Gazdasági matematika I.
|
|
- Béla Ede Veres
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123
2 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ, PAP GYULA Gazdasági matematika I., előadáskövető fóliák, pdf losi/huindex.htm LOSONCZI LÁSZLÓ Gazdasági matematika I., előadáskövető jegyzet, pdf losi/huindex.htm LOSONCZI LÁSZLÓ Feladatok a gazdasági matematika I. tárgyhoz, pdf losi/huindex.htm Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 2 / 123
3 Ajánlott irodalom: KNUT SYDSÆTER és PETER HAMMOND Matematika közgazdászoknak Aula, HATVANI LÁSZLÓ Kalkulus közgazdászoknak Polygon, Szeged, ERNYES, MALA,OROSZ, RACSMÁNY,SZAKÁL Matematikai alapok feladatgyujtemény Aula Kiadó KOZMA LÁSZLÓ Matematikai alapok Studium Kiadó, DENKINGER GÉZA, GYURKÓ LAJOS Analízis gyakorlatok Nemzeti Tankönyvkiadó, Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 3 / 123
4 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.1 Halmazok Tartalmazás jelölése a B b / A (a eleme a B halmaznak) (b nem eleme az A halmaznak) Halmazok megadási módjai felsorolás; például A = {2, 3, 5, 7, 11} ismert halmaz adott tulajdonságú elemeinek megadása; például A = {n N : n páros}, ahol N := {1, 2,... } a természetes számok halmaza Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 4 / 123
5 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.1 Halmazok Definíciók Üres halmaz: melynek egyetlen eleme sincs; jelölése: Az A és B halmazok egyenlőek, ha elemei ugyanazok; jelölése: A = B; tagadása: A B Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme benne van a B halmazban; jelölése: A B, illetve B A, amit úgy olvasunk, hogy B tartalmazza az A halmazt Az A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak, ha A B és A B Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 5 / 123
6 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.1 Halmazok Logikai alapfogalmak Állítás: olyan kijelentés, melyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Logikai műveletek: P (nem P, azaz P tagadása) pontosan akkor igaz, ha P hamis P Q (P és Q) pontosan akkor igaz, ha P és Q is igaz P Q (P vagy Q) pontosan akkor igaz ha, P és Q legalább egyike igaz P = Q (P-ből következik Q) pontosan akkor igaz, ha P hamis vagy ha Q igaz P Q (P ekvivalens Q-val) pontosan akkor igaz, ha P és Q vagy mindketten igazak vagy mindketten hamisak Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 6 / 123
7 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.1 Halmazok P = Q esetén azt mondjuk, hogy P elegendő Q teljesüléséhez, másképpen Q szükséges P teljesüléséhez P Q esetén azt mondjuk, hogy P szükséges és elegendő Q teljesüléséhez P Q pontosan akkor igaz, ha P = Q és Q = P is igaz, azaz (P Q) (P = Q) (Q = P) tetszőleges P és Q állításokra igaz Az indirekt bizonyítás alapja: (P = Q) ( Q = P) tetszőleges P és Q állításokra igaz Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 7 / 123
8 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.1 Halmazok Logikai kvantorok univerzális kvantor: x = minden x-re egzisztenciális kvantor: x = van olyan x melyre Példák: A B ( x) (x A = x B) és A = B ( x) ( (x A = x B) (x B = x A) ) igazak tetszőleges A és B halmazokra Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 8 / 123
9 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.1 Halmazok Műveletek egy X halmaz részhalmazaival A és B egyesítése = uniója: A B := {x X : x A vagy x B} A és B metszete = közös része: A B := {x X : x A és x B} A és B különbsége: A \ B := {x X : x A és x / B} A komplementere (X-re nézve): A := X \ A Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 9 / 123
10 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.1 Halmazok Halmazműveletek tulajdonságai kommutativitás: A B = B A, A B = B A asszociativitás: A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C disztributivitás: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) idempotencia: A A = A, A A = A de Morgan azonosságok: A B = A B, A B = A B Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 10 / 123
11 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.1 Halmazok Halmazrendszer Olyan (nemüres) halmaz, melynek elemei halmazok Ha I egy (nemüres) halmaz és minden i I elemhez meg van adva egy A i -vel jelölt halmaz, akkor az A = {A i : i I} halmazrendszert I-vel indexelt halmazrendszernek nevezzük, I neve indexhalmaz Egy R halmazrendszer uniója és metszete: R := { x : ( A R) x A }, R := { x : ( A R) x A } Ha A = {A i : i I} egy I-vel indexelt halmazrendszer, akkor A i := A, A i := A i I i I Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 11 / 123
12 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.2 Relációk Két halmaz Descartes szorzata Az A és B halmazok Descartes szorzata (vagy direkt szorzata) e halmazok elemeiből képezett összes (a, b) rendezett párok halmaza, ahol a A, b B. Jelölése: A B := {(a, b) : a A, b B}. További jelölés: A 2 := A A. Rendezett párok egyenlősége (a, b) = (c, d) akkor és csakis akkor ha a = c, b = d. Két halmaz közötti reláció Az A és B halmazok Descartes szorzatának egy R A B részhalmazát az A és B közötti relációnak nevezzük. Ha (a, b) R, akkor azt mondjuk, hogy az a elem R relációban van b-vel. Jelölése: a R b. Ha A = B, akkor az A és B közötti relációt A-n értelmezett relációnak mondjuk. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 12 / 123
13 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.2 Relációk Ekvivalencia reláció Az A halmazon értelmezett R A A reláció ekvivalencia reláció, ha reflexív, azaz ( a A) a R a szimmetrikus, azaz ( a, b A) a R b = b R a tranzitív, azaz ( a, b, c A) (a R b b R c) = a R c. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 13 / 123
14 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.2 Relációk Osztályozás = diszjunkt halmazokra bontás = particionálás Egy halmaz felbontását páronként diszjunkt halmazok uniójára a halmaz osztályozásának nevezzük. Ekvivalencia reláció osztályozást hajt végre Ha R egy ekvivalencia reláció az A halmazon, akkor az egymással relációban álló elemeket egy-egy osztályba sorolva az A egy osztályozását kapjuk. Ha egy A halmazon adott egy osztályozás, akkor az egymással egy osztályba sorolt elemeket relációban állóknak tekintve egy ekvivalencia relációt kapunk az A halmazon, melynek osztályai éppen a kiindulásként vett osztályok. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 14 / 123
15 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.2 Relációk Féligrendezés, rendezés Az A halmazon értelmezett R A A reláció féligrendezés, ha reflexív, azaz ( a A) a R a antiszimmetrikus, azaz ( a, b A) (a R b b R a) = (a = b). tranzitív, azaz ( a, b, c A) (a R b b R c) = a R c. Az A halmazon értelmezett R A A reláció rendezés, ha féligrendezés, és ha ( a, b A) (a R b b R a). Példák: Egy X halmaz összes részhalmazán a tartalmazási reláció féligrendezés. A valós számok R halmazán a reláció rendezés. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 15 / 123
16 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.2 Relációk Valós számhalmazok korlátossága A R felülről korlátos, ha ( k R) ( a A) a k. Ekkor a k számot A egy felső korlátjának nevezzük. A R alulról korlátos, ha ( k R) ( a A) a k. Ekkor a k számot A egy alsó korlátjának nevezzük. A R korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. s R az A R pontos felső korlátja = szuprémuma, ha s az A felső korlátja; A bármely s felső korlátjára s s. Jelölés: s = sup A. i R az A R pontos alsó korlátja = infimuma, ha i az A alsó korlátja; A bármely i alsó korlátjára i i. Jelölés: i = inf A. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 16 / 123
17 1. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.2 Relációk Függvény Az A és B halmazok között értelmezett F A B reláció függvény, ha minden a A elemhez pontosan egy olyan b B elem létezik, melyre a F b teljesül. Ilyenkor a b = F(a) jelölést használjuk, a függvény jelölése pedig F : A B. D F := A az F függvény értelmezési tartománya. R F := {F(a) : a A} az F függvény értékkészlete. Az F : A B függvény injektív, ha ( a, b A) a b = F(a) F(b) Az F : A B függvény szürjektív, ha R F = B. Az F : A B függvény bijektív, ha injektív és szürjektív. Ha F : A B injektív, akkor az F 1 : R F A inverz függvény értelmezése: F 1 (b) = a ha b = F(a). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 17 / 123
18 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok axiómarendszere A valós számok R halmaza teljesíti a következő 3 axiómacsoportot: Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve: R R (x, y) x + y R R (x, y) x y összeadás, szorzás. Az összeadás axiómái: ( x, y R) x + y = y + x, ( x, y, z R) x + (y + z) = (x + y) + z, ( 0 R) ( x R) x + 0 = x, ( x R) ( x R) x + ( x) = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 18 / 123
19 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok axiómarendszere Testaxiómák A szorzás axiómái: ( x, y R) x y = y x, ( x, y, z R) x (y z) = (x y) z, ( 1 R, 1 0) ( x R) x 1 = x, ( x R, x 0) ( x 1 R) x x 1 = 1. Továbbá ( x, y, z R) x (y + z) = x y + x z. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 19 / 123
20 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok axiómarendszere Rendezési axiómák R-en értelmezve van egy rendezési reláció, melyre Teljességi axióma ( x, y, z R) x y = x + z y + z, ( x, y R) (0 x) (0 y) = 0 x y. R a rendezésre nézve teljes, azaz R bármely nemüres felülről korlátos részhalmazának létezik pontos felső korlátja. R létezése Létezik olyan R halmaz, mely teljesíti ezt a 3 axiómacsoportot (és ez a halmaz bizonyos értelemben egyértelmű). A valós számokat a számegyenesen modellezhetjük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 20 / 123
21 2. A VALÓS SZÁMOK 2.2 R nevezetes részhalmazai, abszolút érték, távolság R nevezetes részhalmazai Természetes számok halmaza: N := {1, 2, 3, 4,... } Egész számok halmaza: Z := {0, ±1, ±2, ±3,... } Racionális számok halmaza: Q := { p q : p, q, Z, q 0} N az R-nek az a legszűkebb részhalmaza, melyre teljesül az, hogy 1 N, ha n N, akkor n + 1 N. Teljes indukció Ha egy M N részhalmazra teljesül az, hogy 1 M, ha n M, akkor n + 1 M, akkor M = N. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 21 / 123
22 2. A VALÓS SZÁMOK 2.2 R nevezetes részhalmazai, abszolút érték, távolság R intervallumai a, b R, a < b esetén nyílt: zárt: balról nyílt, jobbról zárt: balról zárt, jobbról nyílt: elfajult: ]a, b[ :={x R : a < x < b}, [a, b] :={x R : a x b}, ]a, b] :={x R : a < x b}, [a, b[ :={x R : a x < b}, [a, a] :={x R : a x a} = {a}, végtelen: ]a, [ := {x R : a < x}, [a, [ := {x R : a x}, ], b[ := {x R : x < b}, ], b] := {x R : x b}, ], [ := R. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 22 / 123
23 2. A VALÓS SZÁMOK 2.2 R nevezetes részhalmazai, abszolút érték, távolság Valós szám abszolút értéke Az x R szám abszolút értéke: x := Az abszolút érték tulajdonságai Bármely x, y R esetén x 0, és x = 0 x = 0, xy = x y, x + y x + y, x y x y, x a a x a, x < a a < x < a. { x ha x 0, x ha x < 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 23 / 123
24 2. A VALÓS SZÁMOK 2.2 R nevezetes részhalmazai, abszolút érték, távolság R pontjainak távolsága Az x R és y R pontok távolsága: d(x, y) := x y A távolság tulajdonságai Bármely x, y, z R esetén d(x, y) 0, és d(x, y) = 0 x = y, d(x, y) = d(y, x), d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 24 / 123
25 2. A VALÓS SZÁMOK 2.3 A teljességi axióma néhány következménye Az R bármely nemüres alulról korlátos részhalmazának van pontos alsó korlátja. A természetes számok halmaza felülről nem korlátos. A valós számok Archimedesi tulajdonsága Bármely x > 0 és y R számokhoz van olyan n N, hogy y < nx. Cantor metszettétele Zárt intervallumok egymásba skatulyázott sorozatának metszete nemüres, azaz ha [a n, b n ] (n N) zárt egymásba skatulyázott intervallumok sorozata, azaz akkor [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]..., n=1 [a n, b n ]. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 25 / 123
26 2. A VALÓS SZÁMOK 2.3 A teljességi axióma néhány következménye Valós számok egész kitevős hatványozása Az x R szám egész kitevős hatványai: x 1 := x, x n+1 := x n x (n N), x 0 := 1, x n := 1 (x 0, n N) x n Nemnegatív valós szám n-edik gyökének létezése Bármely x 0 nemnegatív valós számhoz és n N természetes számhoz pontosan egy olyan y 0 nemnegatív valós szám létezik, melyre y n = x. Jelölés: y = n x = x 1 n. Elnevezés: y az x szám n-edik gyöke. Pozitív x > 0 valós szám racionális r Q kitevős hatványa: x r := q x p, ahol r = p, p Z, q N. q Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 26 / 123
27 2. A VALÓS SZÁMOK 2.4 Topológiai fogalmak, Bolzano-Weierstrass tétel Az a R pont ε > 0 sugarú (nyílt) környezete: K (a, ε) := {x R : d(x, a) < ε} = ]a ε, a + ε[ Az a R pont az A R halmaz belső pontja, ha a-nak van olyan környezete, mely teljesen benne van A-ban, azaz ha ( ε > 0) (K (a, ε) A). Az a R pont az A R halmaz izolált pontja, ha a A, és a-nak van olyan környezete, melyben a-n kívül nincs A-beli pont: (a A) ( ( ε > 0) (K (a, ε) \ {a}) A = ). Az a R pont az A R halmaz torlódási pontja, ha a bármely környezetében van tőle különböző A-beli pont, azaz ha ( ) ( ε > 0) (K (a, ε) \ {a}) A. Az a R pont az A R halmaz határpontja, ha a bármely környezetében van ( A-beli és nem A-beli pont is, azaz ha (K ) ( ) ) ( ε > 0) (a, ε) A K (a, ε) A. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 27 / 123
28 2. A VALÓS SZÁMOK 2.4 Topológiai fogalmak, Bolzano-Weierstrass tétel A R összes belső pontjainak halmazát A belsejének nevezzük és A -rel jelöljük. A R összes határpontjainak halmazát A határának nevezzük és A-val jelöljük. Az A R halmazt nyíltnak nevezzük, ha minden pontja belső pontja A-nak. Az A R halmazt zártnak nevezzük, ha komplementere nyílt. Egy A R halmaz akkor és csakis akkor zárt, ha tartalmazza összes torlódási pontját. Bolzano-Weierstrass tétel Bármely korlátos végtelen számhalmaznak van torlódási pontja. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 28 / 123
29 3. SOROZATOK 3.1 Sorozatok korlátossága, monotonitása, konvergenciája Valós számsorozat Egy a : N R függvényt valós számsorozatnak nevezünk. Jelölés: (a n ) = (a n ) n N, ahol a n := a(n) ha n N. Sorozat megadása képlettel; például a n = 1 n ha n N. rekurzív módon; például a 1 = 1, és a n+1 = 2 + a n ha n N. szabállyal; például a n := az n-edik prímszám. Sorozat korlátossága (a n ) n N felülről korlátos, ha ( k R) ( n N) a n k. Az ilyen k számot a sorozat felső korlátjának nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 29 / 123
30 3. SOROZATOK 3.1 Sorozatok korlátossága, monotonitása, konvergenciája Sorozat korlátossága (a n ) n N alulról korlátos, ha ( k R) ( n N) a n k. Az ilyen k számot a sorozat alsó korlátjának nevezzük. Sorozat korlátossága Az (a n ) n N Sorozat monotonitása sorozat akkor és csakis akkor korlátos, ha ( K R) ( n N) a n K. (a n ) n N monoton növekvő, ha ( n N) a n+1 a n. (a n ) n N monoton csökkenő, ha ( n N) a n+1 a n. (a n ) n N szigorúan monoton növekvő, ha ( n N) a n+1 > a n. (a n ) n N szigorúan monoton csökkenő, ha ( n N) a n+1 < a n. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 30 / 123
31 3. SOROZATOK 3.1 Sorozatok korlátossága, monotonitása, konvergenciája Konvergens valós számsorozat Az (a n ) n N sorozatot konvergensnek nevezzük, ha van olyan a R, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyan N(ε) R szám, hogy a n a < ε amennyiben n > N(ε). Az a számot a sorozat határértékének (limeszének) nevezzük. Jelölés: a n a (n ), vagy lim a n = a. n Az (a n ) n N sorozatot divergensnek nevezünk, ha nem konvergens. A konvergencia környezetes átfogalmazása Az (a n ) n N sorozat konvergens és határértéke a R akkor és csakis akkor, ha az a pont bármely környezetén kívül a sorozatnak csak véges sok eleme van. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 31 / 123
32 3. SOROZATOK 3.1 Sorozatok korlátossága, monotonitása, konvergenciája Ha egy sorozatban véges sok elemet teszőlegesen megváltoztatunk, vagy a sorozatból véges sok elemet elhagyunk, vagy a sorozathoz véges sok elemet hozzáveszünk, akkor a sorozat konvergenciája vagy divergenciája nem változik, és konvergencia esetén a határértéke sem változik. A határérték egyértelműsége Konvergens sorozatnak pontosan egy határértéke van. A konvergencia és a korlátosság kapcsolata Konvergens sorozat korlátos. Van olyan korlátos sorozat, mely divergens (nem konvergens). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 32 / 123
33 3. SOROZATOK 3.1 Sorozatok korlátossága, monotonitása, konvergenciája {a n : n N} a sorozat elemeiből álló halmaz (azaz a sorozat mint függvény értékkészlete) A konvergencia és a monotonitás kapcsolata Ha az (a n ) n N sorozat monoton növekvő és felülről korlátos, akkor konvergens és lim a n = sup{a n : n N}. n Ha az (a n ) n N sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens és lim a n = inf{a n : n N}. n Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 33 / 123
34 3. SOROZATOK 3.2 Műveletek, rendezés és konvergencia kapcsolata A konvergencia és a műveletek kapcsolata Ha a n a, b n b (n ), akkor a n + b n a + b (n ), a n b n ab (n ), a n a b n b ca n ca a n a (n ). (n ), ha b n, b 0, (n ), Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 34 / 123
35 3. SOROZATOK 3.2 Műveletek, rendezés és konvergencia kapcsolata Előjel=signum függvény 1 ha x > 0, sign(x) := 0 ha x = 0, 1 ha x < 0. A konvergencia és a rendezés kapcsolata Konvergens sorozat jeltartó, azaz ha a n a 0 (n ), akkor van olyan n 0 R, hogy sign(a n ) = sign(a) ha n > n 0. A konvergencia megőrzi a monotonitást, azaz ha a n b n (n N) és a n a, b n b (n ), akkor a b. Érvényes a rendőrtétel, azaz ha a n a, b n a (n ) és a n x n b n (n N), akkor (x n ) n N is konvergens és x n a (n ). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 35 / 123
36 3. SOROZATOK 3.3 Bővített valós számok, végtelenhez tartó sorozatok Bővített valós számok halmaza R b := R {+ } { } Jelölés: := + Műveletek R b -ben Bármely x R esetén x + (± ) := (± ) + x = ±, Rendezés R b -ben (+ ) + (+ ) := +, ( ) + ( ) :=, x (± ) := (± ) x = ± ha x > 0, x (± ) := (± ) x = ha x < 0, (+ ) (± ) := ±, ( ) (± ) :=, x := 0. ± Bármely x R esetén < x < +. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 36 / 123
37 3. SOROZATOK 3.3 Bővített valós számok, végtelenhez tartó sorozatok NINCSENEK ÉRTELMEZVE AZ ALÁBBIAK: (+ ) + ( ), ( ) + (+ ), 0 (± ), (± ) 0, + +, +, +,, x 0 ha x R b. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 37 / 123
38 3. SOROZATOK 3.3 Bővített valós számok, végtelenhez tartó sorozatok A határérték fogalmának kiterjesztése Azt mondjuk, hogy az (a n ) n N sorozat határértéke +, ha bármely K R számhoz van olyan N(K ) R, hogy a n > K ha n > N(K ). Jelölés: a n + (n ) vagy lim a n = +. n Azt mondjuk, hogy az (a n ) n N sorozat határértéke, ha bármely K R számhoz van olyan N(K ) R, hogy Jelölés: a n (n ) vagy a n < K ha n > N(K ). lim a n =. n Ha a n + vagy a n, akkor a sorozat divergens, de van határértéke! Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 38 / 123
39 3. SOROZATOK 3.3 Bővített valós számok, végtelenhez tartó sorozatok Környezetek R b -ben + környezetei a ]K, + [ (K R) intervallumok, környezetei a ], K [ (K R) intervallumok A határérték környezetes átfogalmazása R b -ben Egy sorozat határértéke + (illetve ) akkor és csakis akkor, ha + (illetve ) bármely környezetén kívül a sorozatnak csak véges sok eleme van. Pontos felső korlát R b -ben Ha A R felülről nem korlátos, akkor sup A := +. Ha A R alulól nem korlátos, akkor inf A :=. Minden A R halmaznak van szuprémuma és infimuma R b -ben. Minden monoton sorozatnak van határértéke R b -ben. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 39 / 123
40 3. SOROZATOK 3.3 Bővített valós számok, végtelenhez tartó sorozatok A határérték és műveletek kapcsolata R b -ben Ha a n a, b n b (n ), ahol most a, b R b, és c R, akkor a n + b n a + b (n ), ha a + b értelmezve van, a n b n a b (n ), ha a b értelmezve van, a n a (n ), ha b n 0 (n N), b n b és a értelmezve van, b c a n c a (n ), ha c a értelmezve van, továbbá ha a n (n ), akkor 1 a n 0 (n ). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 40 / 123
41 3. SOROZATOK 3.4 Nevezetes határértékek + ha a > 0, n a 1 ha a = 0, 0 ha a < 0. Ha a > 0, akkor n a 1 (n ). 0 ha a < 1, a n 1 ha a = 1, + ha a > 1, divergens ha a 1. Ha a < 1 és k R, akkor n k a n 0 (n ). n n 1 (n ). Ha a R, akkor an 0 (n ). n! ( Az a n = ) n (n N) sorozat szigorúan monoton növekvő n és felülről korlátos, a n < 3 (n N), így konvergens. Határértéke egy nevezetes szám, amit e-vel jelölünk, közelitő értéke e 2, 72. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 41 / 123
42 4. SOROK 4.1 Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Számsor Egy (a n ) n N valós számsorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott ( a 1 + a 2 + vagy a n röviden ) a n összeget számsornak (vagy numerikus sornak) nevezzük. A a n sort konvergensnek nevezzük, ha részletösszegeinek n s n := a 1 + a a n = a k (n N) sorozata konvergens, és ekkor a sor összege s := lim s n, és azt n írjuk, hogy n a n = s, azaz a n = lim a k. A a n n=1 n=1 n=1 k=1 n k=1 sort divergensnek nevezzük, ha nem konvergens. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 42 / 123
43 4. SOROK 4.1 Definíció, konvergencia, divergencia, összeg A n=1 aq n 1 = a + aq + aq 2 +, (a, q R, a 0) geometriai sor akkor és csakis akkor konvergens, ha q < 1, és akkor aq n 1 = n=1 a 1 q = első tag 1 kvóciens. A n=1 1 n harmónikus sor divergens. Sor konvergenciájának szükséges feltétele Ha a n=1 a n sor konvergens, akkor lim n a n = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 43 / 123
44 4. SOROK 4.1 Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Leibniz tétele (elegendő feltétel alternáló sorok konvergenciájára) A n=1 ( 1) n+1 a n (a n 0, n N) alternáló sor konvergens, ha (a n ) n N monoton csökkenően tart nullához, és ekkor a sor s összegére, és részletösszegeinek (s n ) n N sorozatára teljesül Például a n=1 s s n a n+1 (n N). ( 1) n+1 1 n = alternáló sor 4 konvergens (és összege ln 2). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 44 / 123
45 4. SOROK 4.2 Pozitív tagú sorok A a n sort akkor nevezzük pozitív tagúnak, ha a n > 0 (n N). Pozitív tagú sor akkor és csakis akkor konvergens, ha a részletösszegeiből álló sorozat felülről korlátos. Majoráns/minoráns teszt Legyenek 0 < a n b n (n N). Ha a b n sor konvergens, akkor a a n sor is konvergens. Ha a a n sor divergens, akkor a b n sor is divergens. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 45 / 123
46 4. SOROK 4.2 Pozitív tagú sorok Hányados/D Alambert teszt Legyen a n pozitív tagú sor. Ha ( q < 1) ( n N) a n+1 a n q, akkor a a n sor konvergens. Ha ( n N) a n+1 a n 1, akkor a a n sor divergens. Hányados/D Alambert teszt limeszes alakja Legyen a n pozitív tagú sor, és tegyük fel, hogy a n+1 lim = L R b. n a n Ha L < 1, akkor a a n sor konvergens. Ha L > 1, akkor a a n sor divergens. Ha L = 1, akkor a a n sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 46 / 123
47 4. SOROK 4.2 Pozitív tagú sorok Gyök/Cauchy teszt Legyenek a n 0 (n N). Ha ( q < 1) ( n N) n a n q, akkor a a n sor konvergens. Ha ( n N) n a n 1, akkor a a n sor divergens. Gyök/Cauchy teszt limeszes alakja Legyenek a n 0 (n N), és tegyük fel, hogy Ha L < 1, akkor a a n Ha L > 1, akkor a a n Ha L = 1, akkor a a n divergens is. lim n n a n = L R b. sor konvergens. sor divergens. sor lehet konvergens, és lehet Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 47 / 123
48 4. SOROK 4.3 Abszolút konvergencia, műveletek sorokkal A a n sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a a n sor konvergens. A a n sort feltételesen konvergensnek nevezzük, ha a sor konvergens, de nem abszolút konvergens. Abszolút konvergens sor konvergens, de konvergens sor lehet nem abszolút konvergens. Sor átrendezése Ha ϕ : N N bijektív, akkor a a ϕ(n) sort a a n sor átrendezésének nevezzük. Abszolút konvergens sor bármely átrendezése is konvergens, és az átrendezett sor összege megegyezik az eredeti sor összegével. Feltételesen konvergens sornak van olyan átrendezése, mely divergens, vagy melynek összege egy tetszőlegesen előírt szám. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 48 / 123
49 4. SOROK 4.3 Abszolút konvergencia, műveletek sorokkal A Konvergens sor tetszőlegesen zárójelezhető, és a zárójelezett sor összege megegyezik az eredeti sor összegével. Ha a n és b n konvergensek és c R, akkor (a n + b n ) és (c a n ) is konvergensek, és (a n + b n ) = a n + b n, (c a n ) = c a n. n=0 n=1 n=1 n=1 a n és b n sorok Cauchy-féle szorzatsora c n, ahol n=0 n=1 c n := a 0 b n + a 1 b n a n b 0 = n a k b n k. k=0 n=0 n=1 Abszolút konvergens sorok Cauchy-féle szorzatsora is abszolút konvergens, és összege a tényezősorok összegének szorzata. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 49 / 123
50 4. SOROK 4.4 Hatványsorok Egy (a n ) n N számsorozat és a R esetén a a n (x a) n összeget hatványsornak nevezzük, melynek konvergenciahalmazát azon x R pontok alkotják, melyekre a sor konvergens. A konvergenciahalmaz pontjaiban értelmezhető a sor összegfüggvénye (mint a részletösszegek határértéke). Tegyük fel, hogy a a n (x a) n hatványsor esetén lim n a n R b. n=0 n 1 Az r := n lim an R 1 b (ahol 0 := +, 1 := 0) bővített valós + n n=0 számot a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. Ha x a < r, akkor a hatványsor abszolút konvergens x-ben. Ha x a > r, akkor a hatványsor divergens x-ben. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 50 / 123
51 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke A torlódási pont fogalmát már korábban bevezettük. Ezt most kiterjesztjük arra az esetre amikor a torlódási pont R b -beli. Azt mondjuk, hogy + ( ) torlódási pontja a D halmaznak, ha D nem korlátos felülről (alulról). Egy D R halmaz R b -beli torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Függvény határértéke Legyen f : D R R és legyen x 0 D. Azt mondjuk, hogy f -nek van (véges, vagy végtelen) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R b bővített valós szám, hogy bármely olyan D-beli (x n ) n N sorozatra, melyre lim x n = x 0 és x n x 0, teljesül a lim f (x n ) = a n n egyenlőség. a-t az f függvény x 0 pontbeli határértékének nevezzük, és lim f (x) = a-val, vagy f (x) a (x x 0 )-lal jelöljük. x x 0 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 51 / 123
52 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Átfogalmazás Másképpen megfogalmazva: az f függvény értelmezési tartományának egy x 0 R b torlódási pontjában akkor és csakis akkor lesz f határértéke az a R b bővített valós szám, ha az értelmezési tartományból bármely x 0 -hoz konvergáló (x n ) n N sorozatot véve, melynek elemei x 0 -tól különbözőek, a függvényértékek (f (x n )) n N sorozata a-hoz tart. Határérték egyértelműsége Függvény határértéke, ha létezik, akkor egyértelmű. Határérték létezhet az x 0 pontban akkor is, ha a függvény nincs értelmezve a pontban, de torlódási pontja annak (egy halmaz torlódási pontja ugyanis nem feltétlenül pontja a halmaznak). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 52 / 123
53 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Legyen f : D R R és legyen E D, akkor az f függvény E-re való leszűkítését f E -vel jelöljük. Ez a függvény csak az E halmazon van definiálva és ott megegyezik f -fel. Jobb- és baloldali határérték x 0 R b -ben Legyen f : D R R és legyen x 0 R b a D x + 0 := D [x 0, + [ (Dx 0 := D ], x 0 ]) halmaz torlódási pontja. Akkor mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek az a R b bővített valós szám jobboldali (baloldali) határértéke az x 0 pontban, ha a R b az x 0 pontbeli határértéke az f D + (f x0 D ) leszűkített függvénynek. x0 Jobboldali (baloldali) határérték jelölése: lim f (x) = a x x 0 +0 ( lim f (x) = a) x x 0 0 Világos, hogy + -ben csak baloldali, -ben csak jobboldali határérték definiálható. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 53 / 123
54 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Függvény határértékére a fentivel ekvivalens definíció adható, de ekkor a véges és végtelenben vett véges és végtelen határértékek definíciója kissé eltéro. Függvény véges határértéke véges pontban, ε, δ-s definíció Legyen f : D R R és legyen x 0 D véges torlódási pontja D-nek. Azt mondjuk, hogy f -nek van (véges) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R szám, hogy minden ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy f (x) a < ε ha 0 < x x 0 < δ(ε) és x D. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 54 / 123
55 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Határérték, monotonitás és műveletek kapcsolata Legyenek f, g : D R R, x 0 D, és tegyük fel, hogy lim f (x) = a R b, x x 0 Akkor bármely c R mellett lim (f (x) + g(x)) = a + b, x x 0 lim c f (x) = c a, x x 0 lim f (x) g(x) = a b, x x 0 lim x x 0 f (x) g(x) = a b, ha a b Ha f (x) g(x) (x D, x x 0 ), akkor a b. lim g(x) = b R b. x x0 ha a + b értelmezve van, ha c a értelmezve van, ha a b értelmezve van, értelmezve van. Ha f (x) h(x) g(x) (x D, x x 0 ), és a=b, akkor lim h(x) = a. x x0 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 55 / 123
56 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Összetett függvény A h(x) := g ( f (x) ) (x D) függvényt, ahol f : D R R, g : f (D) R, az f és g függvényekből összetett függvénynek nevezzük, f a belső, g a külső függvény. (Itt f (D) := {f (x) : x D} az f függvény értékkészlete.) Más jelölés: h = g f. Összetett függvény határértéke Legyen f : D R R, g : f (D) R, és h(x) := g ( f (x) ) (x D). Ha x 0 D, akkor lim f (x) = a, a / f ( D \ {x 0 } ), és lim g(x) = b, x x 0 y a lim x x 0 h(x) = b. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 56 / 123
57 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.2 Függvény folytonossága Függvény folytonossága Az f : D R R függvényt folytonosnak nevezzük az x 0 D pontban, ha bármely D-beli x 0 -hoz konvergáló x n D (n N), x n x 0 (n ) sorozat esetén a függvényértékek f (x n ) (n N) sorozata az x 0 pontbeli függvényértékhez tart lim n f (x n) = f (x 0 ). Röviden: az f függvény x 0 D pontbeli folytonossága azt jelenti, hogy ha D x n x 0 (n ) akkor lim f (x n ) = f ( lim x n ) = f (x 0 ). n n Ha x 0 D D, akkor f folytonos x 0 -ban akkor, és csakis akkor, ha lim f (x) = f (x 0 ). x x0 Ha x 0 D, de x 0 / D, akkor x 0 a D izolált pontja, izolált pontokban f a definíció alapján mindig folytonos. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 57 / 123
58 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.2 Függvény folytonossága Jobb- és baloldali folytonosság Az f : D R R függvényt jobbról (balról) folytonosnak nevezzük az x 0 D pontban, ha az f D + x0 (f D x0 ) leszűkített függvény folytonos az x 0 D pontban. Ez azt jelenti, hogy az f : D R R függvény pontosan akkor jobbról (balról) folytonos az x 0 D pontban, ha bármely D-beli x 0 -hoz konvergáló x n D (n N), x n x 0 (x n x 0 ), x n x 0 (n ) sorozat esetén a függvényértékek f (x n ) (n N) sorozata az x 0 pontbeli függvényértékhez tart, lim n f (x n ) = f (x 0 ). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 58 / 123
59 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.2 Függvény folytonossága Függvény folytonossága,ε, δ-s ekivivalens definíció Az f : D R R függvényt az x 0 D pontban folytonosnak nevezzük, ha bármely ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy f (x) f (x 0 ) < ε ha x x 0 < δ(ε) és x D. Függvény folytonossága és a műveletek kapcsolata Ha f, g : D R R folytonosak az x 0 D pontban és c R, f akkor f + g, c f, f g, g (ha g(x 0) 0) is folytonosak x 0 -ban. A h(x) = g ( f (x) ) (x D) összetett függvény folytonos x 0 -ban (ahol f : D R R, g : f (D) R), ha f folytonos x 0 -ban és g folytonos az y 0 := f (x 0 ) pontban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 59 / 123
60 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.3 Folytonos függvények globális tulajdonságai Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvény a D halmazon alulról (felülről) korlátos, ha értékkészlete alulról (felülről) korlátos. monoton növekvő (csökkenő), ha x 1 < x 2, x 1, x 2 D esetén f (x 1 ) f (x 2 ) (f (x 1 ) f (x 2 )). szigorúan monoton növekvő (csökkenő), ha x 1 < x 2, x 1, x 2 D esetén f (x 1 ) < f (x 2 ) (f (x 1 ) > f (x 2 )). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 60 / 123
61 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.3 Folytonos függvények globális tulajdonságai Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek az x 0 D pontban lokális/helyi maximuma (minimuma) van, ha ε > 0, hogy f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) x K (x 0, ε) D esetén. szigorú lokális/helyi maximuma (minimuma) van, ha ε > 0, hogy f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)) x K (x 0, ε) D, x x 0 esetén. globális/abszolút maximuma (minimuma) van, ha f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) x D esetén. szigorú globális/abszolút maximuma (minimuma) van, ha f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)) x D, x x 0 esetén. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 61 / 123
62 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.3 Folytonos függvények globális tulajdonságai Folytonos függvény jeltartó, azaz ha f : D R R folytonos az x 0 D pontban, és f (x 0 ) 0, akkor van olyan δ > 0, hogy sign(f (x)) = sign(f (x 0 )) ha x K (x 0, δ) D. Függvény folytonossága halmazon Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvény folytonos az A D halmazon, ha f az A halmaz minden pontjában folytonos. Folytonos függvény korlátossága Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény korlátos. Maximum, minimum létezése Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény felveszi a függvényértékek szuprémumát és infimumát függvényértékként. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 62 / 123
63 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.3 Folytonos függvények globális tulajdonságai Függvény egyenletes folytonossága halmazon Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvény egyenletesen folytonos a D 1 D halmazon, ha bármely ε > 0-hoz van olyan (csak ε-tól függő) δ(ε) > 0, amelyre f (x) f (y) < ε ha x y < δ(ε) és x, y D 1. Ha f csupán folytonos D 1 -en, akkor bármely ε > 0-hoz és bármely y D 1 -hez van olyan (y-tól is függő) δ(ε, y) > 0, amelyre Cantor tétele f (x) f (y) < ε ha x y < δ(ε, y) és x D 1. Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény ott egyenletesen folytonos. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 63 / 123
64 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.3 Folytonos függvények globális tulajdonságai Közbenső értékek tétele Egy intervallumon folytonos függvény felvesz bármely két függvényérték közötti értéket is függvényértékként. Azaz egy intervallumon folytonos függvény értékkészlete is egy intervallum. Inverz függvény folytonossága Egy intervallumon folytonos, szigorúan monoton függvény injektív, és inverze is folytonos, és szigorúan monoton (ugyanolyan értelemben mint az eredeti függvény). Inverz függvény folytonossága Egy intervallumon folytonos és injektív függvény inverze is folytonos. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 64 / 123
65 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.4 Az elemi függvények folytonossága x ln x := az x e x függvény inverze, ln : ]0, [ R, a x := e x ln a (x R), ahol a > 0, x log a x := az x a x függvény inverze, ahol 0 < a 1, log a : ]0, [ R, arcsin : [ 1, 1] [ π 2, π ] 2 := a sin [ ] függvény inverze, π 2, π 2 arccos : [ 1, 1] [0, π] := a cos függvény inverze, [0,π] arctg : R ] π 2, π [ 2 := a tg ] [ függvény inverze, π 2, π 2 arcctg : R ]0, π[ := a ctg függvény inverze. ]0,π[ Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 65 / 123
66 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.4 Az elemi függvények folytonossága Elemi függvények Az f (x) = c (x R) (ahol c R tetszőleges konstans), f (x) = x (x R), f (x) = e x (x R), f (x) = ln x (x > 0), f (x) = sin x (x R), f (x) = arcsin x (x [ 1, 1]) függvényeket, és ezekből a 4 alapművelet (összeadás, kivonás, szorzás, osztás), összetett függvény képzése, leszűkítés egy intervallumra operációk véges sokszori alkalmazásával keletkező függvényeket elemi függvényeknek nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 66 / 123
67 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.4 Az elemi függvények folytonossága Elemi függvények Az f (x) = x α := e α ln x (x > 0), általános hatványfüggvény, a trigonometrikus függvények és inverzeik, a polinomok, racionális törtfüggvények (azaz polinomok hányadosai) elemi függvények. Az elemi függvények folytonosak. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 67 / 123
68 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.5 Nevezetes függvényhatárértékek Nevezetes függvényhatárértékek lim (1 + x) 1 x = e, x 0 e x 1 lim = 1, x 0 x sin x lim = 1. x 0 x Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 68 / 123
69 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.1 Differenciálhatóság, differenciálási szabályok Differenciálhatóság, differenciálhányados/derivált Az f : I R (I R egy nem elfajult intervallum) függvényt differenciálhatónak nevezzük az x 0 I pontban, ha létezik a f (x) f (x 0 ) lim R. x x 0 x x 0 E határértéket az f függvény x 0 pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük. Jelölés: f (x 0 ) vagy df dx (x 0). Minden olyan x I pontban, ahol f differenciálható, értelmezhetjük az x f (x) derivált függvényt. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 69 / 123
70 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.1 Differenciálhatóság, differenciálási szabályok A derivált jelentése: f (x) f (x 0 ) az [x 0, x] intervallumon vett differenciahányados, x x 0 ami a függvény változásának átlagsebessége; f (x 0 ) az átlagsebesség határértéke, amikor az [x 0, x] intervallum összehúzódik az x 0 pontra, azaz f (x 0 ) a függvény változásának x 0 pontbeli pillanatnyi sebessége. A derivált geometriai jelentése: f (x) f (x 0 ) az f függvény görbéjének (x 0, f (x 0 )) és (x, f (x)) x x 0 pontjait összekötő szelőjének iránytangense; f (x 0 ) az f függvény görbéjéhez az (x 0, f (x 0 )) pontban húzott érintő iránytangense. Ha f differenciálható egy pontban, akkor ott folytonos is. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 70 / 123
71 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.1 Differenciálhatóság, differenciálási szabályok Differenciálás és a műveletek kapcsolata Ha f, g : I R differenciálhatók az x 0 I pontban, akkor f + g is differenciálható x 0 -ban, és (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), tetszőleges c R esetén c f is differenciálható x 0 -ban, és (c f ) (x 0 ) = c f (x 0 ), f g is differenciálható x 0 -ban, és (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ), f ha g(x 0 ) 0, akkor g is differenciálható x 0-ban, és ( ) f (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ) g g(x 0 ) 2. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 71 / 123
72 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.1 Differenciálhatóság, differenciálási szabályok Differenciálhatóság és lineáris approximálhatóság kapcsolata Az f : I R függvény akkor és csakis akkor differenciálható az x 0 I pontban, ha van olyan A R konstans, hogy f (x) f (x 0 ) A(x x 0 ) lim = 0. x x 0 x x 0 Ha ez teljesül, akkor A = f (x 0 ). Az f : I R függvény akkor és csakis akkor differenciálható az x 0 I pontban, ha van olyan A R konstans és ε : I R függvény, hogy f (x) f (x 0 ) = A(x x 0 ) + ε(x x 0 ) és lim x x0 ε(x) = 0. Ekkor f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), azaz, az x f (x) függvény az x f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) lineáris függvénnyel approximálható Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 72 / 123
73 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.1 Differenciálhatóság, differenciálási szabályok Összetett függvény differenciálhatósága Legyen f : I R, J := f (I) az f értékkészlete, g : J R. Ha f differenciálható az x 0 I pontban és g differenciálható az y 0 := f (x 0 ) J pontban, akkor a h := g f összetett függvény differenciálható az x 0 pontban, és h (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 ). Inverz függvény differenciálhatósága Tegyük fel, hogy f : I R invertálható, folytonos I-n, differenciálható az x 0 I pontban, és f (x 0 ) 0. Akkor az f 1 : f (I) I inverz függvény differenciálható az y 0 := f (x 0 ) pontban, és ( f 1 ) 1 (y0 ) = f (f 1 (y 0 )). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 73 / 123
74 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.2 Az elemi függvények deriváltjai (c) = 0 (x R, c R tetszőleges konstans), (x α ) = αx α 1 (x > 0, ha α R; x R, ha α N), (sin x) = cos x (cos x) = sin x (x R), (x R), (tg x) = 1 cos 2 x (ctg x) = 1 sin 2 x (e x ) = e x (x R), (x R, x π + kπ, k Z), 2 (x R, x kπ, k Z), (a x ) = a x ln a (x R, 0 < a 1), Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 74 / 123
75 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.2 Az elemi függvények deriváltjai (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a (arcsin x) 1 = 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 (x > 0), (x > 0, 0 < a 1), ( x < 1), ( x < 1), (arctg x) = x 2 (x R), (arcctg x) = x 2 (x R). Az elemi függvények értelmezési tartományuk belső pontjaiban differenciálhatók. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 75 / 123
76 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.3 Középértéktételek és alkalmazásaik Lokális szélsőérték szükséges feltétele Ha f : I R differenciálható az x 0 I belső pontban (I jelöli az I intervallum belső pontjainak halmazát, vagyis belsejét), és f -nek x 0 -ban lokális szélsőértéke van, akkor Cauchy-féle középértéktétel f (x 0 ) = 0. Legyenek f, g : [a, b] R folytonosak [a, b]-n, differenciálhatók ]a, b[ -n, akkor van olyan ξ ]a, b[, melyre ( f (b) f (a) ) g (ξ) = ( g(b) g(a) ) f (ξ), vagy, ha g (x) 0 (x ]a, b[ ), akkor f (ξ) f (b) f (a) g = (ξ) g(b) g(a). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 76 / 123
77 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.3 Középértéktételek és alkalmazásaik Lagrange-féle középértéktétel Legyen f : [a, b] R folytonos [a, b]-n, differenciálható ]a, b[ -n, akkor van olyan ξ ]a, b[, melyre Rolle-féle középértéktétel f (ξ) = f (b) f (a). b a Legyen f : [a, b] R folytonos [a, b]-n, differenciálható ]a, b[ -n, f (a) = f (b), akkor van olyan ξ ]a, b[, melyre f (ξ) = f (b) f (a) b a = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 77 / 123
78 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.3 Középértéktételek és alkalmazásaik Monotonitás és deriváltak kapcsolata Legyen f : I R differenciálható I-n. f monoton növekvő I-n akkor és csak akkor, ha f (x) 0 (x I). f monoton csökkenő I-n akkor és csak akkor, ha f (x) 0 (x I). f konstans I-n akkor és csak akkor, ha f (x) = 0 (x I). f szigorúan monoton növekvő I-n ha f (x) > 0 (x I). f szigorúan monoton csökkenő I-n ha f (x) < 0 (x I). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 78 / 123
79 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.3 Középértéktételek és alkalmazásaik L Hospital szabály Legyenek f, g : ]a, b[ R differenciálhatók ]a, b[ -n (ahol most a, b R b ), és g (x) 0 (x ]a, b[ ). Ha és f (x) lim x a+0 g (x) = A R b lim f (x) = lim g(x) = 0 vagy lim g(x) = + ( ), x a+0 x a+0 x a+0 akkor f (x) lim x a+0 g(x) = A. A tétel akkor is érvényes, ha x a + 0 helyére mindenütt x b 0, illetve x c kerül, ahol c az ]a, b[ egy belső pontja. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 79 / 123
80 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.4 Magasabbrendű deriváltak, konvexitás, konkávitás Magasabbrendű deriváltak Tegyük fel, hogy az f : I R függvény első deriváltja létezik az x 0 I pontnak egy (legalább egyoldali) környezetében, akkor f második deriváltja f (x 0 ) := (f ) (x 0 ) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. Hasonlóan, az f függvény (n + 1)-edik deriváltja f (n+1) (x 0 ) := ( f (n)) (x0 ). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 80 / 123
81 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.4 Magasabbrendű deriváltak, konvexitás, konkávitás Konvexitás, konkávitás Az f : I R függvényt konvexnek nevezzük az I intervallumon, ha f (λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf (x 1 ) + (1 λ)f (x 2 ) (x 1, x 2 I, λ [0, 1]). Az f : I R függvényt konkávnak nevezzük I-n, ha f konvex I-n. Konvexitás geometriai jelentése: x 1 < x 2 esetén a λx 1 + (1 λ)x 2 pont az [x 1, x 2 ] intervallumot 1 λ : λ arányban osztja ketté. Az (x 1, f (x 1 )) és (x 2, f (x 2 )) pontokon átmenő egyenes (szelő) egyenlete: y = f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ). Ennek értéke a λx 1 + (1 λ)x 2 pontban éppen λf (x 1 ) + (1 λ)f (x 2 ). Így az f függvény akkor és csakis akkor konvex az I intervallumon, ha a függvény görbéjének bármely szelője a metszési pontok közötti szakaszon a függvény görbe felett van. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 81 / 123
82 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.4 Magasabbrendű deriváltak, konvexitás, konkávitás Jensen egyenlőtlenség Az f : I R függvény akkor és csakis akkor konvex az I intervallumon, ha teljesül a Jensen egyenlőtlenség: f (λ 1 x 1 + λ 2 x λ n x n ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ n f (x n ), n ahol x 1,..., x n I, λ 1,..., λ n 0, λ k = 1. Az f : I R függvény konkáv akkor és csakis akkor, ha az előbbi egyenlőtlenség megfordítása teljesül. k=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 82 / 123
83 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.4 Magasabbrendű deriváltak, konvexitás, konkávitás Konvex és konkáv függvények jellemzése 1 Ha f : I R differenciálható I-n, akkor f konvex I-n akkor és csakis akkor, ha f monoton növekvő I-n; f konkáv I-n akkor és csakis akkor, ha f monoton csökkenő I-n. 2 Ha f : I R kétszer differenciálható I-n, akkor f konvex I-n akkor és csakis akkor, ha f (x) 0 (x I); f konkáv I-n akkor és csakis akkor, ha f (x) 0 (x I). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 83 / 123
84 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.4 Magasabbrendű deriváltak, konvexitás, konkávitás Inflexiós hely, inflexiós pont Legyen f : I R és x 0 I belső pontja I-nek. Az x 0 pontot az f függvény inflexiós helyének, az (x 0, f (x 0 )) pontot inflexiós pontjának nevezzük, ha x 0 az I intervallum konvex és konkáv szakaszait választja el, azaz, ha van olyan δ > 0, hogy f konvex az ]x 0 δ, x 0 [, konkáv az ]x 0, x 0 + δ[ intervallumon, vagy f konkáv az ]x 0 δ, x 0 [, konvex az ]x 0, x 0 + δ[ intervallumon. Inflexiós pontok megkeresése Legyen f : I R kétszer differenciálható I-n. Ha az x 0 I pont inflexiós helye f -nek, akkor f (x 0 ) = 0. Ha f (x 0 ) = 0 és f előjelet vált x 0 -ban, akkor x 0 inflexiós helye f -nek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 84 / 123
85 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.5 Taylor tétele Taylor tétele Legyen f : [a, b] R, és tegyük fel, hogy n N {0}, hogy az f függvény (n + 1)-szer differenciálható ]a, b[ -n, f (n) folytonos [a, b]-n. Akkor bármely x, x 0 [a, b]-hoz van olyan ξ az x és x 0 között (szigorúan közöttük, ha x x 0 ), hogy ( f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) ! 2! + + f (n) ) (x 0 ) (x x 0 ) n + f (n+1) (ξ) n! (n + 1)! (x x 0) n+1, ahol f (0) := f. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 85 / 123
86 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.5 Taylor tétele T n (x) := f (x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+ f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! az f függvény x 0 pont körüli n-edfokú Taylor polinomja (x 0 = 0 esetén Mc Laurin polinomja), R n (x) := f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 a Taylor formula n-edik maradéktagja Lagrange-féle alakban. Az R n (x) maradéktag azt mutatja meg, hogy f (x)-et a T n (x) Taylor polinom milyen hibával közelíti. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 86 / 123
87 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.5 Taylor tétele Példák Taylor polinomra: 1 f (x) = e x, x 0 = 0 mellett ahol és ξ az x e x = 1 + x + x 2 R n (x) := 2! + + x n n! + R n(x), e ξ (n + 1)! x n+1, és x 0 = 0 között van. Ebből azt kapjuk, hogy e x = lim (1 + x + x 2 n 2! + + x n ) = n! n=0 x n n!. Ezt a sort az exponenciális függvény Mc Laurin sorának, vagy x 0 = 0 körüli Taylor sorának nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 87 / 123
88 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.5 Taylor tétele 2 f (x) = sin x, x 0 = 0 esetén sin x = x x 3 3! + x 5 ahol és ξ az x 5! + x 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! + R 2n+1(x) (x R), R 2n+1 (x) := sin ( ξ + (2n + 2) π 2 (2n + 2)! ) x 2n+2, és x 0 = 0 között van. Ebből azt kapjuk, hogy sin x = lim (x x 3 5 n 3! +x 5! x 2n+1 ) +( 1)n = (2n + 1)! ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)!. n=0 Ezt a sort a sin függvény Mc Laurin sorának, vagy x 0 = 0 körüli Taylor sorának nevezük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 88 / 123
89 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.6 Szélsőértékszámítás Lokális szélsőérték szükséges feltétele Ha f : I R differenciálható az x 0 I belső pontban, és ott lokális szélsőértéke van, akkor f (x 0 ) = 0. Stacionárius pont Azokat az x 0 pontokat, amelyekre f (x 0 ) = 0 teljesül, az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük. Stacionárius pontban az érintő párhuzamos az x tengellyel, és ott lehet lokális szélsőérték, de nem biztos, hogy van! Milyen x 0 I pontokban lehet egy f : I R függvénynek lokális szélsőértéke? x 0 I belső pont, ahol f (x 0 ) = 0, x 0 x 0 az I intervallum valamely végpontja (ha az I-hez tartozik), az I-nek olyan pontja, ahol f nem differenciálható. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 89 / 123
90 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.6 Szélsőértékszámítás Elsőrendű elegendő feltétel lokális szélsőértékre Tegyük fel, hogy f : I R differenciálható az x 0 I belső pont egy környezetében, és x 0 stacionárius pontja f -nek (azaz f (x 0 ) = 0). Ha van olyan r > 0, hogy f (x) 0 ha x ]x 0 r, x 0 [ I, és f (x) 0 ha x ]x 0, x 0 + r[ I, akkor f -nek lokális maximuma van x 0 -ban. Ha van olyan r > 0, hogy f (x) 0, ha x ]x 0 r, x 0 [ I, és f (x) 0 ha x ]x 0, x 0 + r[ I, akkor f -nek lokális minimuma van x 0 -ban. Ha van olyan r > 0, hogy f (x) > 0 ha x ]x 0 r, x 0 + r[ I, x x 0, vagy f (x) < 0 ha x ]x 0 r, x 0 + r[ I, x x 0, akkor f -nek nincs lokális szélsőértéke x 0 -ban, x 0 inflexiós helye f -nek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 90 / 123
91 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.6 Szélsőértékszámítás n-edrendű elegendő feltétel lokális szélsőértékre Tegyük fel, hogy f : I R n-szer folytonosan differenciálható az x 0 I belső pont egy környezetében (azaz f (n) folytonos e környezetben), és f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n 1) (x 0 ) = 0, de f (n) (x 0 ) 0. Ha n páros, akkor f -nek szigorú lokális szélsőértéke van x 0 -ban, maximum, ha f (n) (x 0 ) < 0, minimum, ha f (n) (x 0 ) > 0. Ha n páratlan, akkor f -nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 91 / 123
92 6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.6 Szélsőértékszámítás Globális szélsőérték megkeresése: Ha I korlátos és zárt intervallum, és f : I R folytonos, akkor f -nek van globális maximuma és minimuma I-n. Ha I nem korlátos, vagy korlátos de nem zárt, akkor előfordulhat, hogy f -nek nincs szélsőértéke I-n. Ha f : I R (elég sokszor) differenciálható a korlátos és zárt I intervallumon, akkor megkeressük f lokális szélsőértékeit I belső pontjaiban; kiszámítjuk f értékét I végpontjaiban; a lokális szélsőértékek és a végpontokban felvett értékek közül a legnagyobb adja a globális maximum értékét, a legkisebb adja a globális minimum értékét. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 92 / 123
Gazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenDifferenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenAlkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenHatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenKalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató
Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Tárgykód(ok): INDK111E, INDK111G Félév: 2015/2016-I. Előadó: Boros Zoltán Óraszám: 2 + 2 (előadás + tantermi gyakorlat) Kredit: 5 (kötelező) Előfeltétele:
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
RészletesebbenHalmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy
1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,
RészletesebbenVizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42
Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenFüggvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenGazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenPécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK
Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,
Részletesebben2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.
Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév
RészletesebbenMatematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
RészletesebbenAnalízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenA valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
RészletesebbenMATEMATIKA 1. GYAKORLATOK
Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
Részletesebben