ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

Átírás

1 ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Blogh Tmás jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így dd tovább! 3.0 Unported Licenc feltételeinek megfelelően szbdon felhsználhtó. 1

2 1. Definiálj egy f R R függvény pontbeli folytonosságát! Az f R R függvény folytonos z D f pontbn, h ε > 0 δ > 0, x D f, x < δ : f(x) f() < ε. 2. Mi kpcsolt pontbeli folytonosság és htárérték között? H D f D f, kkor f C () lim f és lim f = f(). 4. Hogyn szól folytonosságr vontkozó átviteli elv? D f, ekkor f C () (x n ) : N D f, melyre lim x n = : lim f(x n ) = f(). 7. Definiálj megszüntethető szkdási hely foglmát! Az f függvénynek z D f megszüntethető szkdási helye, h és véges lim f f(). 8. Definiálj elsőfjú szkdási hely foglmát! Az f függvénynek z D f elsőfjú szkdási helye, h és véges lim +0 f = lim 0 f. 9. Mit tud mondni korlátos és zárt [, b] R intervllumon folytonos függvény értékkészletéről? f : [, b] R függvény folytonos f korlátos [, b]-n. 10. Hogyn szól Weierstrss-tétel? f : [, b] R folytonos függvénynek bszolút mximum/minimum. 11. Mit mond ki Bolzno-tétel? f : [, b] R folytonos függvény. H f() f(b) < 0, kkor ξ [, b] : f(ξ) = Mit tud mondni intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészletéről? f : I R folytonos függvény, I R R f is intervllum. 13. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnk? f : A R függvény egyenletesen folytonos, h ε > 0, δ > 0, x, y A, x y < δ : f(x) f(y) < ε. 14. Írj le Heine-tételt! f : [, b] R folytonos f egyenletesen folytonos. 2

3 15. Milyen állításokt ismer z inverz függvény folytonosságáról? f : [, b] R folytonos, és f 1 f 1 is folytonos. I R, f : I R függvény folytonos, és f 1 f 1 is folytonos. 16. Legyen z f : [, b] R( < b,, b R) függvény folytonos és invertálhtó! Mit mondhtunk ekkor z f függvény monotonitásáról? f : [, b] R folytonos, f 1 f szigorún monoton. 17. Értelmezze z ln függvényt! exp 1 =: ln : (0, ) R szigorún monoton növekvő, folytonos függvény. 18. Mi definíciój z x (, x R, > 0) htványnk? exp (x) = exp(x ln ) = x (, x R, > 0) 19. Értelmezze z log függvényt! log = exp 1 szigorún monoton, folytonos, h 0 < < 1 vgy > Mi definíciój z x α (x > 0, α R) htványfüggvénynek? x α = exp(α ln x) x (0, ), α R. 21. Mikor mondj, hogy egy f R R függvény differenciálhtó vlmely pontbn? Az f R R függvény z int D f pontbn differenciálhtó(deriválhtó), h és f(+h) f() véges lim = f () htárérték. Ekkor f () függvény deriváltj z int h 0 h D f pontbn. Jelölés: f D(). 22. Milyen ekvivlens átfoglmzást ismer pontbeli deriválhtóságr lineáris közelítéssel? f R R int D f, Ekkor f D() A R, ε : D f R, lim ε = 0 és f(x) f() = A(x ) + ε(x)(x ) (x D f ) Ekkor A = f (). 23. Mi kpcsolt pontbeli differenciálhtóság és folytonosság között? f R R, int D f. Ekkor i, f D() f C () ii, f D() f C (). 24. Milyen tételt ismer két függény szorztánk vlmely pontbeli differenciálhtóságáról és deriváltjáról? f, g R R, int (D f D g ), f, g D() Ekkor fg D() és (fg) () = f ()g() + f()g (). 25. Milyen tételt ismer két függény hánydosánk vlmely pontbeli differenciálhtóságáról és deriváltjáról? f, g R R, int (D f D g ), f, g D() Ekkor H g() 0, kkor f/g D() és (f/g) () = f ()g() f()g (). g 2 () 3

4 26. Milyen tételt ismer két függény kompozíciójánk vlmely pontbeli differenciálhtóságáról és deriváltjáról? f, g R R, R g D f, g D(), f D(g()). Ekkor f g D() és (f g) () = f (g())g (). 27. Milyen tételt tnult z inverz függvény differenciálhtóságáról és deriváltjáról? f : (, b) R, szigorún monoton nő és folytononos függvény. ξ (, b), f D(ξ) és f (ξ) 0. Ekkor f 1 D(η) és (f 1 ) (η) = 1 f (ξ) = 1, hol f(ξ) = η. f (f 1 (η)) 28. Milyen állítást tud mondni htványsor összegfüggvényének deriválhtóságáról és deriváltjáról? Tegyük fel hogy α n (x ) n htványsor konvergencisugr R > 0. n=0 Jelölje f(x) = α n (x ) n n=0 (x K R ()). Ekkor x 0 K R () : f D(x 0 ) és f (x 0 ) = nα n (x 0 ) n 1. n=1 29. Mi z egyoldli derivált definíciój? Tegyük fel, hogy f R R, D f és δ > 0 : [, + δ) D f. Ekkor f jobbról deriválhtó z pontbn h és véges = f +() lim x +0 f(x) f() x Tegyük fel, hogy f R R, D f és δ > 0 : ( δ, ] D f. Ekkor f blról deriválhtó z pontbn h és véges = f () lim x 0 f(x) f() x 30. Mi kétszer deriválhtó függvény foglm? Az f R R függvény kétszer deriválhtó z int D f pontbn, h K() D f, hogy f D(K()) és f D(). Ekkor Az f () = (f ) () Jelölés: f D 2 () 31. Mi z n-szer deriválhtó függvény foglm? Az f R R függvény n-szer deriválhtó z int D f pontbn, h K() D f, hogy f D n 1 (K()) és f (n 1) D(). Ekkor f n () = (f (n 1) ) () Jelölés: f D n (). 32. Foglmzz meg szorztfüggvény deriváltjir vontkozó Leibniz-tételt! H f, g D n (), kkor fg D n () és (fg) (n) () = n ) f (k) ()g (n k) (). 33. Mondj ki Rolle tételt! f C [, b], f D(, b), f() = f(b). Ekkor ξ (, b) : f (ξ) = 0. k=0 34. Mondj ki Cuchy-féle középértéktételt! f, g C [, b], f, g D(, b), g (x) 0, h x (, b). Ekkor f(b) f() ξ (, b) : g(b) g() = f (ξ) g (ξ). ( n k 4

5 35. Mondj ki Lgrnge-féle középértéktételt! f C [, b], f D(, b). Ekkor f(b) f() ξ (, b) : = f (ξ). b 36. Mit ért zon, hogy z f R R függvénynek vlmely helyen lokális minimum vn? f R R függvénynek z int D f pontbn lokális minimum vn, h K() D f : f(x) f() x K(). 37. Mit ért zon, hogy egy függvény vlmely helyen jelet vált? Az f R R függvény c D f pontbn előjelet vált, h f(c) = 0 és δ > 0, K ε (c) D f, f(x) < 0 x (c δ, c) és f(x) > 0 x (c, c + δ) vgy fordítv. 38. Hogyn szól lokális szélsőértékre vontkozó elsőrendű szükséges feltétel? f R R, int D f, f D(). H f-nek lokális szélsőértéke vn -bn, kkor f () = Hogyn szól lokális szélsőértékre vontkozó elsőrendű elégséges feltétel? Tegyük fel, hogy f D(, b), c (, b), f (c) = 0. H f előjelet vált c-ben, kkor f-nek lokális szélsőértéke vn. H f - -ból + -b vált kkor f-nek lokális minimum vn, h f + -ból - -b vált kkor f-nek lokális mximum vn. 40. Írj le lokális minimumr vontkozó másodrendű feltételt! Tegyük fel, hogy f D(, b), c (, b), f (c) = 0. H f D 2 (c) és f (c) 0, kkor f-nek lokális szélsőértéke vn c-ben. H f (c) < 0, kkor f-nek lokális mximum vn, h f (c) > 0, kkor f-nek lokális minimum vn. 41. Milyen szükséges és elégséges feltételt ismer differenciálhtó függvény monoton növekedésével kpcsoltbn? f D(, b). Ekkor i, f monoton nő f 0 (, b)-n ii, f szigorún monoton nő f 0 (, b)-n és (c, d) (, b) : f = 0 (c, d)-n. 42. Írj le 0 0 esetre vontkozó L Hospitl-szbályt! Tegyük fel, hogy f, g R R, és: i, f, g D(, b), < b < ii, limf = limg = iii, g (x) 0 x (, b) f iv, lim = A +0 g R f Ekkor lim +0 g = lim f = A. +0 g 5

6 43. Írj le esetre vontkozó L Hospitl-szbályt! Tegyük fel, hogy f, g R R, és: i, f, g D(, b), < b < ii, limf = limg = iii, g (x) 0 x (, b) f iv, lim = A +0 g R f Ekkor lim +0 g = lim f = A. +0 g 44. Mi kpcsolt htványsor összegfüggvénye és htványsor együtthtói között? Legyen f(x) = α n (x ) n (x K R ()) egy konvergens htványsor összegfüggvénye n=0 (R > 0 feltehető) f D (x) és f (k) (x) = α n n(n 1)... (n k + 1)(x ) n k és f (k) () = α k k! α k = f (k) () k! ( k N). 45. Hogyn definiálj egy függvény Tylor-sorát? H f D () Legyen f (k) () (x ) k htványsor z f függvény ponthoz trtozó k=0 k! Tylor sor. 46. Foglmzz meg Tylor formul Lgrnge mrdéktggl néven tnult tételt! Tegyük fel, hogy f D (n+1) (K()). Ekkor x K() : ξ (, x) : f(x) = n f (k) () (x ) k + (f (n+1) (ξ)/(n + 1)!)(x ) n+1 k! k=0 47. Mi konvex függvény defínciój? f : (, b) R függvény konvex, h x 1, x 2 (, b), x 1 < x 2, λ [0, 1] : f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) és szigorún konvex, h x 1, x 2 (, b), x 1 < x 2, λ [0, 1] : f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) < λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ). 48. Jellemezze egy függvény konvexitását (konkávitását) z első derivált segítségével! f : (, b) R f D(, b) :, f konvex f monoton nő (, b)-n b, f szigorún konvex f szigorún monoton nő (, b)-n. 49. Jellemezze egy függvény konkávitását második derivált segítségével! f : (, b) R f D 2 (, b) :, f konvex f 0(, b)-n b, f szigorún konvex f > 0(, b) -n. n=k 6

7 50. Mi z inflexiós pont definíciój? f : (, b) R, x 0 (, b), f D(x 0 ). Ekkor z x 0 pont z f inflexiós pontj, h z l(x) = f(x) (f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 )). Az l(x) függvény szigorún előjelet vált x 0 -bn, zz δ > 0, hogy l(x) < 0, x (x 0 δ, x 0 ) és l(x) > 0, x (x 0, x 0 + δ), vgy fordítv. 51. Milyen szükséges feltételt ismer második derivált és z inflexiós pont kpcsoltáról? f : (, b) R, x (, b) H f kétszer folytonosn deriválhtó x 0 -bn, és x 0 inflexiós pont, kkor f (x 0 ) = Milyen elégséges feltételt ismer hrmdrendű derivált és z inflexiós pont kpcsoltáról? f : (, b) R, x (, b) H f háromszor folytonosn derviálhtó, f (x 0 ) = 0, és f (x 0 ) 0, kkor x 0 inflexiós pont. 53. Definiálj primitív függvényt! Az f : I R függvény primitív függvénye z F : I R függvény, h F D(I) és F (x) = f(x) x I 54. Adjon meg olyn függvényt, melyiknek nincs primitív függvénye! pl.: f(x) = signx, Nem létezik primitív függvénye, mert f nem Drboux tuljdonságú. 55. Definiálj z egy dott pontbn eltűnő primitív függvény foglmát! f : I R függvény, x 0 I-ben eltünő primitiv függvénye F = f, melyre x F = f, F (x 0 ) = A primitív függvény létezésére vontkozó szükséges feltétel! H f : I R függvénynek létezik primitív függvénye, kkor f Drboux tuljdonságú, zz, b I, < b, c (f(), f(b)) ξ (, b) : f(ξ) = c. 57. Mit jelent egy függény htároztln integrálj? H f : I R primitív függvénye F, kkor f := {F + c : c R} z összes primitív függvény hlmz. f-et htároztln integrálnk nevezzük. Jel: f = F + c, c R, f(x)dx = F (x) + c, c R. 58. Mit ért htároztln integrál lineritásán? f, g R[, b], α 1, α 2 R. Ekkor (α 1 f +α 2 g) R[, b], és b (α 1 f +α 2 g) = α 1 b f +α Milyen állítást ismer htványsor összegfüggvényének primitív függvényéről? H f(x) = α n (x ) n, x K R (), R > 0, kkor f(x)dx = (x ) n+1 α n + c. n + 1 n=0 60. Mit mond ki primitív fügvényekkel kpcsoltos prciális integrálás tétele? f, g : I R, x 0 I, f, g D(I). Ekkor h f g-nek létezik primitív függvénye, kkor fg -nek is, és fg = fg f g, és x 0 fg = fg f(x 0 )g(x 0 ) x 0 f g. n=0 g. 7

8 61. Hogyn szól primitív függvényekkel kpcsoltos első helyettesítési szbály? g : I J, g D(I), f : J R, t 0 J. H f-nek létezik primitív függvénye, kkor (f g)g -nek is, és (f g)g = ( f) g. t 0 g(t 0 ) 62. Foglmzz meg primitív függvényekkel kpcsoltos második helyettesítési szbályt! g : I J bijekció, g D(I), f : J R, x 0 J. H (f g)g -nek létezik primitív függvénye, kkor f-nek is, és f = ( (f g)g ) g 1. x 0 g 1 (x 0 ) 63. Adjon meg leglább három olyn függvényt, melyiknek primitív függvénye nem elemi függvény! sin(x 2 )dx, cos(x 2 )dx, 1 + x 2 dx. 64. Definiálj z intervllum egy felosztását! τ = {x 0, x 1,..., x n } z [, b] egy felosztás, h = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. 65. Mit jelent egy felosztás finomítás? τ 1 és τ 2 felosztás [, b]-nk. τ 2 finomítás τ 1 -nek, h τ 1 τ Mi z lsó közelítő összeg definíciój? f K[, b], τ F [, b] : Az s(f, τ) = összege. n i=1 ( inf [x i 1,x i ] 67. Mi felső közelítő összeg definíciój? f K[, b], τ F [, b] : Az S(f, τ) = összege. n i=1 ( sup [x i 1,x i ] f)(x i x i 1 ) összeg z f függvény τ-hoz trtozó lsó közelítő f)(x i x i 1 ) összeg z f függvény τ-hoz trtozó felső közelítő 68. Mi történik egy lsó közelítő öszeggel, h neki megfelelő felosztást finomítjuk? f K[, b], τ 1, τ 2 F [, b] H τ 2 > τ 1, kkor s(f, τ 1 ) s(f, τ 2 ) 69. Mi történik egy felső közelítő öszeggel, h neki megfelelő felsztást finomítjuk? f K[, b], τ 1, τ 2 F [, b] H τ 2 > τ 1, kkor S(f, τ 1 ) S(f, τ 2 ) 70. Milyen viszony vn z lsó és felső közelítő összegek között? f K[, b], τ 1, τ 2 F [, b] s(f, τ 1 ) S(f, τ 2 ) 71. Mi Drboux-féle lsó integrál definíciój? I f := sup{s(f, τ) : τ F [, b]} < z f Drboux-féle lsó integrálj. 72. Mi Drboux-féle felső integrál definíciój? I f := inf{s(f, τ) : τ F [, b]} R z f Drboux-féle felső integrálj. 8

9 73. Mikor nevez egy függvényt (Riemnn)-integrálhtónk? f Riemnn integrálhtó, h I f = I f. Jel: f R[, b] 74. Hogyn értelmezi egy függvény htározott (vgy Riemnn-) integrálját? f = f(x)dx = I f = I f = If 75. Adjon meg egy példát nem integrálhtó függvényre! { 1 x Q f(x) = 0 x / Q x [0, 1] f / R[, b], hiszen s(f, τ) = 0 S(f, τ) = Mi z oszcillációs összeg definíciój? Ω(f, τ) = S(f, τ) s(f, τ) = n ( sup f inf f)(x i x i 1 ) z f oszcillációs összege. [x i 1,x i ] i=1 [x i 1,x i ] 77. Hogyn szól Riemnn-integrálhtósággl kpcsoltbn tnult kritérium z oszcillációs összegekkel megfoglmzv? f R[, b] ε > 0 τ F [, b] : Ω(f, τ) < ε. 78. Felosztássoroztok segítségével dj meg Riemnn-integrálhtóság egy ekvivlensátfoglmzását! f R[, b] és f = I (τ n ) felosztássorozt, hogy lim s(f, τ n ) = lim S(f, τ n ) = I. 79. Hogyn szól Riemnn-integrálhtó függvények összegével kpcsoltbn tnult tétel? Tegyük fel, hogy f, g R[, b]. Ekkor f + g R[, b] és (f + g) = 80. Hogyn szól Riemnn-integrálhtó függvények szorztávl kpcsoltbn tnult tétel? Tegyük fel, hogy f, g R[, b]. Ekkor fg R[, b]. 81. Hogyn szól Riemnn-integrálhtó függvények hánydosávl kpcsoltbn tnult tétel? Tegyük fel, hogy f, g R[, b]. Ekkor h g(x) > 0, x [, b], kkor f/g R[, b]. 82. Mit ért Riemnn-integrál intervllum szerinti dditivitásán? Legyen c (, b). Ekkor f R[, b] f R[, c] és f R[c, b]. Ekkor 83. Mi kpcsolt folytonosság és Riemnn-integrálhtóság között? C [, b] R[, b]. (???) 84. Mi kpcsolt monotonitás és Riemnn-integrálhtóság között? f : [, b] R monoton függvény A R[, b]. f + g. f = c f + f. c 9

10 85. Milyen tételt tnult Riemnn-integrálhtó függvény megváltozttását illetően? A R[, b] függvényt véges sok pontbn megváltozttv f-hoz jutunk. Ekkor f is integrálhtó, és f = f. 86. Mit ért zon, hogy Riemnn-integrál z integrndusbn monoton? H f, g R[, b], és f g, kkor f g. 87. Mit lehet mondni Riemnn-integrálhtó függvény bszolút értékéről integrálhtóság szempontjából? H f R[, b], kkor f R[, b] és f f. 88. Mi z integrálszámítás első középértéktétele? Tegyük fel, hogy f, g R[, b], g 0. Ekkor m := inff, M := supf, Ekkor m [,b] [,b] g fg M 89. Mi z integrálszámítás második középértéktétele? Tegyük fel, hogy f, g R[, b], g 0, f C [, b]. Ekkor ξ [, b] : 90. Hogyn szól Newton-Leibniz-tétel? Tegyük fel, hogy f R[, b] és f-nek F primitív függvénye. Ekkor g. fg = f(ξ) g. f = F (b) F (). 91. Definiálj z integrálfüggvényt! x f R[, b], x 0 [, b]. Ekkor z F (x) := f (x [, b]) függvény f z integrálfüggvénye. x Foglmzz meg differenciál- és integrálszámítás lptételét! x Tegyük fel, hogy f R[, b], x 0 [, b] és F (x) = f z f integrál függvénye. Ekkor x 0 i, F C [, b] ii, H d [, b], és f C (d), kkor F D(d) és F (d) = f(d). 93. Mit ért prciális integráláson Riemnn-integrálokkl kpcsoltbn? f, g D[, b], f g R[, b]. Ekkor f g = f(b)g(b) f()g() 94. Mit mond ki helyettesítéses integrálás tétele Riemnn-integrálokr vontkozón? f R[, b], g : [α, β] [, b], g D[α, β], f gg R[, b]. Ekkor g(β) f = (f gg ). g(α) fg. 10

11 95. Mit tud mondni függvénygrfikon hosszánk kiszámításáról? H f : [, b] R folytonosn differenciálhtó, kkor l(γ) = 1 + (f ) Hogyn számítj ki forgástest térfogtát? H f : [, b] R folytonosn differenciálhtó, kkor V (H) = π 97. Hogyn számítj ki forgástest felszínét? H f : [, b] R folytonosn differenciálhtó, kkor F (H) = 2π f 2. f 1 + (f ) 2. Felhsznált irodlom - ELTE IK progrmtervezői informtikus szk 2012 őszi féléves Anlízis II. elődás lpján írt óri jegyzetem - Szili László: Anlízis Feldtokbn I. - Wikipédi 11