. A sorozt elemeinek hlmzár z { n } vgy {x n } (vgy más) jelölést hsználunk. Mgát soroztot z n, vgy x n (vgy más) szimbólumml jelöljük. 2. Definíció. (korlátosság) Az x n R k (X, d)-beli sorozt korlátos, h {x n } korlátos. 3. Definíció. (konvergenci) Az x n R k (X, d)-beli sorozt konvergens, h x R k (X, d), hogy ε > 0 esetén n(ε) N, hogy n n(ε)-r (n N) d(x, x n ) = x x n < ε teljesül. Az x R k (X, d) számot (vektort, elemet) x n htárértékének nevezzük. Azt, hogy x n konvergens és htárértéke x, így jelöljük: lim x n = x vgy x n x. n Megjegyzések: 1. A környezet foglmát felhsználv konvergenci ún. környezetes definícióját kpjuk: z x n sorozt konvergens, h x R k (X, d), hogy K(x, ε)-hoz n(ε) N, hogy n n(ε)-r x n K(x, ε) teljesül. 2. Egyszerűen beláthtó, hogy x n x K(x, ε)-re x n K(x, ε) legfeljebb véges sok n N kivételével. 4. Definíció. (divergenci) Az x n R k (X, d)-beli sorozt divergens, h nem konvergens, zz h x esetén ε > 0 ( K(x, ε)), hogy n(ε) N-re n n(ε), hogy d(x, x n ) ε ( x n / K(x, ε)). 1. Tétel ( htárérték egyértelműsége). H x n R k (X, d)-beli konvergens sorozt, kkor egy htárértéke vn (zz x n és x n b = = b). Bizonyítás. Lásd Klkulus I., III.1., 1. tétel bizonyítás. 25
26 2. Tétel (konvergenci és korlátosság). H z x n (R k (X, d)-beli) sorozt konvergens, kkor korlátos. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., III.1., 2. tétel bizonyítás. 4. Tétel. Az x n R k -beli sorozt konvergens és htárértéke x R k, h x n = (x 1n,..., x kn ) jelöléssel z x 1n,..., x kn (úgynevezett koordinát) soroztok konvergensek és z x = (x 1,..., x k ) jelöléssel x in x i (i = 1,..., k). Péld: Htározz meg z n + 1 3n + 2, 1 n sorozt htárértékét! 2. Soroztok és műveletek, illetve rendezés Definíció. H x n és y n R k -beli soroztok, λ R tetszőleges, kkor z x n + y n. = x n + y n ; λ x n. = λx n szerint definiált soroztokt z dott soroztok összegének illetve λ-szorosánk nevezzük. Tétel. Legyen x n és y n R k -beli sorozt, λ R tetszőleges, hogy x n x és y n y, kkor x n + y n és λ x n konvergensek és x n + y n x + y, λx n λx. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., III.2., 1. tétel bizonyítás (z ) részben z bszolútérték helyett R k -beli euklideszi normát kell írni). 3. Részsoroztok 1. Definíció. Legyen n R k (X, d)-beli sorozt. H ϕ : N N szigorún monoton növekvő és b n = ϕ(n), kkor b n -t z n részsoroztánk nevezzük. 26
27 1. Tétel. H z n konvergens és htárértéke kkor b n részsoroztár b n teljesül. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., III.3., 1. tétel bizonyítás. Megjegyzés: A tétel megfordítás nem igz, de h egy sorozt két diszjunkt részsoroztr bonthtó, melyek htárértéke ugynz, kkor z soroztnk is htárértéke. 2. Tétel (Bolzno-Weierstrss-féle kiválsztási tétel). H z n R k -beli sorozt korlátos, kkor létezik konvergens részsorozt. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., III.3., 2. tétel bizonyítás ( R helyett R k -t kell írni). 4. Cuchy-soroztok 1. Definíció. Az n R k (X, d)-beli soroztot Cuchy-soroztnk nevezzük, h ε > 0 esetén n(ε) N, hogy p, q n(ε) (p, q N) esetén d( p, q ) < ε. Tétel (Cuchy-féle konvergenci kritérium). Az x n R k -beli sorozt konvergens, h Cuchy-sorozt. ((X, d)-ben áltlábn csk z igz, hogy minden konvergens sorozt Cuchy-sorozt). Bizonyítás. Lásd Klkulus I., III.3., 4. tétel bizonyítás (x R helyett x R k -t, R helyett R k -t kell írni). 2. Definíció. Az (X, d) metrikus teret teljesnek nevezzük, h benne minden Cuchy-sorozt konvergens. Megjegyzés: R k teljes metrikus tér. 27
28 28
29 IV. TÖBBVÁLTOZÓS ÉS VEKTORÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA, HATÁRÉRTÉKE 1. Alpfoglmk 1. Definíció. Az f : E (X, d) R, f : E (X, d X ) (Y, d Y ), típusú függvényeket vlós értékű, illetve metrikus teret metrikus térbe képező függvénynek nevezzük. 2. Definíció. Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény korlátos, h f(e) korlátos. Az f : E (X, d) R függvény lulról (felülről) korlátos, h f(e) lulról (felülről) korlátos. A sup f(e), inf f(e) számokt z f pontos felső, illetve pontos lsó korlátjánk (supremumánk, illetve infimumánk) nevezzük E-n. 3. Definíció. H z f : E (X, d) R függvény esetén létezik x 1, x 2 E, hogy sup f(e) = f(x 1 ), inf f(e) = f(x 2 ), kkor zt mondjuk, hogy f-nek létezik bszolút mximum, illetve minimum E-n. Az f : E (X, d) R függvénynek z x 0 E-ben helyi (lokális) mximum, illetve minimum vn, h létezik K(x 0, δ), hogy x K(x 0, δ) E-re f(x) f(x 0 ), illetve f(x) f(x 0 ) teljesül. 2. Folytonosság foglm 1. Definíció. Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény z x 0 E pontbn folytonos, h ε > 0-hoz δ(ε) > 0, hogy x E, d X (x, x 0 ) < δ(ε) esetén d Y (f(x), f(x 0 )) < ε. Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény folytonos z A E hlmzon, h A minden pontjábn folytonos. 29
30 Megjegyzések: 1. Speciálisn z f : E (R n, d) (R m, d) függvény z x 0 E pontbn folytonos, h ε > 0-hoz δ(ε) > 0, hogy x E, x x 0 R n < δ(ε) esetén f(x) f(x 0 ) R m < ε. 2. Megfoglmzhtó z úgynevezett környezetes változt is: Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény z x 0 E pontbn folytonos, h K Y (f(x 0 ), ε)-hoz K X (x 0, δ(ε)), hogy x E, x K X (x 0, δ(ε)) = f(x) K Y (f(x 0 ), ε). 3. A folytonosság pontbeli (lokális) tuljdonság, mely globálissá tehető. 1. Tétel (átviteli elv). Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény kkor, és csk kkor folytonos z x 0 E pontbn, h minden x 0 -hoz konvergáló E-beli x n sorozt esetén z f(x n ) (Y, d Y )-beli sorozt konvergens és lim n f(x n) = f(x 0 ). Bizonyítás. Lásd Klkulus I., V.2., 1. tétel bizonyítás. Megjegyzés: A folytonosság itt megdott ekvivlens megfoglmzását soroztos vgy Heine-féle definíciójánk nevezik. 2. Tétel. Az f : E (X, d) R m (f = (f 1,..., f m ), f i : E R (i = 1,..., m)) függvény folytonos z x 0 E-ben h z f i függvények mindegyike folytonos x 0 -bn. Bizonyítás. Az átviteli elv és soroztoknál kimondott tétel segítségével nyilvánvló. 2. Definíció. Az f : E R (Y, d) függvény blról (jobbról) folytonos z x 0 E pontbn, h z f (, x 0 ] E-re (illetve [x 0, + ) E-re) vló leszűkítése folytonos x 0 -bn. Megjegyzések: 1. A definíció dj, hogy f blról (illetve jobbról) folytonos x 0 -bn, h ε > 0-hoz δ(ε) > 0, x E, x 0 δ(ε) < x x 0 (illetve x 0 x < x 0 + δ(ε)) esetén d(f(x 0 ), f(x)) < ε. 2. Megfoglmzhtó soroztos változt is. 30
31 3. Tétel. Az f : E R (Y, d) függvény folytonos z x 0 -bn, h ott jobbról és blról is folytonos. 4. Tétel (jeltrtás). H z f : E (X, d) R függvény folytonos z x 0 E-ben és f(x 0 ) 0, kkor K(x 0, δ) (X, d), hogy x K(x 0, δ) E, kkor sign f(x 0 ) = sign f(x). Bizonyítás. Lásd Klkulus I., V.2., 3. tétel bizonyítás. 3. Definíció. Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény egyenletesen folytonos z E 1 E hlmzon, h ε > 0 δ(ε) > 0, x, y E 1, d X (x, y) < δ(ε) esetén d Y (f(x), f(y)) < ε. 3. Folytonosság és műveletek 1. Tétel. H z f, g : E (X, d) R n függvények folytonosk z x 0 E- ben, kkor z f + g és λf (λ R) is folytonosk x 0 -bn. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., V.3., 1. tétel bizonyítás. 2. Tétel. H z f, g : E (X, d) R függvények folytonosk z x 0 E- ben, kkor z f g és g(x) 0 (x E) esetén f g is folytonos x 0-bn. 3. Tétel (z összetett függvény folytonosság). Legyenek (X, d X ), (Y, d Y ), (Z, d Z ) metrikus terek; f : E X Y, g : f(e) Y Z dott függvények. H f folytonos z x 0 E pontbn, g folytonos z y 0 = f(x 0 )- bn, kkor h = g f függvény folytonos z x 0 -bn. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., V.3., 3. tétel bizonyítás. 4. Folytonosság és topologikus foglmk 1. Tétel ( folytonosság topologikus megfelelője). Az f : (X, d X ) (Y, d Y ) függvény kkor, és csk kkor folytonos X-en, h B (Y, d Y ) nyílt hlmzr f 1 (B) = {x X f(x) B} nyílt (X, d X )-ben. 31
32 2. Tétel (kompktság és folytonosság). Legyen E (X, d X ) kompkt hlmz, f : E (Y, d Y ) folytonos függvény E-n, kkor f(e) kompkt (Y, d Y )-bn. (Röviden: kompkt hlmz folytonos képe kompkt.) Bizonyítás. Lásd Klkulus I., V.4., 1. tétel bizonyítás. Következmény: 1. H Y = R n = f(e) korlátos és zárt. 2. H Y = R, kkor f felveszi E-n z bszolút minimumát és mximumát (mert sup f(e) és inf f(e) is eleme f(e)-nek, h f(e) zárt és természetesen korlátos). 3. Tétel (kompktság és egyenletes folytonosság) (Heine). Legyen E (X, d X ) kompkt hlmz, f : E (Y, d Y ) folytonos függvény E-n, kkor f egyenletesen folytonos E-n. (Röviden: kompkt hlmzon folytonos függvény egyenletesen folytonos.) 4. Tétel (összefüggőség és folytonosság). Legyen f : (X, d X ) (Y, d Y ) folytonos függvény, E X összefüggő, kkor f(e) is z. 5. Tétel (Bolzno). Legyen E (X, d) összefüggő, f : E R folytonos függvény. H c, d f(e), c < d, kkor (c, d) f(e) (zz f két érték között minden közbenső értéket felvesz). 5. A htárérték foglm 1. Definíció. Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvénynek z x 0 E pontbn htárértéke, h A Y, hogy ε > 0 δ(ε) > 0, x E, 0 < d X (x, x 0 ) < δ(ε) = d Y (f(x), A) < ε. A-t z f függvény x 0 -beli htárértékének nevezzük, és lim x x 0 f(x) = A vgy f(x) A, h x x 0 jelöléseket hsználjuk. 32
33 Megjegyzések: 1. Speciálisn z f : E (R n, d) (R m, d) függvénynél x x 0 R n f(x) A R m írhtó. 2. Megfoglmzhtó környezetes változt is: Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvénynek z x 0 E pontbn htárértéke, h A Y, hogy K Y (A, ε)-hoz K X (x 0, δ(ε)), x K X (x 0, δ(ε))\{x 0 }, x E esetén f(x) K Y (A, ε). 3. A htárérték létezése pontbeli tuljdonság. 4. Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvénynek z x 0 (X, d X )-ben nem létezik htárértéke, h x 0 / E, vgy x 0 E és A Y, ε > 0, δ(ε) > 0 esetén x E, x K X (x 0, δ(ε))\{x 0 }, f(x) / K Y (A, ε). 5. A htárérték (h létezik) egyértelműen meghtározott (ez indirekt bizonyítássl hsonlón, mint soroztoknál egyszerűen beláthtó). 2. Definíció. Legyen f : E R (Y, d) dott függvény és z x 0 torlódási pontj [x 0, + ) E ( (, x 0 ] E))-nek. Az f függvénynek z x 0 -bn jobb- (vgy bl-) oldli htárértéke, h A Y, ε > 0 δ(ε) > 0, x E, x 0 < x < x 0 + δ(ε) (vgy x 0 δ(ε) < x < x 0 ) = d Y (f(x), A) < ε. A-t f jobb (illetve bl) oldli htárértékének nevezzük x 0 -bn, és lim f(x) = A = f(x 0 + 0) vgy lim f(x) = A = f(x 0 0) x x 0+0 x x 0 0 jelölést hsználjuk. Megjegyzések: 1. A definíció leszűkítés foglmánk hsználtávl is megfoglmzhtó (hsonlón folytonossághoz). 2. A környezetes átfoglmzás is megdhtó. 3. Könnyen beláthtó következő: Legyen f : E R (Y, d) dott függvény és z x 0 torlódási pontj [x 0, + ) E (, x 0 ] E-nek. Az f függvénynek x 0 -bn kkor, és csk kkor létezik htárértéke, h létezik f(x 0 0) és f(x 0 + 0) és f(x 0 0) = = f(x 0 + 0) = A (f htárértéke x 0 -bn). 33
34 3. Definíció. Az f : E (X, d X ) R függvények x 0 E -ben htárértéke + (vgy ), h K-hoz δ(k) > 0, x E, 0 < < d(x, x 0 ) < δ(k) esetén f(x) > K (vgy f(x) < K). Megjegyzések: 1. A definíció környezetekkel is megfoglmzhtó. 2. A + (vgy ) egyoldli htárértékként is megfoglmzhtó. 4. Definíció. Legyen E R felülről (lulról) nem korlátos hlmz, f : E (Y, d) dott függvény. Az f függvénynek + (vgy )-ben létezik htárértéke, h A Y, ε > 0 M R, x E x > M ( x < M) esetén d(f(x), A) < ε. Ekkor A-t f + (vgy )-beli htárértékének nevezzük, és rá lim f(x) = A lim f(x) = A jelölést x + x hsználjuk. 2. Tétel (átviteli elv). Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvénynek z x 0 E pontbn kkor, és csk kkor htárértéke, h x 0 -hoz konvergáló x n : N E\{x 0 } sorozt esetén lim n f(x n) = A. Bizonyítás. Úgy, mint folytonosságnál, csk z ottni K Y (f(x 0 ), ε) helyett K Y (A, ε)-t és z x 0 -beli folytonosság helyett x 0 -beli htárértéket kell mondni. 3. Tétel. Az f : E (X, d) R n (f = (f 1,..., f n ), f i : E R) függvénynek, kkor és csk kkor létezik htárértéke z x 0 E -ben, h z f i függvényeknek létezik htárértéke x 0 -bn. Bizonyítás. Az átviteli elv és z R n -beli soroztokr vontkozó tételek lpján. 34
35 6. Htárérték és műveletek illetve egyenlőtlenségek 1. Tétel. Legyenek f, g : E (X, d) R dott függvények, hogy z x 0 E -ben lim f(x) = A lim g(x) = B, kkor x x 0 x x 0 ) lim (f + g)(x) = lim [f(x) + g(x)] = A + B ; x x 0 x x 0 b) lim (λf)(x) = lim λf(x) = λa, (λ R C) ; x x 0 x x 0 c) lim (f g)(x) = lim [f(x) g(x)] = A B ; x x 0 x x ( ) 0 f f(x) d) lim (x) = lim x x 0 g x x 0 g(x) = A, h g 0, B 0. B Bizonyítás. Az átviteli elv és soroztokr vontkozó megfelelő tételek lpján. Megjegyzés: ) és b) R n -beli értékű függvényrekre is megfoglmzhtó és bizonyíthtó. 2. Tétel. H f : E (X, d) R és x 0 E, kkor h 1 ) lim f(x) = + = lim = 0 (f 0) ; x x 0 x x 0 f(x) 1 b) lim f(x) = 0 = lim = + (f 0) ; x x 0 x x 0 f(x) Bizonyítás. Az átviteli elv és soroztokr vontkozó megfelelő tételek lpján. 3. Tétel. Legyenek f, g, h : E (X, d) R dott függvények és x 0 E, kkor, h ) lim f(x) = A lim g(x) = B K(x 0, δ), f(x) g(x) x x 0 x x 0 x [K(x 0, δ)\{x 0 }] E = A B ; b) lim f(x) = A lim g(x) = B A < B = K(x 0, δ), x x 0 x x 0 f(x) < g(x) x [K(x 0, δ)\{x 0 }] E ; c) K(x 0, δ), f(x) h(x) g(x) x [K(x 0, δ)\{x 0 }] E lim f(x) = lim g(x) = A = x x 0 x x 0 lim h(x) = A. x x 0 Bizonyítás. Az átviteli elv és soroztokr vontkozó megfelelő tételek lpján. 35
36 4. Tétel (z összetett függvény htárértéke). Legyenek dottk z (X, d X ), (Y, d Y ) és (Z, d Z ) metrikus terek, x 0 X és y 0 Y, továbbá f : X\{x 0 } Y \{y 0 }, g : Y \{y 0 } Z függvények, hogy lim x x 0 f(x) = y 0 lim y y 0 g(y) = A = lim x x 0 (g f)(x) = A. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., VI.2., 4. tétel bizonyítás. 7. A htárérték és folytonosság kpcsolt Tétel. Legyen f : E (X, d X ) (Y, d Y ) dott függvény és x 0 X, x 0 X. f folytonos x 0 -bn, h lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Bizonyítás. Lásd Klkulus I., VI.3. fejezet tételének bizonyítás. Definíció. H z f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény nem folytonos z x 0 E pontbn, kkor zt mondjuk, hogy x 0 f-nek szkdási helye, vgy hogy f-nek x 0 -bn szkdás vn. H f : E R (Y, d Y ) dott függvény és x 0 E 0 (x 0 belső pont E- ben), és x 0 szkdási helye f-nek, továbbá lim f(x) = f(x 0 + 0) x x 0+0 lim f(x) = f(x 0 0), kkor zt mondjuk, f-nek x 0 -bn elsőfjú szkdás vn. H még f(x 0 0) = f(x 0 + 0), kkor zt mondjuk, hogy x x 0 0 szkdás megszüntethető. H f-nek x 0 -bn szkdás vn és z nem elsőfjú, kkor zt másodfjú szkdásnk nevezzük. 36
37 V. A TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 1. További lineáris lgebri előismeretek A Vektorterek, euklideszi terek, metrikus terek című fejezetében definiáltuk vektorteret, skláris szorztot, vektorok euklideszi normáját, vektorok euklideszi távolságát, illetve ezekhez kpcsolódv, speciálisn z R n euklideszi teret. 1. Definíció. n-szer m szám egy m A =.. = ( ij ) n m n1... nm lkú elrendezését n m-es mátrixnk, z ij számokt mátrix elemeinek nevezzük. H n = m, kkor négyzetes (kvdrtikus) mátrixról beszélünk. Az n m típusú mátrixbn számokt n sorb és m oszlopb helyeztük el. Azt tényt, hogy egy szám z A mátrix i-edik sorábn és j-edik oszlopábn vn z indexei fejezik ki, így ij jelöli (z első sor-, második z oszolpindex). Két mátrix zonos típusú, h sorik és oszlopik szám is megegyezik. Két mátrix egyenlő, h zonos típusúk és z egymásnk megfelelő helyen lévő elemeik egyenlőek. Megjegyzések: 1. Az 2. Az A = mátrixot null-mátrixnk nevezzük (zz, h ij = 0) n1 A =.... 1m... nm 37
38 mátrixot z A mátrix trnszponált mátrixánk nevezzük. (A oszlopi z A sori, A sori A oszlopi.) 3. H A kvdtrtikus mátrix, kkor z 11,..., nn számok A fődigonálisát lkotják. 4. H kvdrtikus mátrix fődigonálisábn csup 1 áll, többi eleme pedig null, kkor egységmátrixról beszélünk: E = Definíció. H A = ( ij ) n m, B = (b ij ) n m dott mátrixok, kkor összegük z C n n-es mátrix, melyre C. = A + B. = ( ij + b ij ) n m = (c ij ) n m. Az A = ( ij ) n m mátrix λ R sklárrl vló szorzt λa. = (λ ij ) n m mátrix. Az n m-es mátrixok e két műveletre nézve vektorteret lkotnk. 3. Definíció. Az A = ( ik ) n m és B = (b kj ) m p mátrixok szorzt z C n p típusú mátrix, melyben c ij = m ik b kj, zz k=1 A B. = C. = (c ij ) n p (. m ) = ik b kj k=1 1. Tétel. A mátrixszorzás fontosbb tuljdonsági: A (B C) = (A B) C, n p A (B + C) = A B + A C, (A + B) C = A C + B C, (λa) B = λ(a B) = A (λb), (áltlábn: A B B A). 38.
39 Az 1 n típusú mátrixot sormátrixnk, míg z n 1 típusút oszlopmátrixnk nevezzük. Az (x 1,..., x n ) (x 1... x n ) és x 1 (x 1,..., x n ). x n kölcsönösen egyértelmű megfeleltetések lineáris izomorfiát dnk R n vlmint z 1 n, illetve n 1 típusú mátrixok vektorterei között. A következőkben R n elemeit, h mást nem mondunk, oszlopmátrixokkl reprezentáljuk. 4. Definíció. Az A kvdrtikus mátrix invertálhtó, h létezik olyn X mátrix, melyre A X = X A = E (h A n n típusú, kkor létezik n n típusú egységmátrix). X-et z A inverz mátrixánk nevezzük. 2. Tétel. H A invertálhtó, kkor csk egy inverze vn. (H A invertálhtó, úgy inverzét A 1 jelöli, erre AA 1 = A 1 A = E teljesül.) H A invertálhtó, úgy inverze is z és (A 1 ) 1 = A. H A és B invertálhtó, kkor (AB) 1 = B 1 A 1. H A invertálhtó, úgy (A ) 1 = (A 1 ). 5. Definíció. Egy A = ( ij ) n n kvdrtikus mátrixhoz rendeljünk hozzá egy vlós számot úgy, hogy: minden sorból kiválsztunk pontosn egy elemet úgy, hogy minden oszlopból is ki legyen válsztv pontosn egy elem, ezen elemeket összeszorozzuk és pozitív vgy negtív előjellel látjuk el szerint, hogy kiválsztott elemek (mennyiben sorindexeik természetes sorrendben vnnk) oszlopindexeinek permutációjábn z inverziók (felcserélt elemek) szám páros vgy pártln. tgokt minden lehetséges módon képezve összedjuk. Az így kpott D számot z ( ij ) n n mátrix determinánsánk nevezzük és n D =.. = A n1... nn jelöljük (n-edrendű determináns). 39
40 Megjegyzések: 1. D = ( 1) I 1k1... nkn, hol I k 1,..., k n permutációbn lévő k 1,...,k n inverziók szám. Az összeg n! tgot trtlmz. 2. Példák: = =? 3. Egy determináns ik eleméhez trtozó ldeterminánson zt z A ik n 1- edrendű determinánst értjük, mely z eredetiből z i-edik sor és k-dik oszlop elhgyásávl dódik, ellátv ( 1) i+k előjellel. 3. Tétel. Egy A = ( ij ) n n mátrix determináns rendelkezik z lábbi tuljdonságokkl: 1) H vlmelyik sorábn (oszlopábn) csup 0 vn, kkor D = 0. 2) n n λ i1... λ in = λ n1... nn n1... nn 3) n n n i1 + b i1... in + b in =.. i1... in + b.. i1... b in n1... nn n1... nn n1... nn 4) H két sorát felcseréljük értéke ( 1)-szeresére változik. 5) H két sor megegyezik, értéke 0. 6) Értéke nem változik, h egyik sorához hozzádjuk egy máik sorát, vgy nnk többszörösét. 7) Értéke nem változik, h sorit és oszolpit felcseréljük. 8) D = n ik A ik (kifejtési tétel). k=1 40
41 Mindezek megfoglmzhtók sorok helyett oszlopokr is. Bizonyítás. A definíció lpján. 4. Tétel (determinánsok szorzástétele). Két ugynolyn rendű kvdrtikus mátrix determinánsánk szorzt egyenlő szorztmátrix determinánsávl: A B = A B 5. Tétel. H z A kvdrtikus mátrix invetálhtó, kkor determináns nem 0 (zz A reguláris mátrix). Bizonyítás. A invertálhtó, így létezik z A 1 inverze, melyre A A 1 = E. Így szorzástétel mitt miből A = 0 következik. 1 = E = A A 1 = A A 1, 6. Tétel. H A 0 (zz A reguláris), kkor invertálhtó és A 1 inverzére: A 11 A A n1 A 1 = 1 A 12 A A n2 A.... = 1 A (A ji) n n A 1n A 2n... A nn teljesül, hol A ij z A = ( ij ) n n mátrix ij eleméhez trtozó djungált ldetermináns. Bizonyítás. Könnyen beláthtó, hogy n { 1 j = i, js A is = δ ij A, hol δ ij = 0 j i. Ezután már s=1 AA 1 = 1 A n ij A kj j=1 következik, zz A 1 z A inverze. n n 41 = 1 A (δ ik A ) = (δ ik ) n n = E
42 6. Definíció. Az A : R n R m leképezést (trnszformációt) lineárisnk nevezzük, h A(x + y) = A(x) + A(y), x, y R n, A(λx) = λa(x), x R n, λ R teljesül. Az A : R n R m lineáris leképezések összességét szokás L(R n, R m )-mel jelölni. Legyen A m n-es mátrix, úgy z A(x). = A x (x R n ) szerint értelmezett leképezés (trnszformáció) A : R n R m típusú lineáris leképezés (trnszformáció). Másrészt bármely A : R n R m lineáris leképezés A(x) = A x (x R n, A m n-es mátrix) lkb írhtó. Így bármely A : R n R m lineáris leképezés zonosíthtó egy A m n-es mátrixszl. 7. Definíció. H A L(R n, R m ), kkor z A =. sup { Ax } x 1 számot z A lineáris leképezés normájánk nevezzük. 7. Tétel. A norm fontosbb tuljdonsági: Ax A x ; A + B A + B ; A < + ; λa = λ A ; BA B A ; (A L(R n, R m ), B L(R m, R k )). 42
43 2. A differenciálhtóság A továbbikbn olyn f : D R n R m típusú függvényekkel fogllkozunk, hol D nyílt hlmz R n -ben és f = (f 1,..., f m ), hol f 1,..., f m z f komponens függvényei. R n és R m elemeit is oszlopmátrixokkl reprezentáljuk (h mást nem mondunk). 1. Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : D R n R m függvény differenciálhtó z x 0 D pontbn, h létezik egy A L(R n, R m ) lineáris leképezés, hogy (1) lim x x 0 f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) R m x x 0 R n = 0. Ekkor f (x 0 ). = A z f függvény x 0 -beli differenciálhánydos, míg z f x 0 -beli első differenciálj. df(x 0, x x 0 ). = f (x 0 )(x x 0 ) Megjegyzés: H f : D R n R típusú függvény, úgy f (x) = A = ( 1... n ) 1 n-es sormátrix, míg z első differenciál n d f(x 0, x x 0 ) = i (x i x 0i ) szám. i=1 1. Tétel. H z 1. definícióbn (1) z A = A 1 és A = A 2 esetén is teljesül, úgy A 1 = A 2 (zz differenciálhánydos egyértelműen meghtározott). 2. Tétel. Az f : D R n R m függvény differenciálhtó z x 0 D pontbn, h ) létezik A L(R n, R m ) lineáris leképezés és ω : D R n R m függvény, hogy (2) f(x) f(x 0 ) = A(x x 0 ) + ω(x) ω(x) és lim x x 0 x x 0 = 0. 43
44 vgy b) létezik A L(R n, R m ) lineáris leképezés és ω : D R n R m függvény, hogy (3) f(x) f(x 0 ) = A(x x 0 ) + ω(x) x x 0 és lim x x 0 ω(x) = ω(x 0 ) = 0. Bizonyítás. A) Rendezés és bszolútérték képzése után (2) és (3) is dj (1) teljesülését. B) (1)-ből htárérték definíciój és tuljdonsági mitt kpjuk ) és b) és így (2) és (3) teljesülését. 3. Tétel. H z f : D R n R m függvény differenciálhtó z x 0 D pontbn, kkor ott folytonos is. Bizonyítás. Elegendő megmuttni, hogy ( ) lim f(x) f(x 0 ) = 0. x x 0 Az előző tétel b) része dj, hogy létezik A L(R n, R m ) lineáris leképezés, és ω : D R n R m függvény, hogy lim x x 0 ω(x) = ω(x 0 ) = 0 és f(x) f(x 0 ) = A(x x 0 ) + ω(x) x x 0 A(x x 0 ) + ω(x) x x 0 A x x 0 + ω(x) x x 0. A kpott egyenlőtlenségből x x 0 htárátmenettel kpjuk ( )-ot. Megjegyzés: A tétel megfordítás áltlábn nem igz. Például z xy (x, y) (0, 0), f(x, y) = x2 + y 2 0 (x, y) = (0, 0) függvény folytonos (0, 0) pontbn, de nem differenciálhtó. 4. Tétel. Az f = (f 1,..., f m ) : D R n R m függvény differenciálhtó z x 0 D pontbn, h z f i (i = 1,..., m) függvények differenciálhtók x 0 -bn, továbbá f (x 0 ) i = f i (x 0). 44
45 3. Iránymenti és prciális derivált 1. Definíció. Legyen f : D R n R m, x 0 D és e R n ( e = 1) dott. A D e f(x 0 ) =. f(x 0 + te) f(x 0 ) lim t 0 t értéket, h létezik, z f függvény x 0 -beli e iránymenti differenciálhánydosánk nevezzük. 1. Tétel. H z f : D R n R m függvény differenciálhtó z x 0 D pontbn, kkor e R n iránymenti deriváltj létezik és D e f(x 0 ) = f (x 0 ) e. Bizonyítás. Az előző prgrfus 2. tételének b) részét x = x 0 + te, A = f (x 0 ) mellet hsználv f(x 0 + te) f(x 0 ) t = 1 t [f (x 0 )(x 0 + te x 0 ) + ω(x 0 + te) t ] = = f (x 0 ) e + ω(x 0 + te) t t következik ( t < δ esetén lklms δ mellett), mi t 0 htárátmenettel dj z állítást. Megjegyzés: A tétel megfordítás áltlábn nem igz. 2. Definíció. H f = (f 1,..., f m ) : D R n R m, x 0 D és e i = (0,..., 0, i 1, 0,..., 0), kkor D i f j (x 0 ) = f j x i (x 0 ). = D ei f j (x 0 ) (i = 1,..., n, j = 1,..., m) számokt, h léteznek z f j-edik komponensfüggvénye i-edik változój szerinti prciális deriváltjink nevezzük x 0 - bn. Megjegyzés: H ϕ j (t). = f j (x 01,..., x 0i 1, t, x 0i+1,..., x 0n ) ( t < δ), kkor D i f j (x 0 ) = ϕ j(x 0i ). 45
46 2. Tétel. H z f = (f 1,..., f m ) : D R n R m függvény z x 0 D pontbn differenciálhtó, kkor D i f j prciális derivált létezik és f (x 0 ) = (D i f j (x 0 )) m n Bizonyítás. Az előző prgrfus 4. tétele dj, hogy bármelyik f j differenciálhtó x 0 -bn és kkor z előző tétel szerint e-re, így e i -re is D ei f j (x 0 ). = D i f j (x 0 ). Továbbá: f (x 0 ) = (f j(x 0 )) m 1 és [f j(x 0 )] i. = f j (x 0 ) e i = D ei f j (x 0 ). = D i f j (x 0 ) mitt kpjuk f (x 0 ) előállítását is. 3. Tétel. H z f = (f 1,..., f m ) : D R n R m függvény bármely prciális deriváltj létezik z x 0 D egy K(x 0, δ) környezetében és folytonosk x 0 -bn, kkor f differenciálhtó x 0 -bn. A 2. és 3. tétel felhsználásávl egyszerűen bizonyíthtó következő: 4. Tétel. H f : D R n R m dott függvény, kkor következő állítások ekvivlensek: ) D i f j (i = 1,..., n, j = 1,..., m) létezik és folytonos D-n. b) f differenciálhtó D-n és f : D L(R n, R m ) folytonos D-n. Az egyváltozós függvények differenciálhtóságánk foglm és z előbbi tétel lpján természetes következő: 3. Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : D R n R m függvény folytonosn differenciálhtó D-n, h vgy teljesül. ) f differenciálhtó és f folytonos D-n, b) D i f j létezik és folytonos D-n 46
47 4. Differenciálási szbályok 1. Tétel. H z f, g : D R n R m, λ : D R függvények differenciálhtók x 0 D-ben, kkor z f + g, λf, (λ 0) függvények is f λ differenciálhtók és (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), teljesül. (λf) (x 0 ) = f(x 0 )λ (x 0 ) + λ(x 0 )f (x 0 ), ( ) f (x 0 ) = λ(x 0)f (x 0 ) f(x 0 )λ (x 0 ) λ λ 2 (x 0 ) Bizonyítás. A definíció lpján például z első esetben z (f + g)(x) (f + g)(x 0 ) (f (x 0 ) + g (x 0 ))(x x 0 ) x x 0 f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) g(x) g(x 0 ) g (x 0 )(x x 0 ) + x x 0 x x 0 egyenlőtlenségből, x x 0 htárátmenettel jön z állítás. 2. Tétel (z összetett függvény differenciálhtóság). H f : D R n R m, g : E f(d) R m R k olyn, hogy f differenciálhtó x 0 D-ben és g differenciálhtó f(x 0 )-bn, kkor z F = g f : D R k függvény differenciálhtó x 0 -bn és (ÖD) F (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). (D és E nyílt hlmzok és (ÖD)-ben mátrixok szorzás szerepel.) Megjegyzések: 1) H k = 1, kkor (ÖD) lkj F (x 0 ) = (D 1 F (x 0 )... D n F (x 0 )) = = (D 1 g ( f(x 0 ) )... D m g ( f(x 0 ) )) D 1 f 1 (x 0 )... D n f 1 (x 0 ).... D 1 f m (x 0 )... D n f m (x 0 ) 47
48 és kkor pédául D j F (x 0 ) = m D k g ( f(x 0 ) ) D j f k (x 0 ). k=1 2) H k = 1, n = 1, kkor F (t) = g(f 1 (t),..., f m (t)), F (x 0 ) = F t (x 0) = m D j g ( f(x 0 ) ) f j(x 0 ). j=1 3. Tétel. Legyen f : D R n R n, x 0 D, f(x 0 ) = y 0. Tegyük fel, hogy g z y 0 egy környezetét R n -be képező függvény, hogy g(y 0 ) = x 0 és g(f(x)) = id(x) x K(x 0, δ). H f differenciálhtó x 0 -bn és g differenciálhtó y 0 -bn, kkor g (y 0 ) = (f (x 0 )) 1 (Itt (f (x 0 )) 1 z f (x 0 ) mátrix inverzét jelöli.) Megjegyzés: H egy f differenciálhtó függvénynek létezik differenciálhtó inverze, kkor szükségképpen f (x) nem szinguláris mátrix. 5. Középértéktételek és következményeik A következőkben z egyváltozós függvényekre ismert Lgrnge-féle középértéktétel felhsználásávl mondunk ki, illetve bizonyítunk be hsonló típusú tételeket. 1. Tétel. H z f : D R n R függvény differenciálhtó D (nyílt) hlmzon és D trtlmzz z x 0 és x 0 + h végpontú [x 0, x 0 + h]-vl jelölt szkszt, kkor létezik c = x 0 + t 0 h (0 < t 0 < 1) pont ezen szkszon, hogy f(x 0 + h) f(x 0 ) = f (c) h. Bizonyítás. A Φ(t). = f(x 0 + th) (t [0, 1]) szerint definiált függvény z összetett függvény differenciálhtóságár vontkozó tétel mitt differenciálhtó és Φ (t) = f (x 0 + th) h (t [0, 1]) 48
49 Továbbá Φ teljesíti z egyváltozós Lgrnge-tétel feltételeit [0, 1] intervllumon, így t 0 (0, 1) (és így c = x 0 + t 0 h), hogy f(x 0 + h) f(x 0 ) = Φ(1) Φ(0) = Φ (t 0 ) 1 = f (c) h. 2. Tétel. Legyen D R n nyílt és konvex hlmz (zz x 1, x 2 D = [x 1, x 2 ] D). H f : D R differenciálhtó D-n és M R, hogy f (x) M ( x D), kkor teljesül. f(x) f(y) M x y ( x, y D) Bizonyítás. Legyen x, y D (konvex) = [x, y] D, így z 1. tétel mitt (x = x 0 és y = x 0 + h mellett) c (x, y), hogy melyből f(x) f(y) = f (c)(x y), f(x) f(y) = f (c)(x y) f (c) x y M x y következik tetszőleges x, y D esetén, mit bizonyítni kellett. Következmény: H 2. tétel feltételei mellett még f (x) = 0 (x D) is teljesül, kkor f(x) = c (x D). 3. Tétel. H z f : K(x 0, δ) R n R függvény D i f (i = 1,..., n) prciális deriváltj létezik, kkor h R n, 0 < h < δ esetén léteznek c 1,..., c n K(x 0, δ) vektorok, hogy ( ) f(x 0 + h) f(x 0 ) = n D i f(c i )h i (h = (h 1,..., h n )). i=1 Következmény. H z f : D R n R függvény D i f prciális deriváltj létezik és korlátos vlmely K(x 0, δ) D környezetben, kkor f folytonos x 0 -bn. Bizonyítás. A 3. tétel mitt ( ) teljesül, melyből f(x 0 + h) f(x 0 ) = n D i f(c i )h i M n h i i=1 következik (h D i f(c i ) M i = 1,..., n). i=1 ( h < δ ) 49
Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
RészletesebbenKalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
Részletesebben2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
Részletesebben2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
RészletesebbenA Riemann-integrál intervallumon I.
A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,
RészletesebbenAnalízis II. harmadik, javított kiadás
Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet
RészletesebbenAbsztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenHatározott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál
Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
RészletesebbenANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenMolnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0
Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenLaplace-transzformáció. Vajda István február 26.
Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat
Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete
RészletesebbenBevezetés a funkcionálanalízisbe
Bevezetés funkcionálnlízisbe Krátson János elődási lpján írt: Kurics Tmás Trtlomjegyzék Előszó 3 1. Normált terek 5 1.1. Normált terek és tuljdonságik............................ 5 1.2. Metrikus és normált
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
Részletesebben9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I. LOSONCZI LÁSZLÓ ANYAGAINAK FELHASZNÁLÁSÁVAL. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek,
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenHeves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenAlgebrai struktúrák, mátrixok
A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós
RészletesebbenDifferenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke
Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)
Részletesebbenf (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenKALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.
Írt: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Egyetemi tnnyg 20 COPYRIGHT: 20 206, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Kr Mtemtik Tnszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárk
RészletesebbenGazdasági matematika I. tanmenet
Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó
RészletesebbenGyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
RészletesebbenHatározzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (
9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Részletesebbenl.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Részletesebben0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha
Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α
RészletesebbenDifferenciálgeometria feladatok
Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben
Részletesebbena b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a
44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához sorozt Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultság Anlitikus módszerek pénzügyben és közgzdságtnbn Anlízis feldtgyűjtemény I Anlízis
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
RészletesebbenEls gyakorlat. vagy más jelöléssel
Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1
Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenGazdasági Matematika I.
Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. jegyzet az alapképzéshez NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK
RészletesebbenANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így dd tovább! 3.0
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0
Részletesebben3.1. Halmazok számossága
38 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 3. Mérték- és integrálelmélet 3.1. Hlmzok számosság Azt mondjuk, hogy egy véges A hlmz számosság n, h z A hlmz n db elemből áll.
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológii Kr Klkulus II. Gselmnn Eszter Debrecen, 22 Azoknk, kik nem ismerik mtemtikát, nehézséget okoz keresztüljutni szépség vlódi érzéséhez, legmélyebb szépséghez,
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Részletesebben1. Halmazelméleti alapok
1. Hlmzelméleti lpok A Mtemtiki kislexikonbn hlmz foglmár következ deníciót tláljuk: A hlmz tetsz leges természet dolgoknk vlmilyen módon összegy jtött összessége. Ez deníció zonbn nem hsználhtó, ugynis
RészletesebbenMatematikai analízis 1. Szász Róbert
Matematikai analízis Szász Róbert . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0,
RészletesebbenMatematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică
András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/
Részletesebben7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7. efiníió és lpintegrálok efiníió. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differeniálhtó I-n,
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMatematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2
Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése
Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q
RészletesebbenIV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok
Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol
Részletesebben11. évfolyam feladatsorának megoldásai
évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor
RészletesebbenVektorok (folytatás)
Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenKIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ
KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis
Részletesebben4. Absztrakt terek elmélete
56 MAM112M elődásjegyzet, 2008/2009 4. Absztrkt terek elmélete 4.1. Lineáris terek 4.1. Definíció. Az X hlmzt lineáris térnek vgy vektortérnek nevezzük vlós számtest (komplex számtest) felett, h bármely
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
Részletesebben